专题03 平方差公式通关专练（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题03 平方差公式通关专练 题型一 判断是否符合平方差公式 【典例1】下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】下列算式中不能利用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 题型二 运用平方差公式进行计算 【典例4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典例5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）．（简便计算） 【典例6】利用平方差公式计算： （1）； （2）． 【典例7】运用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 平方差公式的几何推导 【典例8】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ） A． B． C． D． 【典例9】解答以下问题： （1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【典例10】如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形． （1）图①中阴影部分的面积为_________，图②中阴影部分的面积为__________________；（用含字母a，b的代数式表示） （2）由（1）你可以得到等式____________________________________； （3）根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 1．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．将转化为平方差的形式是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B．0 C．5 D．7 4．课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： 琪琪： A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 5．现定义一种运算“”：对任意有理数m，n，规定，如，则的结果为（    ） A． B． C． D． 6．如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（    ） A．66 B．88 C．94 D．126 7．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（    ） A． B． C． D． 8．计算（n为正整数）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 9．直接写出答案 （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 10．若，且，则的值是________． 11．已知，且满足，那么的值为___________． 12．______． 13．计算：______． 14．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号） 15．对于一个四位数M，若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字，将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M为“方距数”．若“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3，则______；若为“方距数”，规定：，，为整数，为完全平方数，满足条件的A的值是______． 16．计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17．利用完全平方公式或平方差公式计算 （1）； （2）． 18．阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）计算：_______________； （2）化简：，． 19．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此12，20，28这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中．，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． （1）请判断84是否是“连续合数”，并证明任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍： （2）已知三位数（其中a、b、c为整数，且，）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平方差公式通关专练 典例精讲 题型一判断是否符合平方差公式 【典例1】D 【典例2】C 【典例3】D 题型二运用平方差公式进行计算 【奥例1山4-子②-4⊙)r-4:④-y 【详解】(1)解： （2x+2x}2r-9-4r- (2)解：(（-x+2)(-x-2)=(-x2-22=x2-4, (3)解：(-2x+y)2x+y)=0y-2x)y+2x)=y2-(2x}=y2-4x2 (4)解：(y-x)(-x-y)=(-x+y(-x-y)=(-x-y2=x2-y2 【典例5】(1)4x2-y2+6y-9:(2)x4-81y；(3)16a4-8a2+1:(4)1 【详解】(1)(2x+y-3)(2x-y+3)=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]=4x2-(y-3) =4x2-（y2-6y+9）=4x2-y2+6y-9: (2)(x-3y)(x2+9y2)(x+3y)=(x-3y）(x+3y)(x2+9y）=(x2-9y2)x2+9y2）=x4-81y: (3)(2a-(2a+1=[(2a-l0(2a+10]=(4a2-1=16a-8a2+1: (4)20212-2022×2020=20212-(2021+1)×(2021-1)=2021P-(20212-1)=1. 【典例6】(1)999999：(2)899.96 【详解】(1)解：原式=(1000+1)×(1000-1)=10002-1P-1000000-1=999999 (2)解：原式=(30+0.2)×(30-0.2)=302-0.22=900-0.04=899.96 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 【典例7】(1)39991；(2)9999.96：(3)3599 9:(4)1 【详解】(1)解：原式=(200-3)×(200+3)=2002-32=40000-9=39991， (2)解：原式=(100-0.2)×(100+0.2)=1002-0.2=10000-0.04=9999.96. (3)解：原式= =360-；-3595 9 20252 20252 (4)解：原式 (2025+10×(2025-10)+120252-1+11 题型三平方差公式的几何推导 【典例8】C 【典例9】1)a2-b2=(a+b)(a-b):(2)18 【详解】(1)解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2, 图2是长为a+b,宽为a-b的长方形，因此面积为(a+b)(a-b), 所以有a2-b2=(a+b)(a-b): (2)由题意得BC2-BD2=36, 明酒积知S+Sm号EBC+号E-D分4E-(aC+BD) =(8C-BD)(8C+BD)=(8C2-BD）=2x36=I8 【典例10】1)a2-b2,(a+b)(a-b):(2)a2-b2=(a+b(a-b):(3)①76900：②x=-1 【详解】(1)解：图①中阴影部分的面积为：a2-b2, 图②中阴影部分的面积为：(a+b)(a-b): (2)解：由(1)你可以得到的等式是：a2-b2=(a+b)(a-b): (3)解：①原式=(621+148)×(621-148)-769×373=769×473-769×373=769×(473-373) =769×100=76900. ②(x+12-(x-1)2=-4, (x+1+x-10(x+1-x+1)=-4, 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2=-4, x=-1. 过关专练 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.(10-xy0:(2)g 10.2 11.5 1246- 13.9 14.①②③ 15.7932:4725 16.(1)-b2-ab:(2)x4-16y:(3)y;(46a-27;(5)7y-7y:(6)-3a2-12 【详解】(1)解：(a-b)(a+b)-a(a+b)=a2-b2-a2-ab=-b2-ab: (2)解： (x-2y)(x2+4y2)(x+2y)=(x-2y)x+2y)(x2+4y2）=(x2-4y2)(x2+4y2）=x-16y: (3)解：(y+x(x-y)+x(0y-)+y2=(x+y)(x-y)+x(y-x)+y2 =x2-y2+xy-x2+y2=x; 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：3a(2-a）+3(a-3)(a+3)=6a-3a2+3(a2-9)=6a-3a2+3a2-27=6a-27: (5)解：(-2x+3y)(-2x-3y)-(x-2y)(4x+y) =(-2x)2-(3y)-(4x2+xy-8xy-2y2） =4x2-9y2-4x2-xy+8xy+2y2 =7xy-7y2, 6)解：(a-4)(a+4)-2(a-l)(2a+2）=a2-42-4(a-1)(a+1)=a2-16-4(a2-1) =a2-16-4a2+4=-3a2-12. 17.(1)1:(2)9+6b+b2-4a2 【详解】解：(1)20192-2018×2020=2019-(2019-1)×(2019+1)=20192-20192+1=1， (2)(3+2a+b)3-2a+b)=(3+b)-(2a2=9+6b+b-4a2. 8.山-.aa-) 【详解】(1)解：(3+1(32+1）(3+1)(3+1)(36+) =×6-6+3+03+6+6+ =62-06+06+0g+106+ =2×6-6+106+3+0 =x6-0+3+刊 -6*-0+ =-0 c西解：原武nm-a+nar+a+na+ia+） =n（r-ior+na+a+e+n） 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1(m-r)m+nm+mm+n） m-n -ma-YwYw) =1（m6-n6）(m6+n） m-n =1(m2-2） m-n 19.(1)84是“连续合数”，证明见解析：(2)132,220,484,572 【详解】解：(1)由“连续合数”的定义，84是“连续合数”，84=22-202， 证明，设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为2n+2,2n(其中n表示正整数)， :(2n+2)}-(2n)}=(2n+2+2n)2n+2-2n)=8n+4=4(2n+1), ∴.“连续合数”就是4的奇数倍， (2)证明：由题意得：b=a+C,且1≤a≤5,0≤c<5的整数， ∴.-2≤2a-c≤10，且-2≤2a-c≤10为整数， :“连续合数”是4的奇数倍， :abc=100a+10(a+c)+c=110a+1lc是4的奇数倍， 110a+11c=27a+3c+ 2a-c 即 4为奇数， .2a-c=0,4,8, a=1a=2 当 时， 2a-c=0 c=2'c=41 .27a+3c+ 2a-c 4为奇数， a=1 (c-2此时 bc=132 「a=2 [a=3a=4 当2a-c=4时， c=0’c=2'c=4' :27a+3c+2a-c 4一为奇数 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=2 a=4 1c=0 c=4,此时 bc=220'484, a=4a=5 当2a-c=8时， c=0’c=2' ,27a+3c+ 2a-c 4 为奇数， a=5 c=2·此时 bc=572' ∴综上所述，所有符合条件的三位数为132,220,484,572. 616 专题03 平方差公式通关专练 题型一 判断是否符合平方差公式 【典例1】下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．中无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B．中既无相同项，也无互为相反的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； C．中两项均互为相反数，无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D．，相同项为a，互为相反项为与，能用平方差公式计算，符合题意． 【典例2】下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项两项均相同，不符合要求． B、D选项的两个二项式两项均互为相反数，不符合要求． C选项中为相同项，a与互为相反数，符合要求． 【典例3】下列算式中不能利用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，可利用平方差公式计算； 选项B：，可利用平方差公式计算； 选项C：，可利用平方差公式计算； 选项D：，不可利用平方差公式计算． 题型二 运用平方差公式进行计算 【典例4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【典例5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）．（简便计算） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）． 【典例6】利用平方差公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1）999999；（2）899.96 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【典例7】运用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）39991；（2）9999.96；（3）；（4）1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型三 平方差公式的几何推导 【典例8】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵图（甲）中边长为a的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， ∴图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为a的大正方形面积减掉边长为b的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 【典例9】解答以下问题： （1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【答案】（1）；（2）18 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有； （2）由题意得， 阴影面积为： ． 【典例10】如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形． （1）图①中阴影部分的面积为_________，图②中阴影部分的面积为__________________；（用含字母a，b的代数式表示） （2）由（1）你可以得到等式____________________________________； （3）根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 【答案】（1），；（2）；（3）①76900；② 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为：， 图②中阴影部分的面积为：； （2）解：由（1）你可以得到的等式是：； （3）解：①原式 ； ②， ， ， ． 1．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B．两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； C．两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D．具有相同项和相反项，符合平方差公式，故该选项符合题意． 2．将转化为平方差的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．若，则的值为（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 4．课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： 琪琪： A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 【答案】C 【详解】解：嘉嘉和琪琪的计算过程都正确． 5．现定义一种运算“”：对任意有理数m，n，规定，如，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ． 6．如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（    ） A．66 B．88 C．94 D．126 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 7．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B．左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图长方形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C．左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D．左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 8．计算（n为正整数）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【详解】解：将2变形为， 原式 ∵3的幂次的个位数字按3，9，7，1循环，周期为4， 由题可知是4的倍数， ∴的个位数字为1． 9．直接写出答案 （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）∵， ∴原式． 10．若，且，则的值是________． 【答案】2 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴． 11．已知，且满足，那么的值为___________． 【答案】5 【详解】解：设， ∵， ∴， 原等式可化为， 根据平方差公式展开得， 整理得， ∴， ∵， ∴，即． 12．______． 【答案】 【详解】解： ． 13．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 14．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③． 15．对于一个四位数M，若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字，将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M为“方距数”．若“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3，则______；若为“方距数”，规定：，，为整数，为完全平方数，满足条件的A的值是______． 【答案】7932；4725 【详解】解：∵“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3， ∴可设“方距数”M为， 根据“方距数”的定义可知， ∴，， ∴； ∵为“方距数”， ∴，，，且a为整数，b，c，d都是的整数，， ∴， ∵为整数，为完全平方数， ∴为9的倍数，， ∴当时，，故，故，，此时，不是9的倍数，故舍去； 当时，，故，故，，此时，不是9的倍数，故舍去； 当时，，故，故，，此时，是9的倍数，故此时符合题意； 当时，，故，故，，此时，不是9的倍数，故舍去； 当时，，故，故，，此时，不是9的倍数，故舍去； ∴综上，． 16．计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 17．利用完全平方公式或平方差公式计算 （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【详解】解：（1）； （2）． 18．阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）计算：_______________； （2）化简：，． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 19．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此12，20，28这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中．，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． （1）请判断84是否是“连续合数”，并证明任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍： （2）已知三位数（其中a、b、c为整数，且，）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 【答案】（1）84是“连续合数”，证明见解析；（2）132，220，484，572 【详解】解：（1）由“连续合数”的定义，84是“连续合数”，， 证明，设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为，（其中n表示正整数）， ∵， ∴“连续合数”就是4的奇数倍， （2）证明：由题意得：，且，的整数， ∴，且为整数， ∵“连续合数”是4的奇数倍， ∴是4的奇数倍， 即为奇数， ∴，4，8， 当时，，， ∵为奇数， ∴此时 当时，，，， ∵为奇数 ∴，，此时，484， 当时，，， ∵为奇数， ∴，此时， ∴综上所述，所有符合条件的三位数为132，220，484，572． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $