微专题椭圆的焦点三角形导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆的焦点三角形 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：选择性必修第一册第二章，讲完椭圆的简单几何性质之后。教材正文只给了定义，焦点三角形这一串结论得单独补一节课，不然学生遇到只会设直线。 考查形式：选择填空里就四种问法：给角求面积、给面积反求角、问张角最大是多少、拿张角最大值倒推离心率。解答题里它一般不当压轴，多是第（1）问，内切圆半径常放在第（2）问。 第二部分　记·模型与结论 一、式子从哪里来 设椭圆 ，左、右焦点 、， 在椭圆上。记顶角 ，，。 定义给的是 ，余弦定理给的是下面这条： 把 换成 代进去整理，得到焦点三角形里最有用的那个式子： 二、要记的四条 面积：。θ 是 P 处的角，别和底角混。 张角最大：P 挪到短轴端点时最大；此时 最小，等于 。 焦半径乘积： 在 之间——短轴端点取到 ，长轴端点取到 。 周长与内切圆：周长 ；内切圆半径 。 三、几个坑 θ 用错位置。 里的 θ 是顶角 ，不是 。这个错每次考都有人犯。 张角最大在短轴端点，不是长轴端点。P 跑到长轴端点，三点共线，“三角形”都没了，张角是 0。 内切圆半径差 2 倍。等面积法是 ，所以 。直接除 的，结果小一半。 的下界。均值不等式只给上界 ，下界得代长轴端点：。只写个 是没答完。 第三部分　破·典型题型 题型一　面积和角，一条公式来回用 解|题|技|巧：别设直线。一设就要联立、就要韦达定理，算到一半符号错一步，整题白写。面积和顶角的关系只有一条 ：给角求面积直接代，给面积求角就反解 。唯一要留神的是反解出来的角得真能取到，超过这个椭圆的张角最大值就是无解。 【典例1-1】（2025 年 11 月·河南省郑州市金水区高二上学期期中质量检测第 12 题改编） 已知椭圆 ，、 为其左、右焦点， 是 上一点，且 。求 的面积，以及 到 轴的距离。 【变式1-1】 椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，求 的面积。 【变式1-2】 椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，若 的面积是 ，求 。 题型二　张角最大是多少 解|题|技|巧：凡是问“张角最大”的，最后都落到 上，正着问反着问都有。公式忘了就现推：面积 越大顶角越大，面积最大是 （短轴端点），于是 ，。看到“最大张角 ”，要能立刻反应出 、 这一组。 【典例2-1】（2026 年 3 月·安徽省合肥市高三第二次教学质量检测第 8 题改编） 椭圆 上一点 与两焦点 、 构成三角形，若 的最大值为 ，求椭圆的离心率。 【变式2-1】 离心率为 的椭圆上，点 与两焦点构成三角形，求 的最大值。 【变式2-2】 椭圆 上一点 对两焦点的张角最大为 ，且 面积的最大值为 ，求椭圆的方程。 题型三　两条焦半径的乘积与内切圆 解|题|技|巧： 的范围用焦半径公式最快：，，乘开是 ，看 从哪到哪就完了，比“均值加端点”两套说法干净。内切圆一律走等面积法 ：先算面积，再除以半周长，别去解切线方程。 【典例3-1】（2026 年 1 月·河南省洛阳市高二上学期期末统一考试第 16 题改编） 椭圆 的焦点为 、，点 在椭圆上，求 的取值范围。 【变式3-1】 条件同典例 3-1 的椭圆，若 ，求 内切圆的半径。 【变式3-2】 条件同典例 3-1，求 内切圆半径的最大值。 （本页作答区不足时请在空白处续写） 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）椭圆的焦点为 、， 在椭圆上， 的周长为 ，焦距为 ，则该椭圆的长半轴长 （　　） A． B． C． D． 5．（多选）设 是椭圆 上任意一点，、 为其焦点，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的最小值为 C． 面积的最大值为 D． 的最大值为 6．（填空）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 到 轴的距离为______． 7．（解答）已知椭圆 的左、右焦点为 、， 在椭圆上，且 。（1）求 的面积；（2）求其内切圆的半径。 二、培优小练（15 分钟） 1．（单选）已知椭圆的离心率为 ， 在椭圆上，、 为两焦点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形面积最大值为 ，且 的最大值为 ，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）设 是椭圆 上一点，、 为其焦点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 面积的最大值为 C． 的最大值为 D． 内切圆半径的最大值为 4．（填空）椭圆 上一点 与两焦点 、 构成直角三角形，则这样的点 有______个． 5．（解答）椭圆 的离心率为 ，左、右焦点 、， 在椭圆上，， 的面积为 。（1）求椭圆方程；（2）求 内切圆的半径。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆的焦点三角形 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：选择性必修第一册第二章，讲完椭圆的简单几何性质之后。教材正文只给了定义，焦点三角形这一串结论得单独补一节课。 考查形式：选择填空里就四种问法：给角求面积、给面积反求角、问张角最大是多少、拿张角最大值倒推离心率。解答题里它一般不当压轴，多是第（1）问，内切圆半径常放在第（2）问。 第二部分　记·模型与结论 一、式子从哪里来 设椭圆 ，左、右焦点 、， 在椭圆上。记顶角 ，，。 定义给的是 ，余弦定理给的是下面这条： 把 换成 代进去整理，得到焦点三角形里最有用的那个式子： 二、要记的四条 面积：。θ 是 P 处的角，别和底角混。 张角最大：P 挪到短轴端点时最大；此时 最小，等于 。 焦半径乘积： 在 之间——短轴端点取到 ，长轴端点取到 。 周长与内切圆：周长 ；内切圆半径 。 三、几个坑 θ 用错位置。 里的 θ 是顶角 ，不是 。这个错每次考都有人犯。 张角最大在短轴端点，不是长轴端点。P 跑到长轴端点，三点共线，“三角形”都没了，张角是 0。 内切圆半径差 2 倍。等面积法是 ，所以 。直接除 的，结果小一半。 的下界。均值不等式只给上界 ，下界得代长轴端点：。只写个 是没答完。 【本班学生典型错因】（教师补充真实错例） 第三部分　破·典型题型 题型一　面积和角，一条公式来回用 解|题|技|巧：别设直线。一设就要联立、就要韦达定理，算到一半符号错一步，整题白写。面积和顶角的关系只有一条 ：给角求面积直接代，给面积求角就反解 。唯一要留神的是反解出来的角得真能取到，超过这个椭圆的张角最大值就是无解。　 【典例1-1】（2025 年 11 月·河南省郑州市金水区高二上学期期中质量检测第 12 题改编） 已知椭圆 ，、 为其左、右焦点， 是 上一点，且 。求 的面积，以及 到 轴的距离。 解析：，，，所以 。 面积不用去求两条焦半径，直接代：。 要 P 到 x 轴的距离，就把 当底：，得 。 顺带核一下：，比 小，P 确实在椭圆上。 参考答案：； 【学情易错提醒】 【变式1-1】 椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，求 的面积。 解析：，。 这里 是能取到的：该椭圆张角最大约 ，顶角超过它就无解了。 参考答案： 【学情易错提醒】 【变式1-2】 椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，若 的面积是 ，求 。 解析：反解：，，。 这个角取得出来——该椭圆张角最大到 ， 在范围内。 参考答案： 【学情易错提醒】 题型二　张角最大是多少 解|题|技|巧：凡是问“张角最大”的，最后都落到 上，正着问反着问都有。公式忘了就现推：面积 越大顶角越大，面积最大是 （短轴端点），于是 ，。看到“最大张角 ”，要能立刻反应出 、 这一组。　【教学实操提醒】 【典例2-1】（2026 年 3 月·安徽省合肥市高三第二次教学质量检测第 8 题改编） 椭圆 上一点 与两焦点 、 构成三角形，若 的最大值为 ，求椭圆的离心率。 解析：，故 ，。 也可以从 得 ，再算 ，两条路都通。 参考答案： 【学情易错提醒】 【变式2-1】 离心率为 的椭圆上，点 与两焦点构成三角形，求 的最大值。 解析：。 参考答案： 【学情易错提醒】 【变式2-2】 椭圆 上一点 对两焦点的张角最大为 ，且 面积的最大值为 ，求椭圆的方程。 解析：张角最大 给出 ，即 ，，。 面积最大 ，所以 ，，。 椭圆方程 。 参考答案： 【学情易错提醒】 题型三　两条焦半径的乘积与内切圆 解|题|技|巧： 的范围用焦半径公式最快：，，乘开是 ，看 从哪到哪就完了，比“均值加端点”两套说法干净。内切圆一律走等面积法 ：先算面积，再除以半周长，别去解切线方程。　【教学实操提醒】 【典例3-1】（2026 年 1 月·河南省洛阳市高二上学期期末统一考试第 16 题改编） 椭圆 的焦点为 、，点 在椭圆上，求 的取值范围。 解析：设 ，焦半径 ，，其中 。 相乘得 。 从 0 到 25，乘积从 25 降到 9。 取值范围 。最大值在短轴端点，最小值在长轴端点。 参考答案： 【学情易错提醒】 【变式3-1】 条件同典例 3-1 的椭圆，若 ，求 内切圆的半径。 解析：面积前面算过，；周长 。 。 参考答案： 【学情易错提醒】 【变式3-2】 条件同典例 3-1，求 内切圆半径的最大值。 解析：，分母是定值，S 最大时 r 最大。 （P 在短轴端点），故 。 参考答案： 【学情易错提醒】 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：，。 参考答案：A 【学情易错提醒】 2．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 解析： 最小时 θ 最大，用 。 ，。 参考答案：A 【学情易错提醒】 3．（单选）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：，。 参考答案：B 【学情易错提醒】 4．（单选）椭圆的焦点为 、， 在椭圆上， 的周长为 ，焦距为 ，则该椭圆的长半轴长 （　　） A． B． C． D． 解析：周长 ，又 ，故 ，。 参考答案：B 【学情易错提醒】 5．（多选）设 是椭圆 上任意一点，、 为其焦点，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的最小值为 C． 面积的最大值为 D． 的最大值为 解析：A 是定义，对。 B：，最小 ，对。 C：，对。 D：，不是 ，错。 参考答案：ABC 【学情易错提醒】 6．（填空）椭圆 的焦点为 、， 在椭圆上，，则 到 轴的距离为______． 解析：，，得 。 参考答案： 【学情易错提醒】 7．（解答）已知椭圆 的左、右焦点为 、， 在椭圆上，且 。（1）求 的面积；（2）求其内切圆的半径。 解析：（1）。 （2）周长 ，等面积：，故 。 参考答案：（1）；（2） 【学情易错提醒】 二、培优小练（15 分钟） 1．（单选）已知椭圆的离心率为 ， 在椭圆上，、 为两焦点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：。 参考答案：C 【学情易错提醒】 2．（单选）椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形面积最大值为 ，且 的最大值为 ，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 解析：张角最大 给出 ，即 。 面积最大 ，，，。 四个选项里只有 A 的 ，其余分别是 、、。 参考答案：A 【学情易错提醒】 3．（多选）设 是椭圆 上一点，、 为其焦点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 面积的最大值为 C． 的最大值为 D． 内切圆半径的最大值为 解析：，，，。 A：，短轴端点取等，对。 B：，对。 C：，对。 D：，错。 参考答案：ABC 【学情易错提醒】 4．（填空）椭圆 上一点 与两焦点 、 构成直角三角形，则这样的点 有______个． 解析：直角可能在 P 处，也可能在 、 处，分三种数。 P 处：张角最大 ，能取到，上下两个点。 、 处：，代入得 ，，四个点。 一共 个。 参考答案： 【学情易错提醒】 5．（解答）椭圆 的离心率为 ，左、右焦点 、， 在椭圆上，， 的面积为 。（1）求椭圆方程；（2）求 内切圆的半径。 解析：（1），故 。 由 得 ，而 ，所以 ，。 椭圆方程 。 （2）。 上下同乘 ：。 参考答案：（1）；（2） 【学情易错提醒】 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $