精品解析：甘肃省定西市漳县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题(B)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷（B） 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第一章，第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，且，共线， 所以，解得，，所以． 3. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到不等式，求出答案. 【详解】，即， 由，解得，故实数的取值范围是. 故选：A 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算. 【详解】由题意可得， 再由平行线的距离公式得. 故选：B 5. 经过三点，，的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 6. 已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 可知，则，解得，即， 则， 则，可知当时取得最小值，此时. 7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：的交点在第二象限，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】联立两条直线方程求出交点坐标，根据第二象限横坐标负、纵坐标正的特征列分式不等式组，解出的取值范围，再逐一匹配选项． 【详解】由，得，， 因为两直线的交点在第二象限， 所以，即， 解得． 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D不符合． 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，将直线方程分离参数求出直线恒过的定点；选项B，可取时圆心到直线距离大于半径，以此反例否定；选项C，把直线化为斜截式，根据不过第三象限，讨论斜率、截距的数量关系；选项D，求出两圆心距离与两圆半径的数量关系，判断两圆位置关系，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程变形得，令且，解得，，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，取，得，此时直线与圆没有交点，B错误； 对于C，直线的方程变形为，若不经过第三象限，则，解得，C正确； 对于D，圆，即，其圆心为、半径为， 两圆圆心距为，而两圆半径分别为2，3，由知两圆外切，恰有3条公切线，D正确. 11. 如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（ ） A. 当时，的长为 B. 长度的最小值为 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出坐标，代入已知条件算出向量，直接求向量模长，判断选项A；写出长度关于的表达式，转化为二次函数求最小值，判断选项B；利用等体积法转换顶点，分析到平面距离相等，结合同底判断三棱锥体积相等，判断选项C；求出两直线方向向量，利用线线角的正弦公式列方程，通过一元二次方程判别式判断解是否存在，判断选项D． 【详解】已知长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ，，故， ，，则，； 选项A：时，，， 故A正确； 选项B：， 二次函数开口向上，对称轴为， 故最小值， ，故B错误； 选项C：，平面中，即， 点横坐标为，点横坐标为， 则上所有点P横坐标都是，故到平面的距离都是， 同底且高相等，故，故C正确； 选项D：， 设夹角为，则 ，， ， 化简整理得，即， ，方程无实根，不存在这样的，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象变换的知识求得正确答案. 【详解】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到， 即. 故答案为： 13. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量下基底坐标的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在基底下的坐标是， 所以， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 14. 已知过点的直线交圆于两点，且，则满足条件的所有直线的斜率之和为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由题可得点在圆的内部，且点是线段的四等分点.设中点为，则，且为圆心到直线的距离.设直线的斜率为，则其方程为，即，由点到直线的距离公式可得的方程，从而求得满足条件的所有直线的斜率之和. 【详解】如图，设中点为，因为，所以 则， 又，所以， 从而，两式相减得， 从而，从而， 设直线的方程是，即， 从而，即， ， 所以直线的斜率有两解，由根与系数关系可知斜率之和为12． 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直得出斜率，点斜式即可求解； （2）分类讨论利用截距相等求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 ①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 四边形为矩形， ∴，又，平面，平面ADE， 故平面ADE，平面ADE， 又平面BFC， ∴平面BFC平面ADE， ∵平面BFC， ∴∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可； （2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系如图，则， 设平面CDF的法向量为，则，取得， 平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 17. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过点向轨迹作切线，，切点分别是，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据线段长度关系列方程化简；（2）圆心与切点的连线垂直于切线，可得出点，在以为直径的圆上，联立两圆方程可得公共弦方程. 【小问1详解】 设，则由可得， 即，整理得点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知轨迹为圆，设圆心，半径. 因为，与圆相切，所以，则点，在以为直径的圆上， ，的中点为， 所以以为直径的圆的方程为，即. 由得， 即直线的方程为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. （1）求证：； （2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 【答案】（1） 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，，， ，，即. （2）存在， （3） 因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在，使得， 即， 所以， 又因为，且、、不共面， 由空间向量基本定理可得， 因此为定值. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论； （3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在使得平面， 由（1）得，， 设，其中， 则，， 因为平面，平面， 故，平面， 若平面，则只需，解得，， 故存在点，使得平面，此时. 【小问3详解】 略 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）证明:由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动. AI    【解析】 【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，设，，则，， 由，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； 【小问3详解】 点在定直线上运动,证明略. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷（B） 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第一章，第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 7 3. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 5. 经过三点，，的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：的交点在第二象限，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有条公切线 11. 如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（ ） A. 当时，的长为 B. 长度的最小值为 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 13. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是______． 14. 已知过点的直线交圆于两点，且，则满足条件的所有直线的斜率之和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 16. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过点向轨迹作切线，，切点分别是，，求直线的方程. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. （1）求证：； （2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $