精品解析：安徽省合肥市第七中学2026-2027学年高三上学期第二次质检数学试题

2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等式，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 7. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C. 经过4小时时针转了 D. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 当时，的最大值是 B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当正实数满足时，最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 B. g(2023)＝2 C. D. 若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将75°化为弧度是______. 13. 计算_________ 14. 已知实数x，y满足，，则______. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）. 15. 已知，. （1）求和的值； （2）若，，求证：. 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 19. 如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. （1）若函数有极值点，求的取值范围； （2）当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题首先可以根据函数的定义域得出，然后根据补集的性质得出，再然后根据的值域得出，最后根据交集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为， 所以，即，解得，， 因为全集，所以或， 因为，所以，， 则， 故选：D. 【点睛】易错点睛：表示集合时，一定要注意集合中元素的含义，例如，集合表示的是函数的定义域，集合表示的是函数的值域. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 3. 已知等式，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 4. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，结合函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合已知函数图象根据函数的定义域与奇偶性逐项判断即可得结论. 【详解】设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项； A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合； B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如和）进行比较.分别估算、、的大致范围，即可得出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 综合以上分析，有，即. 6. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 7. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先证是有三个不同零点的必要条件，再举特例说明不是有三个不同零点的充分条件. 【详解】因为所以， 因为有三个不同的零点，必有两个极值点， 所以有两个不同的根， 所以，所以， 又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号， 例如时，，，此时只有两个不同零点， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； 故选：B. 8. 已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C. 经过4小时时针转了 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由充要条件的定义及角所在象限的正负判断A；由弧长公式，求出半径判断B；由顺时针旋转的角为负角，判断C；由诱导公式求出的值，判断D. 【详解】对于A，由角终边在第二象限或第四象限，可得； 由，可得角终边在第二象限或第四象限； 所以角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确； 对于B，因为扇形的弧长为，圆心角为，设扇形的半径为， 所以， 解得，故B正确； 对于C，经过4小时时针转了，故C错误； 对于D，，故D错误. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 当时，的最大值是 B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当正实数满足时，最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，当时，，当且仅当时取等号，A正确； B选项：当时，，则，， 当且仅当即时等号成立，B选项正确； C选项：，当且仅当时等号成立. C选项错误； D选项：令由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 B. g(2023)＝2 C. D. 若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为f(1－x)是偶函数， 所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确； 因为g(x＋2)为偶函数，所以有， 因此函数关于直线对称， 由， 因此函数关于点对称，由 ，所以函数的周期为4， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以，故选项B不正确； 由，令，得，因此选项C正确； 因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减， 所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，函数有两个零点， 当时，由函数的周期为4， 可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将75°化为弧度是______. 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 计算_________ 【答案】 【解析】 【详解】原式 . 14. 已知实数x，y满足，，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】将方程化简整理，构造函数，从而得到即可求解. 【详解】， 令，则有，， 设函数，显然该函数为增函数，， 所以函数在上有唯一的零点， 因此， 故答案：6. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）. 15. 已知，. （1）求和的值； （2）若，，求证：. 【答案】（1）， （2）由（1）知， 因为， 因为，，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，所以； 所以. 【小问2详解】 略. 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入后，分别求出集合A和B的范围，再利用交集求解. （2）根据是的充分不必要条件，得出集合A是集合B的真子集，再进行分类讨论比较根的大小，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由解得，故， 当时，集合，由解得，故， 所以. 【小问2详解】 由题得，集合A是集合B的真子集，， ① 当时，即时，集合，不满足集合A是集合B的真子集，故不成立； ② 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，解得； ③ 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，此时无解. 综上，实数的取值范围是 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． 【小问2详解】 当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）(ⅰ)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ). 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）(ⅰ)求导，分类讨论可得函数的单调区间； (ⅱ)问题转化为与有两个交点.设，，分析函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，数形结合，可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，可得. 所以函数在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ，. (ⅰ)因为，. 当即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当即时，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ)由，可得，. 设，，则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且当时，；；当时，, 当时，;当时，. 作出函数的大致图象如下： 要使有两个零点，需使与有两个交点，由图知，解得. 所以当时，函数有两个零点. 19. 如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. （1）若函数有极值点，求的取值范围； （2）当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 【答案】（1） （2）①，证明：， 先证右边，即证，令， 即证：，令，， 则在上单调递增，得， 所以有，则有，得证； 再证左边，即证，令， 即证，令，， ， 则在上单调递减，， 所以有，则有，证毕! ② 证明：时，令，则关于单调递减， 则， ，令， ， 由，则时；时， 所以时有，时， 则有在上单调递增，在上单调递减，， 故，得. 【解析】 【分析】（1）函数有极值点，则在上有变号零点，利用二次函数的性质求解即可； （2）①证明，即证，令，即证：，令，，利用导数研究函数单调性求最值即可，同理可证； ②时，令，则关于单调递减，则，利用导数研究函数单调性求最值证明即可. 【小问1详解】 函数，定义域为， 有极值点，则在上有变号零点， 即函数在上有变号零点． ①若，即时，只需，不能成立； ②若，即时，只需，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $