精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷

广西壮族自治区南宁市第三中学2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列广西著名景点的简笔画示意图中，属于轴对称图形的是（ ） A. 南宁青秀山 B. 三江风雨桥 C. 桂林象鼻山 D. 龙胜龙脊梯田 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，南宁白沙大桥又叫邕江三桥，1995年建成通车，是邕江上一座独塔斜拉桥．大桥横跨邕江，连接江南白沙大道和青秀片区，方便两岸人们出行．其造型美观，结构稳固，塔索的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三线合一 4. 如图，，，若，， 则等于（ ） 　 A. B. C. D. 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 6. 平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A. B. C. D. 7. 如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条高线的交点 D. 分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，是高，、的角平分线与相交于点，与相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在中，，，则的度数是____________． 14. 一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为___________． 15. 如图，在中，，平分，是的中点，若，，则__________． 16. 广西桂西北治旱百色水库灌区工程是国家172项重大节水供水工程、广西桂西北治旱标志性工程，工程配套大量田间管网与监测阀井，通过布设监测点位与通信线缆，实时监测田间土壤墒情．如图是灌区一块直角三角形试验田，在直角中，，，，，，，分别是，，边上可自由选择位置的监测点．现铺设闭合通信线路、、，求的最小值________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解题： （1）计算： （2）解不等式组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标注点的位置，并直接写出点的坐标． 19. 近期，国产大模型强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着、、豆包、讯飞星火等中国大模型的持续发展和广泛应用，中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解．实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为________； （3）补全条形统计图； （4）估计全校“非常了解”国产大模型的应用场景的一共有多少人？ 20. 土圭之法是古代中国测量日影的方法，是古代科学与天文学的重要成就．如图，表与圭垂直，冬至时节表的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求证：； （2）若，日影的长为米，求日影的长． 21. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 22. 截至2026年，公开报道显示，全市电动自行车保有量约574万辆，平均每1.6人就拥有一辆，人均保有量位居全国前列，南宁也素有“电动自行车之城”的美誉．南宁还配套建成了专用非机动车道、专属信号灯、非机动车专属过江通道等设施，形成电动车管理的“南宁经验”，多次获人民日报点赞推广．为积极配合“一盔一带”安全守护行动，某商场欲购进一批头盔（含甲、乙两种型号）满足市民需求，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进这两种型号的头盔共200个，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场预计以甲型头盔元/个，乙型头盔元/个的价格销售完这个头盔，能否实现利润不少于元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区南宁市第三中学2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列广西著名景点的简笔画示意图中，属于轴对称图形的是（ ） A. 南宁青秀山 B. 三江风雨桥 C. 桂林象鼻山 D. 龙胜龙脊梯田 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断各图形是否存在对称轴． 【详解】解：A．该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； C．该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】验证每组较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A. ， 不能摆成三角形． B. ， 不能摆成三角形． C. ， 能摆成三角形． D. ， 不能摆成三角形． 3. 如图，南宁白沙大桥又叫邕江三桥，1995年建成通车，是邕江上一座独塔斜拉桥．大桥横跨邕江，连接江南白沙大道和青秀片区，方便两岸人们出行．其造型美观，结构稳固，塔索的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三线合一 【答案】A 【解析】 【分析】识别图形形状为三角形，结合“结构稳固”的特点确定考查知识点. 【详解】 解：塔索的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，且大桥结构稳固 ， 其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性. 4. 如图，，，若，， 则等于（ ） 　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵，，  ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 6. 平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称点的坐标规律，用到的知识点是：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴的对称点坐标是． 7. 如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条高线的交点 D. 分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【详解】解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是； （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C． 9. 在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：∵在中，为直角，在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等， ∴只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； B、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 故选：D． 11. 如图，在中，是高，、的角平分线与相交于点，与相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，结合高的定义利用三角形外角性质求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， 是高 ， ， 12. 如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在中，，，则的度数是____________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形内角和为，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴． 故答案为：50． 14. 一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角板的角度运用以及三角形的外角性质，先根据三角板的摆放位置得出，，结合三角形的外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵一副直角三角板与按如图所示位置摆放 ∴， ∴ ∴ 故答案为： 15. 如图，在中，，平分，是的中点，若，，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 16. 广西桂西北治旱百色水库灌区工程是国家172项重大节水供水工程、广西桂西北治旱标志性工程，工程配套大量田间管网与监测阀井，通过布设监测点位与通信线缆，实时监测田间土壤墒情．如图是灌区一块直角三角形试验田，在直角中，，，，，，，分别是，，边上可自由选择位置的监测点．现铺设闭合通信线路、、，求的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】利用轴对称性质将三角形周长转化为线段长，结合垂线段最短及等面积法求解． 【详解】 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接、、 ， 由轴对称性质可知，，，，，， ，   三点共线， ， 要使最小，即求的最小值 ， 当时，的值最小 ， 在中，，，， 由面积法可知， 的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解题： （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标注点的位置，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）9 （3）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到； （2）根据割补法求解即可； （3）作关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 略 19. 近期，国产大模型强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着、、豆包、讯飞星火等中国大模型的持续发展和广泛应用，中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解．实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为________； （3）补全条形统计图； （4）估计全校“非常了解”国产大模型的应用场景的一共有多少人？ 【答案】（1）60 （2） （3）如图， （4）1200人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知，A组学生的人数为人，由扇形统计图可知A组人数占总人数的，所以抽取的学生人数为（人）； （2）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为； （3）求出B组的人数，补全条形统计图； （4）用样本百分数估计总体百分数，求出全校“非常了解”国产大模型的应用场景的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，A组学生的人数为人，由扇形统计图可知A组人数占总人数的， 抽取的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，C组人数为人， 扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为； 【小问3详解】 解：比较了解的人数为（人）， 补全条形统计图见答案； 【小问4详解】 解：（人）， 全校“非常了解”国产大模型的应用场景的共约有人． 20. 土圭之法是古代中国测量日影的方法，是古代科学与天文学的重要成就．如图，表与圭垂直，冬至时节表的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求证：； （2）若，日影的长为米，求日影的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解析】 【分析】（1）利用证明两个三角形全等． （2）先利用角平分线定义和已知角度，求出相关角的度数，再结合直角三角形的性质，判定出特殊三角形（如含角的直角三角形），进而求出线段长度，得到的长． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ∵平分， ， ， 在中，，， ∴， ． 21. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 【答案】（1）② （2）的整数值为或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． (1)根据“不均衡三角形”的定义即可求解； (2)分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①， 不能组成“不均衡三角形”； ②， 能组成“不均衡三角形”； ③， 不能组成“不均衡三角形”； ④， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②． （2）①当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； ③当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 22. 截至2026年，公开报道显示，全市电动自行车保有量约574万辆，平均每1.6人就拥有一辆，人均保有量位居全国前列，南宁也素有“电动自行车之城”的美誉．南宁还配套建成了专用非机动车道、专属信号灯、非机动车专属过江通道等设施，形成电动车管理的“南宁经验”，多次获人民日报点赞推广．为积极配合“一盔一带”安全守护行动，某商场欲购进一批头盔（含甲、乙两种型号）满足市民需求，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进这两种型号的头盔共200个，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场预计以甲型头盔元/个，乙型头盔元/个的价格销售完这个头盔，能否实现利润不少于元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． （2）最多可购进乙型头盔个． （3）能实现利润不少于元，共有种采购方案： 方案一：购进甲型头盔个，乙型头盔个； 方案二：购进甲型头盔个，乙型头盔个； 方案三：购进甲型头盔个，乙型头盔个． 【解析】 【分析】（1）根据两组购进数量与总费用的对应关系，列二元一次方程组求解两种头盔的单价； （2）根据总费用上限，设乙型头盔数量为未知数，列一元一次不等式求其最大值； （3）根据利润最低要求列不等式，结合（2）中取值范围，取整数解得到采购方案． 【小问1详解】 解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元，根据题意，得 ， 解得 ， 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． 【小问2详解】 解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，根据题意，得， 解得， 答：最多可购进乙型头盔个． 【小问3详解】 解：由已知条件得，总利润为． 根据题意，得． 解得． 由（2）知，且为非负整数， 可取． 对应的值为， 共有种采购方案： 方案一：购进甲型头盔个，乙型头盔个； 方案二：购进甲型头盔个，乙型头盔个； 方案三：购进甲型头盔个，乙型头盔个． 答：能实现利润不少于元，有三种采购方案：方案一：购进甲型头盔个，乙型头盔个；方案二：购进甲型头盔个，乙型头盔个；方案三：购进甲型头盔个，乙型头盔个． 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， （2）解： 理由：如图，连接，在取点G，使得，连接， 同得， ，，， ， ，即， ， ， ， （3）的值为 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得； 在取点G，使得，连接同得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出； 延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 【详解】略 略 解：的值为；理由如下： 延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 同理可证：，， ，， ， 设，，， 则，，， ，，， ， ，， 即，， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $