第四章 指数函数与对数函数限时训练卷02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学指数函数与对数函数单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查函数性质、图像分析及实际应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|指数/对数函数奇偶性（第1题）、单调性（第5题）|结合“进步/落后”率实际情境（第2题），多选（第9-11题）考查批判性思维| |填空题|3题15分|函数定义域（第12题）、方程根（第14题）|多空设计，考查数学抽象与模型意识| |解答题|5题77分|函数性质综合（第15题）、不等式与多解问题（第19题）|分层设问，如第19题三问从解析式到恒成立再到多解，培养逻辑推理与运算能力|

第四章 指数函数与对数函数限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数为偶函数，则（   ） A．-1 B．1 C．1或-1 D．1或-1或0 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对a的可能整数值逐一验证. 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，均有。 当时，，定义域为，关于原点对称，对任意，都有，满足偶函数定义； 当时，，定义域为，关于原点对称， ，满足偶函数定义； 当时： ，定义域为，关于原点对称， ， 满足偶函数定义； 综上，或或 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得，，， 原式化为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 4．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 5．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 6．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【分析】根据函数周期的定义、偶函数单调性的性质，结合函数零点的定义、指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图象与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 7．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题的关键是将方程根的问题转化为复合函数的零点个数问题，利用函数图象对参数进行分类讨论求解. 8．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，若都有成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再结合单调性得出对恒成立，最后利用基本不等式求最值. 【详解】任取，且， 则 ， 因为，所以， 因为，所以，则， 则在上增函数单调递增， 因为在为增函数，所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， ， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 因为，所以， 则， 等号成立时， 则，则实数m的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 【答案】ABC 【分析】由可判断A；由可判断B；计算可得判断C；由结合对称性可判断D. 【详解】对于A，定义域为， 因为， 即 ， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，因为，显然， 故不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，由前面推导得 ， 即图象关于点成中心对称， 在对称区间上，设最大值为 ，则最小值为 ， 故最大值与最小值之和为，D正确. 10．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 11．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有个不等实根，则或 【答案】ACD 【分析】代入函数解析式计算可判断A选项；取，求出函数的最小值可判断B选项；利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求出的范围，可判断C选项；分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 故，故A正确； 对于B选项，不妨取，则， 当时，，故函数在上单调递减， 此时， 当时，， 综上所述，当时，函数存在最小值，且最小值为，故B错误； 对于C选项，若是上的减函数， 则函数在上单调递减，则，解得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得. 综上所述，若是上的减函数，则实数的取值范围为，故C正确； 对于D选项，当时，， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 故当且方程恰有个不等实根时，或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·山西·开学考试）设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 13．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 14．（26-27高二上·广东梅州·开学考试）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】令 ，先确定方程 的根的个数，再把原方程转化为关于 的二次方程．要使关于 的原方程有 个根，关于 的二次方程必须有两个不同的根，且这两个根都在 内，再利用二次函数根的分布求 的取值范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令 ． 当 或 时，方程 有 个根； 当 或 时，方程 有 个根； 当 时，方程 有 个根． 原方程可化为 要使原方程有 个根，关于 的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于 ． 令 因为二次项系数为正，所以需满足， 由此得 故 的取值范围为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 得到的定义域为． （2）由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． （3）①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 16．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知（且）是定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义，即可求解参数值； （2）利用函数单调性，将函数不等式问题转化为自变量大小关系问题，即可求解； 【详解】（1）（方法一）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 则， 得. （方法二）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 解得. 经检验，当时，是奇函数，故. （2）由（1）可知，. 由，，解得， 则是上的增函数. 由，得. 因为是上的增函数，所以，即. 令，易得是上的增函数，且， 所以由可得，则原不等式的解集为. 17．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对称性有求参数值，再验证函数定义域是否关于点对称，即可得； （2）问题化为“，”是真命题，即，结合指数函数、二次函数及分式型函数的性质求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，，即， 所以，恒成立， 所以恒成立，则，解得，或（舍去）， 所以，此时， 由，得定义域为，满足关于点对称，故； （2）因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即“，”是真命题， 即， 又，令，则， 所以，， 因为在区间上单调递增， 当，即时，， 易知函数在区间上单调递减， 所以， 所以时，取得最小值6， 所以，即的取值范围是. 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知定义在上的偶函数 ，且 ． (1)求实数的值； (2)设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值. （2）由（1）求出函数，进而求出在上的最小值，由给定条件建立不等式并分离参数，利用单调性求出最小值即可. 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得， 则 ， 整理得 ， 因此 ，解得，所以实数的值为. （2）由（1）知， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， ，由对任意的，存在，使得， 得函数在上的最小值不小于函数在上的最小值， 因此存在，使得 ， 即存在，成立，令 ，， 函数， 在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上的最小值为，则， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出二次函数 的解析式，再根据条件求出它的待定系数；（2）通过换元法，把原不等式化为在上恒成立，继续利用换元法，从而得到；（3）通过换元法，把问题转化为，要求 在 有两个不等实根. 【详解】（1）设二次函数 ，故 是偶函数 对称轴为 ，即 因此 ，，所以，得 得 ，所以 （2）由(1)得 . 令 ，，故 ， 不等式在上恒成立 即在上恒成立，所以，从而 ， 在上恒成立， 设 ，， ， 在 单调递减， ， 要 恒成立，则，所以 （3）令 ，则 ，且一个 对应两个 （）； 只对应一个 ，要有四个不同实数解，等价于：关于 的方程在 内有两个不等实根，代入 ，即 ， 整理得， 记 ，要求 在 有两个不等实根，满足 ， 恒成立， 对称轴 ， ，， 综上，实数 取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数为偶函数，则（   ） A．-1 B．1 C．1或-1 D．1或-1或0 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 4．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 7．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，若都有成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C． D．对任意的，的最大值与最小值之和为4 10．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 11．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有个不等实根，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·山西·开学考试）设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 13．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 14．（26-27高二上·广东梅州·开学考试）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为_________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 16．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知（且）是定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)若，求不等式的解集. 17．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知定义在上的偶函数 ，且 ． (1)求实数的值； (2)设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $