精品解析：甘肃省兰州市第三中学2026～2027学年高一上学期期中数学试卷

高一数学 总分：150 分　　时间：120 分钟 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，记集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由交集的定义得，所以. 2. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得和是方程的两根，由根与系数关系可得，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题可得和是方程的两根， 所以，解得， 所以不等式即， 解得或，故C正确. 故选：C. 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，， 对应关系不一致，不是同一函数，故B错误； 对于C，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为， 此时函数与函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D正确. 7. 设函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再分和两种情况分别求解不等式，最后合并两类解集得到结果. 【详解】时，，原不等式等价于。 分情况讨论： 当时，，不等式转化为， 整理得，因式分解为， 解得或，根据，得该区间内解集为或； 当时，，不等式转化为， 解得，根据，得该区间内解集为， 综上所述不等式的解集是. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别比较函数的定义域、求函数值域，联立函数关系式求解析式，并由自变量的取值范围确定定义域. 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，两者定义域不同，A错误. 对于B，由，得，等号在时成立； 又可取内的任意值，因此值域为，B正确. 对于C，将代入已知等式，得. 将原等式两边同乘2，再与所得等式相加，得，故，C正确. 对于D，由的定义域为，知，则， 所以的定义域为，D正确. 10. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件： ①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，R，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知三个条件，可以画出函数的简图，利用简图易于判断A项错误，B，C两项则可以 利用图像特征布列不等式（组）解决；D项中，根据图像可判断函数有最大值即可判断. 【详解】 由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数； 由③知函数 经过点.综合①②③知，该函数图像关于轴对称， 且在轴右侧为减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图. 对于选项A，显然，故A项错误； 对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得： 由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确； 对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由 可得，故有，，解得：或， 即：，故C项错误； 对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的， 故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用复合函数求定义域的方法求解；B选项，按照和两种情况讨论结合二次函数的图像和性质求解；C选项，利用二次函数的图像和性质求解；D选项，利用基本不等式求解. 【详解】A选项，因为的定义域为，所以中的， 则中的，即， 解得，即，则的定义域为，故选项A正确； B选项，因为x的不等式恒成立， 所以当时，不等式化为恒成立，故满足条件. 当时，二次函数的图像需开口向下且与轴无公共点， 则，且，解得， 综上，的取值范围为；故选项B错误. C 选项，函数在区间上单调递减， 函数的图像开口向上，对称轴为， 因为在上单调递减，则，解得，故选项C正确. D 选项，当时，由基本不等式得， 当且仅当，时取等号. 当时，，所以， 值域为，故选项D错误. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 函数的定义域为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义的约束条件，即偶次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组，求解解集的交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，则 解得且， 即函数的定义域为. 14. 某班所有同学都参加了语文和数学两个学科的兴趣考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有43人，该班共有______个同学． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意设出对应的集合，利用容斥原理即可求解． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有43个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生， 由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以该班共有50人． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2） 已知，若“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，结合集合的交、并、补运算求解； （2）由题意得 ，列不等式计算即可求解. 【小问1详解】 ，， 若，则， ， . 【小问2详解】 “”是“”的充分不必要条件，即 ， 若，则，，，解得， 所以实数t的取值范围为. 16. 已知命题恒成立，命题，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题求解即可； （2）先得到命题和命题为真命题时的取值范围，进而结合题设讨论求解即可. 【小问1详解】 若命题为真，则不等式对一切实数都成立， 当时，不等式为，恒成立，满足题意； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）知，若命题为真命题，则， 对于命题，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 若命题为真命题，则，即. 由于命题和中有且只有一个真命题， 当真假时， ，解得； 当假真时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为或. 17. 习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. （1）试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； （2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： 【小问2详解】 当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述：2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 19. 设函数. （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集； （3）若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）. （2）时，不等式解集为； 时，不等式化为，解集为； 时，不等式解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式整理为标准二次不等式形式，结合解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理列方程求解. （2）根据，结合两个根的大小关系，分情况讨论即得不等式的解集. （3）先利用基本不等式求出在上的最小值，将问题转化为对恒成立，求出在上的最小值即得的范围. 【小问1详解】 将代入不等式， 整理得：， 因为不等式解集为，所以， 且对应的一元二次方程的两根为. 根据韦达定理： 解得，； 【小问2详解】 当时，不等式， ①当，即时，不等式解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式解集为. 【小问3详解】 对，， 当且仅当即时取等，则的最小值为3. 原恒成立条件等价于：对，恒成立， 即， 也即对恒成立. 整理得对恒成立. 令，由得， 对恒成立， 又因函数在处取最小值， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 总分：150 分　　时间：120 分钟 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，记集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 设函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件： ①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，R，使得 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数，则_____ 13. 函数的定义域为________ 14. 某班所有同学都参加了语文和数学两个学科的兴趣考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有43人，该班共有______个同学． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2） 已知，若“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围． 16. 已知命题恒成立，命题，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. （1）试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； （2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 19. 设函数. （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集； （3）若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $