精品解析：江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高一上学期期中调研测试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高一期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的取值范围是 5. 设函数，若，则（ ） A. 0或2 B. 0或3 C. 2 D. 0或2或3 6. 已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么降温到大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，，.若对任意，，有，则满足时实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则实数的值为1或2 B. 命题“，”的否定是“，” C. 命题“，”是真命题 D. 若集合只有一个元素，则实数的值为1 10. 下列说法中正确的有（ ） A. ，，对任意的，，表示从到的函数 B. 已知函数，则， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 14. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. （1）计算：； （2）已知，求的值. 18. 设函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值； （2）存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19. 对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”.已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）若函数. （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由，，则. 故选：D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，即可得到答案. 【详解】， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质结合特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，取，此时，A错， 对于B，取，此时，B错， 对于C，因为，，， 所以，即，C正确， 对于D，由，，得，D错， 故选：C 5. 设函数，若，则（ ） A. 0或2 B. 0或3 C. 2 D. 0或2或3 【答案】A 【解析】 【分析】由和分别计算求解即可. 【详解】当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 6. 已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 7. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么降温到大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算即可. 【详解】由题意，即，解得， 设降温到大约需要，则， 即，， 所以，解得. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，，.若对任意，，有，则满足时实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由可得出关于实数的不等式，解之即可． 【详解】因为函数的定义域为，对任意的、，， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则，所以函数在上为减函数， 由可得， 所以，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为． 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则实数的值为1或2 B. 命题“，”的否定是“，” C. 命题“，”是真命题 D. 若集合只有一个元素，则实数的值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】由元素的互异性可判断A，由全称量词命题的否定结构可判断B，求解方程可判断C，由，可判断D. 【详解】对于A，若，则或. 当时，，此时，集合元素有重复，不符合互异性； 当时，，此时，集合为，符合题意. 因此，满足条件的实数的值仅为，故A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”正确； 对于C，由可得：，故正确； 对于D，当时，符合，故错误. 故选：BC 10. 下列说法中正确的有（ ） A. ，，对任意的，，表示从到的函数 B. 已知函数，则， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由函数定义可判断A，由配凑法可判断B，由抽象函数定义域求解可判断C，由单调性求最值，可判断D. 【详解】对于A：当，，且唯一，符合函数定义，正确， 对于B，，所以，，正确， 对于C，由，得，则函数的定义域为，正确， 对于D，，由解析式可知函数在定义域上单调递增， 所以当时，得最小值为1，错误， 故选：ABC 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】由得， 则，当且仅当时，取等号，A正确， ， 当且仅当时，取等号，B正确， ， 即，又，为正实数， 得，则的最大值为2，C错误， 由，得且，即， 所以 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为在单调递增， 所以函数在上是单调递增函数， 可得：， 解得， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【小问1详解】 当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 【小问2详解】 ，或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 16. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围； 【小问1详解】 由题可知， 又“”是“”的充分条件，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以且， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 17. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算和对数的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算结合立方和、完全平方公式即可求解. 【详解】（1）原式 （2）因为， 所以，， ， 所以，原式 18. 设函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值； （2）存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）， （2） （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. 【小问1详解】 由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， 【小问2详解】 ， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 【小问3详解】 由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，①当，即时的解集为； ②当即时，由，故解集为； ③当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 19. 对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”.已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）若函数. （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 设任意，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2） （i）判断：函数是奇函数， 证明如下： 由知函数的定义域为，关于原点对称， 由， 当时，， 当时，， 综上，当时，总有， 故函数是奇函数； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明函数的单调性； （2）（i）根据分段函数及奇函数的定义可证明函数为奇函数；（ii）由（1）可得函数单调递减，结合“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，即可得到是方程的两个不等的负实根，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，所以函数， 由（1）知在上单调递减， 因为存在“漂亮区间”，则有解，即， 即是方程的两个不等的负实根， 即方程在有两个不等的实根， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $