1.1.2三角形的中线、角平分线、高（课件）--2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版八年级上册 1.1.2 三角形的中线、角平分线、高 专项练习（约1600字） ## 知识梳理 1. **三角形的高**：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 - 锐角三角形：三条高都在三角形内部，交于一点； - 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高的交点是直角顶点； - 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部，三条高所在直线交于三角形外一点。 高是**线段**，不是垂线（垂线是直线）。 2. **三角形的中线**：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 - 三角形有三条中线，都在三角形内部，交于一点，这个交点叫**重心**； - 一条中线把三角形分成**面积相等**的两个小三角形（等底同高）。 3. **三角形的角平分线**：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 - 三条角平分线都在三角形内部，交于一点； - 区分：三角形角平分线是线段，角的平分线是射线。 4. 重要结论： ① 任意三角形的中线、角平分线一定在三角形内部；高不一定； ② 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； ③ 面积问题：同一个三角形，用不同底和高计算面积，结果相等。 ## 一、选择题 1. 关于三角形的高，下列说法正确的是（） A. 三角形的高都在三角形内部 B. 钝角三角形只有一条高 C. 直角三角形的两条直角边都是高 D. 三角形的高是一条直线 2. 三角形的重心是（） A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线交点 3. 能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是（） A. 角平分线 B. 中线 C. 高 D. 以上都可以 4. 在钝角△ABC中，∠A是钝角，AC边上的高是（） A. 从B向AC延长线作的垂线段 B. 从B向AC作的垂线段（垂足在线段AC上） C. 从A向BC作的垂线段 D. 从C向AB作的垂线段 5. 如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积是6，则△ABC面积是（） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 6. 下列线段中，一定在三角形内部的是（） A. 高 B. 中线、角平分线 C. 钝角三角形钝角边上的高 D. 直角三角形斜边上的高 7. AD是△ABC的角平分线，∠BAD=35°，则∠BAC=（） A. 35° B. 70° C. 105° D. 140° 8. 已知△ABC中，BC边上的高是AD，若AD=4，BC=5，则△ABC面积为（） A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 ## 二、填空题 9. 直角三角形三条高的交点在________。 10. 三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形________距离相等。 11. 若AD是△ABC中线，BD=3，则BC=______。 12. 在△ABC中，AE是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAE=______。 13. 一个三角形面积是24，一条边长为8，则这条边上的高为______。 14. 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的________。 ## 三、解答题 15. 画出钝角△ABC（∠B为钝角）三条边上的高，并用文字说明AB边上高的画法。 16. 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线。已知△ADE面积为4，求△ABC的面积。 17. 在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。 18. 已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。求证：AD也是△ABC的高和角平分线。 19. 已知△ABC，BC=6，BC边上的高AD=4；若AC=5，求AC边上的高BE。 20. 如图，△ABC中，AD是中线，△ABD周长比△ACD的周长大3，AB=8，求AC长。 ## 参考答案与解析 1. C 解析：锐角三角形高全在内部，钝角三角形两条高在外，三角形的高是线段。直角三角形两条直角边互为高。 2. B 解析：重心定义：三条中线交点；三高交点叫垂心；三角平分线交点叫内心。 3. B 解析：中线等分底边，两个小三角形等底同高，面积相等。 4. A 解析：∠A为钝角，AC边上的高，垂足落在AC的延长线上。 5. B 解析：中线平分面积，S△ABC=2×S△ABD=12。 6. B 解析：中线、角平分线一定在三角形内部；高不一定。 7. B 解析：角平分线平分内角，∠BAC=2∠BAD=70°。 8. B 解析：S=½×底×高=½×5×4=10。 9. 直角顶点 10. 三边 11. 6 解析：中线D是BC中点，BC=2BD=6 12. 30° 解析：∠BAC=180°−50°−70°=60°，AE平分，∠BAE=30° 13. 6 解析：S=½×8×h=24，解得h=6 14. 外部 15. 解：延长AB，从C向AB延长线作垂线，垂足为F，CF就是AB边上的高；延长CB，从A向CB延长线作垂线，垂足M，AM是BC边上高；从A向AC对边BC？规范表述： ∠B是钝角： ① BC边上的高：过A作AM⊥直线BC，垂足M； ② AB边上的高：过C作CF⊥直线AB，垂足F； ③ AC边上的高：过B作BN⊥AC，垂足N。 16. 解：DE是△ABD中线 ⇒ S△ABD=2S△ADE=8；AD是△ABC中线 ⇒ S△ABC=2S△ABD=16。 答：△ABC面积为16。 17. 解：∠BAC=180°−40°−60°=80°，AE平分∠BAC，∠CAE=40°； AD⊥BC，∠ADC=90°，∠CAD=90°−60°=30°； ∠DAE=∠CAE−∠CAD=40°−30°=10°。 18. 证明：∵AD是中线，∴BD=CD； AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）； ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC； ∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°，AD⊥BC。 ∴AD既是角平分线，又是高。 19. 解：S△ABC=½×BC×AD=½×6×4=12； 又S=½×AC×BE，½×5×BE=12，BE=24/5=4.8。 20. 解：AD是中线，BD=CD； C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD； 周长差=AB−AC=3，AB=8，AC=8−3=5。 ## 易错总结 1. 高是线段，钝角三角形部分高在外面，画图时要先延长对边； 2. 中线只平分面积，**不一定平分角度**，只有等腰三角形底边上的中线才同时是高、角平分线； 3. 角平分线平分内角，和面积无关； 4. 同一个三角形，用不同底和高算面积，面积不变，是求高常用思路； 5. 重心是中线交点，不要和垂心、内心混淆。 要不要我把这一节和上一节《三角形的边和角》合并成一套单元综合卷？ 苏科版（新教材）数学8年级上册 1.1.2三角形的中线、角平分线、高 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/7 第1章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 新知探究 可以看看角的变化。 A B C E 橡皮筋平分∠BAC A B C H 橡皮筋与BC所在直线垂直 探究新知 新知探究 可以看看线段的变化。 A B C D 橡皮筋的另一端落在BC的中点上 探究新知 新知探究 三角形的中线： 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线。 提分笔记 探究新知 新知探究 例如，如图，点D在BC上，BD = CD， 线段AD是△ABC的中线。 提分笔记 探究新知 新知探究 三角形的角平分线： 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 提分笔记 探究新知 新知探究 提分笔记 例如，点E在BC上，∠BAE = ∠CAE， 线段AE是△ABC的角平分线。 探究新知 新知探究 三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 提分笔记 探究新知 新知探究 提分笔记 例如，AH ⊥ BC，垂足为H， 线段AH是△ABC的边BC上的高。 探究新知 新知探究 提分笔记 注意：中线、角平分线、高都是线段，不是直线！！！ A B C H E D 探究新知 新知探究 三角形的角平分线与角的平分线的区别： 区别 三角形的角平分线 线段 可度量 角的平分线 射线 不可度量 提分笔记 探究新知 尝试 新知探究 如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高。 三角形的中线、角平分线、高各有几条？ A B C D E H 探究新知 尝试 新知探究 如图，分别过点A、B、C画出△ABC的中线。 以锐角三角形为例： A B C E D F 以直角三角形为例： A B C E D F 以钝角三角形为例： A B C E D F 探究新知 尝试 新知探究 如图，分别过点A、B、C画出△ABC的角平分线。 以锐角三角形为例： 以直角三角形为例： 以钝角三角形为例： A B C E D F A B C E D F A B C E D F 探究新知 尝试 新知探究 如图，分别过点A、B、C画出△ABC的高。 以锐角三角形为例： A B C E D F 以直角三角形为例： 以钝角三角形为例： A B C E ( D ) ( F ) A B C D E F 探究新知 新知探究 提分笔记 条数 位置 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 3 三角形内部 三角形内部 2条在三角形边上，1条在三角形内部 2条在三角形外部，1条在三角形内部 探究新知 1.