期中专题03 抽象函数单调性与抽象函数模型函数的识别易错点专练-2026-2027学年高一数学上学期期中易错考点专项训练（人教A版）

期中专题03 抽象函数单调性 与抽象函数模型函数的识别专练 易错点梳理 一、 抽象函数单调性的识别与解不等式 核心思想：通过题目给定的代数关系式结构，构造新函数，将其转化为基本初等函数或已知单调性的函数，进而利用单调性“脱去”符号 解不等式。 🔥 易错点 1：无法从复杂式子中提取整体（构造新函数） 表现：面对 这种式子，不知如何变形，盲目代入。 避错策略（整体构造法）： 观察分子特征。若分子是 ，应立刻联想构造新函数 。此时该式子即等价于 ，说明 在定义域上单调递减。 若式子为 ，即 单调递增。 常见变形：遇到类似 等混合项，尝试两边同除以 或移项配凑，目的是分离出 等结构。 拓展：抽象函数单调性的五大常考类型与破题通法 类型一：差商型（标准定义变形） 结构特征：题目给出形如 （或 ），或 。 破题通法：直接对应单调性定义。不等式大于 0 则单调递增；小于 0 则单调递减。 🔥 易错点：忽视隐含的 前提，或者强行去分母导致符号未定。 类型二：斜率型与混合积型（构造新函数） 结构特征： 乘积型：。 斜率型：（ 为常数）。 商值型：对于 ，有 。 破题通法： 乘积型：构造 ，原式即 递减。 斜率型：转化为 ，构造 ，则 递增。 商值型：构造 ，原式即 递减。 🔥 易错点：构造出新函数 后，解不等式时忘记将常数项（如 ）移回等式右边。 类型三：加法结构（加 加）的单调性证明 结构特征：已知 （或 ）。 破题通法（作差法）： 设 （即 ）。 则 。 此时，只需判断当 时 的正负，即可确定 的正负，从而判断单调性。 🔥 易错点：在证明过程中，没有先利用赋值法（如令 求出 ）明确特殊值，直接进行代数变形。 类型四：乘法结构（乘 加/乘）的单调性证明 结构特征：已知 （对数型）或 （幂函数型）。 破题通法（作商法）： 设 （即 ）。 若 ： 。 此时，只需判断当 时 的正负。 若 且 ： 。 此时，只需判断当 时 与 1 的大小关系。 🔥 易错点：作商法求差时，忘记考虑分母 的正负；或者代入已知条件时，将 拆分错误。 类型五：结合奇偶性的“对称区间”单调性 结构特征：题目不直接要求判断整个定义域的单调性，而是结合奇偶性解不等式，如 是偶函数，且在 上单调递增，求 。 破题通法： 偶函数：在关于原点对称的区间上，单调性相反。即若在 增，则在 减。脱去 符号时，利用 ，转化为比较绝对值：。 奇函数：在对称区间上，单调性相同。直接利用单调性脱去 符号。 🔥 易错点：偶函数解不等式时，不善于使用 进行转化，导致必须分 和 两种情况繁琐讨论，极易漏解。 💡 抽象函数单调性解题“三步曲”总结： 1. 定型：观察式子结构，是差商、积商，还是结构式（）。如果是结构式，考虑赋值法。 1. 构造：若是混合式，立即构造辅助函数（如 ，，）。若是结构式，设 进行作差或作商。 1. 脱壳：利用求出的单调性解不等式。必查定义域，偶函数首选 。 🔥 易错点 2：解不等式时遗漏“定义域优先”原则 表现：利用单调性列出 后，直接得出 并求解，导致增根。 避错策略： 抽象函数（如已知定义域为 ）解不等式，必须同时满足三要素： 0. 在定义域内； 0. 在定义域内； 0. 根据单调性比较大小。 务必在最后对求出的交集取公共部分。 🔥 易错点 3：忽视奇偶性与单调性的结合（如绝对值） 表现：遇到含 或偶函数特征的不等式，如 ，不知如何转化。 避错策略： 若已知 是偶函数，且在 上单调递增，则 。利用偶函数性质可以将自变量全部转化到非负半轴，避免分正负讨论。 二、 抽象函数模型函数的识别 核心思想：牢记经典的运算结构（加、乘、幂）与其对应的基本初等函数模型，通过“赋值法”或“结构匹配”迅速锁定模型，从而判断其性质（奇偶性、单调性、特殊值等）。 🔥 易错点 4：混淆指数型（加变乘）与对数型（乘变加） 表现：看到 和对数函数 时，由于式子长得很像，容易把指数函数的性质套用在对数函数上。 避错策略（四大基础运算结构）： 加 加： 一次函数 。 加 乘： 指数函数 （注意 ）。 乘 加： 对数函数 （注意定义域 ）。 乘 乘： 幂函数 。 🔥 易错点 5：遇到特殊变换模型时无从下手 表现：对于形如 或 的式子，无法识别其原型。 避错策略（图像与公式对照）： 和差化积/积化和差型： 对应正切函数 的展开式。 对应对数比值型模型 。 倒数对称型： 遇到 ，通常对应 或 等形式。 遇到 ，对应 的形式。 🔥 易错点 6：盲目套用模型，忽略“定义域”与“常数修正” 表现：由 ，直接判定 为一次函数，忽略后面的常数项 。 避错策略： 模型往往存在“变式”。例如 ，应构造 ，则 是一次函数模型。 识别出模型只用于辅助猜想和验证（如求出 或 等特殊值），最终解答必须利用定义法、赋值法（如令 求奇偶性，利用 判断单调性）进行严谨证明，绝不能在解答题中直接写“因为满足XX模型，所以该函数是指数函数”。 💡 解题通法建议： 1. 先找特值：通过赋值（令 , , ），求出 或 的值，判断奇偶性。 1. 再定单调：设 （或 ），利用已知关系式将 或 进行变形。 1. 最后解不等式：脱去 符号时，紧盯定义域限制。 易错专练 一、抽象函数单调性易错题单选题 1．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·天津·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且 都有不等式 ，且，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（   ） A．或 B．或 C． D．或 14．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数满足，且对任意的时，恒成立，则“不等式成立”的充要条件为（    ） A． B． C． D． 二、抽象函数模型函数易错题单选题 17．（26-27高一上·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 19．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 20．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 21．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 22．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 23．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 三、抽象函数模型函数易错题多选题 24．（26-27高一上·广西·期中）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 25．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 26．（26-27高一上·吉林长春·期中）已知为定义在上的函数，对，，都有，，当时，有，则（    ） A． B． C．为增函数 D．若，则 27．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（ ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 28．（26-27高一上·黑龙江吉林·期中）已知函数满足以下条件：①；②；③，则（　　） A． B． C． D． 四、抽象函数模型函数易错题解答题 29．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 30．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 31．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 32．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 33．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 34．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 35．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题03 抽象函数单调性 与抽象函数模型函数的识别专练 易错点梳理 一、 抽象函数单调性的识别与解不等式 核心思想：通过题目给定的代数关系式结构，构造新函数，将其转化为基本初等函数或已知单调性的函数，进而利用单调性“脱去”符号 解不等式。 🔥 易错点 1：无法从复杂式子中提取整体（构造新函数） 表现：面对 这种式子，不知如何变形，盲目代入。 避错策略（整体构造法）： 观察分子特征。若分子是 ，应立刻联想构造新函数 。此时该式子即等价于 ，说明 在定义域上单调递减。 若式子为 ，即 单调递增。 常见变形：遇到类似 等混合项，尝试两边同除以 或移项配凑，目的是分离出 等结构。 拓展：抽象函数单调性的五大常考类型与破题通法 类型一：差商型（标准定义变形） 结构特征：题目给出形如 （或 ），或 。 破题通法：直接对应单调性定义。不等式大于 0 则单调递增；小于 0 则单调递减。 🔥 易错点：忽视隐含的 前提，或者强行去分母导致符号未定。 类型二：斜率型与混合积型（构造新函数） 结构特征： 乘积型：。 斜率型：（ 为常数）。 商值型：对于 ，有 。 破题通法： 乘积型：构造 ，原式即 递减。 斜率型：转化为 ，构造 ，则 递增。 商值型：构造 ，原式即 递减。 🔥 易错点：构造出新函数 后，解不等式时忘记将常数项（如 ）移回等式右边。 类型三：加法结构（加 加）的单调性证明 结构特征：已知 （或 ）。 破题通法（作差法）： 设 （即 ）。 则 。 此时，只需判断当 时 的正负，即可确定 的正负，从而判断单调性。 🔥 易错点：在证明过程中，没有先利用赋值法（如令 求出 ）明确特殊值，直接进行代数变形。 类型四：乘法结构（乘 加/乘）的单调性证明 结构特征：已知 （对数型）或 （幂函数型）。 破题通法（作商法）： 设 （即 ）。 若 ： 。 此时，只需判断当 时 的正负。 若 且 ： 。 此时，只需判断当 时 与 1 的大小关系。 🔥 易错点：作商法求差时，忘记考虑分母 的正负；或者代入已知条件时，将 拆分错误。 类型五：结合奇偶性的“对称区间”单调性 结构特征：题目不直接要求判断整个定义域的单调性，而是结合奇偶性解不等式，如 是偶函数，且在 上单调递增，求 。 破题通法： 偶函数：在关于原点对称的区间上，单调性相反。即若在 增，则在 减。脱去 符号时，利用 ，转化为比较绝对值：。 奇函数：在对称区间上，单调性相同。直接利用单调性脱去 符号。 🔥 易错点：偶函数解不等式时，不善于使用 进行转化，导致必须分 和 两种情况繁琐讨论，极易漏解。 💡 抽象函数单调性解题“三步曲”总结： 1. 定型：观察式子结构，是差商、积商，还是结构式（）。如果是结构式，考虑赋值法。 1. 构造：若是混合式，立即构造辅助函数（如 ，，）。若是结构式，设 进行作差或作商。 1. 脱壳：利用求出的单调性解不等式。必查定义域，偶函数首选 。 🔥 易错点 2：解不等式时遗漏“定义域优先”原则 表现：利用单调性列出 后，直接得出 并求解，导致增根。 避错策略： 抽象函数（如已知定义域为 ）解不等式，必须同时满足三要素： 0. 在定义域内； 0. 在定义域内； 0. 根据单调性比较大小。 务必在最后对求出的交集取公共部分。 🔥 易错点 3：忽视奇偶性与单调性的结合（如绝对值） 表现：遇到含 或偶函数特征的不等式，如 ，不知如何转化。 避错策略： 若已知 是偶函数，且在 上单调递增，则 。利用偶函数性质可以将自变量全部转化到非负半轴，避免分正负讨论。 二、 抽象函数模型函数的识别 核心思想：牢记经典的运算结构（加、乘、幂）与其对应的基本初等函数模型，通过“赋值法”或“结构匹配”迅速锁定模型，从而判断其性质（奇偶性、单调性、特殊值等）。 🔥 易错点 4：混淆指数型（加变乘）与对数型（乘变加） 表现：看到 和对数函数 时，由于式子长得很像，容易把指数函数的性质套用在对数函数上。 避错策略（四大基础运算结构）： 加 加： 一次函数 。 加 乘： 指数函数 （注意 ）。 乘 加： 对数函数 （注意定义域 ）。 乘 乘： 幂函数 。 🔥 易错点 5：遇到特殊变换模型时无从下手 表现：对于形如 或 的式子，无法识别其原型。 避错策略（图像与公式对照）： 和差化积/积化和差型： 对应正切函数 的展开式。 对应对数比值型模型 。 倒数对称型： 遇到 ，通常对应 或 等形式。 遇到 ，对应 的形式。 🔥 易错点 6：盲目套用模型，忽略“定义域”与“常数修正” 表现：由 ，直接判定 为一次函数，忽略后面的常数项 。 避错策略： 模型往往存在“变式”。例如 ，应构造 ，则 是一次函数模型。 识别出模型只用于辅助猜想和验证（如求出 或 等特殊值），最终解答必须利用定义法、赋值法（如令 求奇偶性，利用 判断单调性）进行严谨证明，绝不能在解答题中直接写“因为满足XX模型，所以该函数是指数函数”。 💡 解题通法建议： 1. 先找特值：通过赋值（令 , , ），求出 或 的值，判断奇偶性。 1. 再定单调：设 （或 ），利用已知关系式将 或 进行变形。 1. 最后解不等式：脱去 符号时，紧盯定义域限制。 易错专练 一、抽象函数单调性易错题单选题 1．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性和分段点函数值大小关系列出不等式即可求解. 【详解】由，可得：在上是单调递减的， 所以①当时，，即：， ②当时，抛物线的对称轴，且 ， 解得：， 综上所述，实数的取值范围是： 2．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干结合函数单调性定义判断出函数在上的单调性，根据函数奇偶性判断函数图象在定义域上的大致形状，结合不等式取负的条件得到关于x的不等式组求解，注意有两种情况. 【详解】由题意得，在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 故有时，，时，， 已知，即或， ，解得， ，解得， 综上所述，. 3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，分析其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解。 【详解】令， 由题设对任意，有，故在上为增函数. 因为是定义域为的奇函数，即， 故，即为偶函数， 因此在上为减函数， 由得，故， 由偶函数性质得. 原不等式等价于： ①当即时，得，即. 因为，在递增，故，解得； ②当即时，得，即， 由偶函数得在递减，故，解得，即. 综上所述，解集为. 4．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 5．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 6．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 7．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，变形可得，设，根据单调性的定义，可得的单调性，将条件整理为，根据的单调性，即可得答案. 【详解】由，得，即， 设，则，所以在R上单调递增， 由，得， 因为，所以， 由，可得， 因为在R上单调递增，所以，解得. 故选：A 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形恒成立的不等式并构造函数，探讨函数的奇偶性及在上的单调性，进而确定在上的单调性，再变形给定不等式求解即得答案. 【详解】对任意的且均有， 不妨设，则，即， 令，则当时，，函数在上单调递增， 而，则， 因此函数为奇函数，在上单调递增，则函数在上为增函数， 不等式， 即，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 9．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定不等式并构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而求解不等式. 【详解】对任意， 恒成立，令， 则对任意，，因此函数在上单调递增， 由，得，不等式 ，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 10．（25-26高一上·天津·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且 都有不等式 ，且，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在上的单调性，再结合奇偶性求解不等式. 【详解】设函数，由为上的奇函数，得， 则函数是上的偶函数，又， 依题意，对任意的，且，都有， 则函数在上单调递增，由，得， 不等式， 则得①或②， 由①可得，解得； 由②可得,即得，解得. 综上可得，原不等式的解集为. 故选：D 11．（26-27高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据给定条件判断函数在上的单调性，结合偶函数的对称性将抽象函数不等式转化为绝对值不等式，进而求解的取值范围. 【详解】对任意，，都有， 则与异号，即当时，， 故在上单调递减. 因为关于轴对称，且定义域为，故是偶函数， 所以对任意，有，即. 所以可化为， 又在上单调递减，所以， 则，整理得， 即，解得或， 故实数的取值范围为. 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 13．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解． 【详解】因为是定义在R上的函数，的图象关于点对称， 所以为奇函数，， 因为，即，所以， 构造函数，则有，所以在R上单调递减， 因为，所以为奇函数， 变形， 则有，即， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C 14．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性直接可得. 【详解】因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 15．（25-26高一上·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数转化已知不等式，利用得出函数单调性，最后利用函数单调性结合函数零点求出不等式的解集． 【详解】令，则不等式等价于， ，， 是定义在上的增函数， ，， 是增函数，，， 不等式的解集为． 故选：B． 16．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数满足，且对任意的时，恒成立，则“不等式成立”的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到其充要条件. 【详解】因为对任意的时，恒成立， 设，则 ， 故函数在上单调递减， 又， 因为， 则不等式成立”等价于， 又定义域为的函数满足，即函数关于直线对称， 当即时，由在上单调递减，可得，解得， 当，即时，因为， 所以关于直线对称，故. 此时，故与4均在的单调递减区间上. 不等式等价于，可得，解得. 因此，这种情况下的解为. 综上，不等式成立的条件为， 故“不等式成立”的充要条件为. 故选：D. 二、抽象函数模型函数易错题单选题 17．（26-27高一上·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 令，得，，故A，C错误； 令，得，故B正确； 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 19．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 20．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 21．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】A 【分析】利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【详解】对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则，又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，，所以由得， 则，又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于，解得，故D正确. 故选：A 22．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 23．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【分析】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【详解】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则且， 又在上是增函数，所以，解得且，故D错误． 故选：C． 三、抽象函数模型函数易错题多选题 24．（26-27高一上·广西·期中）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 25．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，，得，所以， 令可得，所以，故B正确； 对于C，令，由得， 又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确； 对于D，令，，得，所以，所以D错误. 26．（26-27高一上·吉林长春·期中）已知为定义在上的函数，对，，都有，，当时，有，则（    ） A． B． C．为增函数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用赋值法判断ABC，利用单调性判断D. 【详解】已知对，，，当时，， 任取，， 若存在使得，则对任意， ， 与当时，矛盾，故恒成立， 对于A：令， ，即，解得或， 若，取，则，与当时，矛盾， 故，A错误； 对于B：令，，， 即， 代入，，解得，B正确； 对于C：任取，则，， ， 即，所以在上为增函数，C正确； 对于D：，由，得， 不等式化为， 左边，于是， 是增函数，故， 整理得，，解得，D正确. 27．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（ ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】本题是抽象函数问题,用赋值法逐项判断.判断A时令与,求出的值;判断B时令,可得;判断C时先令得到,再用偶函数性质转化;判断D时设,把写成,用条件式判断其符号. 【详解】对于A,令,得,解得或. 再令,得,因为,所以. 又,所以,从而,故,A错误. 对于B,令,得,所以,即为偶函数,B正确. 对于C,令,得,即,用替换,得. 于是,又为偶函数,所以,即,C正确. 对于D,设,在中取,,得. 因为,所以,故. 因为,所以, 由为偶函数得,而,故. 所以,又,所以,即,所以在上单调递减,D正确. 28．（26-27高一上·黑龙江吉林·期中）已知函数满足以下条件：①；②；③，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性逐项分析判断. 【详解】对于A，取，得， 取，得， 由条件① 得的值不恒等于0，因此，A错误； 对于B，取，得，因此B正确； 对于C，取，得，， 因此函数是偶函数，函数是奇函数， 取，得C正确； 对于D，取，得，则， ， 即，因此，D正确. 四、抽象函数模型函数易错题解答题 29．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 30．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 31．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 32．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1) 由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. (2) 设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. (3) 由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 33．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 34．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略. （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 35．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2) 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. (3) 【分析】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）略 （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $