精品解析：甘肃兰州市外国语高级中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

兰州市外国语高级中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，即；由得， 所以． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，结合偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义， 需满足：，解得且. 故函数的定义域为. 3. 若是奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知是奇函数，且当时，， 则. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项并通分，再将不等式等价为且，进而根据不等式性质进行求解即可. 【详解】由，移项得：，通分可得：， 因此原不等式可等价为且. 当时，即时，满足，此时解得：； 当时，即时，满足，此时无解. 综上可得不等式的解集为. 5. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解函数值即可. 【详解】因为，所以． 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：作差可得， 由，可知分子，分母，故，即，A正确； 对于B：由可知分母，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，可得，B正确； 对于C：由得，说明同号； 若均为负数，取特例，满足，但，与结论矛盾，C错误； 对于D：由得，因为，所以，D正确. 7. 已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案． 【详解】因为是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 因此由在上的图象，可得它在上的图象如图所示， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此不等式的解集为． 8. 已知函数 满足对定义域内任意实数 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件判断分段函数整体单调递减，分别保证两段各自递减，再满足左段在处的函数值大于等于右段的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】由条件知 在 上单调递减． 当 时， 的对称轴为 ， 需 ，即 ； 当 时，需 ，即 ； 又 ，即 ． 综上 ， 则实数 的取值范围为． 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9. 如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上有最大值3，有最小值 D. 在区间上的最大值为3，最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象总结函数性质，逐项判断即可. 【详解】对A：由图可知，函数在和上单调递减，单调区间不能用并集符号连接，故A错误； 对B：由图可知，在上单调递增，故B正确； 对C：由图可知，在上有最大值3，有最小值，故C正确； 对D：由图可知在区间上无最大值，最小值为，故D错误. 故选：BC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 时， B. 时， C. 时， D. 时， 【答案】ACD 【解析】 【详解】A项： 时，，当且仅当时取等号，A选项正确. B项： 时，，当且仅当时取等号，B选项错误. C项： 时，，当且仅当时取等号，C选项正确. D项： 时，，当且仅当时取等号，D选项正确. 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得“的否定是“，均有“ B. ， C. ““是“”的必要不充分条件 D. ““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解，对于B，结合配方法，即可求解，对于C，解出方程的解，即可求解，对于D，结合韦达定理，以及二次函数的判别式，即可求解． 【详解】对于A，“，使得“的否定是“，均有“，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，解得或， 故““是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，，的判别式为正数，两根积为，， 故方程为一正，一负两根， 关于的方程有一正根、一负根， 则，解得， 故““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分） 12. 函数 的单调递增区间是________． 【答案】， 【解析】 【分析】先找到二次函数的零点和对称轴，其绝对值的图象是把轴下方图象翻折上来，观察图象，即可得到这个函数的单调递增区间． 【详解】由题意得．且的图象的对称轴为， 函数的图象是把的图象位于轴上方的保留不变， 把位于轴下方的部分以轴为对称轴对称到轴的上方得到的，如图所示， 所以函数单调递增区间为和． 13. 已知函数满足，则函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【详解】令，得，代入，得， 即的解析式为. 14. 在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，利用分离参数法转化为恒成立问题，再借助基本不等式求出函数的最大值，进而得到参数的取值范围. 【详解】先化简左边， 原不等式可转化为：.  由于对任意实数恒成立，因此可以直接两边除以，不等号方向不变，得到： ​ 题目要求：时，不等式恒成立，即 设，则， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立. 因此，即， 所以，故实数a的取值范围是. 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】（1）； （2） 定义域为，值域为. 【解析】 【小问1详解】 当， ；当，. 故； 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为 ，且，              则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得，                               所以所求实数的范围是. 17. 已知函数． （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）求该函数在上的最小值． 【答案】（1）最小值为，最大值为. （2）当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为 . 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）函数是开口向上的二次函数，对称轴为，分类讨论对称轴相对于区间的位置，求出最小值即可． 【小问1详解】 当 时，， 由函数开口向上，对称轴为：， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以当时， 取得最小值； 又，所以最大值为． 所以该函数在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 由可知，图象的开口向上，对称轴为：， 当，即时，在上单调递增， 所以最小值为； 当，即时， 最小值为： ； 当，即时，在上单调递减， 最小值为 ， 综上所述，当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为 . 18. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或（舍），即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，(不同时取等号)，解得， 综上，实数的取值范围为． 19. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；若，解集为；若，解集为． 【解析】 【小问1详解】 当时，恒成立； 当时，则需满足且，解得； 当时，二次函数图象开口向下，不可能恒成立． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 由，得，即． 当时，不等式化为，解集为； 当时，该不等式对应的方程的解为或． 当时，，由不等式对应的二次函数图象， 可得不等式的解集为； 当时，需比较与的大小：若，则， 由不等式对应的二次函数图象，可得不等式的解集为； 若，则，不等式化为，解集为； 若，则，由不等式对应的二次函数图象， 可得不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市外国语高级中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若是奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 满足对定义域内任意实数 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9. 如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上有最大值3，有最小值 D. 在区间上的最大值为3，最小值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 时， B. 时， C. 时， D. 时， 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得“的否定是“，均有“ B. ， C. ““是“”的必要不充分条件 D. ““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分） 12. 函数 的单调递增区间是________． 13. 已知函数满足，则函数的解析式为__________. 14. 在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 16. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）求该函数在上的最小值． 18. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $