练案17 第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[17] 第二章 圆锥曲线 §4[4.2直线与圆锥曲线的综合问题] 名组·基础自测 二、填空题 7.双曲线写6=1的右顶点为4右焦点为P, 2y2 一、选择题 6+号-1的发被点(4.2)平分，则 1.若椭圆 过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与 双曲线交于点B,则B点坐标为 弦所在直线的斜率为 ( △AFB的面积为 A.2 B.-2 C 8.在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线 2.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(√万， i y2=2x交于A,B两点，则OA·OB的取值范围 0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点，且 为 MN中点的横坐标为-号，则此双曲线的方程 三、解答题 9.已知椭圆M:+ 为 ( +尔=1(a>b>0)的离心率为 A￡-父=1 B. 341 431 3,焦距为22，斜率为k的直线1与椭圆M √ c5-5-l n-= 有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程； 3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0) (2)若k=1,求IABI的最大值， 且斜率为号的直线与C交于M,N两点，则F ·FN= ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知点P在以点F,F2分别为左、右焦点的双 i 曲线号-茶=1(a>0,b>0)上，且满足P所。 所=0，am∠PF,:=了则该双曲线的离心 率是 ( )10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交 房 B.√3 C.5 D.10 于A,B两点 (1)求证：OA⊥OB; 5横圆c号+号=1的左，右质点分别为4，， (2)当△OAB的面积等于√J10时，求k的值. 点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是 [-2,-1],那么直线PA1斜率的 ( 1最大值为号 B.最大值为1 C.最小值为2 1 山最小值为号 6.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形，其 顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B焦点，并 经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是 ( A2+1B.2 C.√2 D.√2-1 —229 B组·素养提升 6已知圆4士了山若椭圆上存在不同的 一、选择题 两点A,B关于直线y=4x+m对称，则实数m 1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直 的取值范围是 线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则 三、解答题 y+y的最小值为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 7.已知动点P与平面上两定点A(-√2,0)， 2.已知实数4、m、9构成一个等比数列，则圆锥曲 (,2,0)连线的斜率的积为定值-2 线+y=1的离心率为 (1)试求动点P的轨迹方程C; m 4.30 (2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M、N两 B.7 6 点，当1=4时求直线1的方程 c.30或7 D.5或7 6 6 3.已知直线y=(x+2)与双曲线 m 8 =1,有 ry=k(x+2), 如下信息：联立方程组 x2 Y2 消去y后 1 Im8=1, 得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论：(1)当A =0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，△= B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前 提下，双曲线离心率的取值范围是 A.(1,W3] B.[3,+0) 8.(2024·天津卷)已知椭圆 >3+=1(a>b C.(1,2] D.[2,+0) 0)的离心率e=2左顶点为A,下顶点为B,C 4已知椭圆C:菁+=1的左、右焦点分别为 是线段OB的中点，其中SAAc 33 F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点，若 2 △F,AB面积是△F,AB面积的2倍，则m= (1)求椭圆方程. (2)过点0，一引的动直线与椭圆有两个交点 A号 B号 P,Q.在y轴上是否存在点T使得TP·TQ≤0. C.、2 若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不 3 存在请说明理由， 二、填空题 5.已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛 物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则 IMPI+IMFI的最小值是 230①当a+1=0,即a=-1时，方程(*)是关于x的一元一次方 程解得=-1，这时，原方智组有唯一保士 1， 369 ① 4,又 ②当a+1≠0，即a≠-1时，方程(*)是关于x的一元二次方 =1. 369 ② 由4=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=-4 ①-②，得+)-5+1+)1-）=0， 或 36 a=0(舍去).此时方程组有唯一解=一5， 即8(x-）+41n）-0. 36 9 ly=-2. 1 综上，实数a的取值集合是{-1，-5} .41 所以所求直线的斜率为二=-子 x1-X2 b=3 2.D焦点为F(7,0).c=√7，a2+62=7 8.(1)由题意得 9 4 解得 b2=9, 上可设双商线方程为号。-1。 ① a2+京=1 a2=12 并设M(x1y),N(x2y2.将y=x-1代人①并整理，得(7- 所以e=,1- 91 2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0, 2a2 .x1+x2= 3、3 7-2a, 2a2 (2)=0-号=-子则直线AP的方程为y=一子+3，即 2 2 已知得-722a=-号×2，解得d=2, x+2y-6=0, 故双曲线的方程为 2 a-√0-3+-35 25=1. 2 3.D 易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为子的直线方程为y= 由(1)知G: 12+9=1, 「J2=4x, 号(x+2).联立抛物线方程为)=4红，得 设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9=125 =子(+2).解得 35 5 2 则将直线AP沿着与P垂直的方向平移25单位即可， 不妨设M(1,2),N(4,4),所以F7=(0,2),F=(3,4),所以 5 FM·FN=8. 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 4.D如图，点P在以点F,F2分别为 设该平行线的方程为：x+2y+C=0, 左，右焦点的双曲线号- -京=1(a>0, 则G+61-25解得c=6或C=-18 b>0)上，且满足PF·PF=0, 当C=6时，联立2+9=1， PF,P听，mLP,= [x+2y+6=0 IPF,I 1 =-3, 六PE,=3, 3 设1PF2I=x,则1PF1I=3x, .IF,f2I=2c=W√IPF,I2+IPF2I2=√9x2+x2=√10x, 即80，-3)或(-3,2）月 由双曲线定义得2a=IPF,I-IPF21=3x-x=2x, 当B(0,-3)时，此时，=号，直线1的方程为 心该双曲线的离心率e=￡=2e=四 a2a=2 故选D. y=号-3.即3x-2-6=0。 5.D设M为椭圆C上一点，且k2w=-1,直线A,M的方程为 当(-3，-)时，此时=直线1的方程为 y=-(x-2)=-x+2. [x 由4+3=1得7x2-16x+4=02+x=1 y=2x,即x-2y=0, 79 y=-x+2, =子M号号) 2 当C=-18时，联立2+9=1， x+2y-18=0 设N为椭圆C上的一点，且ky=-2,直线A,N的方程为y= 得2y2-27y+117=0, -2(x-2)=-2x+4, 4=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 同理可得（治，） 练案[17] 号 24 9 3 .A= 7+2 4,6=26 8 A组·基础自测 19 +2 1.D设弦两端点A(x1,y),B(x2y2),则x1+2=8,少1+y3= 直线PA斜率的最大值为子，最小值为子 一373 6ABD①△ABC为等腰直角三角形，如果C=乃，圆锥曲线E =-3m-)=√P 12-3m2 2c 2 为椭圆，e=2a=1CA1+1CB=2 故当m=0,即直线I过原点时，IAB1最大，最大值为6. ②△ABC为等腰直角三角形，如果C=平，A或B为直角，圆 10.(1)证明：如图所示，由本， =(x+),消 1=2-1 去x得，ky2+y-k=0. IABI 锥曲线E为椭圆，e=1CA+1CB万+1 设A(x1,y)、B(x2,y2),由根与系数的关 ③△ABC为等腰直角三角形，如果C=年，A或B为直角，圆 系得元为=-1+为=一名 :A、B在抛物线y2=-x上， 锥曲线为双曲线，e=1CA一1CB万-i IABI 1一=2+1. yi=-1=-2, .y·y2=x2 2(停±若)器双面线号后=1的右顶点43.0)，右能 安是 =-1,.∴.OA⊥OB. …4 点F(5,0),渐近线方程为y=±3. (2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0， 令y=0,得x=-1,即N(-1,0) 不妨设直线FB的方程为y=专(x-5),代入双曲线方程整 SAOAR=SAOAN+S△0BN 理，得x2-(x-5)2=9, ! 20M1+210Mll=210M%-%l, 解得=号y=器 1 (-5列，则= Sas=21·V+h)'-4y1为 同理，若直线FB的方程为y=- 32 5y= 所以（号，±） )+4 S△0HB=V√10， 所以Sa=之MF1xl=之(c-a）1=7×(5-3) 而√公+4解得=后 ×32-32 B组·素养提升 1515 1.C 当直线的斜率不存在时，其方程为x=1, ∴.y=4,2=4 .y+=8. 当直线的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)(k≠0) )=k(x-1)得2-4-4k=0, 由 y2=4x, 4 心1+为=，为=-4， 8.[-1,+∞)设直线方程为x=ty+b,代人抛物线y2=2x,得： y2-2ty-2b=0,设A(x1,y1),B(x22),则y1+2=2t,y12= 斤+号=(+)2-22= 2+8, -2b,.0A·0品=x2+y2=(1+b)(ty2+b)+y1= 2>0,y7+y3>8, 62-2b=(b-1)2-1, 综上可知，斤+≥8， .OA.0的取值范围为[-1，+∞). 故+2的最小值为8. a=b+c, 2.C4、m、9成等比数列，.m2=36,.m=±6.当m=6时， 9.(1)由题意得e=c=6 a3, 圆雕青线方程为后+了=1，其离心半为当m。-6时。 2c=22, 圆维前线方程为>-专1，其高心率为厅，放选C 解得c=√2，a=3,b=√a-c=√(5)-(2)=1， 3.B依题意可知直线恒过定点(-2,0)，根据(1)和(2)可知直 椭圆M的方程为兮+y=1. 线与双曲线恒有交点，故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点 (2)因为k=1,所以设直线1的方程为y=x+m,A(x1少1)， 上或左顶点的左边，即-2≤-m,即0<m≤4，又e= B(x2,Y2). 「y=x+m, √1+存V+高，所以e≥ m 联立得x 3+y2=1, 得4x2+6mx+3m2-3=0, 「y=x+m, 4.C 将直线y=x+m与椭圆联立 又直线（与椭圆M有两个不同的交点， 3+2=1,消去y可得42 所以△=36m2-16(3m2-3)=12(4-m2)>0 +6mx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B点，则△= .-2<m<2, 36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2, 六+名=-3 设F到AB的距离d,F到AB距离d2,易知F(-2,0),F(2, 41 .1AB1=/1+21x1-x2=2·√(1+x2)2-4x12, 0).d=-5+ml,d=5+m 374 微能圆方E为后+号-士 (2)若过点(0，-多)的动直线的 斜率存在，则可设该直线方程为： 3 y=kx-2, 1-2+ml 设P(x,y1),Q(x22),T(0,t), SAFB二 1-2+ml=2, r3x2+4y2=36 1+ml 12+ml 由 y=低-3可得(3+4)8 解得m= 号或-3（合去），成选C -12kx-27=0, 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0, 5.4过P作垂直于准线的直线，垂足为N,交抛物线于M,则 12k 27 IMPI+IMFI=IMPI+IMWI=IPNI=4为所求最小值 且+63+4=34， 6(-232⑧ 13’13 设椭圆上关于直线y=4x+m对称的两点 而T币=(x1,为-t),T0=(22-), 故T币·T0=2+（y-t)（3-t）= 为P(),Q(,直线P0的方程为y=-子+6，代人 1 +(-,-- 椭圆方程号+号-1，整理得15-8h+16-4极=0 =1+)-(子++)+（子+ 由条件知4=-192(462-13)>0， 解得-压<6<厘①. =+)×(3)-含+×31+（侵+ 2 2 -276-7-18-12+3(3+1）+(3+2y8 又四的中点（色艺，）在直线y=4+m上，且 2 3+4h 46 13 [(3+242-12-45]g+3(3+-27 3+4k 2 因为T巾.T≤0恒成立， 所以m-4产=， 4 r(3+2t)2-12t-45≤0 2 2 故 即6=-13m (3+-27≤0 ,解得-3≤1≤号 4m②. 将2代入①可得-2 13 cm、2g 若过点(0，一多)的动直线的斜率不存在， 13 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 故所求m的取值范围为-2至，2 此时需-3≤1≤3，两者结合可得-3≤1≤子 -1313 7.(1)设点P(x,y),则依题意有Y。·y x+万-万 ,整理得 综上，存在T0,(-3≤≤）使得币.币≤0恒成立 苦+少-1由于≠士反，所以求得的商线C的方程为号 练案[18] + A组·基础自测 y=1(x≠±2) 「x2 i1.B (2)由2+少=1消去y得，（1+2)2+4hx=0. 线段BC的点坐标为生，25，）=(21，-2， [y=kx+1, 则△0BC的边BC上的中线长为√2+12+(-2)2=3. -4k 故选B. 解得=0，=1+2水(G西分别为M,N的横坐标)， 2.D易知点B的坐标为(2，-3，-5)， 由1MN1=个+1x-名1=+F×1+2F 4k .1AB1=√/(2-2)2+(-3+3)2+(-5-5)2=10. 3.D由于垂足在xOy平面上，故竖坐标为0，横坐标、纵坐标不 -号巨，解得，k=±1 变，故选D. 4.A点P(2,5,6)与点Q(2,-5,-6)的横坐标相同，而纵坐 所以直线1的方程为x-y+1=0或x+y-1=0. 标、竖坐标，分别是互为相反数，两点关于x轴对称 &(1)因为椭圆的离心率为e=子，放a=2c,6=Bc,其中e为半5，设平面Ac的方程为++c+d=0.a,6c不同时为0， 代入A,B,C三点的坐标， 焦距， rb+c+d=0, 所以4(-2,0，B0,-5c),c0,-） 得a+2b+c+d=0, l2a+b+3c+d=0, 故安原 解得b=-a,c=-a,d=2a, 所以平面ABC的方程为x-y-z+2=0. 故c=5,所以a=25,b=3, 故选A. -375