广西壮族自治区柳州市柳城县中学2026-2027学年高三上学期11月期中检测数学试题

2026年秋季学期高三期中检测 数学 (满分150分 时间150分钟) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.(5分)样本数据8,4,5,7,16的极差为() A.7 B.8 C.12 D.16 2.(5分)下列复数中，属于纯虚数的是() A.3 B.2i C.1+2i D.0 3.(5分)已知集合M={0,1,N=1,2,3},则MUN=() A.{1) B.0,1 C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 4.(5分)已知向量a=(m,1),b=(2,-3),若a⊥b,则m=() A B c D. 5.(5分)设等差数列{4}的前n项和为S,若S3=7,S。=16,则a+4+4等于() A.9 B.11 C.13 D.25 6.(5分)已知A(4,-3)关于直线1的对称点为B(-2,5),则直线1的方程是() A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0 C.4x+3y-7=0 D.4x+3y+7=0 7.(5分)已知函数f0=Ja-2-1,x≤1 0g。x,x>1，满足对在意出≠为，都有2>0成立，则实数@ X1-X2 的取值范围为() A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3] D.（2,+m) 8。(5分)已知椭篮C若号1a~6>0的东、右焦点分别为，只，离心半为1，椭圆C的上顶 点为M,且M·M乃，=0.双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C,与C, 的一个公共点，若∠RP吗=骨则乌的值为《) A.2 B.3 c.⑤ 2 D.6 2 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)下列命题中，正确的是() A.若a>b,则ac>bc 试卷第1页（共3页） B.若a>b>0>c>d,则ad>bc C.若a>b>0,则1<} a b D.若2<a<3,-1<b<4,则-2<a-b<4 10.(6分)设{a}是无穷数列，若存在正整数k(k≥2)，使得对任意neN,均有a+>a,则称{a}是 “间隔递增数列”，k是{a}的“间隔数”，下列说法正确的是() A.公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列， B.若a=2n+(-1)”，则{a}是“间隔递增数列 C.若a,=n+'(∈N,r≥2)，则{a,}是“间隔递增数列且“间隔数的最小值为r D.已知a=n+m+2021,若{a}是“间隔递增数列’且“间隔数”的最小值为3，则-5<t≤-4 11.(6分)在(x-)的展开式中，下列说法正确的是() A.一共有6项 B.第3项为-10x3y2 C.所有项的系数和为0 D.所有项的二项式系数和为32 三、填空题（共15分） 12.(5分)已知tana=2tm(a-P)=片，则tamp的值为 1B.5分)设X~B(2p),若Px≥号则 14.(5分)已知函数f(x)=n2x+1-x(a∈R)有且仅有一条切线经过点(0,0).若x∈[1，+o), f(x)+x≤0恒成立，则实数的最大值是 四、解答题（共77分） 15.(13分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,B=2π bsinc=2sinB (1)求b的值； (2)求△ABC的面积 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,AB=AP=2,E 为棱PB的中点. 试卷第2页（共3页） (I)求直线PD与CE所成角的余弦值： (2)求直线CE与平面PCD所成角的正弦值； (3)求点D到直线CE的距离， l7.(15分)随着科技的进步，人工智能(AI)工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常 见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率.某公司为了解员工使用这类AI工具的熟 练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 (1)根据=0.01的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人， 记其中不能够熟练使用AI工具的人数为X,求X的分布列以及数学期望， 附：X2= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1817分)已知销面2产=1a>0>,方顶点为下顶点为B.AB=5,使E为N5. (1)求E的方程： (2)平行于AB的直线I与E相交于C,D两点(C,D均在第一象限，且A,B,C,D按逆时针排列)，直 线AD与y轴相交于点P,直线BC与x轴相交于点Q. ①求直线PQ的斜率： ②若四边形A50P的面积为}，求四边形P0CD的面积。 19.(17分)已知函数f(x)=anx-2x(a>0),8(x)=-x-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若8(x)≥f(x)恒成立，求a的值； (③)已知数列私}，满足么，-1+子，记买=444，若对任意的正整数n,不等式又<m成立，其中m 为整数，求m最小值. 试卷第3页（共3页） 《2026年秋季学期高三期中检测（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C ⊙ 0 & B B C D CD BCD 题号 11 答案 ACD 1.C 【分析】将样本从小到大排列可得极差。 【详解】将样本从小到大排列得4,5,7,8,16， 则极差为16-4=12 2.B 【详解】根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0， 所以选项中只有2i为纯虚数. 3.D 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得MUN={0,1,2,3}, 故选：D 4.B 【分析】根据向量垂直坐标运算即可求解。 3 【详解】因为向量a=,1),b=(2,-3),且a1b,则a-b=0→2-3=0→m= 2 故选：B 5.B 【分析】根据等差数列的性质求解 【详解】设公差为d, S=a1+a3+a3=7,S6=4+a3+43+a4+4+a6=16, ∴.S6-S3=a4+4+a5=9, 44+45+%6-(4+a+4)=9d=2, ∴.4+4+a,=(a4+a+a6)+9d=9+2=11. 故选：B. 6.B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及所过的点，再利用直线的点斜式方程求出方程. 答案第1页（共10页） 【详解】依影意.直线48的斜率=，手，则直线的斜率为子，且过点， 3 所以直线1的方程是y-1=2x-),即3x-4y+1=0. 4 故选：B 7.C 【分析】根据给定条件，可得函数f(x)在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式 求解即得 (a-2)x-1,x≤1 【详解】函数f(x)= 的定义域为R, logx,x>1 由对任意，≠x2, 都有)】）>0，得函数)在R上单调递增， X1-X2 [a-2>0 于是a>1,解得2<a≤3， a-3≤0 所以实数α的取值范围为(2,3]. 故选：C 8.D 【分析】由ME·M,=0,可求得b=c,α=√2c,假设点P在第一象限，则根据双曲线和椭圆的定义列方 程组可表示出P,PF,然后在△P中利用余弦定理列方程化简可求出结果. 【详解】因为椭圆C1的上顶点为M,且M码·MF,=0, 所以∠M=90°， 所以b=c,所以a=√b+c2=√2c, 设双曲线C的方程为衣6了=1(4>0么>0) 假设点P在第一象限，则 xP-a4Pa4 在△P耳中，由余弦定理得 ca∠PR-PpF,即sa+a+a-a- 2PR PE 3 2(a+4)(a-4) 整理得d2+3a=4c2, 答案第2页（共10页) 所以43 2=4,则223a2 c3+ =4, 3a2=2c2,所以V3a=√2c, 所以e,=￡=5V6 4√221 故选：D VA M 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和双曲线定义的应用，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据椭 圆和双曲线的定义列方程组表示出P引，PF,考查计算能力，属于较难题. 9.CD 【分析】根据不等式的性质解决 【详解】对于A,c=0时不成立，故A错误： 对于B,0>c>d则-d>-c>0,因此-ad>-bc>0,于是ad<bc,故B错误： 对于C,由a>b>0知ab>0b>0 1b’即五之’政C正确 ab b a 对于D,-1<b<4则-4<-b<1,所以-2<a-b<4,故D正确. 故选：CD 10.BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数k(k之2)，使得a+k-a>0,即可判断正误 【详解】选项A中，设等比数列{a,}的公比是q(g>1),则a-a.=aq*1-4q-1=ag-1(g-1),其 中g>1,即q-(d-1)>0,若4<0，则at-a<0,即a<a,不符合定义，故A错误： 选项B中，a-a=[2+)+(-]-[2+(-]=2k+(-旷[（--， 当n是奇数时，a+k-a,=2k-(-1)+1,则存在k≥1时，a+-a>0成立，即对任意n∈N，均有 0+k>,符合定义；当n是偶数时，4+-a,=2k+(-1)-1,则存在k≥2时，a+-g>0成立，即对 任意neNW,均有a+k>a,符合定义.综上，存在k≥2时，对任意neN*,均有A+k>a,符合定义， 答案第3页（共10页） 故B正确： O0三心+1-1，开口向上，对称轴一0，故/0m=n+M=r在u∈N时单调递增，令最小准 fI)=1+k-r>0,得k>r-1, 又k∈N*，k≥2，r∈N*,r≥2，故存在k≥r时，a+k-a>0成立，即对任意neN,，均有a+k>a,符 合定义，“间隔数”的最小值为r,故C正确： 选项D中，因为a=+1+2021,是“间隔递增数列”，则 a+-a,=(n+k)+t(n+k)+2021-(m+m+2021)=21+k2+k>0,即k+2+t>0,对任意n∈N成 立，设80m=k+21+t,显然在n∈N*上8m递增，故要使8m=k+2n+t>0,只需g)=k+2+t>0 成立，即-2-t<k. 又“间隔数”的最小值为3，故存在k≥3，使-2-t<k成立，且存在k≤2，使-2-t≥k成立，故-2-t<3 且-2-t≥2，故-5<t≤-4，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列的定义，判断是否存在正整数k(化≥2)，使 a+k-a.>0对于任意的neN*恒成立，逐项突破难点即可. 11.ACD 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】对于A选项，因为(x-y)的次数为5，故展开式共有6项，故A正确： 对于B选项，二项式展开式的通项公式为TH=C5x3(-)',r=0,1,2,3,4,5,令r=2,可得第三 项为I=Cx(-y)2=10xy2,B不正确： 对于C选项，令x=y=1可得所有项的系数和为0，故C正确： 对于D选项，所有项的二项式系数和为2=32，故D正确。 故选：ACD 12.-3 【分析】根据tanB=tano&-(a&-B)门求解即可. 1 【详解】tanB-tan[a-(a-B)]= tana-tan(a-B) 2方3 1+tantan(a-B）-, 答案第4页（共10页） 故答案为：-3 18.号 【分析】由二项分布的概率公式P(X=k)=Cp(1-p)-，代入P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)可得结 果 【详解】X~B(2,p), P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=Cp(1-p)+Cp2(1-p)°=2p-p2, 2p=有解得：p或p(合 5 3 故答案为：3 1 14.e-2 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，求出函数表达 式，然后再分离参数，构造函数，利用导数法求最值即可 【详解】因为fx)=x+1-x,所以fy)=2血x-1,设切点为化，n'x+1-6）, 由题意， ah2x,+1-名_2al6-1有且仅有一解，即cdn2x-2ain,+1=0只有一解， x 则△=4a2-4a=0,解得a=1或a=0(舍)，所以r∈[1，+n),lnx+1-x+mnx≤0恒成立，即 lnx+1-x≤-mnx在[1+o)上恒成立， 当x=1时，0≤(-m×0=0,此时m∈R; 当x>1时，-m≥nx+1-在[L,)上恒成立， Inx i记g的-nx+1-水，则-m≥gx,g国-x-1+-血r, Inx xInx 令h=nx-1+x-inr,则c=（2-nr,x>I, 令H(x)<0,得x>2,令(x)>0,得1<x<2, 所以h(x)在(1,2)单调递增，在(2，+w)单调递减， 又h(1)=h(e)=0,h(2)>0,所以当1<x<e时，g'(x)>0,当x>e时，8'(x)<0, 所以80=nx+1-在(L,e)单调递增，在(e,+o)单调递减， Inx 所以g(x)nmx=g(e)=2-e,所以-m≥2-e,即m≤e-2, 综上，m≤e-2,所以实数m的最大值是e-2 答案第5页（共10页） 故答案为：e-2 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方 法来解决在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系 15.(1)2√7 (2)2√5 【分析】(1)由正弦定理化简bsinC=2sinB可得c=2,再由余弦定理即可求解： (2)直接由三角形的面积公式即可求解。 【详解】(1)因为bsinc=2sinB, 所以由正弦定理得bc=2b,即c=2, 由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B=42+22-2×4×2cos 2r=28 3 所以b=2√万 (2)因为a=4,c=2,B=2 , 所以5ax号cmB-42经-26 1 2 3 16.(0 2: 6 6)30 31 【分析】建立空间直角坐标系(1)求出向量PD与CE坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； (2)求出平面PCD的法向量，由向量法求解即可： (3)由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案， 【详解】(1)如图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,0,1). 故PD=(0,2,-2),CE=(-1,-2,1),则直线PD与CE所成角的余弦值为： cos PD,CE= -6 V2+(←2V1+(2+12 2 (2)由(1)PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2), PC.i=2x+2y-2z=0 设平面PCD法向量为1=(x,y,z),则 PD.ii=2y-2z=0 答案第6页（共10页） 则可取=(0,1,1)，又CE=(-1,-2,1),则直线CE与平面PCD所成角的正弦值为： cos元，CE -2+1 2V-1)+(-2)+ 6 (3)由(1)，CD=(-2,0,0),又CE=(-1,-2,1), CD.CE 则D到直线CE的距离为： CD 4 CE D A B 17. (I)性别与使用AI工具的熟练度无关： (2) 0 1 3 14 28 12 P 55 55 55 55 数学期望为1. 【分析】(1)根据给定条件，求出x的观测值，再与临界值比对即可得解. (2)求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出X的可能值及各个值对应的概 率，列出分布列并求出数学期望： 【详解】(1)设零假设H：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得a=30,b=15,c=16,d=9,n=70, 则x2-70(30×9-16x15 46×24×45×25 ≈0.051<6.635=001’ 根据小概率值=0.01的x独立性检验，没有充分证据推断H不成立， 所以可以认为H成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关， (2)男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为30：15=2：1， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为×12=8，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 3 答案第7页（共10页） 因此X的可能取值为0,1,2,3， Px=0)=c2C=14Px=l)-c2C-28 C2551 55 PX=2) -cic-12.=3)-clci- 1 c55 55 所以X的分布列为： X 0 2 3 14 28 12 1 55 55 55 55 数学期望B()=0×14+1 28 55 2号31 55 18.0￥+y=1 4 a0:@ 1 【分析】(1)利用椭圆项点距离、焦距建立方程组，求出椭圆标准方程： (2)①设平行直线，联立椭圆得到韦达关系，求出P,Q坐标后代入斜率公式，借助 +x3=2,x·x3=22-2化简，求出直线PQ的斜率；②利用①得到的斜率设P(0,),则Q(2t,0),其 中t>O,由四边形面积求出参数t,联立直线求C,D,得到PO/ICD,再用梯形面积计算POCD面积. 【详解】(1)因为AB=√5，所以a+b2=5, 因为焦距为25，所以c=√5，d2-b2=3,则a2=4,b2=1 所以E的方程为+y-1: （2)①因为4(-2,0.B0,-),则AB的斜率为 1 1 设直线1方程为v=X+mC(G,),D(,)小， +y=1 联立1与E的方程： 4 1，消去y得：-2+2m2-2=0,则x+为=2m3=22-2, v=- 2x+m 盾线4D方程为：Y+2,令r=0得y年2，敌P02及》 书3+2 (x3+2 百线心方程为：=-山，令y0有放Q点】 X (+1 答案第8页（共10页） 2y2-0 则O的斜率=+2-2y2.+1 05 x2+2x 当+1 1 （-3+2m)- +m+1 2-m匹-(m+1%+2m2+2m 1 2-m(3+x)3+2m2+2 水2+2x X2+2x1 1x2+2x =-m-1-2m+2n2+2m-x=-0+2-1-五=-m+2-1-(21-x）_--1+=-1 2m2-2+2x1 2(m2-1+x) 2(m2-1+x） 2(m2-1+x）21 所以直线PQ的斜率为2 1 ②庙①加20斜率为-3，设P00.则00,0.共中0 则|PB=t+1,|QA=2t+2, 所以四边形40P的面积-PaQ4(÷-}解得1 2 则IQ5 P阳方程为：=+片，P方程为 1,1 2 2 41 2 4+2s1 联立AP与E的方程： 11 y=4+ 2 7 故CD方程为：y=- 1 17 25 95 则PO/CD,又直线Pg与CD间距离d= ,12 25 h+2 四边形P0cD面积s刘Pg+co)-d5+59V5 25100 B 19.①()在[0，上单润递增，（2+上单润递减 (2)a=1 (3)3 【分析】(1)对函数∫(x)求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. 答案第9页（共10页） (2)构造新函数h(x)=x-1-anx,对a分类讨论，结合h(1)=0即可得解 (3)利用(2)的结论，通过放缩法得到T,的上界，再结合=2时的值，确定m的最小值. 【详解】(1)由题意函数f(x)=lmr-2x,x∈(0，+o),求导可得f'(x)=1-2, 当e2m时.f0,当0时，f()0, 所以)在0)上单润道道，（侵1单调造减。 (2)因为8(x)≥f(x),所以x-1-alnx≥0，其中x>0, 令h()=x-1-adx,则h(x)≥0恒成立，H(x)=1-C-x-a,且)=0， 当a>0时，令H(x)>0,解得x>a, 所以y=h(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+oo)上单调递增， 若a<1,则h(x)在(a,l)上单调递增，所以xe(a,1)时，h(x)<h(1)=0,与题设矛盾： 若a>1,则h(x)在(1，a上单调递减，所以x∈(1，d时，h(x)<h(1)=0,与题设矛盾： 若a=1,则h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=0,满足题意： 综上所述a=1, 3)因为点=1+子所以z-+)+) 由(2)可知当a=1时h(x)=x-1-lnx≥0，即lnx≤x-1, 所以(+)sx当且仅当t=0时取等号，所以n+)手，kN. +子++-i1 所以7=〔++引-引e<3,:对干任意正致，又<3相陵立。 且因为0为整致。且测于任意正整装”，+}--引m成 当n=2时， 〔++)-引2，所以<2不维恒成立。 所以m的最小值为3. 答案第10页（共10页）