精品解析：广西壮族自治区贵港市贵百河联考2026-2027学年高二上学期10月自主练习数学试题

高二自主练习 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出. 【详解】解：∵向量，， ∴， ∵，∴， 解得. 故选：D. 3. 圆的圆心坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案. 【详解】由题可知，圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为3， 故选. 4. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若“”，则，注意验证直线是否重合. 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则运算求解． 【详解】解：在平行四边形ABCD中， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ． 故选：B． 6. 已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】，即， ∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 7. 若点在函数的图像上，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在函数的图像上，换元后分离常数得，结合不等式性质求结论. 【详解】点在函数的图像上，则， 因为，所以，即. 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【详解】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 已知空间的三个不共面向量，，，若，则、、、四点共面 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A利用向量数量积的定义及钝角余弦值为负即可判断；选项B利用向量数量积为推出线面平行或线在面内，注意区分线面垂直的条件；选项C将基底问题转化为判定三个向量线性无关，通过设线性组合为零建立方程组，若只有零解则构成基底；选项D利用空间四点共面的充要条件，即且系数和进行判断. 【详解】对于选项A：设非零向量的夹角为，若为钝角，则， 由向量数量积公式，且， 所以必有，故A正确； 对于选项B：直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以， 这只能说明直线平行于平面或直线在平面内，推不出，故B错误； 对于选项C：假设存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一组基底，所以它们线性无关，从而必有， 解得，，因为方程只有唯一零解， 所以向量线性无关，它们也是空间的一组基底，故C正确； 对于选项D：由已知等式，即， 根据空间四点共面的充要条件：若四点共面， 则存在实数使 ，且满足， 而本题中系数之和为，所以四点不共面，故D错误. 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，将点代入直线检验，即可判断正误；对B，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解；对C，根据条件，求出平面的法向量及内一个点的坐标，再由点面距的向量法，即可求解；对D，根据条件，求出直线的方向向量及平面的法向量，再由线面角的向量法，即可求解. 【详解】对于A，因为直线的方程为，则， 所以点不在直线上，故A错误； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为， 又平面的方程为，所以平面的法向量为， 所以， 则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内，所以， 设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量； 又平面的方程为，所以平面的法向量； 设直线的方向向量为，则有， 取，则，又因为平面的方程为， 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则， 所以，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再结合直线过已知点，利用点斜式即可求得直线方程. 【详解】将已知直线化为斜截式，得其斜率. 若两条斜率存在的直线互相垂直，则斜率乘积为，因此所求直线的斜率. 已知所求直线过点，代入直线的点斜式方程得， 即. 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称时， 横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原数的相反数． 已知点，则其关于坐标平面的对称点为， 故． 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角； （2）若，，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用空间向量的数量积公式和模长公式求出夹角的余弦值，结合范围得出夹角； （2）先求出的坐标，利用向量平行的坐标表示求出 的值，最后代入模长公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； 【小问2详解】 由题意知， 因为，且， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得，，， 所以，所以. 16. （1）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的标准方程并判断点与圆的位置关系； （2）若圆关于直线（，）对称，求的最小值． 【答案】（1）圆的标准方程为，点在圆外；（2）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点和，求出圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）根据对称性可得圆心在直线上，代入可得，利用基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为， 设圆的标准方程为， 将点和代入上式可得， 解得，所以圆的标准方程为， 将代入可得，故点在圆外； （2）圆关于直线（，）对称， 故圆心在直线上，即， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 如图，在平行六面体中，与交于点，记，，，满足，，，． （1）用表示，并求的长度； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理可得，两边平方，结合数量积公式进行求解模长； （2）表达出，利用计算出夹角余弦值 【小问1详解】 四边形为平行四边形，与交于点， 故为与的中点， ， 因为，，，． 所以 ， 所以； 【小问2详解】 ， 故 ， ， 故， 设直线与所成角为， 则， 故直线与所成角的余弦值为. 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； （2）点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； （3）若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 【答案】（1）由题意得， 则，解得， 故直线恒过定点. （2）. （3）三角形面积的最小值为，此时直线的方程. 【解析】 【分析】（1）先整理方程，再列等式求解即可； （2）先求出的斜率，根据题意求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出； （3）设直线方程为，再利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则，解得， 故直线恒过定点. 【小问2详解】 点到动直线的最大距离，当且仅当时，距离取最大值， ，直线的斜率满足，即， 又直线恒过定点，，即. 【小问3详解】 设直线方程为，又直线恒过定点，， 利用基本不等式得，可得, 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即， ，所以三角形面积的最小值为. 19. 在梯形中，，，，为上一点，且（如图1）．将沿折起到位置，使得二面角的大小为（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为在梯形中，， ，， 又， ，在中，解得， 又，， 又平面且，平面. （2） （3）存在点， 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理和勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再代入公式即可； （3）设，求出，直线的方向向量与平面的法向量，再代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，， 又平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，. 【小问3详解】 设，，， ， 又， 设平面的法向量为，， 令，则，故平面的法向量为， 又直线与平面所成角的余弦值为，该线面角的正弦值为， ，化简得, 解得，舍去；， 故存在点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二自主练习 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 4. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若点在函数的图像上，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的纵截距相等，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 已知空间的三个不共面向量，，，若，则、、、四点共面 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 13. 已知点关于坐标平面的对称点为，则__________． 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角； （2）若，，求； 16. （1）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的标准方程并判断点与圆的位置关系； （2）若圆关于直线（，）对称，求的最小值． 17. 如图，在平行六面体中，与交于点，记，，，满足，，，． （1）用表示，并求的长度； （2）求直线与所成角的余弦值． 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点坐标； （2）点到直线的最大距离时，求此时直线的方程； （3）若直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，求三角形面积的最小值（为坐标原点），并求此时直线的方程． 19. 在梯形中，，，，为上一点，且（如图1）．将沿折起到位置，使得二面角的大小为（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $