精品解析：安徽合肥市第一中学2027届高三上学期11月阶段素养检测数学试题

合肥一中2026年秋季学期高三11月素养检测 数 学 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合B，再根据并集的概念即可求出. 【详解】由题意，得，又集合， 根据并集的定义可得，. 故选：A. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的乘法及虚部的定义求复数的虚部. 【详解】由题设，所以复数的虚部为12. 故选：C 3. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，在已知关系式中令求得的值，再根据奇函数的定义求. 【详解】由奇函数的性质知， 令，得，则， 所以. 故选：B 4. 关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 5. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数定义域以及奇偶性分析判断即可. 【详解】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误； 故选：D. 6. 已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（ ）． A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，结合可推导得到，知C正确，并可确定且，根据可确定A正确；由知B正确；求导后，根据导数值可求得D错误. 【详解】对于C，（其中，）， ，即， 整理可得：，解得：，C正确； 对于A，， ， ，是偶函数，A正确； 对于B，， 在处取得最大值，， 即，，B正确； 对于D，， ，D错误. 故选：D. 7. 已知函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数为偶函数，由导数得到函数在上为增函数．利用函数单调性的性质和基本不等式判断即可. 【详解】当时，则，所以，则有； 当时，则，所以，则有； 当时，， 综上，恒成立，所以函数为偶函数； 当时，恒成立，所以函数在上为增函数． 因为函数为偶函数，所以， 因为，所以， 又因为，且，即0， 又因为函数在上为增函数，所以，即， 故选：C． 8. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系求出，可得的值，展开即可求出，判断A；利用两角和的正切公式推出，结合，求出，再用正弦定理，即可判断B；利用三角形面积公式可判断C；利用三角恒等变换可分别求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A，由可知C为锐角，结合， 解得，则， 即，又， 故，A正确； 对于B，由，，可得， 而，即， 则可得， 又，故，解得或， 当时，，而，则角均为钝角，不符合题意，舍去； 故，，故， 由正弦定理得，结合，得， 则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，则， 而，结合，可得， 所以，即， 又，，， 故，则，而， 故，又， 结合，可得，则， 即得，D错误， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则 D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】设出公比后，结合等比数列通项公式与定义计算可得A；分、，结合数列单调性讨论即可得B；由等比数列性质计算即可得C；举出反例可得D. 【详解】设数列公比为，则， 对A：，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，故A正确； 对B：若，则， 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 故数列是递减数列，故B正确； 对C：，则，故（负值舍去）， 故，故C错误； 对D：若，则， 此时数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 10. 函数，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 是的最小正周期 C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据周期函数的定义结合赋值法可判断B的正误，根据函数奇偶性的定义可判断C的正误，根据函数的奇偶性和周期性，利用导数求得在上的最值即可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，而， 故，故的图象不关于对称，故A错误； 对于B，设为的最小正周期， 则对任意恒成立， 令，则，故， 故或，故， 若，因为，而， ，故不是最小正周期. 当时，， 故是最小正周期，故B正确； 对于C，因为， 即，故C正确； 对于D，由B，C项可知为奇函数且是最小正周期，故只需研究在上的最值， 此时，， 故当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，， 因为奇函数，则在上的最小值为， 又是函数的最小正周期，故在上的最小值为，即D错误. 故选：BC. 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过不等式放缩为同结构函数，利用单调性可判断选项. 【详解】因为，所以， ， 令，，所以为增函数，即有， 所以，即. 令，，为减函数，所以，A正确. 由A可知，为减函数，若成立，则，即， 当取接近1的数时，上式不成立，比如，时，左式，而右式，B错误. 令，， 令，，所以为减函数，所以， 即，为减函数. ， 即，所以，C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系求出的值，并根据集合中元素的互异性检验. 【详解】因为，所以，或. 当时，，，所以不合题意； 当时，. 当时，集合，符合题意，不合题意. 故答案为:. 13. 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据奇偶性可求函数的周期，进而利用周期求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 得，所以， 可得， 所以的一个周期为8， 又当时，， 当时，则， 所以， 又是周期为8的奇函数， 则， 故，． 故答案为：， 14. 已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解. 【详解】设，则， 由，得，化简得， 所以或， 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图象可知：到的距离即为最小值， 最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）求； （2）若集合，且是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用并集、补集、交集的定义求解. （2）利用必要条件的定义，结合集合的包含关系求解. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 由或，得， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）知，，由是的必要条件，得， 当时，，即，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． （1）求； （2）设数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，进而根据得，此时可得，，进而得； （2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 又因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 解：因为由（1）得， 所以 所以， ， 两式相减得：， 所以，. 17. 在中，内角的对边分别是，若，且． （1）求和； （2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，求出，由余弦定理及正弦定理得到方程，求出； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，故，则； 因为，， 由余弦定理及正弦定理得：， 所以，解得； 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18. 已知函数． （1）若函数在处与轴相切，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数存在两个极小值点，求证：． 【答案】（1）； （2）的减区间是，增区间是； （3） ，， 由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件， 当时，，，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 时，，时，， 所以在区间和分别有1个零点，设为，， 所以有3个变号零点，分别是， 如下表，（说明是极小值点） 0 0 0 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 且，即， 得，且，即， ， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为，，即可求解； （2）首先求函数的导数，再分和两种情况分析函数，，即可求解函数的单调区间； （3）根据（2）的过程和结果，确定，再确定函数的两个极小值点，结合，即可证明. 【小问1详解】 ，由条件可知，，，得； 【小问2详解】 ，， 设， 当时，恒成立， 当时，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以当时，恒成立， 所以的变号零点由决定， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间是，增区间是； 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）求证：. （2）若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 【答案】（1）证明：令，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以，所以. （2）（i）0； （ii）证明：即证， 下证：当时，总有， 证明：设，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故即成立, 当且仅当时等号成立. 由此不等式有， ， ， 而， 故， 所以. 【解析】 【分析】（1）构造函数，求出导数得出函数单调性进而得出最大值即可证明. （2）（i）通过求导得出的最大值，分析函数的单调性可得到的极小值； （ii）先证明，据此可证题设中的不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），定义域为， ， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，恒成立，在上单调递增， 故的极小值为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2026年秋季学期高三11月素养检测 数 学 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 12 D. 3. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于原点对称 5. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（ ）． A. 是偶函数 B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则 D. 数列是等比数列 10. 函数，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 是的最小正周期 C. D. 的最小值为 11. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________. 13. 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____________． 14. 已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）求； （2）若集合，且是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． （1）求； （2）设数列满足：，求数列的前n项和． 17. 在中，内角的对边分别是，若，且． （1）求和； （2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 已知函数． （1）若函数在处与轴相切，求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若函数存在两个极小值点，求证：． 19. 已知函数. （1）求证：. （2）若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $