精品解析：河南开封市求实外国语学校2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷

八年级上学期期中考试数学试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列条件不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 下列图形中，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，为了作出，用直尺和圆规作图的方法得到的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知点与点关于y轴对称，则的值为( ) A. B. 1 C. 4043 D. 8. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 9. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 12. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 13. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 14. 和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，，点在x轴上，且≌，则点的坐标为______． 15. 如图，是边长为的等边三角形，动点分别同时从点A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，当____________________时，是直角三角形． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为． （1）求x的取值范围． （2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 17. 下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 18. （1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 19. 如图所示，在正方形网格上有一个 ． （1）作 关于直线 的对称图形（不写作法）； （2）在 上找一点 ，使得 最小； （3）若网格上每个小正方形边长为，求 的面积． 20. 在四边形中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 两车从相距6公里的A，B两地同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，如图所示：分别过点C和点D作和，垂足分别为点E和点F，连接，交于点O，． （1）C，D两地到路段的距离相等吗？为什么？ （2）求C，D两地之间的距离． 22. 如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E． （1）若，，求的长； （2）求证：． 23. 在直线上依次取互不重合的三个点，A，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ． （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当，，点为平分线上的一点且，分别连接，，，，则的周长是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中考试数学试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 根据下列条件不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能作出唯一的，故本选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能作出唯一的，故本选项不符合题意； C、符合两直角三角形全等的判定定理，能作出唯一的，故本选项不符合题意； D、不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的，故本选项符合题意． 3. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 4. 下列图形中，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作的边上的高，需由点A向边上作垂线，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，需由点A向边上作垂线，故A错误； B选项，是点A向边上作垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 5. 如图，已知，为了作出，用直尺和圆规作图的方法得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得，，， ， ． 故选：A． 6. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图：作角平分线及作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握基本尺规作图是解题的关键． 利用基本作图得到平分，利用基本作图可得到D点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，D点为的垂直平分线与的交点， ∴，所以B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， ∴， 所以A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 7. 已知点与点关于y轴对称，则的值为( ) A. B. 1 C. 4043 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点与点关于y轴对称，可得，，然后求出的值，最后代入求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：关于y轴对称的点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 8. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 9. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先根据作图痕迹得出是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点在的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得，，结合三角形内角和是可求得，再结合对顶角相等即可求得，判断C说法正确；根据题意可得点是的内心，判断D说法错误；即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹，可得是的角平分线， ∵点在上， ∴点到边、的距离相等；A说法正确； B、∵平分，平分， ∴点到边、、的距离相等， 即点在的平分线上， ∴平分；B说法正确； C、∵平分，平分， ∴，， 故， ∴；C说法正确； D、∵点是三个角的角平分线的交点， ∴点到边、、的距离相等，不是点到、、三点的距离相等；D说法错误． 故选：D． 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到，根据证得，即可得到②正确；根据三角形外角性质即可得出③正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴，∴①正确； ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴， ∴，∴②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴③正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 12. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D、E分别是，的中点， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 13. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 14. 和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，，点在x轴上，且≌，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、坐标得出、的长，利用全等三角形对应边相等、对应角相等得出、的长及的度数，结合图形确定点的位置. 【详解】解：点，的坐标分别为，， ，，， ， ，，， 点在轴上，且由图可知点在轴正半轴， 点的坐标为， ， 轴， 由图可知点在第四象限， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 15. 如图，是边长为的等边三角形，动点分别同时从点A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，当____________________时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键； 分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】设经过t秒是直角三角形， 则， 在， ∴， 在中，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为． （1）求x的取值范围． （2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （1）直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围； （2）根据三角形是等腰三角形，确定第三边是，进而求出三角形的周长． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系，得，即； 【小问2详解】 解：因为三角形是等腰三角形，且， 所以，第三边只能是， 所以，周长为 17. 下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【答案】；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的等边对顶角及全等三角形的性质与判定可进行求解 【详解】已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：， （等边对等角）． ∵，分别是，的角平分线， ，（角平分线的定义）． 即． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）； 故答案为；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等． 18. （1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出； （2）①根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求解； ②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴， ∴在中，， ∴． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴ 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 19. 如图所示，在正方形网格上有一个 ． （1）作 关于直线 的对称图形（不写作法）； （2）在 上找一点 ，使得 最小； （3）若网格上每个小正方形边长为，求 的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，点即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，轴对称最短路径问题，三角形的面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作出、、关于直线的对称点、、，再连接即可； （）连接交于，则，即得，根据两点之间线段最短，可知此时最小，故点即为所求； （）利用割补法求面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 20. 在四边形中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）75° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行的性质可得，即有，问题随之得证； （2）利用三角形内角和以及等边对等角即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，等角对等边以及角平分线的定义等知识，掌握等边对等角，等角对等边是解答本题的关键． 21. 两车从相距6公里的A，B两地同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，如图所示：分别过点C和点D作和，垂足分别为点E和点F，连接，交于点O，． （1）C，D两地到路段的距离相等吗？为什么？ （2）求C，D两地之间的距离． 【答案】（1） 解：C，D两地到路段的距离相等，理由如下： ∵两车从相距6公里的A，B两地同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地， ∴可得：，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴C，D两地到路段的距离相等； （2）C，D两地之间的距离为公里 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）由（1）可知：，，根据平行线的性质，得出，，再根据等量代换和等角对等边，得出，，再根据等角对等边，得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵， 又∵（公里）， ∴（公里）， ∴C，D两地之间的距离为公里． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22. 如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）的长为2 （2）证明：由（1）知，， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得到两个直角，根据线段和差关系得出的长，利用直角三角形的全等判定定理证明三角形全等，根据全等性质得到的长，进而求出的长． （2）由（1）的全等三角形得到，然后根据角度关系等量代换得到，结合三角形内角和定理推出，进而推出，可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 23. 在直线上依次取互不重合的三个点，A，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ． （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当，，点为平分线上的一点且，分别连接，，，，则的周长是 ． 【答案】（1） （2） 解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． （3）15 【解析】 【分析】（1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据题意得，则有和是等边三角形，得到和，由（2）得，有和，可证得，则有和，即可证明为等边三角形． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，点为平分线上的一点， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， 根据（2）得， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ∴，， ， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为15． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $