2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第21章二次函数与反比例函数相似形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得到相等角，再由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．下列抛物线只通过平移能与抛物线重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线平移不改变二次项系数的大小与符号， 原抛物线的二次项系数为， 只有选项C的二次项系数为，符合要求． 3．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 4．若是关于的二次函数，则的值为（     ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵ 是关于的二次函数， ∴ 且， 由，得，即， 由，得， ∴ ． 5．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式确定对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 6．城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．小华了解到某列车在未进站时开始减速滑行，列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）满足关系，则列车从开始减速到停止时经过的时间为（     ） A．16秒 B．24秒 C．32秒 D．36秒 【答案】C 【分析】列车停止时离停车线的距离最小，通过配方求解对应二次函数取最小值时的t值． 【详解】解：列车停止时，离停车线的距离取得最小值． 对配方，得 . ∵ ， ∴ 当时，取得最小值，即列车从开始减速到停止经过32秒． 7．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得得到，再将代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴，解得． 8．如图，，分别是的边，上的点，且，连接，，交于点．若，则的周长与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，证明，，得出，从而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 9．已知二次函数（，为常数），与时的函数值相等，且它的图象与轴的两个交点之间的距离为6，若点、在该函数的图象上，则的值为（     ） A． B．1 C． D．15 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，结合与x轴两交点的距离确定函数解析式，代入计算的值． 【详解】解：∵与时的函数值相等， ∴二次函数图象的对称轴为直线； ∵图象与x轴两交点间的距离为6，两交点关于对称轴对称， ∴两交点的横坐标分别为，， ∴二次函数的解析式为， 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∴． 10．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E， ， ∴， ∴， ∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， ∴， 解得， 故． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为___________． 【答案】 ， 【分析】由图象可知抛物线对称轴及一个交点坐标，利用对称性求出另一交点坐标，交点横坐标即为方程的根． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴根据抛物线的对称性，抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两根为，． 12．如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为⁠___________． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心的两个图形，对应点的坐标比等于位似比．由点和点的坐标求出位似比，再利用位似比计算点的对应点的坐标． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为， 位似比． 点的坐标为，且点是点的对应点， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 13．若且，则__________． 【答案】18 【分析】设公共比值为参数，将三个变量统一用参数表示后代入等式求解． 【详解】解：设， 根据比例的基本性质可得，，， 将上述表达式代入，得， 化简得， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且，）的图象经过点、，轴于点，轴于点，连接、，若与的面积之和为6，则的值为__________． 【答案】6 【分析】由题意，，函数图象在第一象限，可得，因此与的面积都等于，结合两个三角形面积之和为，列出方程即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，轴，轴， ，． ， ， 解得． 15．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】先对一元二次方程因式分解求出两个实数根，结合和的条件确定、的取值，代入的表达式得到关于的不等式，结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程可因式分解为， ∴方程的两个实数根为和， ∵，且， ∴，， 将、代入，得， ∵， ∴，即， ∵，且， ∴不等式的解为． 16．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，都与轴平行，点，均在轴上．点的坐标是，点的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．如图的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标． 【答案】(1)与位似，且相似比为的和，如图即为所求； (2)或 【分析】（1）分同侧和异侧两种情况画出位似图形； （2）根据位似的性质对应横、纵坐标分别乘以或，即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据题意，点对应的点的坐标为或． 18．如图，一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点与点关于轴对称，点是反比例函数第四象限图象上一点，连接、，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求得k，进而求得反比例函数解析式； （2）由一次函数解析式可求得点B的坐标，进而求得点C的坐标，由面积关系可求得点D的纵坐标的绝对值，再根据点D所在的象限即可确定其纵坐标，从而可求得其横坐标，进而得点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为，     将代入，得，     ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，解得，     ∴点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为，     ， ∵的面积为6， ，     解得．     ∵点是反比例函数第四象限图象上一点， ，则， ∴点的坐标为． 19．一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以按1600元/吨的价格出售．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元． (1)储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ (2)储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ (3)储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)28000元 (2)5周或7周 (3)储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元 【分析】（1）根据“利润总售价总成本各种费用”即可求出获得的利润． （2）设储藏x周后全部卖出，可以获得利润34000元．根据“利润总售价总成本各种费用”列方程求解即可． （3）设储藏x周后全部卖出，可以获得利润为y元，依题意列出y与x之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求出y的最大值． 【详解】（1）解：（元）， 答：可获得28000元利润； （2）解：设储藏x周后全部卖出，可以获得利润34000元． 依题意得： 整理得：， 解得：， 答：储藏5周或7周后全部卖出，可获利润34000元； （3）解：设储藏x周后全部卖出，可以获得利润为y元，依题意得： ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为34400元． 答：储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决实际问题，以及利用二次函数求最大值，理解题意，正确地列出方程和函数关系式是解题的关键． 20．如图，在中，D为边上的一点，，与、分别相交于点F、G，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，点为边上的一点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长．（提示：先求出与，之间的关系） 【答案】(1)证明：，， ， ． ， ， ； (2) 【分析】（1）证明，得出．证明，即可得出结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，且，从而得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴垂直平分， ， ，， ， ，且， ， ． ，， ， 解得负值舍去． 22．在二次函数中， (1)若它的图象过点，求二次函数的解析式； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入求出t的值即可； （2）由解析式得二次函数开口方向、对称轴位置，结合分情况讨论，根据最小值为列方程求解t； （3）由，关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：开口向上，对称轴为：直线， 若，则当时，取最小值， ， 解得， ， ； 若，则当时，取最小值， ， 解得（不合题意，舍去）， 综上可得，； （3）解：，关于对称轴直线对称， ，即，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 当时，， 抛物线与y轴交点， 对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为，即， ，， ，解得， 当A，B都在对称轴左边时， ， ， ； 当A，B分别在对称轴两侧时， ， B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离， ， 解得， ， 综上可得，或． 23．定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫这个三角形的“和谐分割线”． 例如：如图1所示，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“和谐分割线”．      请回答下列问题： (1)如图1所示，在中，，，点在上，且．求证：是的“和谐分割线”； (2)如图2所示，在中，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是等腰三角形，且，则的度数是 ． (3)如图3所示，在中，，，是的“和谐分割线”，它把分成和，其中是以为底边的等腰三角形，且，求和谐分割线的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的“和谐分割线”； (2)或 (3)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可； （2）分两种情况讨论，根据题意解答即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时， 得， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 不存在，舍去； 综上分析可知，的度数为或； （3）解：∵是的“和谐分割线”，且是以为底边的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， 解得：，． 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)方程不是“邻根方程”，理由如下： ， 解得，． ， ∴方程不是“邻根方程”． (2)或 (3)最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再根据新定义得，再解方程即可； （3）根据新定义得，再利用根与系数的关系得到与的关系式，将代数式转化为关于的式子，通过配方可求出最大值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， 解得或． （3）解：设方程的两个根分别为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，代数式有最大值，为16． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围：第21章二次函数与反比例函数~第3章相似形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分) 1.若△ABCADEF,∠A=70，°∠F=64°，则∠B的度数为() A.70° B.64° C.46° D.36° 2。下列抛物线只通过平移能与抛物线=(+重合的是《) A.y=-x2 B.y=2x2+1 c.y=(x-02 D.y=-(x+1)}+1 3.如图，AD∥BE∥CF,若AB=3,BC=4,EF=6,则DE的长度是() B F 2 A.9 B c.2 D.8 4.若y=(m-+3x-5是y关于x的二次函数，则m的值为（) A.-1 B.1 C.±1 D.0 5.已知点4(-2，）.B3)C(7,5 都在二次函数=x-2沙+的图象上，则乃，片，y的大小 关系正确的是() A.片<片<h B.乃<h<h C. D.片<h<⅓ 6.城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径.小华了解到 某列车在未进站时开始减速滑行，列车离停车线的距离$（单位：米）与滑行时间！（单位：秒）满足关 系=P-16+256。则列车从开始减速到件止时经过的时间为(） A.16秒 B.24秒 C.32秒 D.36秒 7.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象.图1是小孔成像实验图，抽象为数学模 试卷第1页（共3页） 型如图2所示.已知AC与BD交于点O,AB∥CD.若点O到AB的距离为l0cm,点O到CD的距离为 15cm,蜡烛火焰AB的高度是4cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是() 10cm 15cm 8 A.3cm B.6cm C.7cm D.8cm &.如图，D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点，且DE∥AB,连接AE,BD,交于点O.若 ,则4DO SACDE:S△BDE=2:3 的周长与△AOB 的周长比为() A.5 c.3 n 9.已知二次函数'=+c+C(b,C为常数)，X=0与x=4时的函数值相等， 且它的图象与轴的两 个交点之间的距离为6，若点1(m)、B(6, 在该函数的图象上，则m+n的值为() A.-1 B.1 C.-15 D.15 10.如图，在坐标系中，以1(0,2)为位似中心，在'轴右侧作△4BC放大2倍后的位似图形△4BC,若 C的对应点C的坐标为mm),则点C的坐标为() ,（n,m) 0 试卷第2页（共3页） a（m+3 B（%m-3 n.〔m-2 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） Ⅱ.悲物线-团+加+的对称制及部分图象因所不，则天于产位一元三次方+c-0 的两根 为 2 6 6,4) 12.如图，在直角坐标系中，△0MB与△0CD是以原点0为位似中心的位似图形.若点 的对应点 为C(3,-2）,则点B(40) 的对应点D的坐标为 D B a b c 13.若3=46且a+b-c=6,则a= 14,如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =x(k为常数，且k≠0，x>0)的图象经过点A八B: AC⊥x CBD⊥y. D 轴于点， 接0、0D,若0C与0BD 轴于点”，连接、 的面积之和为6，则的值为 试卷第3页（共3页） D 15.已知关于*的元二次方程-(+2)+2k=0k>2）,设方程的两个实数根分别为5（其中 >),若'是关于k的函数，且'=低-(<5列，则k的取值范围为 16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与aDEF位似，位似中心是点P,AB,DE都与x轴平行，点 C,F,P均在*箱上，点4，E均在'轴上.若点B的坐标是23)，点D的横坐标为1，则点P的坐 标为 P FO C 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17.如图△MBC的顶点坐标分别为1，)，B(2,3).C(4,0) 65 4 1 A: C 9-8-7-6-54-3-2-10 123456789x 2 3 4 5 7 (I)以点O为位似中心画△DEF,使它与△ABC位似，且相似比为2； 试卷第4页（共3页） ②在1)的条件下，M(a,b)是△MBC边上的任意一点，请直接写出△DBF的边上与点M对应的点M 的坐标. 2 18.如图，一次函数y=一3x+2与反比例函数y=(k为常数，k0)的图象交于点A(-3,m),与x 轴交于点B, (1)求反比例函数的解析式： (2)点C与点B关于y轴对称，点D是反比例函数第四象限图象上一点，连接BD、CD,若△BCD的面积 为6，求点D的坐标。 19.一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以按1600元/吨的 价格出售.如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的 价格将上涨200元. (1)储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ (2)储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ (3)储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 20.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AE∥BC,CE与AD、AB分别相交于点F、G, ∠E=∠BAD G (I)求证：△ABDACBG: (2)连接DG,，求证：AC·BD=DG·BA. 21.如图，点E为△ABC边BC上的一点，过点C作CF⊥BA,交BA的延长线于点D,交EA的延长线于 试卷第5页（共3页） FD BD 点F'且ADCD B E (I)求证：AE⊥BC: (2)若BE=CE,AB=10,BD=12.4,求BC的长.（提示：先求出BC与AB,BD之间的关系） 2.在二次函数=-2x+3>0中. (①)若它的图象过点(2，D,求二次函数的解析式： (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值； (3)如果Am-2,a,B4,b),Cm,4都在这个二次函数的图象上，且a<b<3,求m的取值范围. 23.定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连的线段 把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这 条线段叫这个三角形的“和谐分割线” 例如：如图1所示，AD把△ABC分成△ABD和△ADC,若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽aBAC,那么 AD就是△ABC的“和谐分割线” D B 图1 图2 图3 请回答下列问题： (I)如图1所示，在△ABC中，∠ABC=4O°，∠BAC=110°，点D在BC上，且AB=BD.求证：AD是 △ABC的“和谐分割线”； (2)如图2所示，在△ABC中，∠ABC=48°，AD是△ABC的“和谐分割线”，它把△ABC分成△ABD和 △ADC,其中△ABD是等腰三角形，且△CAD∽△CBA,则∠BAC的度数是_· (3)如图3所示，在△ABC中，AB=6,AC=4,AD是△ABC的“和谐分割线”，它把△ABC分成△ABD 和△ADC,其中△ABD是以AD为底边的等腰三角形，且△ADC∽aBAC,求和谐分割线AD的长. 试卷第6页（共3页） 24.如果关于x的一元二次方程 m+x+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么 称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程+x=0 的两个根是5=0名=-1 ,则方程 x2+x=0是“邻根方程”. (1)判断方程x2+4x-5=0是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于x的方 程-(m-x-m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程+bx+1=0(a、b是常数，且a>0)是“邻根方程”，试求出代数式12a-b的最 大值. 试卷第7页（共3页）