精品解析：安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期11月适应性教学质量检测数学试卷

2027届安徽师大附中高三11月适应性教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数得出对应点，再结合旋转得出复数即可求出虚部. 【详解】表示点，顺时针转到第四象限， 对应点为，所以复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答. 【详解】依题意，， 由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或， 所以. 故选：D 3. 设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，由解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点为， 所以， 又因为， 所以， 所以离心率. 故选：C. 4. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 最小正周期为 C. 为图象的一个对称中心 D. 其图象由的图象右移个单位得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】A，由，则， 解得，定义域为， 定义域不关于原点对称，故A错误. B，由解析式可得，故B错误； C，由正切函数的中心对称点可得， 解得，当时，，故C正确； D，的图象右移个单位得到，故D错误. 故选：C 5. 已知定义域为的函数是奇函数，且，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知恒等式和奇函数的性质化简可得函数的周期性，进而计算可求出结果. 【详解】由得:， 又由奇函数得：， 两式消元得：，又由此可得：，再消元得：， 即可得是一个周期为4的周期函数. 由奇函数得：， 所以， 6. 向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【详解】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 7. 已知圆分别经过两点，圆心在直线上．若直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心C为，由解出m，得到圆心半径和圆的方程，直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线距离小于半径，可求实数的取值范围. 【详解】圆心在直线上，设圆心C为． 由题意得，解得． 所以圆心C为，半径． 所以圆C的方程为． 因为直线与圆有两个不同的交点， 所以圆心到直线的距离，即，解得． 所以实数k的取值范围是． 故选：B． 8. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，可证得四边形为平行四边形，即可判断A；因为，所以或其补角为直线与直线BF所成的角，求解可判断B；取的中点，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可判断C；由平面，得BE与平面ABCD所成的角为∠EBC，且，又平面平面，即可判断D． 【详解】设， 对A选项，如图，取的中点，连接， 又E、F分别为和的中点，∴GE∥DC∥AB，且GE＝DC＝AB， ∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG∥BE，AG＝BE， ∵AF∥，AF＝，∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，F，B，E四点共面，故A正确； 对B选项，∵四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角为直线与直线BF所成的角， ∵，∴， ∴直线与直线BF所成的角为，故B错误； 对C选项，取的中点，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形，四点共面， ∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面， ∴平面，∴直线与平面所成的角为，故C正确； 对D选项，∵平面，∴BE与平面ABCD所成的角为∠EBC， 由题意易知，又平面平面， ∴直线BE与平面所成的角为，故D正确． 故选：ACD． 10. 过点的直线交抛物线于两点，直线为坐标原点，直线和分别交于点，记、的面积分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，将直线与的方程联立消去，利用韦达定理，根据可求出，可判断A；利用韦达定理代入化简即可判断B；表示出直线，求出纵坐标，进而可得，，可判断C；利用韦达定理表示出即可求得其最小值，可判断D. 【详解】设直线，将直线与的方程联立得， 消去得，则. 选项A：因为，所以 ， 所以，故A正确. 选项B：易知， 所以，故B错误. 选项C：易知直线的方程为，又，所以， 同理可得， 所以 ，即，故C正确. 选项D：由知， 当且仅当时，取得最小值5，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：圆锥曲线与直线的综合性问题，一般设出直线方程，联立曲线方程消元，利用坐标表示条件或所求，然后结合韦达定理进行求解即可. 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，在C上，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线为，， 在C上，. 故答案为：5. 13. 在数列中，，，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 14. 已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，然后由期望公式可得、的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得. 【详解】由分布列的性质可知，解得， 所以，又，， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤. 15. 目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男 m 20 女 15 n 合计 100 （1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关? （2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，有99.5%的把握认为满意度与性别有关. （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为1 【解析】 【分析】(1)完善列联表，计算的观测值，并与临界值表比对判断； (2)先求出6人中男女生人数，再求出的可能取值及对应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意知，，. 提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关. 由表中的数据可得. 因为， 所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人. 随机变量X的取值为0，1，2 ，，， 故随机变量X的概率分布表为： X 0 1 2 P 故. 16. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证是等比数列，求出，即可得出的通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 17. 在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. （1）证明：平面； （2）已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2） 或 【解析】 【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证； （2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 18. 已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， （1）求双曲线C的方程； （2）求直线AP，AQ的斜率之和； （3）设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案； （3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案. 【小问1详解】 由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. 【小问2详解】 设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. 【小问3详解】 设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 19. 已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）两个，理由： ①在平面内，过点作图象的切线，斜率为， 又点，， 故连线的斜率，连线的斜率， 于是，过点作交轴于，则直线斜率为， 因为，故直线一定交的图像于， ②在平面上，过作平行于的交于，连接． 由，平面不在平面内，所以平面, 同理得平面，且，平面， 可得平面平面， 又平面， 从而平面， 综上，可确定存在两个点满足条件，即，平面． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意：，，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系，以及折叠后存在关系，列方程组求得：与的值，从而求得，再由与轴的交点为，求得，从而求得解析式； （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，连线的斜率，连线的斜率，过点作交轴于，则直线斜率为-2，由可得直线一定交的图像于，②在平面上，过作平行于的交于，连接．可证得平面平面，从而证得平面，故可确定存在两个点满足条件. （3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，通过空间向量法求得二面角的余弦值为，令，，则，即可得解. 【小问1详解】 由题意：，， 当绘有图像的纸片折叠前，有， 于是① 又当二面角的值为时，可得 ，代入上式：② 联立①②，解得：，． 所以， 又与轴的交点为，可得， 由于位于的单调递减区间上，所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设二面角，， 于是，，，， 所以，， 设平面的法向量 于是 令，得 设平面的法向量,则 令，得， 结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为 令, 化简得：, 令，， 于是． 易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以，， 二面角的余弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届安徽师大附中高三11月适应性教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 最小正周期为 C. 为图象的一个对称中心 D. 其图象由的图象右移个单位得到 5. 已知定义域为的函数是奇函数，且，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆分别经过两点，圆心在直线上．若直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 10. 过点的直线交抛物线于两点，直线为坐标原点，直线和分别交于点，记、的面积分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为5 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，在C上，则_________． 13. 在数列中，，，则______. 14. 已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤. 15. 目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男 m 20 女 15 n 合计 100 （1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关? （2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 17. 在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. （1）证明：平面； （2）已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， （1）求双曲线C的方程； （2）求直线AP，AQ的斜率之和； （3）设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 19. 已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $