期中专题02 奇偶性与对称性结合易错点讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题02 奇偶性与对称性结合易错点专练 易错点梳理 一、 基础核心结论：函数自对称的代数表达 核心思想：函数自身的对称性，本质上是函数图象上任意一对对称点的坐标关系。 1. 轴对称（关于直线 对称） 代数表达： 等价变形： 本质：横坐标之和为定值 ，纵坐标相等。 1. 中心对称（关于点 对称） 代数表达： 等价变形： 本质：横坐标之和为定值 ，纵坐标之和为定值 。 二、 平移与奇偶性的充要条件 核心思想：奇偶性是特殊的对称性（关于原点或 轴对称）。通过平移，可以将一般的对称中心/对称轴平移到坐标原点/ 轴，从而化归为标准的奇偶函数。 🔥 易错点 1：平移方向与纵坐标的遗漏 结论辨析： 若 关于点 中心对称 将图象向左平移 ，向下平移 （即 ）后，成为奇函数。 若 关于直线 轴对称 将图象向左平移 （即 ）后，成为偶函数。 避错策略： 奇函数（中心对称）：横纵坐标都要归零（平移到原点），所以解析式后面必须减去 。 偶函数（轴对称）：只需横坐标归位（平移到 轴），纵坐标不动，所以解析式后面不加减常数。 🔥 易错点 2：混淆“原函数”与“平移后函数”的对称性主体 表现：已知 为偶函数，误以为 关于 轴对称；或者已知 为奇函数，误以为 关于原点对称。 避错策略：明确对称主体。 若 是偶函数，说明 的图象关于 轴（）对称。将 向右平移 个单位得到 ，则 的图象关于直线 对称。 若 是奇函数，说明 的图象关于原点 对称。向右平移 个单位得到 ，则 的图象关于点 对称。 三、 抽象函数 的对称性推导 核心思想：摒弃死记硬背常数项的口诀，利用换元法（整体代换）推导对称轴或对称中心。 🔥 易错点 3：口诀记忆导致符号反向 常用结论（ 型）： 若 为偶函数，则 关于直线 对称。 若 为奇函数，则 关于点 中心对称。 严谨推导（避免死记）： 偶函数情形：已知 。令 ，则 。代入得 。这说明 的自变量之和为 时函数值相等，即 关于直线 对称。 奇函数情形：已知 。令 ，则 ，即 。即 关于点 中心对称。 四、 进阶拓展：抽象函数恒等式求对称性 核心思想：遇到 类型的恒等式，直接令括号内式子相加除以 ，即可求得对称轴或对称中心横坐标。 同号相加（横坐标平均，纵坐标相等）： 若 ，则对称轴为 ，化简即得对称轴。 若 满足 ，对称轴为 。 异号相加（横坐标平均，纵坐标互为相反数）： 若 ，即 ，则对称中心横坐标为 ，纵坐标为 （因为两者相加为0，平均也是0）。 若 满足 ，对称中心为 。（注意区分纵坐标是否为0） 💡 复习小结： 这部分内容的易错点集中在“平移方向”、“增减常数”以及“对称性归属的主体”上。做题时务必明确是谁在对称；遇到 型问题，优先使用换元法回归定义，不要盲目套用口诀。结合图象平移（左加右减，上加下减）与代数恒等式推导，数形结合是防止出错的最佳途径。 易错专练 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（ ） A．-2026 B．2026 C．-4025 D．4052 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知函数满足，且在上严格递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的图象关于点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1012 B． C．1013 D．2025 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数，其图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 14．（26-27高一上·河南·阶段检测）设函数的定义域为R，的图象关于轴对称，的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 17．（25-26高一上·海南·期末）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 18．（26-27高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____________． 19．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_______. 20．（25-26高一上·江苏常州·期中）研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 21．（25-26高一上·福建福州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）若函数图象的对称中心为，则实数的值为___________； （2）函数图象的对称中心为___________． 三、解答题 22．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)求的值． 23．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知函数，. (1)求实数的值. (2)已知“函数的图象关于坐标原点成中心对称”的充要条件是“函数为奇函数，即对于定义域内任意恒成立”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为. (3)若存在实数，使得对于任意，都存在满足，求实数的值. 24．（26-27高一上·全国·期中）已知函数和的定义域均为，且满足，． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形． 25．（26-27高一上·四川·期中）已知函数. (1)判断在定义域上的单调性，并用定义证之； (2)我们知道，函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.据此证明：的图象关于点成中心对称； (3)若当且仅当（其中），求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 奇偶性与对称性结合易错点专练 易错点梳理 一、 基础核心结论：函数自对称的代数表达 核心思想：函数自身的对称性，本质上是函数图象上任意一对对称点的坐标关系。 1. 轴对称（关于直线 对称） 代数表达： 等价变形： 本质：横坐标之和为定值 ，纵坐标相等。 1. 中心对称（关于点 对称） 代数表达： 等价变形： 本质：横坐标之和为定值 ，纵坐标之和为定值 。 二、 平移与奇偶性的充要条件 核心思想：奇偶性是特殊的对称性（关于原点或 轴对称）。通过平移，可以将一般的对称中心/对称轴平移到坐标原点/ 轴，从而化归为标准的奇偶函数。 🔥 易错点 1：平移方向与纵坐标的遗漏 结论辨析： 若 关于点 中心对称 将图象向左平移 ，向下平移 （即 ）后，成为奇函数。 若 关于直线 轴对称 将图象向左平移 （即 ）后，成为偶函数。 避错策略： 奇函数（中心对称）：横纵坐标都要归零（平移到原点），所以解析式后面必须减去 。 偶函数（轴对称）：只需横坐标归位（平移到 轴），纵坐标不动，所以解析式后面不加减常数。 🔥 易错点 2：混淆“原函数”与“平移后函数”的对称性主体 表现：已知 为偶函数，误以为 关于 轴对称；或者已知 为奇函数，误以为 关于原点对称。 避错策略：明确对称主体。 若 是偶函数，说明 的图象关于 轴（）对称。将 向右平移 个单位得到 ，则 的图象关于直线 对称。 若 是奇函数，说明 的图象关于原点 对称。向右平移 个单位得到 ，则 的图象关于点 对称。 三、 抽象函数 的对称性推导 核心思想：摒弃死记硬背常数项的口诀，利用换元法（整体代换）推导对称轴或对称中心。 🔥 易错点 3：口诀记忆导致符号反向 常用结论（ 型）： 若 为偶函数，则 关于直线 对称。 若 为奇函数，则 关于点 中心对称。 严谨推导（避免死记）： 偶函数情形：已知 。令 ，则 。代入得 。这说明 的自变量之和为 时函数值相等，即 关于直线 对称。 奇函数情形：已知 。令 ，则 ，即 。即 关于点 中心对称。 四、 进阶拓展：抽象函数恒等式求对称性 核心思想：遇到 类型的恒等式，直接令括号内式子相加除以 ，即可求得对称轴或对称中心横坐标。 同号相加（横坐标平均，纵坐标相等）： 若 ，则对称轴为 ，化简即得对称轴。 若 满足 ，对称轴为 。 异号相加（横坐标平均，纵坐标互为相反数）： 若 ，即 ，则对称中心横坐标为 ，纵坐标为 （因为两者相加为0，平均也是0）。 若 满足 ，对称中心为 。（注意区分纵坐标是否为0） 💡 复习小结： 这部分内容的易错点集中在“平移方向”、“增减常数”以及“对称性归属的主体”上。做题时务必明确是谁在对称；遇到 型问题，优先使用换元法回归定义，不要盲目套用口诀。结合图象平移（左加右减，上加下减）与代数恒等式推导，数形结合是防止出错的最佳途径。 易错专练 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 3．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是偶函数推出的图象关于直线对称，结合的单调性和对称性，将函数不等式转化为对应自变量到对称轴的距离的大小关系，最后求解绝对值不等式得到的取值范围. 【详解】 因为是偶函数，故对任意实数，恒有， 即有，故的图象关于直线对称， 已知在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减， 又的图象关于对称，所以函数值越小，对应自变量到对称轴的距离越近， 因此等价于，即，所以， 即，解得， 故满足的实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（ ） A．-2026 B．2026 C．-4025 D．4052 【答案】D 【分析】根据已知条件可得函数关于对称，再根据函数的对称性求解函数所有实数根之和即可. 【详解】已知函数是偶函数，则有， 由此可得：函数关于轴对称，故函数所有实数根也会关于两两对称， 即函数的个实数根可分为组，每组根之和为， 综上可得：函数所有的实数根之和为. 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6．（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义可知，.利用赋值法可得.故选：A.或由相关函数的奇偶性，得到其图象的对称特征，根据图象变换得到的图象的对称性，进而判断各选项是否一定成立. 【详解】由题可知，. 令，则，所以； 令，则，，所以； 所以A正确. 令，则，； 令，则，. 所以其它选项均不能确定. 故选：A. 方法二：由题可知，函数的图象关于轴对称，所以图象的关于直线对称； 函数的图象关于原点对称，且过原点，所以的图象关于点对称，且过点. 由此可得，而其它选项的值均不能判断. 故选：A. 7．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知函数满足，且在上严格递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由知的图象关于直线对称，再结合单调性得到求解，即求解，通过求解该不等式即可得到解集. 【详解】由知的图象关于直线对称， 结合在上严格递增，得. 令，则， 不等式化为，所以， 化简可得，解得，即， 所以或，即. 8．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的图象关于点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】函数的图象关于点 对称， 则对于任意的实数恒成立， 即， 整理得，对于任意的实数，该等式恒成立， 所以，解得. 9．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 10．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调性定义得到在上为减函数，再由的图象关于点中心对称，结合，得到，最后根据分式不等式的解法，结合函数单调性得到的解集为. 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数的对称性及单调性，再结合指数函数单调性求解不等式. 【详解】由为偶函数，得，则的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，又， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1012 B． C．1013 D．2025 【答案】B 【分析】由，得，利用它并项求和即得答案. 【详解】由 ，计算得， 注意到当 时，， 所以 ， . 故选： B 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数，其图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】化简函数得到其对称中心为 ，在直线上得到，换元之后，利用配方法得到. 【详解】函数，其对称中心为 ，该点在直线上，于是由，. 当时，取得最小值. 故选：B 14．（26-27高一上·河南·阶段检测）设函数的定义域为R，的图象关于轴对称，的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，且一个周期为4，从而可得答案. 【详解】因的图象关于轴对称，则是偶函数， 故，因此关于对称，则， 又因的图象关于原点对称，则是奇函数， 故，因此关于中心对称，则，， 由可得，即， 又由可得，即， 所以，故， 因此，则的一个周期为4， 因，则，即， 所以. 15．（25-26高一上·河南·期中）已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判定函数是奇函数，然后利用奇函数和单调性定义得函数在上单调递增，令，则函数是上单调递增的奇函数，所求不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，令，即， 即，所以函数是奇函数； 由对任意，，当时，都有， 得函数在上单调递增；由函数是奇函数， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增. 在不等式两边都加上得： ，即， 令，因为函数也是奇函数，在上单调递增， 所以函数是奇函数，且在上单调递增. 则不等式可转化为， 所以，解得. 故选：D. 二、填空题 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 17．（25-26高一上·海南·期末）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【答案】 2 【分析】取，求得，代入解析式求得，然后利用函数满足的等式求得函数周期性即可求得结果. 【详解】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 18．（26-27高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】由可得函数的图象关于直线对称，进而结合题设得到在上单调递减，即可转化问题为对于恒成立，进而结合函数、的单调性求解即可. 【详解】由，则函数的图象关于直线对称， 而在上单调递增，则在上单调递减， 故不等式等价于， 即，则，即对于恒成立， 而函数在上单调递减，则， 函数在上单调递增，则， 所以，则实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_______. 【答案】 【分析】根据所给的结论和奇函数的性质，可求函数的对称中心. 【详解】设， 因为函数为奇函数， 所以恒成立， 所以 即恒成立. 所以. 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 20．（25-26高一上·江苏常州·期中）研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 【答案】 【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中结论，即可得出结果；由解析式，先得到，依据该式可求题设中的和. 【详解】由得， 令，则， 即为奇函数. 由题中命题可得，函数的对称中心是， 故， 则 . 故答案为：；. 21．（25-26高一上·福建福州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）若函数图象的对称中心为，则实数的值为___________； （2）函数图象的对称中心为___________． 【答案】 3 【分析】分别求出，再利用函数新定义求解即可；设的对称中心为，展开后再设，利用奇函数的性质可得. 【详解】由题意可得，， 因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 所以， 即， 展开化简可得，解得； 设的对称中心为， 则， 设，则， 因为为奇函数，所以偶次项系数为零，且常数项为零， 所以， 所以函数图象的对称中心为. 故答案为：3；. 三、解答题 22．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)求的值． 【答案】(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心是，证明如下： 若为中心对称函数，则在定义域内有恒成立. 则 ， 整理得：恒成立， 则，解得：， 故是中心对称函数，且对称中心是 (3) 【分析】（1）由以及，结合赋值法可求； （2）由恒成立，整理即可求得； （3）根据可求. 【详解】（1）由函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 因为，所以， ，； （2）略 （3）由（2）知，，， 所以， 则 23．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知函数，. (1)求实数的值. (2)已知“函数的图象关于坐标原点成中心对称”的充要条件是“函数为奇函数，即对于定义域内任意恒成立”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为. (3)若存在实数，使得对于任意，都存在满足，求实数的值. 【答案】(1) (2)假设函数存在对称中心，则对于定义域内任意恒成立， 整理得恒成立， 所以，所以对称中心为. (3) 【分析】（1）根据代入求解. （2）设对称中心，根据所给条件代入求值. （3）变形得，根据取值范围得到包含关系，列出不等式求解. 【详解】（1）将代入得，. （2）略. （3）已知，函数的图象的对称中心为， 故，因此， 易知函数在上单调递减，所以，整理得， 因为，所以，则， 由因为，所以，. 24．（26-27高一上·全国·期中）已知函数和的定义域均为，且满足，． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)， (2)为奇函数 (3)， 思路1： 由（2）得，所以， 从而， 由，得， 由，得， 所以，即， 因此的图象关于点成中心对称图形． 思路2：由，得， 因为，所以， 即③， 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，所以， 由，得， 因为，所以④， 联立③④，得， 从而， 可得，即， 由，得， 因此的图象关于点成中心对称图形． 【分析】（1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可． 【详解】（1）将代入，得①， 将代入，得②， 联立①②，解得，； （2）由，得， 由，得， 所以， 又的定义域为，所以为奇函数； （3）思路1：由，且的图象关于直线对称， 则， 又，所以，从而， 证明略． 思路2：证明略， 由，得，所以． 25．（26-27高一上·四川·期中）已知函数. (1)判断在定义域上的单调性，并用定义证之； (2)我们知道，函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.据此证明：的图象关于点成中心对称； (3)若当且仅当（其中），求的最大值. 【答案】(1)因为，， ，，猜测：在上单调递增. 下面利用单调性定义证明. 任取，且，则， . . 由，得，又，， 所以，所以，故， 所以在定义域上单调递增. (2)设. 因为. 所以为奇函数.根据结论可知，函数的图象关于点成中心对称. (3)最大值为 【分析】（1）先利用特殊点的函数值，猜测函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明； （2）计算出的结果，然后可知的奇偶性，结合已知条件完成证明； （3）利用对称性先将不等式转化为，然后根据单调性可得关于的不等式，结合条件利用基本不等式求解出的最大值. 【详解】（1）略. （2）略. （3）由（2）知， ， 所以，即， 所以原不等式等价于， 由（1）的结论，得，即， 由已知，该不等式成立当且仅当，且，均在上单调递增， 所以当时，一定有， 因为， 所以，所以，解得， 当且仅当，时取等号， 此时，当且仅当，满足题意， 所以的最大值为2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $