对数及对数函数培优训练卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数及对数函数培优训练卷 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 2.（26-27·湖南长沙·阶段检测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·北京东城·阶段检测）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4.（26-27·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5.（26-27·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.（26-27·湖南·阶段检测）的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27·四川达州·阶段检测）下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 10.（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点，则（   ） A．O，C，D三点共线 B．梯形CDNM的面积为梯形ABNM面积的2倍 C． D．当轴时，点A坐标为 11.（25-26高一上·云南红河·期末）定义双曲函数：（其中e为自然对数的底数，）．记函数，则下列说法正确的是（   ） A．是定义域为的偶函数 B． C．在区间上单调递增，在上单调递减 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27·江苏·阶段检测）已知，若，，则______． 13.（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 14.（26-27·湖北荆州·阶段检测）已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27·安徽·阶段检测）已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 16.（满分15分） （26-27·山东潍坊·阶段检测）已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）的值域是全体实数R，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 17.（满分15分） （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，. （1）当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） （2）若函数在为增函数，求实数t的取值范围； （3）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 18.（满分17分） （26-27·山东德州·阶段检测）已知函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 19.（满分17分） （25-26高一上·江西赣州·期末）对于函数和，若存在两不相等的实数，使得和同时成立，则称函数和为“相依函数”. （1）若函数，判断和是否为“相依函数”，并说明理由； （2）已知函数， ①若和为“相依函数”，求实数的取值范围； ②若，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，当时，是否存在正整数，使得不等式恒成立；若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 对数及对数函数培优训练卷 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由则，利用换底公式得到，因为， ，所以.故选：D 2.（26-27·湖南长沙·阶段检测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【详解】要使得有意义，则，解得，则的定义域关于直线对称．又 ，所以的图象的对称中心为．故选：C 3.（26-27高一上·北京东城·阶段检测）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意，对一切都有，分两段讨论. 当时，需恒成立.记，其图象开口向上、对称轴为.若，则在上单调递减，最小值为， 由得，即；若，则最小值为，由得， 即，结合得.所以由这一段得.当且时，因为，所以；又，故也成立.综上，实数的取值范围为.故选：C 4.（26-27·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【详解】由题意得，函数的定义域需满足，解得或.令，其定义域满足或，解得，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误；令，其定义域满足或，解得， 关于原点对称，又， ，所以是奇函数，C正确，D错误.故选：C 5.（26-27·吉林·阶段检测）设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则，所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则，所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得．故选：D 6.（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根，因此，解得或；由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A 7.（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则，因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以，因为在单调递增，故，即，解得；综上，实数的取值范围为.故选：A 8.（26-27·湖南·阶段检测）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由可知， ，由于，当且仅当时等号成立，故，结合，则，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时取等号，故的最大值为.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27·四川达州·阶段检测）下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【详解】由幂函数定义得，则，解得或， 已知函数在区间上单调递减，则，故，综上可得，故A正确； 定义域，中，令，则，故函数的定义域为，故B正确；外层函数在上单调递减，复合函数整体在单调递增，则内层函数在上必须单调递减，且恒成立，故，最小值在处，，解得， 综上可得，，故C错误；函数的值域为，则能取遍所有大于0的实数，若，，一次函数可取全部正数；若，，解得； 若，开口向下，无法取得所有正数，舍去；综上可得，，故D正确．故选：ABD 10.（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点，则（   ） A．O，C，D三点共线 B．梯形CDNM的面积为梯形ABNM面积的2倍 C． D．当轴时，点A坐标为 【详解】设，，则，，∵三点共线，∴，即，，则，即，∴三点共线，A选项正确；∵，∴，同理， ，B选项正确；由前面分析，，当且仅当，即时取得等号，显然等号取不到，故C错误；当轴时，，则，即， 又∵，∴，∵，∴，则， ∴，，即，D选项正确.故选：ABD. 11.（25-26高一上·云南红河·期末）定义双曲函数：（其中e为自然对数的底数，）．记函数，则下列说法正确的是（   ） A．是定义域为的偶函数 B． C．在区间上单调递增，在上单调递减 D．不等式的解集为 【详解】对于的定义域为，因为，都有，且 ，，所以，是定义域为的偶函数，故A正确；对于B，因为是定义域为的偶函数，所以，故，又， 所以，因此，故B正确；对于C，当时，，因为， 所以，故，令，所以，且对称轴为，当时，单调递增，当时，单调递增，所以在上单调递增，由偶函数对称性，得在上单调递减，故C错误；对于D，当时，不等式可化为，令，则，解得或（舍去），因此，即，令，则，即， 解得（舍去），故，解得，又是定义域为的偶函数，因此也满足不等式，所以不等式的解集为，故D正确．故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27·江苏·阶段检测）已知，若，，则______． 【详解】设，因为，所以.由换底公式，.代入已知条件，得.得，整理为.得或.因为，舍去，所以，即，因此.，将代入右边，得.化为.因为底数，指数函数单调递增，所以指数相等：.联立与，得，即，.因为，所以，代入 得.. 13.（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【详解】由，则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且，则，即，解得， 所以，又是奇函数，且其定义域为，则，解得，所以，又在上单调递增，而在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上的最大值为． 14.（26-27·湖北荆州·阶段检测）已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 【详解】设，因在上连续，则在上连续， 且，即函数为上的偶函数.由可得，若，则可取遍一切实数，即对于，即为常函数.因，则①，又因②，将代入①，得，将②代入上式，可得，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27·安徽·阶段检测）已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增，故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立.则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则，当，即时，取最大值4.“对，都有”等价于对恒成立，即，则，即对恒成立.易得在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，即的取值范围为. 16.（满分15分） （26-27·山东潍坊·阶段检测）已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）的值域是全体实数R，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由得，则，因为，且，解得：. （2）由的值域为，则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上，所以，可得或，即. （3）在上单调递增，由可得：对任意恒成立，对任意恒成立等价于对任意恒成立， ，令，因为， 则，在时为增函数，∴，∴，又∵，∴.综上所述，实数的取值范围是. 17.（满分15分） （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，. （1）当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） （2）若函数在为增函数，求实数t的取值范围； （3）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当实数时，因为都是上的增函数，所以函数为上的增函数； （2）设，且，则 ∵函数在上为增函数，∴恒成立又∵，∴，∴恒成立，即对恒成立当时，的取值范围为，故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立，又∵上式对任意都成立，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，∴由题意，可得对任意恒成立，∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立，得在恒成立， 又在上的值域为，故.又有意义，有，所以. ②由，得，得， 得，得，得，∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为，∴，由①②得，实数的取值范围为. 18.（满分17分） （26-27·山东德州·阶段检测）已知函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 【详解】（1）因为的图象关于点对称，所以，即，即，即，所以，解得，当时，，此时函数的定义域为，不符合题意.经检验，符合题意.综上所述，. （2）由（1）得．由可得或，即函数的定义域为，因为函数在和上单调递增，在上单调递增，所以在和上单调递增．若在上单调递增，则或，解得或或； 若在上单调递减，则或，解得． 故的取值范围为． （3）假设存在，使得在上的值域为． 因为在上单调递增，所以，即， 所以，即、是关于的方程的两个不相等的实数根． 由，，，得，，所以，所以关于的方程有两个大于的不等实根，所以，解得．故存在符合题意的，且的取值范围为． 19.（满分17分） （25-26高一上·江西赣州·期末）对于函数和，若存在两不相等的实数，使得和同时成立，则称函数和为“相依函数”. （1）若函数，判断和是否为“相依函数”，并说明理由； （2）已知函数， ①若和为“相依函数”，求实数的取值范围； ②若，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，当时，是否存在正整数，使得不等式恒成立；若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由得：，则，因为，即，即， 将代入：则​，化简得：， 判别式，方程无实数解。因此，和不是相依函数； （2）①的定义域为，因为， 故是奇函数，当时，是单调递增函数，则是单调递减函数， 则在上单调递减，根据奇函数的性质可得：在上是单调递减函数，由，可得，结合单调性得。 又，故。此时，即，因此相依函数的条件转化为：存在，使得成立；代入：，整理得： ，令，则，因为，则，且。 代入上式得：，即设函数（），在上单调递减，故，且当时，。因此，实数的取值范围为； ②根据题意可得：,因此： ​令，则时，时， 求和项变为，由是奇函数，，且，故互为相反数的项相加为0， 即：.因此，化简为：​., 令，则，该二次函数在上单调递增，故：,即，要使对任意恒成立，只需， 解此不等式：,解得：.​所以存在正整数使得不等式恒成立，且的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $