北京市第三十五中学2026-2027学年第一学期期中测试高一数学试题

北京市第三十五中学2026—2027学年第一学期期中测试 高一数学评分标准 Ⅰ卷 一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1—5．BCDDB 6—10．BDCAA Ⅱ卷 二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11． 12． 13．； 14．； 15．①②③ 注：第、题，第一空分，第二空分；第题，选对一个分，选对二个分，全选对分，有错选分． 三．解答题（共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将解答过程填写在答题卡相应位置处．） 16．（本小题13分，7分＋6分） 解：（1）， 2分 又由，可得，解得， 2分 ， 1分 ， 1分 ． 1分 （2）,． 2分 ，， ，解得， 2分 的取值范围是． 2分 17．（本小题13分，7分＋6分） 解：（1）关于的一元二次方程的两根为，． 所以， 4分 解得且， 2分 即实数的取值范围为． 1分 （2）方程的两根分别是和，根据根与系数的关系可得 ， 2分 ， 2分 又或或， 所以当时，取的最小值，最小值为． 2分 18．（本小题15分，分分分） 解：（1）是定义在上的奇函数， 1分 证明如下：，都有 2分 且 2分 故，是定义在上的奇函数 （2）在上单调递增； 1分 证明如下：任取，且， 1分 则 1分 ， 1分 又由， 则，，，， 则有，即， 1分 故在上单调递增； （3）根据题意，， 1分 又由在上单调递增， 则， 3分 解可得或， 故的取值范围为． 1分 19．（本小题14分，6分分） 解：（1）当时，； 2分 当时，， 2分 因此． 2分 （2）当时，， 2分 故， 1分 当时，， 2分 当且仅当，即时所获利润取到最大值． 1分 因此当（吨）时生产中所获利润最大，此时可购买万元学习用品． 2分 20．（本小题15分，4分分分） 解：（1）当时，由得， 1分 即，解得或． 2分 所以不等式的解集为或． 1分 （2）由得， 即不等式对任意恒成立， 1分 所以对任意恒成立， 1分 所以， 2分 所以的取值范围是． 1分 （3）当时，． 又． 1分 ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． 1分 ②当，即时， 对任意，． 所以，解得． 1分 ③当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． 1分 ④当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． 1分 综上，实数的取值范围是． 1分 21．（本小题15分，4分＋5分＋6分） （1）解：因为，因为，所以集合不是“好集合”， 因为，，，，， ，，所以集合是“好集合” 4分 （2）证明：将集合中的元素分为如下个集合： ，，，，，，，，， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素的差的绝对值不大于， 所以不可能是“好集合”． 5分 （3）解：因为是“好集合”，所以对于中的任意两个不同的元素，， 不妨设，都有， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为． 将这个元素按如下分组： ，，，…，，， 故应取，其中任意两元素差值都大于， 故其是好集合， 所以集合的“好子集”所含元素个数的最大值为． 6分 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十五中学2026—2027学年第一学期 期中测试 高一数学 2026.11 行政班________教学班________姓名________学号________ 试卷说明：本试卷共5页，试卷分值150，考试时间120分钟．Ⅰ卷为选择题，共10个小题，Ⅱ卷为主观题，包括第11至第21题．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． Ⅰ卷 一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A． B． C． D． 5．若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上的图象是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．如图，函数的图象可能是（ ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时，的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．有三支股票，，，位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍．在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多．在只持有一支股票的人中，有一半持有股票．则只持有股票的股民人数是（ ） A． B． C． D． Ⅱ卷 二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11．函数的定义域为________． 12．如果在区间上，函数与函数同时取相同的最小值，那么函数在区间上的最大值为________． 13．已知函数．若在上是单调函数，则________；若对任意实数，方程都有解，则的取值范围是________． 14．某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在模式下元件温度保持不变；从模式切换到模式后，在模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从模式再切换到模式后，原件温度继续保持不变…现将该元件通电，初始温度为，已知在，，，这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图象如图所示．请根据以上信息推断：________；________． 通电累积时间（单位） 元件温度（单位） 15．设定义在上的函数满足： （1）当，时，；（2）；（3）当时，． 现有下列结论： ①； ②在上是减函数； ③存在，使； ④若，则，． 则其中正确结论的序号为________． 三．解答题（共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将解答过程填写在答题卡相应位置处．） 16．设，，， （1）分别求，； （2）若，求实数的取值范围． 17．已知关于的一元二次方程的两根为，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最小值． 18．已知函数，． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单位产量（单位：吨）与使用肥料成本（单位：万元）满足如下关系：肥料的固定成本为万元，每生产吨需投入成本． 当年产量不足吨时，（万元）；当年产量不小于吨时，（万元），每吨水果售价为万元，该乡镇可以把水果全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（吨）的函数解析式； （2）当年产量为多少吨时，所获利润最大？该乡镇决定将此水果所获利润的用来购买学习用品捐赠给希望工程，当所获年利润最大时，可购买多少万元的学习用品？ 20．已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求的取值范围． 21．对于正整数集合（，），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称为“好集合”． （1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； （2）若集合，证明：不可能是“好集合”； （3）若，是的子集，且是“好集合”，求所含元素个数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $