专题4.1 指数与指数幂的运算 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.1 指数与指数幂的运算（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】★重点：n次方根与根式、根式与分数指数幂的互化、有理数指数幂的运算性质、指数幂的综合计算与条件求值； ▲难点：的绝对值化简、指数幂的条件求值（整体代换）、幂指分式的因式分解与约分． 目录 专题4.1 指数与指数幂的运算（期中复习讲义） 1 知识点1 n次方根与根式 1 【题型1 n次方根的概念】 2 【题型2 根式的化简与求值】 3 知识点2 分数指数幂（根式与分数指数幂的互化） 4 【题型3 根式化为分数指数幂】 5 【题型4 分数指数幂化为根式】 6 知识点3 有理数指数幂的运算性质 7 【题型5 有理数指数幂的运算】 8 知识点4 指数幂的化简与条件求值 9 【题型6 指数幂的综合计算】 10 【题型7 指数幂的条件求值（整体代换）】 11 知识点5 指数幂的恒等变形（幂指分式化简） 12 【题型8 幂指分式的化简（平方差·立方差）】 13 考点1 n次方根与根式 知识点1 n次方根与根式 【重难点】★重点：n次方根的定义与符号（奇/偶次）、根式的化简（结果带绝对值）； ▲难点：的值与n的奇偶性、a的符号的关系，易错写成a． 1．n次方根　若（），则叫的n次方根：n为奇数时记作（实数）；n为偶数且时记作． 2．根式性质　　（根式有意义时）． 【题型1 n次方根的概念】 【例1】有下列四个命题：①正数的偶次方根有两个，且互为相反数；②负数的奇次方根只有一个，且为负数；③的次方根为（）；④若为大于的正整数，则．其中正确的命题个数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】化简的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】化简______． 【变式1-3】若，则实数的取值范围是______． 【题型2 根式的化简与求值】 【例2】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)（其中）． 【变式2-1】化简______． 【变式2-2】化简（其中）______． 【变式2-3】已知函数，将其写成分段函数的形式并化简． 考点2 分数指数幂 知识点2 分数指数幂（根式与分数指数幂的互化） 【重难点】★重点：根式化分数指数幂、分数指数幂化根式、负分数指数幂与零次幂； ▲难点：分数指数幂规定的理解（不可理解为几个a相乘），负数在根式有意义时的分数指数幂． 1．正分数指数幂　（；时需根式有意义）；的正分数指数幂为． 2．负分数指数幂　（）；的负分数指数幂没有意义，． 【题型3 根式化为分数指数幂】 【例3】用分数指数幂表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)（）；(4)（）． 【变式3-1】把下列各式化成分数指数幂：______；______． 【变式3-2】将（）化为分数指数幂，结果为______． 【变式3-3】把（）化为分数指数幂． 【题型4 分数指数幂化为根式】 【例4】把下列各式化成根式形式（）：(1)；(2)；(3)． 【变式4-1】将化为根式：______． 【变式4-2】将（）化为根式：______． 【变式4-3】化简（）并写成不含负指数的根式形式． 考点3 指数幂的运算性质 知识点3 有理数指数幂的运算性质 【重难点】★重点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方（指数运算性质）； ▲难点：运算中的指数加减与分数指数幂的熟练变形． 1．运算性质（）：；；；． 2．运算顺序　有括号先算括号内，无括号先做指数运算；化成分数指数幂后统一按性质运算最简便． 【题型5 有理数指数幂的运算】 【例5】计算下列各式（）：(1)；(2)；(3)；(4)． 【变式5-1】计算：______；______． 【变式5-2】计算：______． 【变式5-3】化简（）______． 考点4 指数幂的化简与条件求值 知识点4 指数幂的化简与条件求值 【重难点】★重点：指数幂的综合计算、整体代换法条件求值（如已知求）； ▲难点：负数底数、零次幂、分数指数的混合化简与符号判断． 1．综合计算　先把带分数、小数化假分数/分数指数幂，再逐项正确计算；． 2．整体代换　对已知式平方、立方，构造所求式：；． 【题型6 指数幂的综合计算】 【例6】计算：______． 【变式6-1】计算：______；______． 【变式6-2】计算：______． 【变式6-3】计算：______． 【题型7 指数幂的条件求值（整体代换）】 【例7】已知，且，求的值． 【变式7-1】已知（），则______． 【变式7-2】已知（），则______． 【变式7-3】已知，，求的值． 考点5 指数幂的恒等变形 知识点5 指数幂的恒等变形（幂指分式化简） 【重难点】★重点：利用平方差、立方差公式化简幂指分式； ▲难点：分子分母同含时的因式分解与约分． 1．平方差　． 2．立方差　；约分时注意保留分母不为零的条件． 【题型8 幂指分式的化简（平方差·立方差）】 【例8】化简：（且）______． 【变式8-1】化简：（且）______． 【变式8-2】化简：（且）______． 【变式8-3】已知（），求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数与指数幂的运算（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：n次方根与根式、根式与分数指数幂的互化、有理数指数幂的运算性质、指数幂的综合计算与条件求值； ▲难点：的绝对值化简、指数幂的条件求值（整体代换）、幂指分式的因式分解与约分． 目录 专题4.1 指数与指数幂的运算（期中复习讲义） 1 知识点1 n次方根与根式 1 【题型1 n次方根的概念】 2 【题型2 根式的化简与求值】 3 知识点2 分数指数幂（根式与分数指数幂的互化） 4 【题型3 根式化为分数指数幂】 5 【题型4 分数指数幂化为根式】 6 知识点3 有理数指数幂的运算性质 7 【题型5 有理数指数幂的运算】 8 知识点4 指数幂的化简与条件求值 9 【题型6 指数幂的综合计算】 10 【题型7 指数幂的条件求值（整体代换）】 11 知识点5 指数幂的恒等变形（幂指分式化简） 12 【题型8 幂指分式的化简（平方差·立方差）】 13 考点1 n次方根与根式 知识点1 n次方根与根式 【重难点】★重点：n次方根的定义与符号（奇/偶次）、根式的化简（结果带绝对值）； ▲难点：的值与n的奇偶性、a的符号的关系，易错写成a． 1．n次方根　若（），则叫的n次方根：n为奇数时记作（实数）；n为偶数且时记作． 2．根式性质　　（根式有意义时）． 【题型1 n次方根的概念】 【例1】有下列四个命题：①正数的偶次方根有两个，且互为相反数；②负数的奇次方根只有一个，且为负数；③的次方根为（）；④若为大于的正整数，则．其中正确的命题个数是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：偶次方根 ，奇次方根 ． A：1 个，少算了②③两个正确命题 B：2 个，少算了 1 个正确命题 C：3 个，①②③正确、④错误，正确 D：4 个，④中 n 为偶数时 故选 C． 【变式1-1】化简的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：奇次方根满足 ． A：5 误用了偶次方根的性质 B：，奇次方根取原值，正确 C： 把奇次方根当成偶次方根，根唯一 D：25 是 的结果，与立方根无关 故选 B． 【变式1-2】化简______． 【解析】；；故原式． 【变式1-3】若，则实数的取值范围是______． 【解析】偶数次方根；由知，故的取值范围是． 【题型2 根式的化简与求值】 【例2】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)（其中）． 【解析】(1) （奇数次：）； (2) ； (3) （因）； (4) ，又，故． 【变式2-1】化简______． 【解析】；因，故． 【变式2-2】化简（其中）______． 【解析】，；由知， 故；原式． 【变式2-3】已知函数，将其写成分段函数的形式并化简． 【解析】（奇数次），故； 当时，，； 当时，，；∴ 考点2 分数指数幂 知识点2 分数指数幂（根式与分数指数幂的互化） 【重难点】★重点：根式化分数指数幂、分数指数幂化根式、负分数指数幂与零次幂； ▲难点：分数指数幂规定的理解（不可理解为几个a相乘），负数在根式有意义时的分数指数幂． 1．正分数指数幂　（；时需根式有意义）；的正分数指数幂为． 2．负分数指数幂　（）；的负分数指数幂没有意义，． 【题型3 根式化为分数指数幂】 【例3】用分数指数幂表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)（）；(4)（）． 【解析】(1) ； (2) ； (3) （时根式有意义）； (4) ． 【变式3-1】把下列各式化成分数指数幂：______；______． 【解析】；． 【变式3-2】将（）化为分数指数幂，结果为______． 【解析】；． 【变式3-3】把（）化为分数指数幂． 【解析】由内向外：，，，； 故． 【题型4 分数指数幂化为根式】 【例4】把下列各式化成根式形式（）：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) ； (2) ； (3) ． 【变式4-1】将化为根式：______． 【解析】． 【变式4-2】将（）化为根式：______． 【解析】；化为根式：． 【变式4-3】化简（）并写成不含负指数的根式形式． 【解析】；根式形式：． 考点3 指数幂的运算性质 知识点3 有理数指数幂的运算性质 【重难点】★重点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方（指数运算性质）； ▲难点：运算中的指数加减与分数指数幂的熟练变形． 1．运算性质（）：；；；． 2．运算顺序　有括号先算括号内，无括号先做指数运算；化成分数指数幂后统一按性质运算最简便． 【题型5 有理数指数幂的运算】 【例5】计算下列各式（）：(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】(1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式5-1】计算：______；______． 【解析】；． 【变式5-2】计算：______． 【解析】． 【变式5-3】化简（）______． 【解析】分子：；原式． 考点4 指数幂的化简与条件求值 知识点4 指数幂的化简与条件求值 【重难点】★重点：指数幂的综合计算、整体代换法条件求值（如已知求）； ▲难点：负数底数、零次幂、分数指数的混合化简与符号判断． 1．综合计算　先把带分数、小数化假分数/分数指数幂，再逐项正确计算；． 2．整体代换　对已知式平方、立方，构造所求式：；． 【题型6 指数幂的综合计算】 【例6】计算：______． 【解析】； ；；；原式． 【变式6-1】计算：______；______． 【解析】；． 【变式6-2】计算：______． 【解析】；； ；原式． 【变式6-3】计算：______． 【解析】分子：； 分母：；原式． 【题型7 指数幂的条件求值（整体代换）】 【例7】已知，且，求的值． 【解析】对已知式两边平方：；故． 【变式7-1】已知（），则______． 【解析】平方得，故． 【变式7-2】已知（），则______． 【解析】；由知，故值为． 【变式7-3】已知，，求的值． 【解析】由得，且； ；代入得． 考点5 指数幂的恒等变形 知识点5 指数幂的恒等变形（幂指分式化简） 【重难点】★重点：利用平方差、立方差公式化简幂指分式； ▲难点：分子分母同含时的因式分解与约分． 1．平方差　． 2．立方差　；约分时注意保留分母不为零的条件． 【题型8 幂指分式的化简（平方差·立方差）】 【例8】化简：（且）______． 【解析】分母； 故原式． 【变式8-1】化简：（且）______． 【解析】分子；原式． 【变式8-2】化简：（且）______． 【解析】分子；原式． 【变式8-3】已知（），求的值． 【解析】由得； ；原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $