期中专题01 易错专练51题（第一章+第二章）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中专题01 易错专练51题 第一章：集合与常用逻辑用语 +第二章：一元二次函数、方程和不等式 易错点梳理 易错点 1：求出参数后不检验集合中元素的互异性 表现：由元素与集合的关系或集合相等列方程求出参数后，直接下结论，没有把参数值代回集合检验是否满足“互异性”。 避错：集合中元素具有确定性、互异性、无序性，其中互异性是含参问题的“最后一道安检”。凡是求出参数值，必须逐一回代，删去导致元素重复的值。 易错点 2：混淆数集与点集，误读代表元素 表现：把方程组的解集误认为数集，或把“集合 中的代表元素”与“元素满足的条件”混为一谈。例如，方程组的解集是点集，而非两个数构成的集合。 避错：看到描述法表示的集合，先问三个问题：①代表元素是什么（数、点还是其他）？②元素满足什么条件？③条件中的变量范围是什么。 易错点 3：混淆“属于”与“包含”关系 表现：把元素与集合之间的“属于”（∈）和集合与集合之间的“包含”（⊆）混用，或者无法判断一个对象究竟是元素还是集合。 避错：∈ 的两边只能是“元素 ∈ 集合”；⊆ 的两边必须是“集合 ⊆ 集合”。遇到形如 {∅} 或 {a} 的集合时，格外注意外层集合的元素本身可能是集合。 易错点 4：子集问题遗漏空集 表现：由 或 求参数时，默认 非空，直接按非空子集列不等式，遗漏 的情形。 避错：空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。凡涉及“子集”“包含”“交集等于其中一集”的含参问题，优先讨论集合是否可能为空集，再讨论非空情形。 易错点 5：利用数轴求参数时忽略端点能否取到 表现：在数轴上画出区间后，直接写参数范围，没有验证端点的“开闭”是否与题意一致，导致多写或漏写等号。 避错：端点处单独代入检验：把端点值放回原集合关系或原不等式中，看是否仍然成立。数轴上的“实心点”与“空心点”必须与集合的闭开性严格对应。 易错点 6：集合运算性质转化时方向用错 表现：误用 ，或把 误转化为 。 避错：熟记核心等价关系： 含参运算中，仍要结合空集讨论，不能只做符号转化。 易错点 7：充分条件与必要条件的推出方向搞反 表现：由 却把 说成 的必要条件，或把“小范围”与“大范围”的推出方向记反。 避错：记住口诀 “小充分、大必要” ：若 对应集合 ， 对应集合 ，且 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件。判断时先用集合包含关系“翻译”，再回扣定义。 易错点 8：把小范围与大范围的推出关系弄反 表现：认为“”能推出“”，把大范围当成了推出方。 避错：推出关系只能从更小的范围走向更大的范围： 含参充分必要条件问题中，先明确“谁对应小范围、谁对应大范围”，再列端点不等式。 易错点 9：混淆“命题的否定”与“否命题” 表现：对全称量词命题或存在量词命题写“否命题”时，把条件也否定了；或者把“否定”写成只改结论、不改量词。 避错： 命题的否定：只否定结论，量词互换（∀ ↔ ∃），结论取反； 否命题：条件与结论同时否定，量词不互换。 含一个量词的命题否定规律：“改量词，否结论” 。 第二章：一元二次函数、方程和不等式 易错点 1：不等式两边乘除代数式时不判断正负就变号 表现：由 直接推出 ，或由 直接推 ，没有判断 的符号。 避错：不等式两边同乘（或同除）一个代数式时，必须先确定该式的正负： 正负不确定时，不能随意翻转不等号，可借助作差法或特殊值排除判断选项。 易错点 2：多次使用不等式性质扩大取值范围 表现：已知 各自的范围，求 等代数式的范围时，先由 的范围得 的范围，再由 的范围得 的范围，然后相加；由于“同向可加性”不可逆，这样得到的是“必要条件”而非“充要范围”，范围被扩大。 避错：涉及两个或以上变量的代数式范围，优先使用整体代换：设待求式 ，通过待定系数求出 ，再整体利用已知范围，而不是“先各自放缩再相加”。 易错点 3：使用基本不等式忽略“一正、二定、三相等” 表现： 变量为负数时强行使用 ； 和或积不是定值就套最值定理； 求出最值后不验证等号能否取到。 避错：使用基本不等式前逐条检查： 1. 一正：各项（或变形后）是否为正？ 1. 二定：和或积是否为定值？ 1. 三相等：等号成立的条件在题设范围内能否取到？ 三项缺一不可，等号验证是必写步骤。 易错点 4：连续使用基本不等式时等号不能同时成立 表现：将原式拆成几部分分别用基本不等式，各部分取等条件互相矛盾，最终“最值”根本取不到。 避错：连续使用基本不等式时，必须检查各次取等条件是否一致。若不能同时取等，应回到原式做拆分、合并或配凑，直到找到等号可以同时成立的变形方式。 易错点 5：解含参“二次型”不等式时忽略二次项系数为 0 表现：看到 就直接当作二次不等式讨论，没有先看 是否可能为 0，导致漏掉一次不等式的情形。 避错：含参数的不等式，第一步永远讨论最高次项系数： ：退化为一次不等式； ：再看开口方向与判别式 。 分类标准要保证“不重不漏”。 易错点 6：解一元二次不等式时忽略二次项系数正负与 的情形 表现：不把二次项系数化正就直接套“大于取两边、小于取中间”，或者在 时把解集写成空集或全集。 避错：先化为二次项系数为正的标准形式，再算 ： ：结合开口写解集； ：注意解集可能是单点集或空集； ：结合开口判断恒成立方向。 “大于取两边、小于取中间”只在二次项系数为正时成立。 易错点 7：恒成立与存在性（有解）方向搞反 表现：把“对任意 ， ”的解法套到“存在 ， ”上，或者相反，导致最值方向取错。 避错： 恒成立： → 取 在 上的最小值 ； 存在性： → 取 在 上的最大值 。 先分清“任意”还是“存在”，再决定求最小值还是最大值。 易错点 8：闭区间上恒成立忽略端点检验 表现：用分离参数或最值法求出参数范围后，没有把端点值代回原不等式检验，导致端点处等号成立/不成立判断错误。 避错：闭区间上的恒成立问题，端点单独代入验证：若不等式在端点处要求严格不等，端点值就不能取；若允许等号，端点值需要纳入范围。数形结合时，也要确认图像在端点处的相对位置。 易错点 9：由方程根的条件求参数时不检验判别式 表现：已知一元二次方程有实根、两正根、两负根等条件，直接用韦达定理列式，忘记先保证方程确实有实根（），导致多解。 避错：方程根的问题，判别式先行。在使用韦达定理之前，先把 作为必要条件纳入不等式组，再结合根与系数的关系求解。 易错专练 一、集合易错专练 1．（25-26高一上·广东广州·期中）若全集，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求出集合，进而求出非空真子集的个数. 【详解】集合，而，则， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：B 2．（25-26高一上·上海·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知集合判断元素与集合、集合与集合间的关系，即可得. 【详解】由，则，，. 故选：C 3．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 4．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤⑥ D．④⑤⑧ 【答案】C 【分析】根据集合与元素、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于①，因为，故①不正确； 对于②，因为，故②不正确； 对于③，因为，故③不正确； 对于④，把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤，把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥，把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦，把看作集合，可得，把看作元素，可得，故⑦不正确. 对于⑧，因为且不是中的元素；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确，故C正确. 5．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 6．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C.    二、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词易错专练 8．（25-26高一上·河南新乡·期中）下列不等式是成立的充分条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法，利用充分条件的概念判断ABD，利用不等式的性质和充分条件的概念判断C. 【详解】对于A，当时，满足，但是，故A错误； 对于B，当时，由得，故B错误； 对于C，若成立，则有，进而有，故C正确； 对于D，当时，满足，但是，故D错误. 故选：C. 9．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 10．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 11．（25-26高一上·福建厦门·期中）命题“，都有”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题， 所以“，都有”的否定“，使得”. 故选：A. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知命题，若是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将假命题转化为其否定命题（全称命题）为真命题，通过分离变量结合基本不等式求最值，确定的取值范围. 【详解】命题为假命题，则其否定“，”为真命题. 对，将不等式变形为. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 因此. 13．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高一上·云南昭通·期中）请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则__________. 【答案】8（答案不唯一） 【分析】根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 15．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知命题p：，，使得p为假命题的一个a值为________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】由题意可得，为真命题，求得的范围即可求解. 【详解】若命题p：，为假命题，则命题：，为真命题； 由，得，又，所以， 即命题p：，，使得p为假命题的一个a值为1. 故答案为：1（答案不唯一）. 三、不等式的性质拓展 16．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 17．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质来进行计算并作出判断. 【详解】对于A：，所以，，故A错误； 对于B：，所以，，故B正确； 对于C，所以，，故C正确； 对于D所以，，故D正确． 故选：BCD 18．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，而，所以，A正确； 对于B，当时，；当时，，则， 即，因此，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，由选项C的分析知，所以，则 ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 19．（25-26高一上·广东湛江·期中）（多选）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确. 因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确. 令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 20．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）已知实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质依次判断即可. 【详解】因为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD 21．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 22．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ； （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）略 23．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 四、基本不等式单选题易错专练 24．（26-27高一上·广东茂名·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A． B．9 C． D．4 【答案】A 【分析】利用常值代换结合基本不等式，求解给定约束下目标式的最小值. 【详解】由，，，得， 所以， 由基本不等式，得 ，当且仅当，结合，即，时取等号， 所以 ，因此的最小值为. 25．（26-27高一上·天津红桥·期中）若 ，，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察代数式的结构，通过“分组”或“拆分项”的方法，构造出积为定值的形式，从而利用基本不等式进行求解． 【详解】已知，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 综上，当时，取得最小值． 26．（26-27高一上·天津红桥·期中）设 ，且 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将变形成等价的形式，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，可知，，， ，两边同乘，可得， 即， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即. 27．（26-27高一上·河北沧州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 28．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 29．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 30．（26-27高一上·全国·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】利用均值不等式将放缩为关于的表达式，代入条件后换元转化为二次不等式求解，即可得到的最小值. 【详解】因为，所以，即， 令，得， 解得（不符合题意舍去）或， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 31．（26-27高三上·河北保定·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 故，故（负解舍去）， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 五、基本不等式多选题易错专练 32．（25-26高一上·吉林·期中）已知 ，，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式可得出，，即可判断A，B，举反例可知C错误，选项D可变形化成完全平方式，进而判断. 【详解】，因为，， 所以，， ，即， 解得（舍去），，当且仅当时取等号， 因为，所以.当且仅当时取等号， 由以上结论可知A错误，B正确， 选项C：举反例，当，时，满足，且，， 可，所以C错误； 选项D：， 则有， 所以， 所以D正确. 33．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 34．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 35．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】由得出，可判断A选项；由已知等式变形得出，结合基本不等式可判断BCD选项. 【详解】因为，，，等式两边同时乘以可得， 即，即，即， 对于A选项，由得，所以，故，A对； 对于C选项，由可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C对； 对于B选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D错. 故选：ABC. 36．（25-26高一上·河南安阳·期中）若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【分析】根据均值不等式及“”的妙用求解判断各选项. 【详解】对于A：，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，A正确； 对于B：， 当且仅当，即时等号成立，所以有最小值4，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，C错误； 对于D：， 当且仅当时等号成立，所以有最大值，D错误； 故选：AB 37．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知两个正数，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据已知条件，利用基本不等式分析判断选项A、B、C，利用基本不等式结合二次函数性质判断选项D． 【详解】， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故A正确； ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，又， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故C错误； ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为，， 当时函数取得最小值，最小值为，故D错误． 故选：AB． 六、一元二次不等式易错专练 38．（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】不等式对应的方程的根为或. 不等式对应的二次函数的图象如下： 由函数图象可知不等式的解为， 所以不等式的解集为. 39．（26-27高一上·云南昆明·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】不等式等价转化为，解得， 所以不等式的解集为. 40．（26-27高一上·云南昆明·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，移项通分化简得：，故， 即，解得， 所以不等式的解集是. 41．（26-27高一上·上海·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中， 所以，可得，故原不等式的解集为. 42．（25-26高一上·吉林·期中）一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】知一元二次不等式的解集，就知对应方程的根，从而可求出和的值，再解出对应不等式即可得. 【详解】∵一元二次不等式的解集为， ∴1和2是方程的两根，即，得， ∴不等式即， ∴，解得或. 43．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 44．（26-27高一上·天津红桥·期中）若一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以. 又因为不等式的解集为， 所以. 所以实数的取值范围是. 45．（25-26高一上·宁夏银川·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的定义，利用二次函数恒小于0的条件建立不等式求解的取值范围. 【详解】要使对一切实数恒成立， 则对应的二次函数图象开口向下，且与轴无交点，因此：， ， 解得， 结合，可得的取值范围为. 46．（25-26高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论,结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】当时不等式恒成立， 当时，不等式恒成立，需满足，解得：. 综上. 故答案为：. 47．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 48．（25-26高一上·云南曲靖·期中）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求解不等式，再根据题意，结合端点值列不等式，即可求解. 【详解】，对应方程的根分别为和， 当，即时，不等式的解集为， 由题意可知，得， 当时，即，不等式的解集为 ，在区间上不存在整数解，故不成立， 综上可知，满足条件的的取值范围是， 选项中满足条件的是和. 故选：BC 49．（26-27高一上·上海徐汇·期中）关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把不等式转化为整式不等式，结合解集中恰有3个正整数，再使用“穿针引线法”求解高次不等式，从而得到实数的取值范围. 【详解】不等式转化为整式不等式， 当时，在数轴上作出不等式的解集，此时解集中恰有三个正整数解分别为； 当时，在数轴上作出不等式的解集，此时解集中恰有三个正整数解分别为； 当时，在数轴上作出不等式的解集，要使解集中恰有三个正整数解，那么这三个正整数为，则； 当时，在数轴上作出不等式的解集，要使解集中恰有三个正整数解，那么这三个正整数解为,则； 综上，实数的取值范围为 50．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求出答案 【详解】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 51．（25-26高一上·河南信阳·期中）（1）当时，不等式的解集 （2）求关于的不等式的解集：（其中为常数）. 【答案】 （1） （2）若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为若，不等式解集为；若，不等式解集为 【分析】利用分类讨论思想，来确定开口方向和根的大小，即可写出含参一元二次不等式的解集. 【详解】（1）当时不等式为 即解得 故不等式得解集为 （2）因为， 所以当时，不等式，解集为 当时，方程的根为和； 当时，此时，不等式解集为或； 当，此时，不等式解集为或； 当时，此时，不等式解集为； 当时，此时，不等式解集为； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为 若，不等式解集为； 若，不等式解集为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $期中易错题专练 会台题通白类系列 期中专题01易错专练51题 第一章：集合与常用逻辑用语 +第二章：一元二次函数、方程和不等式 因易错点梳理 易错点1：求出参数后不检验集合中元素的互异性 表现：由元素与集合的关系或集合相等列方程求出参数后，直接下结论，没有把参数值代回集合检验是否 满足“互异性”。 避错：集合中元素具有确定性、互异性、无序性，其中互异性是含参问题的“最后一道安检”。凡是求出 参数值，必须逐一回代，删去导致元素重复的值。 易错点2：混淆数集与点集，误读代表元素 表现：把方程组的解集误认为数集，或把“集合中的代表元素”与“元素满足的条件”混为一谈。例如， 方程组的解集是点集，而非两个数构成的集合。 避错：看到描述法表示的集合，先问三个问题：①代表元素是什么（数、点还是其他）？②元素满足什么 条件？③条件中的变量范围是什么。 易错点3：混淆“属于”与“包含”关系 表现：把元素与集合之间的“属于”（∈）和集合与集合之间的“包含”（二）混用，或者无法判断一个 对象究竟是元素还是集合。 避错：∈的两边只能是“元素∈集合”；三的两边必须是“集合≤集合”。遇到形如{⑦}或纽} 的集合时，格外注意外层集合的元素本身可能是集合。 1/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 易错点4：子集问题遗漏空集 表现：由ACB或A∩B=A求参数时，默认A非空，直接按非空子集列不等式，遗漏A=o的情 形。 避错：空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。凡涉及“子集”“包含”“交集等于其中一 集”的含参问题，优先讨论集合是否可能为空集，再讨论非空情形。 易错点5：利用数轴求参数时忽略端点能否取到 表现：在数轴上画出区间后，直接写参数范围，没有验证端点的“开闭”是否与题意一致，导致多写或漏 写等号。 避错：端点处单独代入检验：把端点值放回原集合关系或原不等式中，看是否仍然成立。数轴上的“实心 点”与“空心点”必须与集合的闭开性严格对应。 易错点6：集合运算性质转化时方向用错 表现：误用AnB=AACB,或把AUB=B误转化为BCA。 避错：熟记核心等价关系： AnB=A÷ACB÷AUB=B. 含参运算中，仍要结合空集讨论，不能只做符号转化。 易错点7：充分条件与必要条件的推出方向搞反 表现：由p→q却把p说成q的必要条件，或把“小范围”与“大范围”的推出方向记反。 避错：记住口诀“小充分、大必要”：若P对应集合P,q对应集合Q,且P三Q,则p是q的 充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。判断时先用集合包含关系“翻译”，再回扣定义。 2/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 易错点8：把小范围与大范围的推出关系弄反 表现：认为“x>1”能推出“x>3”,把大范围当成了推出方。 避错：推出关系只能从更小的范围走向更大的范围： x>3小→x>1大，反之不成立. 含参充分必要条件问题中，先明确“谁对应小范围、谁对应大范围”，再列端点不等式。 易错点9：混淆“命题的否定”与“否命题” 表现：对全称量词命题或存在量词命题写“否命题”时，把条件也否定了；或者把“否定”写成只改结论、 不改量词。 避错： 命题的否定：只否定结论，量词互换(H回了)，结论取反； 否命题：条件与结论同时否定，量词不互换。 含一个量词的命题否定规律：“改量词，否结论”。 第二章：一元二次函数、方程和不等式 易错点1：不等式两边乘除代数式时不判断正负就变号 表现：由a>b直接推出ac>bc,或由g>b直接推a>b,没有判断c的符号。 避错：不等式两边同乘（或同除）一个代数式时，必须先确定该式的正负： c>0:a>b→ac>bc;c<0:a>b→ac<bc. 正负不确定时，不能随意翻转不等号，可借助作差法或特殊值排除判断选项。 3/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 易错点2：多次使用不等式性质扩大取值范围 表现：已知a,b各自的范围，求2a-b等代数式的范围时，先由a的范围得2a的范围，再由b的 范围得一b的范围，然后相加：由于“同向可加性”不可逆，这样得到的是“必要条件”而非“充要范 围”，范围被扩大。 避错：涉及两个或以上变量的代数式范围，优先使用整体代换：设待求式=m(已知式+n已知式，》 通过待定系数求出m,n,再整体利用已知范围，而不是“先各自放缩再相加”。 易错点3：使用基本不等式忽略“一正、二定、三相等” 表现： 变量为负数时强行使用a+b≥2Vab: 和或积不是定值就套最值定理： 求出最值后不验证等号能否取到。 避错：使用基本不等式前逐条检查： 1.一正：各项（或变形后）是否为正？ 2.二定：和或积是否为定值？ 3.三相等：等号成立的条件在题设范围内能否取到？ 三项缺一不可，等号验证是必写步骤。 易错点4：连续使用基本不等式时等号不能同时成立 表现：将原式拆成几部分分别用基本不等式，各部分取等条件互相矛盾，最终“最值”根本取不到。 避错：连续使用基本不等式时，必须检查各次取等条件是否一致。若不能同时取等，应回到原式做拆分、 合并或配凑，直到找到等号可以同时成立的变形方式。 4/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 易错点5：解含参“二次型”不等式时忽略二次项系数为0 表现：看到ax+bx+c>0就直接当作二次不等式讨论，没有先看a是否可能为0，导致漏掉一次不等 式的情形。 避错：含参数的不等式，第一步永远讨论最高次项系数： a=0:退化为一次不等式： a0:再看开口方向与判别式4° 分类标准要保证“不重不漏”。 易错点6：解一元二次不等式时忽略二次项系数正负与△=0的情形 表现：不把二次项系数化正就直接套“大于取两边、小于取中间”，或者在△=0时把解集写成空集或全 集。 避错：先化为二次项系数为正的标准形式，再算△： 4>0:结合开口写解集； △=0：注意解集可能是单点集或空集， △<0：结合开口判断恒成立方向。 “大于取两边、小于取中间”只在二次项系数为正时成立。 易错点7：恒成立与存在性（有解）方向搞反 表现：把“对任意x,fx>0”的解法套到“存在X,fx>0”上，或者相反，导致最值方向取错。 避错： 恒成立：Vx∈D,fx>0→取fx在D上的最小值>0： 存在性：3x∈D,fx>0→取fx在D上的最大值>0。 先分清“任意”还是“存在”，再决定求最小值还是最大值。 5/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 易错点8：闭区间上恒成立忽略端点检验 表现：用分离参数或最值法求出参数范围后，没有把端点值代回原不等式检验，导致端点处等号成立不成 立判断错误。 避错：闭区间上的恒成立问题，端点单独代入验证：若不等式在端点处要求严格不等，端点值就不能取： 若允许等号，端点值需要纳入范围。数形结合时，也要确认图像在端点处的相对位置。 易错点9：由方程根的条件求参数时不检验判别式 表现：已知一元二次方程有实根、两正根、两负根等条件，直接用韦达定理列式，忘记先保证方程确实有 实根（△≥0），导致多解。 避错：方程根的问题，判别式先行。在使用韦达定理之前，先把△≥0作为必要条件纳入不等式组，再结 合根与系数的关系求解。 只易错专练 一、集合易错专练 1.(25-26高-上广东广州期中)若企集0=0,2.345}，G4={0≤x≤3，xeN,则案合4的非空真 子集的个数为() A.7 B.6 C.3 D.2 2.(25-26高一上上海期中)若集合X={xx<1,则（) A.0∈x B.O∈X c ex 二X 3.(25-26高一上河北期中)下列各结论中，正确的是（) A.0是空集 B.空集没有子集 6/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 C.0∈N D.0,1与儿0不是相同的尖合 4.(26-27高一上辽宁·阶段检测)下列关系正确的是（) 00c0,②}e1,:③0e⑦，④0c}:⑤⑦ey ⑥0c0,o0c0:@2,3}c,22,3W A.①②⑧ B.③⑦ C.④⑤⑥ D.④⑤⑧ 5.(26-27高三上江苏扬州开学考试)下列关系正确的是() A.0∈☑ B.☑={0} C.{0}={0} D.0s{0; 6.(25-26高一上·陕西咸阳·期中)某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A、 径赛项目B、其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目B,18名同学 选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和B,4名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和 C ,若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是() A.52 B.51 C.50 D.49 7.(25-26高一上湖南阶段检测)某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课.甲班共 52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门.已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30， 25,20,其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训 课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课 的学生人数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词易错专练 8.(25-26高一上：河南新乡·期中)下列不等式是a>b成立的充分条件的是() A.a'>b2 B.ac>be C.ac2>be2 D.a> 9.(25-26高一上·安徽马鞍山期中)下列条件中，是“x+1>0”成立的必要条件的是() A.x>2 B.x>-2 C.x>-4 D.x>0 10.(25-26高一上·河南南阳·阶段检测)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好 汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的() 7/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1。(2526高-上福难厦门期中)命题xG,2列，部有2-3x+2≥0”的否定是《) A.3re[,2)使得2-3x+2<0 x∈[L,2] 使得r-3r+2<0 C.x2列.使得r-3r+2<0 D.x.2,使得2-3x+2<0 12.(2526高一上江苏盐城期中)己知命盟P:>0,6+0-+1<0,若P是假命影，则“的取值范 围是() A.-1<a<3 B.-1≤a≤3 C.a≥1 D.a≥-l 13.(25-26高一上江苏扬州期中)已知命题“x∈R,不等式x2-2kc+1>0”为假命题，则实数k的 取值范围为一· 14.(25,26高一上云南昭通期中)请写出一个“值，使命愿x2刘，使-2x-a≤0~为真命题， 则a= 15.(25-26高一上江苏无锡期中)已知命题p:x∈R,2-a>0,使得p为假命题的一个a值为 三、不等式的性质拓展 16.(25-26高一上湖南期中)（多选）已知1<a<6,，2<b<5,则() A.a+2b的取值范围为(5,16) B.a-b的取值范围为(-1，) C.ab的取值范围为(2,30) D. b的取值范围为兮3) 17.(25-26高一上安徽合肥阶段检测)（多选）已知实数xy满足1<x<8,2<y<3,则() A.3<x+2y<9 B.-2<x-y<6 C.2<y<24 1x,<8 D.2y-1 8/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 18.(25-26高一上河南期中)（多选）已知1<x<4,-1<y<2,则() A.-1<x+2y<8 B.-4<y<8 C.1<y2<16 D少+2，≥3 19.(25-26高一上广东湛江期中)（多选）若-9≤a+b≤5，-2≤a-b≤7，则() A,a的取值范围是2,6 皮5也宽e厂子- C.a+b 的取值范围是D,10] D.2+0的取值范围是3417 20.(25-26高一上福建宁德阶段检测)（多选）己知实数xy满足1<x<6,-3<y<-2,则() A.-2<x+y<4 B.3<x-y<9 C.-12<y<-3 D. 3 21,(2526商-上黑龙江哈尔滨阶段检测(1)比较而-3与万-5的大小 (阳aGd均%正安数：哈ed,求证，e6 11 2+4y2+1,2(x+2y-1) 22.(24-25高一上河北石家庄阶段检测)(1)比较 的大小： e (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：a-cb-d· 一> 23.(24-25高一上海南省直辖县级单位期中)已知a>b>1,d<c<-2. a求证：（a-106-10c+2d+2)小0 (2)求证：ac+bd>bc+ad. 四、基本不等式单选题易错专练 11 24.(26-27高一上广东茂名期中)设m>0,n>0:且m+4n=2,则m+n的最小值为（) 9/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 9 11 A.2 B.9 C.2 D.4 25.(26-27高一上天津红桥期中)若a>≥0，b>0,则 +b+号的最小值为() A.2 B.4V2 C.2v2 D.4 1,1 26.(26-27高一上·天津红桥：期中)设a>b>c,且a-b十6-c≥a-c,则实数m的取值范围是（） A.[4,+o) B.（-∞，2W2 c.[22,+o) D.（-∞，4] 12 27.(26-27高一上河北沧州期中)若a>1,b>1,且2a+b=6,则a1+b-1的最小值为（） 10 A.2 B.3 C.3 D.3 12 28.(25-26高一上江西南昌期中)已知实数4≥0，b≥0，满足a+2b=4,则a+1+b+2的最小值是 () A B. C.1 D.2 4+1=12x+y+ 2x 29.(25-26高一上江苏南通期中)已知x>0,y>0,且xy,则 y的最小值为() A.12 B.13 C.17 D.19 30.(26-27高一上全国期中)若a,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为() A.12 B.9 C.6 D.3 31.(26-27高三上河北保定期中)已知x>0,y>0,且x+y+y=5,则+y的最小值为() A.2v6-2 B.2V5-2 C2 D 2W3-2 五、基本不等式多选题易错专练 32.(25-26高一上吉林期中)已知a>0,b>0,ab=a+b+3,下列结论正确的是() A.ab>9 B.a+b26 C.4a+b≥15 D.。-90 10/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 33.(25-26高一上·广东汕头·期中)已知正实数a,b满足ab=a+b+3,则() A.ab≥9 B.a+b≥6 e.b22 D.2a+b≥3+4W2 34.（25:26高一上福建泉州期中)已知实数'满足+4-2w=1, ,则() A对 3 C.x+2y2-2 D.+4号 1+2=1-1 35.(25-26高一上广东广州期中)己知a>0’b>0,ab ~b,则下列正确的是() A.b>2 B.(a+3) 的最小值为11+4V6 23 C,a+2b的最小值为5+26 D.a-b-2的最小值为2 36.(25-26高一上河南安阳期中)若a,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是() 1 11 A.ab有最大值4 B.。+方有最小值4 c.a+B有最小值2 D.va+ 有最小值V2 37.(25-26高一上湖南常德期中)已知两个正数x,y,满足+2y=1,则() 1 A.y的最大值为 B.2+的最小m25+2 〔+4+)为器 21 C.√F+V2y的最大值为22 六、一元二次不等式易错专练 38。(26:27高一上全国期中)不等式-12-)20 解集为() A.{≤x≤2} B.x|x≤1或x≥24 c.{<x<2 D.{xx<l或r>2y 11/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 39.(2627高一上云南是明期中)不等式0的解袋为() A{引 B.{2 c.{r<2 D.<有或x>2 x-3 40.（26-27高一上云南昆明期中)不等式x一之2的解集是() A.≤- B.{l≤xs c.1≤x< D.> 41.(26-27高一上·上海期中)不等式 2-2-3≤0 的解集为() A【1, B.【33] c.（-o,-l[l,+o) D.（-w,-3[3,+o) 42.(2526高一上吉林期中)一元二次不等式r+a+b<0的解失为（但2)，则hc+a+1>0的解 集为() a(别 。（t+o) D.（w-(+e 3。(2025云南昆明模拟预测)（多远）已知关于x的不等式m+加+c≥0的解突为3≤x≤号，则 下列说法正确的有()· A.a<0 围不务试-的a0的车行引 C.a+b+c<0 D.9a-3b+c>0 12/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 4,(2627高一上天评红桥期肿)若一元二次不等式2+：。0恒成立，则实数的取值范围是 () A.[-3,0] B.[-3,0) c.（3,0] D.（3,0) 45.(25:26高一上宁夏银川期中)一元二次不等式2x2+红-3 <0对一切实数x都成立，则k的取值范 围是() A.（-3,0) B.(3,0] c.[-3,0] D.（0,-3U[0,+o) 46.(25-26高一上·江苏连云港期中)当x∈R时，不等式x2-c+1>0恒成立，则k的取值范围是 47.25,26高一-上安微期中)若关于的不等式16-8-3<0在1)上恒成立，则实数的取值范 围是 48,(2526高一上云南曲靖期中)若关于x的不等武+m-2列r+1-m<0在区间0+切)上拾有1个整 数解，则可取() A.-3 B.-2 C.v2 D.~1 (x-a)x-2)2 ≤0 49.(26-27高一上·上海徐汇期中)关于x的不等式(x-1)(x-5)的解集中恰有3个正整数，则实数 0 的取值范围是() A.（,3U[7,8) B.（-∞，3U[7,8) c.（-∞，3U(7,8] D.（-,3U(7,8J 50.(25-26高一上山东威海期中)已知方程+2ar+a+6=0 的两根分别是和，且满足 xx2+xx3≥10 则实数a的取值范围是 13/14 期中易错题专练 会台题通白类系列 51,(25-26高一上河南信阳期中)(1)当4=1时，不等式r+(2a-)r-2<0 解集 (②求关于的不等式的解集：r+(2a-r-2<0 (其中a为常数). 14/14