广西壮族自治区百色市靖西市靖西中学2026-2027学年高二上学期11月阶段诊断数学试题

2026-2027学年高二阶段诊断 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线誉-y2=-1的渝近线方程为（) A.y=±4X B.y=±2X C.y=±2x Dy=±4X 2椭园y=1的焦点坐标是 A.(±6，O B.(±2,0) c.(0±6) D.(0,±2) 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是AB,CC1的中点，则直线A1E与平面 B1D1F所成角的正弦值是( A 5 B.5 C D.30 10 10 4.“m0”是“方程mx2+y2=1表示双曲线”的( A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页共14页 5.已知直线yo+m(m为常数)与圆X+y=4交于点M,N,当k变化时，若1MW|的 最小值为2，则m-() A.±1 B.±√2 C.±√3 D.±2 6.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北 京市文化官于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地 上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为√2的圆，圆心到伞柄底端距离为√2，阳光照射油 纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端 正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为() A.2-3 B.√2-1 c.V3-1 D吗 7.已知直线(3+2)x+(3入-2)y+5-入=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+y+3)2= 16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为() A.(X-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(X-2)2+(y+3)2= 18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 8.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中 点，FM=MA,则线段OM的长机) A.3V2 B.V19 c.2V5 D.21 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求， 9若a∈{-2,0,1，}，方程+2+2aX+2ay+2a+a-1=0表示圆，则a的值可 第2页共14页 以为( A.-2 B.0 C.1 10.如图，棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则 () A.B1C1平面A1CM B.AN⊥A1C C.B1到平面A1CM的距离为45 D.直线A1M与B1C1所成角的余弦值为5 11.在正方体ABCD-ABGD中，P是线段AC上一点，则∠APD的大小可以为( ) 3π A. 4 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为(1,2,2)，且1/a,那么 m= 13.已知向量a=(1,0,2),b=(2,1,1),且(ma+b)1(a-b),则实数 m= 14.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，点P是平面ABC内一个动点，且满 足PD+PB=2+V,则点P的轨迹长度为 第3页共14页 四、解答题 15.已知在△ABC中，A(0,-2),AB边上的高所在直线的方程为3x+y-14=0,AC 边上的中线所在直线的方程为x+y-2=0. (1)求B,C两点的坐标： (2)求△ABC的外接圆方程 16.已知圆C经过三点O(0,0),P(4,0),Q(3,√3)， (1)求圆C的标准方程； (2)若过点D(3,5)的直线l与圆C交于A,B两点，且IAB引=2√3，求直线I的方程 17,设F1,F2分别是椭圆E:兰+点2=1(a>b>0)的左、右熊点，过点F1的值线交椭 圆E于A,B两点，IAF1I=3BF1I (1)若AB1=4,△ABF2的周长为16，求|AF2: (2)若cos_AF2B-弓，求椭圆E的离心率 18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点， 且DE∥BC,DE-2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.若M 是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小 图1 图2 19.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2,AF=1. B (1)求直线DE与平面BDF所成角的余弦值： (2)线段EF上是否存在点M使得AM⊥平面BDF？若存在，求出 EM 的值：若不存在， 请说明理由. 第4页共14页 答案 一、单选题 1.c【解析】由双曲线经-y2=1,得a2=4,b2=1, 故a=2,b=1.由双曲线渐近线方程形式得y=±名x=±号x. a 答案为C 2.B【解析】c=√5-1=2，可得焦点坐标为(-2,0)和(2,0) 故选：B. 3.D【解析】设正方体的棱长为2，以A为原点，分别以AD,AB,AA1所在直线为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,2),E0,1,0),B1(0,2,2),D1(2,0,2), R2,2,1),所以A1E=(0,1,-2),B1D1=(2,-2,0),B1F=(2,0,-1).设平面B1D1F 的法向量为n=(x,y,),则 nB1Di=0,即2x-2y=0,取x=1,则y=1,z= 即以 n-B1F=0,2x-z=0, 2,即平面B1D1F的一个法向量为n=(1,1,2).设直线A1E与平面B1D1F所成的角为0， 则sn0=osn.AE)1高- 4,fe x22 4.C【解析】因为m0,所以m,n均不为0且异号，方程mx2+y2=1可化为i+ m x22 =1因为站与异号，所以方程三+有=1表示双蓝线，故“m-0”是“方程m*+n m n x22 =1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+y2=1表示双曲线，其方程可化为ī+1 m n =1,则可知品与号异号，则必有m0,故“mn0是“方程mx+n=1表示双曲线” 第5页共14页 的必要条件.综上可得，“m<0”是“方程mx2+y2-1表示双曲线”的充要条件」 5.c【解析】由题可得圆心为(0,0)，半径为2， m 则圆心到直线的距离d= √2+1 则弦长为MM=24-尺+1' 7 则当k=0时，MW取得最小值为2√4-7=2，解得m=±√3 故选：C 6.A【解析】设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,伞的圆心为O,伞柄底端为F(椭圆焦点)， 则1OFI=√2，伞沿半径OB=√2(B为伞沿上一点). 由几何关系，a+c=1BF1=V(2)2+(V2)2=2. 阳光与地面夹角为60，在△ABC中，正弦定理”%-品 sin75°=sin(45°+30°)=62，sin60°=号，代入得a=1+言 4 又a+c=2,故c=1-后 1室-2-5. 离心率和=会 故答案为：A. 7.B【解析】由(3+2)x+(3A-2)y+5-λ=0， 得(2x+3y-1)A+(3x-2y+5)=0, 2x+3y-1=0, 则 3x-2y+5=0, x=-1, 解得y=1 即R-1,1). 圆C:(x-2)2+y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)， ∴Pq=V(-1-2+(1+3刅=5，即=5， 第6页共14页 .所求圆的标准方程为(x-2P+(y+3)2-25,故选B. 8.B【解析】由题意可建立以D为坐标原点，分别以DA,DC,DE所在直线为x轴，y轴， z轴的空间直角坐标系（图略）， 则E0,0,6),6,0,6),B6,6,0),M6,0,4),C3,3,3),A(6,0,0), 所以OM1=V(6-3)2+(0-3)2+(4-3)2=√19， 即线段OM的长为V19.故选B. 二、多选题 9.ABD【解析】根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2+(2a)2-4(2+a-1)>0,解得1， 又a∈{-2,0,1，引，则a的值可以为-2.0，子 10.BCD【解析】以AC的中点O为原点建立空间直角坐标系， 由棱长为2得A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),A1(0,- 1,2),B1(V3,0,2),C1(0,1,2), M(,-,0),N(W3,0,1). 2孙 B M B xY 由坐标得B1C1=(-√31,0)，AN=(V3,1,1),A1C=(0,2,-2), A1M=(,3,-2),A1B1=(W3,10). 设平面A1CM的法向量为n=(X,y,z), 由元.A1C=0得2y-2z=0,由n:A1M=0得×+y-22=0, 2 取y=z=V3得n=(3,V3,3). 对于选项A:因为B1C1·n=-2V3≠0，所以B1C1与平面A1CM不平行，故A错误 第7页共14页 对于选项B:因为AN·A1C=0,所以AN⊥A1C,故B正确 对于法项C点B1到平面A1CM的距离为d-丛@-5故C正晓 对于选项D:设直线A1M与B,C,所成角为0则cs0=BC-票故D正确 A1MHB1C1l 故选：BCD 11.BD【解析】以点A为坐标原点，AB、AD、AA所在直线分别为x、y、z轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， ZA D 设正方体4BCD-ABGD的棱长为1，则A(00,0)、G(111)、A(001)、D(010), 设点P(2,,),其中0≤1≤1，则PA=(-,-,1-),DP=(-,1-,-), P4P0_2-211-)-32-21=1-。 1 所以， COS∠APD= P4P阿22+1-32-21+1322-2+1， x-a1- 所以， mg=12[引 因为0s∠AP9s几，所以，骨∠APg≤. 故选：BD 三、填空题 12. 第8页共14页 -8【解析】已知直线的方向向量ā=(2，m,1),平面α的法向量n=(1,2,2). 因为11a,所以a.n=2×1+m×号+1×2=0，即2+罗+2=0. 解得m=-8. 13.2【解析】由a=(1,0,2),b=(2,1,1) 得ma+b=m(1,0,2)+(2,1,1)=(m+2,1,2m+1). a-b=(1,0,2)-(2,1,1)=(-1,-1,1). 因为(ma+b)⊥(a-b),所以(ma+b).(a-b)=0. 代入坐标展开得：(m+2)(-1)+1×(-1)+(2m+1)×1=0. 化简得-m-2-1+2m+1=m-2=0,解得m=2. 故答案为：2 14. 2T【解析】连接BD,因为四边形ABCD为正方形，则BD⊥AG, D QDD⊥平面ABCD,AC1c平面ABCD,则AG⊥DD, 因为且D∩D0=A,BD,DDc平面BDD,∴.AG⊥平面BDD BDc平面BDD,∴.BD⊥AG, 同理可证BD⊥AB,:AB∩AG=A,AB,AGc平面ABC,∴.BD⊥平面ABC, 设BD∩平面ABC=E,连接PE、BE, 因为AB=BC=AG=3√2，AB=BB=BG,所以三棱锥B-ABC为正三棱锥， 则E为VABC的中心，则BE= =√6 第9页共14页 且VABG内切圆半经6-方E-西 2 所以BE=VBR-BE=V3,BD=33,DE=BD-BE=23, ·BD⊥平面ABC,PEc平面ABC,∴.PE⊥BD,即BE⊥PE,DE⊥PE, 因为PD+PB=2+√3，即√PE+12+√P+3=2+√3，PE>0,解得PE=1, 所以点P的轨迹是半径为1的圆，因为5>1，所以点P的轨迹长为2x1xπ=2红. 四、解答题 15. 解：(1)AB边上高的斜率为-3， 则kAB=3直线AB:y+2=}x,即y=x-2. 联立少=x-2 x十y一2=0消y得x+x-2-2=0,专x三4 x=3,代入得y=-1,故B(3,-1) 设C(x,y),AC中点(，2)在中线x+y-2=0上， 即暗+号-2=0，化简得x+y=6①. 又AB边上高3x+y-14=0过C 所以C在高所在直线上，即3x+y-14=0②】 ∫x+y=6 联立①2,3十y°14相减得2X=8,x=4,则y=2, 故C(4,2) (2)设外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 代入A(0,-2),B(3,-1),C(4,2): 代入A:0+4+0-2E+F=0,即F=2E-4. 代入B:9+1+3D-E+F=0, 将F=2E-4代入得10+3D-E+2E-4=0,即3D+E=-6①. 代入C:16+4+4D+2E+F=0, 将F=2E-4代入得20+4D+2E+2E-4=0, 第10页共14页 即4D+4E=-16,化简得D+E=-4②. 联立①2， 0二46，相减得2D=-2,D=-1 代入②得E=-3,则F=2×(-3)-4=-10 所以外接圆方程为x2+y2-x-3y-10=0,整理为(x-)2+(y-)2=罗 ty-2-0 3x+y-14=0 16.(1) 解：设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由O(0,0)在圆上，得F=0 由P(4,0)在圆上，得16+4D=0, 故D=-4. 由Q(3,V3)在圆上，得9+3+3D+V3E=0,代入D=-4,得V3E=0, 故E=0 因此，圆C的方程为2+y2-4x=0,配方得(x-2)2+y2=4. (2) 解：由(1)知圆心为C(2,0),半径为2. 设圆心C到直线l的距离为d,由lAB1=2V3,得V4-d2=√5， 故d=1. 当直线l垂直于x轴时，方程为X=3, 此时圆心到直线距离为1，符合题意. 当直线l斜率存在时，设其方程为y-5=k(x-3), 即kx-y-3k+5=0 由2-3k+5=1,得5-k=Vk2+1,平方后 √k2+1 解得k=号 故直线l的方程为12x-5y-11=0 第11页共14页 综上，直线l的方程为x=3或12x-5y-11=0. 17. 解：(1)已知AF1l=31BF1l,1AB1=4,则|AF1l+|BF1=4, 所以31BF1+1BF1|=4,即4BF1l=4, 得1AFl=3,BF1=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以△ABF2的周长=|AB|+|AF2+IBF2l=|AF1+|BF1+|AF2+|BF2= 4a=16, 则2a=8 又|AF1l+|AF2l=2a, 所以AF2l=2a-|AF1l=8-3=5. (2)设F1B1=k,k>0, AF=3k,ABI=AF+F1BI=4k. 由椭圆定义可知，|AF2l=2a-1AF1l=2a-3k,|BF2l=2a-1F1B=2a-k. 在△ABF2中，根据余弦定理得(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-号(2Q-3k)(2a-k). 展开并化简：16k2=4a2-12ak+9k2+4a2-4ak+k2-号(4a2-8ak+3k3), 16k2=8a2-16ak+10k2-4a2+号ak-号k2, 16k2=-9a2-2ak+9k2-2号a2+8ak-9k2, 16k2=9a2-号ak+号k2, 80k2=16a2-32ak+32k2, 48k2+32ak-16a2=0, 3k2+2ak-a2=0, (a+k)(a-3k)=0, 因为a+k>0,所以a=3k. 于是AF2|=2a-3k=3k=|AF1,|BF2l=2a-k=5k. 因为BF22=1F2AI2+|AB2,所以F1A⊥F2A,即△AF1F2为等腰直角三角形 所以c=竖a,椭圆E的离心率e==乌 a 2 第12页共14页 18. 解由折叠的性质得CDL DE,A1D⊥DE, 又CDnA1D=D,CD,A1DC平面A1CD,所以DE⊥平面A1CD. 又因为A1CC平面A1CD,所以A1C⊥DE, 又A1C⊥CD,CDn DE=D,且CD,DEC平面BCDE,所以A1C⊥平面BCDE 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， M D 则C0,0,0),D-2,0,0),A1(0,0,2V3),日-2,2,0)，B0,3,0), 所以A1B=(0,3,-2V3),A1E=(-2,2,-2V3) A1B.n=0, 3y-2V3z=0, 设平面A1BE的法向量为n=(x,y,),则 所以 A1E.n=0, 2x+2y-23z=0. 取z=V3,则x=-1,y=2,所以n=(-1,2,√3). 又因为M-1,0,3),所以cM=(-1,0,3, 设直线CM与平面A1BE所成角为0，则sin0=lcos(CM,n)1= CM.n 1+3 CM1nV1+4+3x√1+3 9 又因为0∈[0，引，所以CM与平面A1BE所成角的大小为45° 19 解：(1)因为矩形ACEF,所以EC⊥AC, 又因为正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直且平面ABCD∩平面 ACEF=AC,ECc平面ACEF, 所以EC⊥平面ABCD, 又CD,BCc平面ABCD,故EC⊥CD,EC⊥BC, 又因为正方形ABCD, 第13页共14页 所以BC⊥CD,故可以C为原点，CD,CB,CE所在直线分别为轴、y轴、z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系C-2. E 则B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F(2,2,1),DE=(-2,0,1),BD=(2,-2,0),DF=(0,2,1), 设平面BDF的一个法向量为方=（Xy), n BD=2x-2y=0 X=y nDF=242=0,解得 则 z=-2y 令y=1,则得X=1z=-2,此时力=(11-2)， 设直线DE与平面BDF所成角为P, D正. 4 cos<n,DE> 2W30 所以sinp= D √30 15 故直线DE与平面BDF所成角的余弦值为， -(230105 15 15 (2)由(1)得EF=(2,2,0),因为点M在线段EF上，故设EM=1EF(0≤1≤1)，则 EM=(2,2,0), 所以CM=CE+EM=(0,0,1)+(22,22,0)=(21,22,1),故M(22,22,1) 所以AM=(22,22,1)-(2,2,0)=(21-2,21-2,1), ，所以元=3 当A11n时，直线AM1平面BDF,故2-2_1 1 故线段EF上存在点M使得AM1平面BDF,此时E驰=3 FF 4 第14页共14页