精品解析：江苏扬州市仪征市、高邮市2026-2027学年第一学期高一期中学情调研数学试题

2026-2027学年第一学期高一期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合. 则，，故选项ABD错；选项C对. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个选项判断定义域、值域和对应法则是否相同即可． 【详解】A选项中定义域不包括0，与定义域不同．B 选项中定义域不包括0，与定义域不同．D选项中定义域为，与定义域不同．故选C． 【点睛】判断两个函数是否为同一函数主要包括：1.函数定义域相同；2.函数值域相同；3.函数对应法则相同． 4. “”是“二次函数有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】有零点，即，解得或， 故 “”是“二次函数有零点”的充分不必要条件. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，对于函数， 需满足，解得. 所以函数的定义域为. 6. 某工厂机器运转时噪声的声强级为90分贝，经降噪改造后，测得噪声的声强为改造前的．已知声强级（单位：分贝），其中为声强，为基准声强，则改造后的声强级为（ ） A. 0.9分贝 B. 45分贝 C. 70分贝 D. 88分贝 【答案】C 【解析】 【分析】由已知声强级求得声强，再求出改造后的声强，代入声强级公式求出改造后的声强级. 【详解】由已知设声强级，其对应的声强，则，解得，即， 则改造后的声强，其声强级， 即改造后的声强级为分贝. 7. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值为，将对任意恒成立，转化为恒成立，求解可得实数的取值范围. 【详解】，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 所以. 若对任意恒成立， 则，即， 解得. 所以实数的取值范围是. 8. 已知函数 满足：对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，函数在上单调递增，进而结合分段函数单调性求解即可.. 【详解】因为对任意，，当时，都有成立， 所以在上单调递增，所以， 解得，所以实数a的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，A正确； 因为，时，B错误； 因为，，所以，C正确； 因为，所以D错误. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“任何实数都有平方根”为假命题 B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 直线与函数图象的公共点至多有1个 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，负数没有平方根，则命题“任何实数都有平方根”为假命题，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，函数，则， ，则，故C错误； 对于D，直线与函数有两个交点，故D错误． 11. 若定义域为的函数满足：存在区间，使得函数在上的值域仍为，则称函数为“封闭函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为“封闭函数” B. 不存在区间使函数为“封闭函数” C. “，”是“函数”为“封闭函数”的充要条件 D. 若存在区间使函数为“封闭函数”，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据的性质，结合封闭函数的定义即可判断；对于B，可假设存在区间满足题意，可得方程在区间内有两个不同的实根，利用判别式进行判断即可；对于C，利用封闭函数的定义，能找到另一个区间，使得为封闭函数，从而必要性不成立；对于D，利用封闭函数的定义，可得方程在上有两个不同的实根，再利用方程的判别式和韦达定理即可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，，故值域为， 所以是“封闭函数”，故A正确； 对于B，的定义域为， 在和上单调递增， 设存在区间使函数为“封闭函数”，则. 在上单调递增，值域为，则必须有且， 即方程在区间内有两个不同的实根. 方程可化为，， 方程没有实数根，与“有两个不同实根”矛盾，故这样的区间不存在，故B正确； 对于C，充分性：当，时，在上单调递减， ，值域为，所以为“封闭函数”，所以充分性成立； 必要性：令，解得， 取区间，此时在上单调递减，在上单调递增. ，所以的值域为， 所以为“封闭函数”，此时，. 所以“，”是“函数”为“封闭函数”的不必要条件，故C错误； 对于D，的定义域为，且在其上单调递增，故值域为， 所以要使函数为“封闭函数”则必须有. 即方程在上有两个不同的实根. 令，则，方程化为， 所以，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由根式的运算公式求解. 【详解】. 13. 若关于x的不等式的解集为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题得方程有等根2，即求得的值. 【详解】由题得方程有等根2且，则，解得. ∴. 14. 已知函数，，．若时，在上有解，则b的最小值为___________；若时，在上恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 ①. 0 ②. 8 【解析】 【分析】第一问能成立，分离变量求最值；第二问恒成立，两函数共零点得两变量的关系，然后消元利用均值不等式求解. 【详解】∵当时，在上有解. ∴. ∴. 又函数在上为减函数，则当时，取得最小值为0. ∴，即b的最小值为0. ∵当时，函数有一零点. ∴当时，；当时，. ∵当时，在上恒成立. ∴方程有一根为，另一根小于0. ∴，即. ∴（当且仅当时取等号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解. （2）由给定交集的结果，利用集合的包含关系求解. 【小问1详解】 当时，，而，则或 ， 所以， . 【小问2详解】 由，得， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 所以的取值范围为. 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）原式 . （2）因为， 所以， ， 原式. 17. 已知定义在上的函数． （1）用定义证明函数为增函数； （2）求不等式的解集； （3）若命题“，”为真命题，求实数的最小值． 【答案】（1）任取，，且， 因为，，所以，， 又因为，所以，所以，即， 所以函数在定义域上单调递增，即函数为增函数； （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，函数为增函数，则， 解得，即不等式的解集为； 【小问3详解】 命题转化为：“在上的最大值”， 由（1）知函数在上单调递增， 又因，，故函数在的值域为， 又由知函数在的最大值为，所以， 即的最小值为． 18. 已知二次函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对，且，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知的值，将其代入含的方程，联立求解，进而确定函数. （2）根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论函数单调性，求出每种情况下最小值并令其等于，解出并舍去不符合条件的值. （3）由单调性将绝对值不等式转化，构造函数，根据单调性确定在上的单调性，进而求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设函数， 由题知，解得， 所以函数. 【小问2详解】 函数，其图像对称轴为， ①当，即时，函数在上单调递增， 则，令，得（舍）； ②当，即时，函数在上单调递减， 在上单调递增，则， 令，得（舍）； ③当，即时，函数在上单调递减， 则，令，得. 综上所述，的值为1. 【小问3详解】 对，，不妨设，由函数在区间上单调递增得， 则不等式，转化为， 即，令，可知在上单调递减， 即在上单调递减， 所以，解得，即的取值范围为. 19. 随着“双11”的到来，消费者“线上”购买商品的方式和策略也是多种多样，当然不同的购买策略所获得的优惠也各不相同．某消费者做了如下的实验：两次购买同一种物品，采用两种不同的策略． 策略①：不考虑物品价格的变化，每次购买这种物品的数量一定； 策略②：不考虑物品价格的变化，每次购买这种物品的金额一定． 已知该消费者两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的单价分别为，．采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）当，，，时，请计算采用策略①购买的物品总量以及购买物品使用的总金额，采用策略②购买的物品总量以及购买物品使用的总金额； （2）请你协助该消费者完成实验的结论：哪种购物策略比较经济？请写出推理，证明过程． （3）请根据（2）的讨论，写出一个一般性的数学结论．并用此结论解决下面的问题：设，，且，求的最大值． 【答案】（1），，， （2）当，采用两种策略两次购买物品的实际单价时，采用策略①和策略②一样经济， 当时，，采用策略②更经济； 方法一： 记采用策略①两次购买物品的实际单价为，则， 记采用策略②两次购买物品的实际单价为，则， 因为， 故当时，，采用策略①和策略②一样经济， 当时，，采用策略②更经济； 方法二： 当采用两种策略所用金额相同时，即，即， 则采用策略①购买物品的数量为， 采用策略②购买物品的数量为， 因为， 故当时，用相同金额，购买的物品数量一样多，采用策略①和策略②一样经济， 当时，用相同金额，采用策略②购买的物品数量更多，采用策略②更经济； 方法三： 当采用两种策略所购买的物品数量相同时，即，即， 则采用策略①所需金额为， 采用策略②所需金额为， 因为， 故当时，购买相同数量的物品，所需金额一样多，采用策略①和策略②一样经济， 当时，购买相同数量的物品，采用策略②所需金额更少，采用策略②更经济； 【或：】 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据策略①和策略②的具体要求可得； （2）分别求得采用策略①和策略②购买产品的平均价格，再比较大小即可； （3）由，得；由（2）得，所以，求解可得的取值范围，从而得其最大值. 【小问1详解】 由题知，采用策略①时，，， 采用策略②时，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由方法一，可得到结论①： “当，时，，当时等号成立”， 由方法二，可得结论②： “当，时，，当时等号成立”， 由方法三，可得结论③： “当，时，，当时等号成立”， 对于，时，由， 可得， 所以，即（*）， 无论采用结论①②③中的哪一种结论，都可得到（**）， 当且仅当时，等号成立. 将（*）式代入（**）式，得， 即， 解得， 所以的最大值为4，当时取得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A. B. C. D. 4. “”是“二次函数有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂机器运转时噪声的声强级为90分贝，经降噪改造后，测得噪声的声强为改造前的．已知声强级（单位：分贝），其中为声强，为基准声强，则改造后的声强级为（ ） A. 0.9分贝 B. 45分贝 C. 70分贝 D. 88分贝 7. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数 满足：对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“任何实数都有平方根”为假命题 B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 直线与函数图象的公共点至多有1个 11. 若定义域为的函数满足：存在区间，使得函数在上的值域仍为，则称函数为“封闭函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为“封闭函数” B. 不存在区间使函数为“封闭函数” C. “，”是“函数”为“封闭函数”的充要条件 D. 若存在区间使函数为“封闭函数”，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________． 13. 若关于x的不等式的解集为，则___________． 14. 已知函数，，．若时，在上有解，则b的最小值为___________；若时，在上恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 17. 已知定义在上的函数． （1）用定义证明函数为增函数； （2）求不等式的解集； （3）若命题“，”为真命题，求实数的最小值． 18. 已知二次函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对，且，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 随着“双11”的到来，消费者“线上”购买商品的方式和策略也是多种多样，当然不同的购买策略所获得的优惠也各不相同．某消费者做了如下的实验：两次购买同一种物品，采用两种不同的策略． 策略①：不考虑物品价格的变化，每次购买这种物品的数量一定； 策略②：不考虑物品价格的变化，每次购买这种物品的金额一定． 已知该消费者两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的单价分别为，．采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）当，，，时，请计算采用策略①购买的物品总量以及购买物品使用的总金额，采用策略②购买的物品总量以及购买物品使用的总金额； （2）请你协助该消费者完成实验的结论：哪种购物策略比较经济？请写出推理，证明过程． （3）请根据（2）的讨论，写出一个一般性的数学结论．并用此结论解决下面的问题：设，，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $