1.1.1 三角形的边和角 课件 -2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏教版数学八年级上册 **1.1.1 三角形的边和角** 专项练习（约 1600 字，含三边关系、内角和、外角性质与边角关系） **一、知识梳理** 1. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只要比较“较短两边之和”与“最长边”的大小即可。 2. 已知两边长为 a、b，则第三边 c 的取值范围是 |a－b|＜c＜a＋b。 3. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 4. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和等于 360°。 5. 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 6. 边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 7. 等腰三角形“已知两边求周长”必须分类讨论，并逐一用三边关系检验。 **二、选择题** 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，8 D．4，5，6 2. 三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长 x 的取值范围是（ ） A．3＜x＜7 B．4＜x＜10 C．4≤x≤10 D．0＜x＜10 3. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC 是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4. 等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长是（ ） A．17 B．22 C．17 或 22 D．无法确定 5. 三角形的一个外角为 140°，与它不相邻的两个内角之比为 2∶5，则较小的内角为（ ） A．20° B．40° C．50° D．70° 6. 在△ABC 中，∠A＝50°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，则∠BOC 的度数为（ ） A．65° B．115° C．130° D．155° 7. 下列说法正确的是（ ） A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．三角形的三个内角中，至少有一个角不大于 60° C．三角形中最长边所对的角不一定最大 D．直角三角形只有一条高 8. 长度分别为 2、7、x 的三条线段能组成三角形，且 x 为整数，则 x 的取值有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 9. 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 **三、填空题** 10. 三角形的三边长分别为 5、8、x，且 x 为整数，则 x 的最大值是______。 11. 在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠B＝______。 12. 直角三角形中，一个锐角为 32°，则另一个锐角为______。 13. 三角形的一个外角等于与它相邻内角的 4 倍，则这个内角为______。 14. 三角形的两边长分别为 6 和 10，第三边为整数且是最长边，则第三边的最大值是______。 15. 三角形的两边长分别为 9 和 4，第三边长是偶数，则第三边长可以是______（写出所有可能值）。 **四、解答题** 16. 已知等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 4，求另外两边的长。 17. 在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，CD⊥AB 于点 D，求∠BCD 的度数。 18. 在△ABC 中，∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，求△ABC 各内角的度数，并判断它的形状。 19. 在△ABC 中，∠A 的外角为 120°，∠B＝2∠C，求∠C 的度数。 20. 一个三角形的三边长是三个连续整数，且周长为 24，求这个三角形的三边长。 **五、参考答案与解析** 1. D。A 中 1＋2＝3，B 中 2＋3＜6，C 中 3＋4＜8，均不能围成三角形；4＋5＞6，故选 D。 2. B。第三边 x 满足 7－3＜x＜7＋3，即 4＜x＜10。 3. B。设三个角为 k、2k、3k，由 6k＝180° 得 k＝30°，三个角为 30°、60°、90°。 4. B。若腰为 4，则 4＋4＜9，不能构成三角形；若腰为 9，则 9＋9＞4，周长为 9＋9＋4＝22。 5. B。两个内角之和为 140°，按 2∶5 分配得 40° 与 100°，较小的是 40°。 6. B。∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）÷2＝180°－（180°－50°）÷2＝180°－65°＝115°。 7. B。外角可能小于与它相邻的内角，A 错；若三个角都大于 60°，和必超过 180°，故 B 对；大边对大角，C 错；三角形有三条高，D 错。 8. A。由 7－2＜x＜7＋2 得 5＜x＜9，整数 x 取 6、7、8，共 3 个。 9. D。外角和为 360°，取 100°、130°、130°，三个外角都是钝角，故最多 3 个。 10. 12。3＜x＜13，整数中最大为 12。 11. 70°。∠B＝（180°－40°）÷2＝70°。 12. 58°。90°－32°＝58°。 13. 36°。设内角为 x，则外角为 4x，由 x＋4x＝180° 得 x＝36°。 14. 15。4＜x＜16，且 x 为最长边，故 10＜x＜16，最大整数为 15。 15. 6、8、10、12。由 9－4＜x＜9＋4 得 5＜x＜13，取其中的偶数得 6、8、10、12。 16. 若 4 为腰：底边＝20－4－4＝12，而 4＋4＜12，不能构成三角形，舍去；若 4 为底：腰长＝（20－4）÷2＝8，8＋8＞4，符合题意。故另外两边长都是 8。 17. 在△ABC 中，∠ACB＝180°－50°－60°＝70°。因为 CD⊥AB，所以∠BDC＝90°，∠BCD＝180°－90°－∠B＝90°－60°＝30°。 18. 设∠B＝x，则∠A＝x＋20°，∠C＝2x，由 x＋20°＋x＋2x＝180° 得 4x＝160°，x＝40°，所以∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝80°，三个角都是锐角，是锐角三角形。 19. ∠A 的外角等于与它不相邻的两内角之和，即∠B＋∠C＝120°。又∠B＝2∠C，得 3∠C＝120°，所以∠C＝40°。 20. 设三边为 n、n＋1、n＋2，由 n＋n＋1＋n＋2＝24 得 n＝7，三边长为 7、8、9；检验 7＋8＞9，能构成三角形。 **六、易错提醒** (1) 判断三边能否构成三角形，只比较最短两边之和与最长边，不要每条边都试一遍，容易漏判。 (2) 等腰三角形已知两边求周长，两种情况都要用“两腰之和大于底边”检验，不成立的必须舍去，不能直接把两个数相加。 (3) 求外角优先用“外角等于不相邻两内角之和”，比先求 180° 再减内角更快，也更不易错。 (4) 涉及角平分线夹角，先求另外两角之和，再用 180° 减去和的一半，注意不要漏掉“一半”。 全卷共 20 题（选择 9、填空 6、解答 5），题号与答案一一对应，每道题都已重新计算核对。如果你需要，我可以某一道题的解答写得更详细，也可以拆成“基础版、提高版”两份。 苏科版（新教材）数学九年级上册 1.1.1 三角形的边和角 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/7 第1章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 新知探究 我们已经知道三角形的三个内角之和为180°，那么三角形的三条边之间有什么关系呢？ 尝试 能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 2 + 3 < 6，不能 探究新知 尝试 新知探究 能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 3 + 4 = 7，不能 探究新知 新知探究 如图，因为BA + AC是连接B，C两点的折线长度，BC是连接B，C两点的线段长度，根据基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”，可知BA + AC > BC。 同理，AC + CB > AB，AB + BC > AC。 小学里我们学过，三角形两边之和大于第三边。 如何证明这个结论呢？ 探究新知 新知探究 于是，我们得到： 三角形的任意两边之和大于第三边。 提分笔记 探究新知 新知探究 请完成下列表格，并说说你的发现。 任意两边之和与第三边的大小 能否构成三角形 ① 3，4，5 3 + 5 > 4 4 + 5 > 3 ② 3，4，8 3 + 8 > 4 4 + 8 > 3 ③ 3，5，8 3 + 8 > 5 5 + 8 > 3 ④ 4，5，8 4 + 8 > 5 5 + 8 > 4 3 + 4 > 5 3 + 4 < 8 3 + 5 = 8 4 + 5 > 8 猜想：只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度， 那么这三条线段能构成三角形。 探究新知 新知探究 如图，AC < AB < BC，且AC + AB > BC， 求证：AB、AC、BC这3条线段能构成一个三角形。 A B C 证明：∵AC < AB < BC，且AC + AB > BC， ∴AC + BC > AC + AB > BC > AB， AB + BC > AB + AC > BC > AC， ∴任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度， ∴AB、AC、BC这3条线段能构成一个三角形。 探究新知 新知探究 判断三条线段能否围成三角形： 只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能构成三角形。 提分笔记 探究新知 典例分析 例1 如图，在△ABC中，求证：AB - BC < AC。 证明：在△ABC中， ∵AC + BC > AB ( 三角形的任意两边之和大于第三边 )， ∴AC + BC - BC > AB - BC ( 不等式的性质 )。 ∴AC > AB - BC， 即AB - BC < AC。 根据例1，可以进一步发现： 三角形的任意两边之差小于第三边。 探究新知 1. 下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成 三角形的是( ) B A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 返回 举一反三 10 2.在中，若， ，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D.与 的大小无法确定 返回 举一反三 11 3.若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数 的值可 以是_________________.（写出一个即可） 4（答案不唯一） 返回 举一反三 12 新知探究 我们已经知道了三角形的三个角之间的关系、三条边之间的关系，那么三角形的边与角之间有什么关系呢？ 问题 如图，在△ABC中，已知AB > AC，∠B与∠C哪一个更大？ 我们可以通过折纸的方式比较∠B，∠C的大小。 如图，作∠A的平分线AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AC′D， 则△ACD与△AC'D关于AD成轴对称。 因为AB > AC， 所以点C在边AB上，∠AC'D = ∠C。 探究新知 问题 新知探究 如图，在△ABC中，已知AB > AC，∠B与∠C哪一个更大？ 由∠ACD = ∠B + ∠BDC′， 可得∠AC'D > ∠B，所以∠C > ∠B。 由此可知：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。 探究新知 探究 新知探究 反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？ 如图，在△ABC中，已知∠B < ∠C，证明：AB > AC。 证明：假设AB ≤ AC。 ① 若AB = AC，则∠B = ∠C，与“∠B < ∠C”矛盾； ② 若AB < AC，由“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大”，得∠C < ∠B，与“∠B < ∠C”矛盾； 综上，假设不成立， ∴AB＞AC。 探究新知 于是，我们得到： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。( 简称“大边对大角，大角对大边”) 提分笔记 探究新知 4.三角形的三边长分别为5，，8，则 的取值范围是__________. 返回 举一反三 17 5.小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离 为 ，在某次训练挑战中他不确定 自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭 （ 的长度），于是 测量了相关长度.由于米尺长度有限，小刚测得 ， .根据小刚的测量，他____完成这项训练挑战.（填“能”或 “不能”） 能 返回 举一反三 18 6.已知的三边长是，， . （1）若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值； 解：的三边长是，，，，， . 又三角形的周长是小于22的偶数，, . 且为偶数. 或6. （2）化简： . 解：的三边长是,,, ， . 返回 举一反三 19 7.如图，在中，大于其他两边，， 分 别在，上，连接.求证： . 证明：连接， ， ， . 易知， . 易知，， . 返回 举一反三 20 8.如图，在中， ，， ， 点在边上（不与，两点重合），连接 ，则 的长可能是( ) C A.6 B.5.5 C.4.5 D.3 返回 举一反三 21 9.用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和 折断，能摆出不同的三角形的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 22 10. 已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但 它不是最短边，这样的三角形共有___个. 4 返回 举一反三 23 11.如图，在中，，将 向任意方向平移8个单位长度 得到 ,则 的长的最小值是___，最大值是____. 2 14 返回 举一反三 24 12. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样 的三角形叫作“倍长三角形”.若 是“倍长三角形”，有两条边的长 分别为2和3，则第三条边的长为_______. 1.5或4 返回 举一反三 25 三角形的任意两边之和大于第三边。 只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度， 那么这三条线段能构成三角形。 三角形的任意两边之差小于第三边。 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大， 较大的角所对的边也比较大。 ( 简称“大边对大角，大角对大边”) 课 堂 总 结 课堂小结 谢谢观看 THANKS $