精品解析：湖北襄阳市2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

数学试题 考试时间：2026年11月4日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 且为奇函数 B. 且为奇函数 C. 且为偶函数 D. 且为偶函数 4. 若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知角终边上一点坐标，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 若，则的虚部为 B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数是幂函数，且是奇函数，则 B. 的最小值为2 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知内角，，的对应边为，，，若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 是函数的一个周期 C. 函数在上单调递增 D. ， 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为___________ 13. 已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为________. 14. 如图，有一块半径为的半圆形广场，为的中点.现要在该广场内以为中轴线划出一块扇形区域，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆和圆），使得圆内切于扇形，圆与扇形的两条半径相切，且与圆外切.记（），设圆的半径为，圆的半径为，则可表示成的函数式为________，若，则圆与圆的面积之比为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数； （1）求函数的最小值； （2）当时，证明：. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的平分线与相交于点D，且，求的面积． 17. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 18. 已知函数的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式； （2）已知关于x的方程在内恰有两个不同的解，. ①求实数的取值范围. ②证明：. 19. 已知，． （1）求的极小值； （2）若方程有两个不相等的实数根，． ①求a的取值范围； ②若恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 考试时间：2026年11月4日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为集合是分式不等式的解集，所以可将其转化为等价的整式不等式组来求解， 注意分母不为0的条件，求出集合后，根据补集的定义求出. 最后根据交集的定义，计算与集合的交集. 【详解】因为集合，则， 所以. 故选：B. 2. 记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，，， 由余弦定理 ，得， 故. 3. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 且为奇函数 B. 且为奇函数 C. 且为偶函数 D. 且为偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】. 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 4. 若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 令，得，所以切点坐标为， 代入曲线得，所以. 5. 已知角终边上一点坐标，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由角终边上一点坐标为，该点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义，可得： ，. 则 ，  将，，代入上式得：  . 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，，则（ ） A. 若，则的虚部为 B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由虚部定义可判断选项正误；对于B，由纯虚数定义可判断选项正误；对于C，由共轭复数，复数模概念可判断选项正误；对于D，由复数坐标表示可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，，则其虚部为1，故A正确； 对于B，当为纯虚数时，，则，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题可得在复平面上对应坐标为，因，则， 则在第二象限，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数是幂函数，且是奇函数，则 B. 的最小值为2 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知内角，，的对应边为，，，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，根据幂函数的定义及函数的奇偶性求出，进而求出；选项B，结合换元法及函数的单调性求最值即可；选项C，根据 复合函数的定义域的解法求解即可；选项D，利用二倍角公式得，进而求出，结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】选项A：根据幂函数的定义，得，解得或. 当时，，是偶函数，不符合奇函数的要求，舍去； 当时，，是奇函数，符合条件， 故，此时，代入得，A正确. 选项B：令，则，原函数可化为. 根据对勾函数的单调性，在上单调递增， 因此当时，函数最小值在处取得，即，B错误. 选项C：因为函数的定义域为，所以，解得， 因此的定义域为，C正确. 选项D：由，得，即. 因为是三角形内角，，所以，因此或，即或. 当时，值为； 当时，值为，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 是函数的一个周期 C. 函数在上单调递增 D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照选项要求写出对应的函数，利用正弦函数的最值判断选项A，利用周期函数定义结合诱导公式判断选项B，利用导函数求函数单调性方法结合和差化积公式、三角函数判断选项C，利用经典不等式与绝对值不等式判断选项D. 【详解】对于A， ，要使函数的最小值为， 则函数和同时取到最小值， 由正弦函数性质可得函数和无法同时取到最小值， 所以函数的最小值不是，A错误； 对于B，， ， 故是函数的一个周期，B正确； 对于C，， 当，，故， 故在上恒成立，即在上单调递增，C正确； 对于D，令，，又， 故，即在上单调递增，， 当时，，即，当时，， 故时，，当时，， 综上所述，， ，放缩成立，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为___________ 【答案】## 【解析】 【详解】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，则. 当时，，； 当时，分别为、，均大于，且越大，取值越大， 所以的最小值为. 13. 已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数可得在上单调递增，且，原不等式转化为求的解集，根据函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为，所以， 所以在上单调递增，且， 由，得， 即，即， 所以， 即不等式的解集为. 14. 如图，有一块半径为的半圆形广场，为的中点.现要在该广场内以为中轴线划出一块扇形区域，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆和圆），使得圆内切于扇形，圆与扇形的两条半径相切，且与圆外切.记（），设圆的半径为，圆的半径为，则可表示成的函数式为________，若，则圆与圆的面积之比为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用圆内切于扇形，结合三角函数建立与的关系，求出的表达式；根据圆与扇形两边相切、与圆外切，得到的关系式；结合条件，解出；由圆面积公式，面积比等于半径平方之比，代入计算得到结果. 【详解】空1：扇形半径为，半角， 圆内切于扇形：圆心在角平分线上， 圆心到距离为，， ， ， ， ； 空2：， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，， 所以， 因为，所以， 即， 解得， 即， 即， 则， 因为，，所以， 则， 则. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数； （1）求函数的最小值； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明：令，. ，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 所以，即，也即. 综上，当时，. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （2）构造函数，根据导数与单调性及最值的关系证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，即. 故函数的最小值为. 【小问2详解】 略 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的平分线与相交于点D，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将所给式子的边化角，再利用三角恒等变换的公式进行化简变形即可求解. （2）利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积的等量关系得到有关，的等式，再结合余弦定理，即可求解，进而可求解面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 因为为的平分线，所以， 又因为，且， 所以， 整理得． 又由余弦定理得， 又，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以△ABC的面积为． 17. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 【答案】（1）时，取最小值；时，取最大值42. （2）. 【解析】 【分析】（1）先把看成一个整体自变量，转化成二次函数在给定范围内求最值问题即可. （2）先配方，再由二次函数的性质，对范围分两次讨论即可. 【小问1详解】 当时，，即， 因为时，有， 所以当即时，取最小值； 当即时，取最大值42. 【小问2详解】 ． 当时，，又，则， ，故，与的最小值为矛盾； 当时，，从而当，即时， 取最小值，又因为的最小值为， 所以，即， 而为锐角，，则. 18. 已知函数的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式； （2）已知关于x的方程在内恰有两个不同的解，. ①求实数的取值范围. ②证明：. 【答案】（1）；（2）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算得到，计算，得到答案. （2）计算得到，得到m的取值范围是，计算，故，得到证明. 【详解】（1）易知，设周期为T，则，，， ，，， ，，，. （2）① ，其中，， 当时，函数值为1，且，画出函数图像， 实数m的取值范围是. ②，，， ，. . 【点睛】本题考查了三角函数解析式，参数范围，证明恒等式，意在考查学生的综合应用能力. 19. 已知，． （1）求的极小值； （2）若方程有两个不相等的实数根，． ①求a的取值范围； ②若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据函数导数，判断函数单调区间，进而确定函数极小值点，直接求出结果即可； （2）①根据方程的根和函数零点的关系，根据方程构造函数，求出函数单调性，判断函数最小值，进而说明参数范围； ②根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数和基本不等式，判断函数最小值，进而说明参数范围. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在处取得极小值，可知. 【小问2详解】 ①方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可知， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根． 故a的取值范围为． ②原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，，则，且满足 不妨设，下面证明， 令，则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 可得，要使不等式恒成立，只需， 故k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $