专题02 常用逻辑用语期中复习讲义【知识清单+8大考点+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 知识点3：充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点4：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 知识点5：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点6：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 知识点7：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 知识点8：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点9：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 【注意】八个字“改变量词，否定结论”． 知识点10：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点一 充分性与必要性的判断 考点二 根据充分性和必要性求参数 考点三 判断或写出命题的否定 考点四 全称与特称命题的判断 考点五 判断命题的真假 考点六 根据命题的真假求参数 考点七 在区间上恒（能）成立问题 考点八 二次函数在区间上的恒（能）成立问题 考点一 充分性与必要性的判断 1．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知，则“是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，但，即“”不能推出“”； 所以“”不是“”的充分条件， 由，得，可得， 所以“”是“”的必要条件. 故“”是“”的必要不充分条件. 2．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（     ） A．“”是“或”的充分必要条件 B．“”是“”的充分必要条件 C．“”是“”的充分必要条件 D．“”是“”的充分必要条件 【答案】BCD 【详解】得或，故“”是“或”的充要条件，故A正确； 由得，得；而得或； 故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 由得，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 得不同时为；得且； 故“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 3．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】首先，二次根式有意义的条件为被开方数非负，故成立的前提是， 对不等式两边同时平方（两边均为非负实数，平方后不等号方向不变），可得， 因此等价于. ①充分性验证：若成立，则，显然满足，故充分性成立； ②必要性验证：若成立，取反例，满足，但此时无意义，无法满足，故必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件. 4．（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分和必要条件的定义求解. 【详解】因为，所以或， 因为，所以，解得， 则或不一定推出， 即“”是“”的不充分条件， 推出或， 即“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 考点二 根据充分性和必要性求参数 5．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）使得成立的充分不必要条件是（    ） A．m3 B．m<3 C． D． 【答案】BCD 【分析】先求出集合包含关系成立的充要条件为，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集，逐项判断即可. 【详解】 首先求解的充要条件， 分两种情况讨论： 当左边集合为空集时，满足，解得，此时包含关系显然成立； 当左边集合非空时，需满足，解得；综上，包含关系成立的充要条件是，对应集合为， 充分不必要条件对应的集合是的真子集， 选项A：对应集合就是，属于充要条件，不符合要求，错误； 选项B：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项C：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项D：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确. 6．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合，全集． (1)当时，求实数的取值范围； (2)若 是 的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，即，解得，或， 所以实数的取值范围是． （2）由 是 的充分条件，则， 当时，结合（1）得，或； 当时，则，即，解得， 综上，实数的取值范围是． 7．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数m的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由是的必要条件等价于A⊆B”，需分类讨论A为空集和A为非空集合两种情况，再逐一验证选项. 【详解】是的必要条件，等价于 . 集合 ，. 分两种情况讨论 ： ①当 时，空集是任何集合的子集，符合条件.此时需 ，解得 . ②当 时，需同时满足： ,得 . 综上， 的条件是 或 . 故选项ACD符合，B不符合. 8．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得集合是集合的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围是. 考点三 判断或写出命题的否定 9．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知命题p：，，，p的否定是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】已知命题：，，. 该命题中含有存在量词“”和全称量词“”.根据含有一个量词的命题的否定法则： 首先将存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词，即“”改为“”，“”改为“”； 其次，将结论进行否定，即“”改为“”. 所以，命题的否定是：，，. 10．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知：，，则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】已知命题为全称量词命题：， 根据全称量词命题的否定规则，需将全称量词“”改为存在量词“”， 并否定结论（“”改为“”），条件“”保持不变， 所以命题的否定是：. 11．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】，的否定是，. 12．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）命题“，的否定是________________________. 【答案】， 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词、否定结论、保留取值范围即可求解 【详解】全称量词命题“”的否定是存在量词命题“ ”， 本题中原命题为全称量词命题，因此原命题的否定为，. 考点四 全称与特称命题的判断 13．（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）（多选）下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．， B．对， C．有些实数的相反数是其本身 D．三角形至少有两个锐角 【答案】BD 【详解】对于A，存在实数，使得，是存在量词命题，错误； 对于B，所有实数都满足，是全称量词命题，正确； 对于C，有些实数的相反数是其本身，是存在量词命题，错误； 对于D，表示所有三角形至少有两个锐角，是全称量词命题，正确 14．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（ ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．，x2+x≤2 【答案】B 【详解】选项A.存在量词命题，故错误；     选项B.全称量词命题，故B正确；         选项C.存在量词命题，故C错误； 选项D.存在量词命题，故D错误. 15．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题的是 （ ） A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．对任意实数，，，关于x的方程都有两个实数解 【答案】A 【详解】选项：含有存在量词“有些”，表示自然数集合中存在至少一个元素是偶数，属于存在量词命题，正确； 选项：“正方形是菱形”的完整含义是所有正方形都是菱形，隐含全称量词“所有”，是全称量词命题，错误； 选项：完整含义是所有能被6整除的数都能被3整除，隐含全称量词“所有”，是全称量词命题，错误； 选项：直接出现全称量词“对任意”，是全称量词命题，错误. 16．（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题是存在量词命题的是（   ） A．， B．存在一个数的平方不大于 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．在到之间至少有个质数 【答案】ABD 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，逐一判断各选项的量词类型即可． 【详解】选项A：含存在量词“”，为存在量词命题，符合要求，故A正确； 选项B：含存在量词“存在一个”，为存在量词命题，符合要求，故B正确； 选项C：命题省略了全称量词“所有”，完整表述为“所有菱形的对角线互相垂直平分”，为全称量词命题，不符合要求，故C错误； 选项D：含存在量词“至少有”，为存在量词命题，符合要求，故D正确． 考点五 判断命题的真假 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】，故命题为真． 又，． 18．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 19．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，下列命题为真命题的有 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由，解得或，所以， 所以. 20．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知命题：；命题：，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于含全称量词的命题和含存在性量词的命题的真假性的判断，可以利用特殊值检验，找是否有一个条件让全称量词命题不成立或者存在量词命题成立可以判断真假性. 【详解】已知命题：， 当时，，所以是假命题，则是真命题； 命题：， 当时，，所以是真命题，则是假命题. 考点六 根据命题的真假求参数 21．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由命题，为真命题， 则，即，则， 所以实数的取值范围是. 22．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知，命题，；命题，使得． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称命题为真的约束，求在上的最小值即可得到的最大值； （2）先通过一元二次方程有实根的条件求出为真时的取值范围，再分类讨论真假、假真两种情况，合并解集得到结果． 【详解】（1）记，由得，， 要使命题，为真命题，只需， 所以a的最大值为1． （2）命题，使得为真命题， 则或， ①当真假时，只需； ②当假真时，只需或，所以； 综上，． 23．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题[1，2]，；命题q：关于x的不等式有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别假设命题为真命题求参数的范围，再分真假、假真两种情况讨论，综合得答案. 【详解】当命题为真时，即在恒成立, 故,,又时，取得最小值1， 即. 当为真时，有解，即,即, 或. 又命题一真一假, 当真假时，即,所以, 当假真时，即,所以, 故实数a的取值范围为：或 故选：D 24．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）已知集合，集合，若命题“，使得”为假命题，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】全称命题为假等价于B不包含于A，先确定B非空的条件，再通过区间端点超出集合A列不等式，结合选项范围得结果． 【详解】命题“，使得”为假命题，则“，使得”为真命题， 若，即时，，此时，不合题意， 故，即， 当时，左端点，若使B不包含于A，则右端点， 解得， 由得，解得， 故实数的取值范围是． 考点七 在区间上恒（能）成立问题 25．（25-26高二上·山西晋中·期末）已知，命题，不等式恒成立；命题使得成立 （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若为假，为真，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据，不等式恒成立，由求解； （2）根据p且q为假，p或q为真，由p、q中一个是真命题，一个是假命题求解. 【详解】（1）∵，不等式恒成立， ∴， 即， 解得， 因此，若为真命题时，实数的取值范围是； （2）若命题q为真，则，∴， ∵p且q为假，p或q为真， ∴p、q中一个是真命题，一个是假命题， 当p真q假时，则，解得； 当p假q真时，，即 综上所述，的取值范围为. 26．（25-26高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 27．（25-26高一上·四川眉山·期中）若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由该命题为假命题，可知其否定为真命题，分离参数，结合函数单调性可得参数范围. 【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，， 而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 28．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合， (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由 (2)是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， (3)是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， 【答案】(1)不存在，理由如下： 若存在实数m，使得是成立的充要条件，则． 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件． (2)存在； (3)存在； 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，转化为，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）不存在，理由略； （2）因为，故，故． 是成立的充分不必要条件得，故，解得， 故，即m的取值范围为． （3）因为，故，故． 是成立的必要不充分条件得，故，解得， 故，又，故m的取值范围为． 考点八 二次函数在区间上的恒（能）成立问题 29．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)命题是存在量词命题，要使存在满足为真，只需大于区间内的最小元素，即可得到的取值范围. (2)先求出为真时的范围，再分“真假”和“假真”两种情况分别计算的范围，取并集后得到最终结果. 【详解】（1）存在使得，等价于大于集合中的某个元素. 只需大于该集合的最小值即可满足条件，因此, 即为真时，的取值范围是. （2）首先求命题为真的条件：对任意，恒成立. 二次函数开口向上，要对所有实数函数值恒正，只需判别式小于： , 因此为真时，它的否定（即“”）为真时，. 根据题意，p和一真一假，分两种情况讨论： 真，假：真即，假即真即，取交集得； 假，真：假即，真即，取交集得. 合并两种情况，最终的取值范围是. 30．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 【答案】， 【分析】将存在量词改为全称量词并否定结论. 【详解】命题的否定为：，. 31．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 32．（26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知命题：，使得不等式成立，命题：. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为假命题，则“，”为真命题. ，解得. 为假命题时，实数的取值范围为. （2）若为真命题，则，解得. 若为真命题，则. 当为真命题，为假命题时，则，解得； 当为假命题，为真命题时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 1．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知：，那么的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，令， p的充分不必要条件对应的取值集合应为M的真子集，故选项A正确. 2．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】B 【详解】当时，； 当时，，可能为. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解绝对值不等式得到对应解集，通过判断两个条件对应集合的真包含关系确定充分必要性. 【详解】首先解不等式，根据绝对值的运算性质，该不等式等价于： 对不等式三边同时加1，解得： 设集合. 充分性验证：若，则必有； 必要性验证：取，此时，满足，但. 因此“”是“”的充分不必要条件. 4．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】将全称量词替换为存在量词，变量的取值范围保持不变，同时否定原命题的结论， 因此原命题的否定为“，”. 5．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，若命题“，”为假命题，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“，” 为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，所以其否定“，”为真命题。 对任意，，故集合恒为非空集合，且的左端点满足， 即（当且仅当时取等号）. 分两种情况讨论集合：①当时，，空集与任意集合的交集均为空集，满足题意； ②当时，，此时，要使对任意，，需满足， 即.故的取值范围为. 6．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列含有量词的命题中为真命题的是（     ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，，使得 D．所有的素数都是奇数 【答案】B 【分析】对每个含量词的命题逐一判断，全称命题通过举反例判定为假，存在性命题通过验证是否存在符合条件的元素判定真假，最终选出真命题. 【详解】选项A：该命题为全称量词命题，取实数0，有，不满足“平方大于0”，因此A为假命题； 选项B：该命题为存在量词命题，取，则，符合命题条件，因此B为真命题； 选项C：将等式变形为， 若为整数，则为整数，故左边为偶数，右边3为奇数， 因为偶数不可能等于奇数，所以不存在满足条件的整数，因此C为假命题； 选项D：该命题为全称量词命题，2是素数，但2是偶数，不满足“是奇数”，因此D为假命题. 7．（26-27高一上·吉林松原·阶段检测）不等式成立的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】， 因为等式成立的必要不充分条件是， 所以集合是集合的真子集， 所以且两个等号不能同时成立， 所以. 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 9．（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）（多选）下列命题中是真命题的有（     ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B选项，由，解得或，所以命题“”为假命题，B错误； 对于C选项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D选项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误。 10．（26-27高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）下列命题中为假命题的是（     ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 【答案】ABD 【详解】对于A，任意都有，所以， 不存在满足的实数，错误； 对于B，由得，从而，不存在满足的正整数，故B错误； 对于C，任意都有，故C正确； 对于D，取，则； 若，则，与为无理数矛盾，所以，故D错误． 11．（25-26高一上·广东江门·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，且，则集合的真子集个数是7 B．的一个必要条件是 C．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D．已知是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】CD 【分析】解不等式求解集合A，然后根据真子集个数结论求解判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断B；由题意无实根，利用判别式法列不等式求解判断C；根据必要不充分条件得集合关系，然后根据集合关系列不等式求解判断D. 【详解】对A：集合，且， 所以集合的真子集个数为，A错误； 对B，易知能推出，因此的一个充分条件是，B错误； 对C，若命题“，”为假命题，则无实根， 所以，得，则实数的取值范围是，C正确； 对D，设，，由是的必要不充分条件知是的真子集，，D正确． 故选：CD 12．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）若集合，，则“”是“”的________条件. 【答案】 充分不必要 【详解】当时，，所以充分性成立； 若，则，有或，解得或，所以不一定要满足才能使命题成立，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 13．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】 设集合，， 若是的必要条件，则，， 因此有 ，解得； 故实数的取值范围为. 14．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知命题：，，命题：，．若命题为真命题，则实数的取值范围是________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】空一：由题意可得对恒成立，计算即可得到答案； 空二：分别计算出命题为真、命题为真、命题和均为假命题时的的取值范围，讨论即可得到答案． 【详解】若命题为真命题，则对恒成立，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得且，所以． 当命题和均为假命题时，，所以， 因此当命题和至少有一个是真命题时，． 15．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知，集合，集合. (1)判断的子集是否有且只有一个，并说明理由； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求的取值范围． 【答案】(1)若有，则，则，显然不成立，所以不存在． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 16．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知集合或，． (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集， 故，解得，所以的取值范围是． （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，故，所以的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 知识点3：充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点4：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 知识点5：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点6：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【注意】(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 知识点7：存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ∃ 命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 【注意】存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 知识点8：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点9：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 【注意】八个字“改变量词，否定结论”． 知识点10：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点一 充分性与必要性的判断 考点二 根据充分性和必要性求参数 考点三 判断或写出命题的否定 考点四 全称与特称命题的判断 考点五 判断命题的真假 考点六 根据命题的真假求参数 考点七 在区间上恒（能）成立问题 考点八 二次函数在区间上的恒（能）成立问题 考点一 充分性与必要性的判断 1．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知，则“是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（     ） A．“”是“或”的充分必要条件 B．“”是“”的充分必要条件 C．“”是“”的充分必要条件 D．“”是“”的充分必要条件 3．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 根据充分性和必要性求参数 5．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）使得成立的充分不必要条件是（    ） A．m3 B．m<3 C． D． 6．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合，全集． (1)当时，求实数的取值范围； (2)若 是 的充分条件，求实数的取值范围． 7．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数m的值可能为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 考点三 判断或写出命题的否定 9．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知命题p：，，，p的否定是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知：，，则的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）命题“，的否定是________________________. 考点四 全称与特称命题的判断 13．（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）（多选）下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．， B．对， C．有些实数的相反数是其本身 D．三角形至少有两个锐角 14．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（ ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．，x2+x≤2 15．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题的是 （ ） A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．对任意实数，，，关于x的方程都有两个实数解 16．（26-27高三上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题是存在量词命题的是（   ） A．， B．存在一个数的平方不大于 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．在到之间至少有个质数 考点五 判断命题的真假 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 18．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 19．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，下列命题为真命题的有 （ ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知命题：；命题：，则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 考点六 根据命题的真假求参数 21．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是________． 22．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知，命题，；命题，使得． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围． 23．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题[1，2]，；命题q：关于x的不等式有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）已知集合，集合，若命题“，使得”为假命题，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点七 在区间上恒（能）成立问题 25．（25-26高二上·山西晋中·期末）已知，命题，不等式恒成立；命题使得成立 （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若为假，为真，求实数m的取值范围. 26．（25-26高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 27．（25-26高一上·四川眉山·期中）若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 28．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合， (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由 (2)是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， (3)是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， 考点八 二次函数在区间上的恒（能）成立问题 29．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围． 30．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 31．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 32．（26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知命题：，使得不等式成立，命题：. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 1．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知：，那么的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，若命题“，”为假命题，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列含有量词的命题中为真命题的是（     ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，，使得 D．所有的素数都是奇数 7．（26-27高一上·吉林松原·阶段检测）不等式成立的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）（多选）下列命题中是真命题的有（     ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10．（26-27高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）下列命题中为假命题的是（     ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 11．（25-26高一上·广东江门·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，且，则集合的真子集个数是7 B．的一个必要条件是 C．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D．已知是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 12．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）若集合，，则“”是“”的________条件. 13．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知：；：．若是的必要条件，则实数的取值范围是________ 14．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知命题：，，命题：，．若命题为真命题，则实数的取值范围是________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 15．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知，集合，集合. (1)判断的子集是否有且只有一个，并说明理由； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求的取值范围． 16．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知集合或，． (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $