精品解析：上海南汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

上海南汇中学2024学年第一学期期中考试 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高三数学命题组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式，即可解得正整数的值. 【详解】因为，即， 因为且，故. 故答案为：. 2. 若球的半径为2，则此球的表面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的表面积公式直接计算可得结果. 【详解】由球的半径为2，可得此球的表面积是. 故答案为： 3. 已知，，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标运算列方程求解的值即可. 【详解】因为，， 若，所以存在实数使得：, 所以，解得. 故答案为：. 4. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】由直线与直线没有公共点可得结论. 【详解】由直线平面得直线与平面没有公共点， 由直线在平面内可知直线与直线没有公共点，故直线与直线的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面. 5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 【答案】 【解析】 【详解】 因为的坐标为，所以，，， 所以，，故. 6. 若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由线面角的定义可知，为直线与平面所成角，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为为正四棱柱，则底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， 平面，，所以平面， 由线面角的定义可知，为直线与平面所成角， 则. 故答案为： 7. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择， 当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择， 故共有种选择. 故答案为：96 8. 在正方体中，二面角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直性质得，又，可得二面角平面角为，由得到结果. 【详解】 平面，平面 又，平面 即为二面角的平面角 二面角的大小为 故答案为 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角. 9. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 【答案】 【解析】 【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解． 【详解】 如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为． 【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题 10. 从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得. 【详解】第一步，从这个数中任选个，共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的个数中选出个分给， 由题意可知，选出后“五位凹数”就确定了，共有种方法， 所以满足条件的“五位凹数”共有个， 故答案为：. 11. 若，则正整数的个位数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值和求，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 两式相加得， , 由展开式可知，的个位数为2. 故答案为：2 12. 如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为顶点，构造棱长为的正方体，利用对称性将转化为，再根据四点共线时取最小值完成计算. 【详解】以为顶点，构造棱长为的正方体，如下图所示： 由对称性可知，， 又因为是上的动点，是下底面上的动点，所以是直角三角形， 又因为是中点，，所以， 当取得最小值时，此时四点共线， 则， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个方面，一方面是找出关于平面的对称点，从而可将转化为；另一方面是利用四点共线去分析求解最小值，将线段和问题转化为两点间距离问题. 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可. 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 14. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 15. 如图，正六棱柱中，A是一个顶点，是除A外的其余11个顶点，则的不同值的个数为（ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义，分别计算在上的射影，可以求出的值，即可得到答案 【详解】不妨设正六棱柱底面边长为1，高为2. 一共有3类不同结果，故选：B 16. 在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（ ）． A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【详解】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 三、解答题（共5题，共52分） 17. 3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. （1）学生甲不在最左边； （2）3名男生必须排在一起. 【答案】（1）4320 （2）720 【解析】 【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【小问1详解】 先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. 【小问2详解】 将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 18. 已知在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. 【小问2详解】 展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 19. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）求出外层圆柱体积减去内层圆锥体积即可求得这种“笼具”的体积； （2）易知纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和，再由“笼具”个数以及每平米的单价可得总价. 【小问1详解】 根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积； 由圆柱的底面周长为可知，底面圆半径为cm，又高为cm， 所以圆柱体积为 由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高cm， 因此圆锥体积为； 所以这种“笼具”的体积为 【小问2详解】 易知制作1个“笼具”所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和； 圆柱侧面积为，圆柱上底面面积； 圆锥侧面积为； 因此制作100个“笼具”需要的网材料面积为， 根据材料的造价为每平方米8元，可知共需元. 20. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 （1）求图2中第11行的各数之和； （2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； （3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2048； （2）166650； （3）存在，这三个数为. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 第11行的各数之和为； 【小问2详解】 杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； 【小问3详解】 存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2024学年第一学期期中考试 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高三数学命题组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 若，则________. 2. 若球的半径为2，则此球的表面积是________. 3. 已知，，若，则______. 4. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 6. 若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是________ 7. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 8. 在正方体中，二面角的大小为__________. 9. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 10. 从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答） 11. 若，则正整数的个位数为__________． 12. 如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是________. 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 15. 如图，正六棱柱中，A是一个顶点，是除A外的其余11个顶点，则的不同值的个数为（ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 4 16. 在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（ ）． A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（共5题，共52分） 17. 3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. （1）学生甲不在最左边； （2）3名男生必须排在一起. 18. 已知在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 19. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 20. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 （1）求图2中第11行的各数之和； （2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； （3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $