精品解析：上海市浦东新区集团联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

浦东新区 周浦育才等九校联考 2026学年九年级第一学期 数学期中考试 考试时间：100分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A. B. C. D.   【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项中图形对应点连线不交于一点，不是位似图形； B选项中两个圆相似，对应点连线交于圆心，是位似图形； C选项中对应点连线交于一点，对应边平行，是位似图形； D选项中对应点连线交于一点，对应边平行，是位似图形． 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与 轴的交点 C. 顶点坐标为 D. 当 时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】A． 二次项系数为负数， 因此抛物线开口向下，不符题意； B． 与 轴的交点为 ，不符题意； C ． 顶点坐标为 ，不符题意． D． 在 左边，又因为开口向下，所以 时，随的增大而增大，符合题意． 故选 D 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答． 【详解】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意； B、，即，不符合题意； C、，即，不符合题意； D、，即，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握“两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例”． 4. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断二次函数与轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断和的正负，通过和的正负判断二次函数的开口方向和与轴的交点位置即可求解． 【详解】解：由可知二次函数图象与轴交于 观察选项A和选项B的一次函数经过一二三象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向上，与轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一二四象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向下，与轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系，和二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 5. 如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，易证，，然后根据相似三角形对应边成比例列出式子，得到，，，再结合比例式逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 抛物线的顶点坐标是________ 【答案】(0，-2) 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为(0，-2)． 故答案为：(0，-2) 7. 点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据题意得到点是线段的黄金分割点，得到，即可得到答案． 【详解】解：点是在线段上，且， 点是线段的黄金分割点， ， 故答案为：． 8. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝6，那么EF的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由知再根据AD∥BE∥CF知即解之可得． 【详解】解：∵ ∴ ∵直线AD∥BE∥CF， ∴即 解得：EF=3， 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例． 9. 已知中，，，，那么的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 10. 如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 11. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________． 【答案】4 【解析】 【分析】将给定的高度与时间的二次函数关系式配方为顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，顶点对应的横坐标即为礼炮升空到最高点的时间，也就是从点火到引爆的所需时间． 【详解】解：对关系式进行配方变形， ∵二次项系数为， ∴该二次函数图像开口向下， ∴当，即时，取得最大值，对应礼炮到达升空最高点的状态， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 12. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是和4，二次函数的图象经过原点，则它与x轴的另一个交点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，先求得对称轴为直线，根据二次函数的图象经过原点，进而得出它与x轴的另一个交点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和4， 即二次函数与的交点为和 ∴的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点， ∴它与x轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设正方形的边长为x，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程求解即可； 【详解】设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可，正确把握相关性质是解题的关键． 【详解】如图所示，过作于点， 由题意可得：，， 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分90分，第16题10分；第17—18题，每题12分；第19—22题，每题14分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线所示． （1）在图1中，先在边上找一点，使； （2）在图2中，作出的重心； （3）在图3中，作出线段的中垂线； （4）在图4中，是边上一点，先画的角平分线，再画点关于直线对称的点． 【答案】（1） 如图，点D即为所求作的点． （2） 如图，点G即为所求作的点． （3） 如图，即为所求； （4） 如图，、点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点M、N，连接，交于点D，即为所求； （2）取的中点E，连接，取与的交点F，连接，与交于点G，则点G即为所求； （3）取格点M、N，连接，则即为所求； （4）根据等腰三角形的三线合一，作出中线，即为角平分线，再利用等腰三角形的轴对称性即可得出点的位置． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中线， ∵， ∴为的中线， ∴点G为的重心； 【小问3详解】 解：连接，，，， ∵， ∴四边形为菱形， ∴垂直平分； 【小问4详解】 解：理由如下， 取格点，使得，取格点， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴是的角平分线, 连接交于点，连接并延长交于点， ∵垂直平分， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 即点是点关于直线对称的点． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 19. 已知：如图，为边上一点，，，与交于点，． （1）求证：； （2）联结，若平分，求证：． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （2），平分， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 化简得，， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由得到，从而得到，然后结合，得到，从而得证，最后利用相似三角形的性质得证结果； （2）先由、平分得到，然后得到，得到，结合（1）中的得到，从而得证结果． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用二次相似得证结果． 20. 综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 21. 平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点 和点，与 轴交于点． （1）求的值； （2）如图 1，是抛物线上一点，，求点的坐标； （3）如图 2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为．设的顶点横坐标为．与轴围成的区域（包含边界）记为，与内部重合的区域（不含边界）记为 ．如果内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点， 时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于的方程求解即可； （3）将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4，求得L的解析式为，由，，得中含，，三个整点（不含边界），根据题目要求内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点，，列不等式组解答即可． 【小问1详解】 解：与x轴交于点， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 令，， 解得或， ，， ，， 令，得， ， ， 设，作轴于点，连接， 当点在第一象限时， ， ，即， ， 解得或（舍去）， 当时，， 的坐标为； 当点在第四象限时，， ， ，即， ， 解得或（舍去）， 当时，， 的坐标为； 【小问3详解】 解：将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4， 新抛物线L的解析式为， ，，， 中含，，三个整点（不含边界）， 当W内恰有2个整数点，时， 即时，，时，， ， 解得， 的取值范围为． 22. 已知中，，E是射线上一点，直线、交于点P，过点P作，交直线于点Q． （1）当点E是中点时（如图），求线段的长度； （2）当点E在线段上运动时，设，，求y关于x的函数解析式； （3）当的长度为多少时，． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质． （1）先根据平行四边形性质得到相关线段长度，再利用相似三角形性质得到线段比例关系，最后根据相似三角形性质求出的长度； （2）先表示出的长度，再利用相似三角形的性质得到线段比例关系，最后再根据相似三角形性质求出y关于x的函数解析式即可； （3）分情况讨论：①当点E在线段上时，结合（2）的函数关系式列出相关线段并构造方程求解；②当点E在的延长线上，点P在的延长线上时，结合（2）的函数关系式并利用相似三角形的性质得到线段比例关系并构造方程求解即可；③当点E在的延长线上，点P在的延长线上时，结合结合（2）的函数关系式并利用相似三角形的性质得到线段比例关系并构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时， ∵，， ∴，即，解得， ∵， ∴； ②如图，当点E在的延长线上，点P在的延长线上时， ，，， ∵， ∴，， ∴，， 又∵，即， 解得， ∵， ∴； ③如图，当点E在的延长线上，点P在的延长线上时， ，，， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区 周浦育才等九校联考 2026学年九年级第一学期 数学期中考试 考试时间：100分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A. B. C. D.   2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与 轴的交点 C. 顶点坐标为 D. 当 时，随的增大而增大 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 抛物线的顶点坐标是________ 7. 点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 8. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝6，那么EF的值是_____． 9. 已知中，，，，那么的长为______． 10. 如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 11. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________． 12. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是和4，二次函数的图象经过原点，则它与x轴的另一个交点的坐标是________． 13. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 14. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 15. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 三、解答题（本大题共7题，满分90分，第16题10分；第17—18题，每题12分；第19—22题，每题14分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线所示． （1）在图1中，先在边上找一点，使； （2）在图2中，作出的重心； （3）在图3中，作出线段的中垂线； （4）在图4中，是边上一点，先画的角平分线，再画点关于直线对称的点． 19. 已知：如图，为边上一点，，，与交于点，． （1）求证：； （2）联结，若平分，求证：． 20. 综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 21. 平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点 和点，与 轴交于点． （1）求的值； （2）如图 1，是抛物线上一点，，求点的坐标； （3）如图 2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为．设的顶点横坐标为．与轴围成的区域（包含边界）记为，与内部重合的区域（不含边界）记为 ．如果内恰好有且只有两个横、纵坐标均为整数的点， 时，直接写出的取值范围． 22. 已知中，，E是射线上一点，直线、交于点P，过点P作，交直线于点Q． （1）当点E是中点时（如图），求线段的长度； （2）当点E在线段上运动时，设，，求y关于x的函数解析式； （3）当的长度为多少时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $