上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

华东师范大学附属东昌中学 2026学年第一学期期中考试高二数学试卷 一、填空题：（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1.复数z=1-i（其中i表示虚数单位)，复数z的虚部为 2.直线x-y+1=0的倾斜角是一一， 3.已知向量a=(1,1),则经过点(1,0)且与垂直的直线方程为 4.已知直线43x-V3y+10=0与2：x-V3y=0,则直线与42的夹角火小是 5.已知向量=(2，)，6=(2，k),若a+=a-列，则实数k= 6.直线mx+(3m-l)y+1=0必过定点 7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(名，y),B(x2,2)两点，如果为+x2=6, 则AB=一 8.点M(x,y)在圆(x-2)2+y2=1上运动，则之的取值范围是 9.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,直线x+yc08A+2025=0与直 线bx+yc08B-2026=0平行，则三角形ABC是 二角形. 10.若直线y=:-1与椭圆士+上=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 5 m 1设月，B分别是椭圆E:苦+芳-1(a>b>0)的左、右焦点，过5的直袋交精圆E 于P、Q两点，且P℉⊥P,PF=3№F引，则椭圆E的离心率为 12.已知0为坐标原点，向量0A,0B满足0A+0=8,将OA绕点0按逆时针方向旋转90°， 得到向量0C.若0B+0C=（-3,3),=(1,0),则(OA+0丽i的最大值为 二、选择题：（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分) 13.若点A(-2,6),B(12,6)到直线1的距离都等于7，则这样的直线1有( ）条 A1 B.2 C.3 D.无数 11.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴交于点(3,0)，经x轴反射，则反射光线经过的点 的坐标可以为() A.（-3,8) 8 c.(0,3) 返设P为精圆芳名=1上一动点，M、w分别为园G+3+y=1和题 C2:(x-3)2+y2=4上的动点，则PM+PW丕可能为(). A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5 16.关于曲线C:x2+y4=1下列说法：①关于点(0,0)对称：②关于直线x轴对称；③关于直 线y=x对称：④曲线C是封闭图形，面积小于π：⑤曲线C是封闭图形，面积大于π：⑧ 曲线C不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号( A.①②⑧ B.①②⑤ C.①②④ D.②⑧⑧ 三、解答题(（本大题共有5题，满分78分)（解答下列各题必须写出必要的步 骤) 17.(14分)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,3)、B(2,1)、C(-2,0). (1)求△ABC的边AB上的高所在的直线方程. (2)求△ABC的面积. 18.(14分)设f(x)=sin x(o>0). )当函数y=/(的最小正周期为2m时，求y=f()+co3x在0上的最大值： ②若0=2，且在△M8C中，角A、B、C所对的边长为a,6,锐角A满足4+司-0 B.AC=4,求a的最小值. 19.(14分)设直线1为我国领海与公海的分界线.某海防巡逻艇在A处发现其北偏东45° 方向B处有一艘走私船.已知巡逻艇的最高航速是走私船航速的2倍.目前A处距离公 海边界线的垂直距离为6海里，走私船可能以任意方向逃窜.设A,B两处的距离为d海里 (d>0),请以A为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直 角坐标系解决下列问题。 (1)若巡逻艇与走私船同时出发，均沿直线航行，若巡逻艇在P点将走私船成功截获，求 截获点P的轨迹方程； (2)为了保证无论走私船向哪个方向逃窜，巡逻艇都能将其拦截在我国领海内（即截获区域 不能越过边界线I),求A,B相距最远多少海里？ 公海 领，海 ≥七 20.(18分)已知双曲线C:-y =1.F为C的右焦点，过F的直线I与C交于A,B两 36 点. (1)求双曲线的渐近线方程 (2)若直线I的斜率为2，求AB; ③)若直线04，QB的斜率之积为-，求直线！的方程 21.(18分)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{:--y为两点A(:,乃). B(:2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线1上任意…点Q.称d(P,)的最小值为点P 到1的“切比雪夫距离”，记作d(P,).已知圆C:x+y2-2x-3=0. (1)已知点P(3,1)和点R(-1,4),直线1：x=1,求d(P,R)和d(P,). (2)若圆E: (-+0-了-草.且图c有圈医心的初比雪夫高〔c,-3, 判断圆C和圆E的位置关系： 阅若国层么~+-a+引-孕（a>0.圆E与蛟于“两点，共中点炫图 C外，且d(M,N)=3,过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B两点，记直线AW 为，直线BN为1，证明：d(M,4)=d(M,h2)