下列四个图形中，线段是 的高的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 （第2题） 2. 如图，在中， , ,分别是边上的高线、的平分线、 边上的中线，下列结论错误的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 18 3.下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三 条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点；④三角 形的三条角平分线必交于一点.其中正确的有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 举一反三 19 新知探究 辨析： ( 1 ) 三角形的中线一定在三角形内部； ( 2 ) 三角形的角平分线一定在三角形内部； ( 3 ) 三角形的高一定在三角形内部。 探究新知 典例分析 例2 如图，AD是△ABC的中线。 求证：△ABD 和△ADC的面积相等。 证明：如图，过点A作AH ⊥ BC，垂足为H， AH是△ADC的高，也是△ABD的高， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD = DC， 又∵S△ABD = BD·AH，S△ADC = DC·AH， ∴ S△ABD = S△ADC。 探究新知 探究 新知探究 取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现？ A B C E D F A B C E D F A B C E D F 三条角平分线相交于一点。 三角形的中线、高也有这样的性质吗？ 探究新知 探究 新知探究 画三角形的三条中线。 三角形的中线、高也有这样的性质吗？ A B C E D F A B C E D F A B C E D F 三条中线相交于一点。 探究新知 探究 新知探究 画三角形的三条高。 三角形的中线、高也有这样的性质吗？ A B C E ( D ) ( F ) A B C D E F A B C E D F 三条高所在直线相交于一点。 探究新知 新知探究 提分笔记 是否交于一点 交点位置 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 交于一点 交于一点 所在直线交于一点 三角形内部 三角形内部 三角形直角顶点 三角形外部 探究新知 新知探究 辨析： ( 1 ) 三角形的中线交于一点； ( 2 ) 三角形的中线所在直线交于一点； ( 3 ) 三角形的角平分线交于一点； ( 4 ) 三角形的角平分线所在直线交于一点； ( 5 ) 三角形的高交于一点； ( 6 ) 三角形的高所在直线交于一点。 探究新知 4.如图，是的中线.若的周长比的周长长 ， 则___ . 6 （第4题） 返回 举一反三 27 （第5题） 5. 如图，在中， ， ，是高，以点为圆心， 长为半 径画弧，交于点，再分别以， 为圆心，大 于的长为半径画弧，两弧在 的内部交 于点，作射线，则____ . 10 返回 举一反三 28 6.如图，点为中边上的中点，为的中线.若 的面积为60，则 的面积为____. 15 （第6题） 返回 举一反三 29 7. 分别在图①,图②，图③中画出 的角平分 线，中线和高 .（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 举一反三 30 解：如图①②③，线段，， 即为所求. 返回 举一反三 31 8. 中，，边上的高， ， 则 的面积是( ) C A.6 B.12 C.6或12 D.以上都不对 返回 举一反三 32 9.如图，在中，是边上的高，是 的角平分线.若 ，则______.（用含有 的代数式表示） （第9题） 返回 举一反三 33 10. （1）已知是的边上的高， ， ，则 __________； （2）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为 两部分，等腰三角形 的周长为21，则它的腰长为______. 或 6或8 返回 举一反三 34 11. 如图，有一张三角形纸片，， 的平分线相 交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点 处.若 ，则 _____. （第11题） 返回 举一反三 35 12.如图，在中， ， ，，垂足为， 是 的平分线，且交于点，交于点 . （1）求，， 的度数； 解：因为, ,所以 ,.因为 ,所 以,解得 .所以 , . 举一反三 36 （2）求 的度数. 解：因为是的平分线，所以 .易知 ,所以 .所以 . 返回 举一反三 37 13.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. 举一反三 38 （1）如图①，在中， ,,, , ，则 ___； [解析] 点拨：在中，， ， .又,, ， . 举一反三 39 （2）如图②，在中，,，则的高与 的 比是_____； [解析] 点拨：，, ， . . 举一反三 40 （3）如图③，在中，，点， 分别在边 ,上，且,,，垂足分别为， .若 ，求 的值. 举一反三 41 解：,, ，且 ， . 又 ， . 返回 举一反三 42 课 堂 总 结 探究新知 课 堂 总 结 探究新知 谢谢观看 THANKS $