精品解析：天津市第一百中学2024-2025学年高二上学期过程性诊断（2）（12月）数学试题

天津市第一百中学2024—2025学年第一学期过程性诊断（2） 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一. 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：C． 2. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与平行， 则，解得， 故选：B. 3. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 4. 已知为等比数列{}的前 项和， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据前项和公式，根据得，即可根据求解. 【详解】若公比，则这与矛盾，故公比不为1， 由可得，故， 又，故， 故选：D 5. 直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，点为A、B的中点，利用“点差法”可求得直线的斜率． 【详解】设，，点是线段的中点，则，， A、B两点代入椭圆方程作差，得， 所以，由题意知，直线的斜率存在，所以， 得. 故选：A. 6. 已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 7. 若为等差数列，为的前项和，，，则当（ ）时 取最大值. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出数列为递减数列，且当时，，当时，，由此可得出结论. 【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则， 因为，则，故， 设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列， 故当时，，当时，， 所以，当时，取最大值. 故选：B. 8. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦半径，以及锐角三角函数即可求解. 【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点， 由于，则，故,进而，故. 故选：A 9. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则， 在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.请将正确的答案填写到答题纸上. 10. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，设出所求直线方程，将点的坐标代入直线得出，求出参数值，综合可得出所求直线的方程. 【详解】若直线过原点，设直线方程为， 将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为； 若直线不过原点，设所求直线方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 11. 已知圆圆的公共弦长为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆公共弦所在直线，然后计算出圆心到公共弦所在直线的距离，结合勾股定理可求得公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 两圆圆心距为， 所以，，所以，两圆相交， 将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故两圆公共弦长为. 故答案为：. 12. 若是公比不为的等比数列，为的前项和，且、、成等差数列，则数列的公比为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，为的前项和， 因为、、成等差数列，则，即， 即，所以，， 因为，解得. 故答案为：. 13. 直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断点在圆内，不妨令，当直线时，直线被圆截得弦长最短，求出，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为，因为， 所以点在圆内，不妨令， 当直线时，直线过点且被圆截得的弦长最短， 因为，所以，则直线的方程为，即. 故答案为： 14. 等差数列{}与{}的前项和分别为、，且 则 ________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质结合前项和公式计算即可. 【详解】等差数列{}与{}的前项和分别为， 则. 故答案为：. 15. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示： 易知，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线的定义可得，所以，， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 16. 已知数列满足，则数列的前n项和________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式可得，再利用裂项相消法求和. 【详解】由已知， 则， 所以， 故答案为：. 17. 直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，求出当直线与曲线相切时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得答案. 【详解】由可知，，变形可得，即， 所以，曲线表示圆的上半圆， 直线的方程可化为，则直线过定点，且斜率为， 如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，， 由题意可得，解得； 当直线过点，则，解得. 由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点. 故答案为：. 18. 在数列中，，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用公式，可得． 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：． 三. 解答题：本大题共4小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程，结合圆心在直线上，即可求解； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为 【小问2详解】 由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 20. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 【答案】（1）证明：由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD， 由平面ABCD，所以，又， ，平面， 所以平面， 以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 则，所以， 易知平面的一个法向量为， 得，又平面， 所以 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则. 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 21. 已知数列，，，为数列的前项和，且. （1）令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； （2）设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）略 （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. 【小问2详解】 因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 22. 若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍. （1）求椭圆的标准方程； （2）若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线 及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出点的坐标，分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，其中，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，进一步计算可知为线段的中点，利用三角形的面积公式可得出，可得出，求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，并结合可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 易知点，因为，则， 若直线的斜率不存在，则直线的垂直平分线为轴，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则线段的垂直平分线为轴，不合乎题意， 设直线的方程为，其中，，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，则， 所以，线段的中点为， 所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为， 即，故点，， 因为，，所以，为线段的中点， ，所以，， 设点，则，即， 所以，，即，即点， 将点的坐标代入椭圆方程可得，可得， 所以，，可得， 解得或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一百中学2024—2025学年第一学期过程性诊断（2） 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一. 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 3. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列{}的前 项和， 则（ ） A. B. C. D. 5. 直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 7. 若为等差数列，为的前项和，，，则当（ ）时 取最大值. A. B. C. D. 8. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.请将正确的答案填写到答题纸上. 10. 过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为_____________. 11. 已知圆圆的公共弦长为____. 12. 若是公比不为的等比数列，为的前项和，且、、成等差数列，则数列的公比为_____ 13. 直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 14. 等差数列{}与{}的前项和分别为、，且 则 ________________ 15. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 16. 已知数列满足，则数列的前n项和________________ 17. 直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围________. 18. 在数列中，，且，则________ 三. 解答题：本大题共4小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 20. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 21. 已知数列，，，为数列的前项和，且. （1）令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； （2）设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 22. 若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍. （1）求椭圆的标准方程； （2）若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线 及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $