第二十七章反比例函数单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册.

第二十七章反比例函数单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．它的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．当时，有最小值为 5．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 12．已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 13．已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 14．如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 15．在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 18．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动，客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)填空：y与x的函数关系式是 ，y是x的 函数； (2)如果小张打算24个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过0.4万元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 19．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图象，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值． 21．图中的曲线是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题： (1)填空：图象的另一支位于第 象限，常数的取值范围是 ． (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点， 如果，那么和有怎样的大小关系？用反比例函数的性质说明理由． (3)若一次函数与图中的曲线有一个交点是，求出这两个函数的解析式，并直接写出当时的取值范围． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)若点在线段上，且，求点的坐标． 23．如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 24．定义：在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半倍双曲线”． (1)双曲线的“半倍双曲线”的表达式为________________； (2)如图1，点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，交轴于点． ①图中两支曲线________交点（填“有”或“没有”）； ②证明：点是的中点： (3)如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章反比例函数单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 2．若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 3．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两点坐标代入反比例函数解析式，得到关于的表达式，再根据的条件求出的取值范围，最后结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 点，都在反比例函数的图象上， ∴ 将坐标代入解析式得：，， ∵ ， ∴  ， 即 ， 故选：A. 4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．它的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．当时，有最小值为 【答案】B 【分析】由可知反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，A正确． ∵反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限不满足随的增大而减小， ∴B错误． 当时，随的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，，C正确． 当时，满足，则随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，D正确． 5．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B不符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C均不符合题意，D符合题意． 7．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可分：当时，则，反比例函数的图象在第一、三象限，而二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，所以A、B选项不符合； 当时，则，反比例函数的图象在第二、四象限，而二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，所以C选项不符合，D选项符合题意． 8．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的正负，确定反比例函数图象分布象限与增减性；再分象限比较函数值． 【详解】解：， ， ． 反比例函数图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 点、横坐标为负，在第二象限，． ，且在第二象限内随增大而增大， ． 点横坐标为正，在第四象限， ． 综上：． 9．反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设，则，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数第一象限内的图象上， ∴设， ∵垂直x轴， ∴， ∴， 解得． 10．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设点在上，故；直线过原点，设，代入得，解得，利用勾股定理求出，进而即可求出，代入计算得． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在双曲线上， ∴， 直线过坐标原点， 直线是正比例函数， 设其解析式为， 点A在直线上， ∴，即， 点B也在直线上， ∴． 将代入上式，得， ∴， ∴点B的横、纵坐标与点A的横、纵坐标对应成比例， ∴设点B的坐标为， 点B在上， ∴， 将代入上式得，， ∴， 同理，设点C的坐标为，则点D的坐标为，且， ∵，， ∴ ， 将，代入得，， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 【答案】三 【分析】根据正比例函数经过的已知点得到的符号，根据反比例函数的象限位置得到的符号，再利用一次函数的性质判断不经过的象限． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过点， ∴ 代入点坐标得，即． ∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴ ． ∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， 因此一次函数的图象一定不经过第三象限． 12．已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 13．已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 【答案】 【分析】先代入已知点求出反比例系数，再根据反比例函数的增减性，结合的范围计算得到的取值范围． 【详解】解：把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式为， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ． 14．如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 【答案】 【分析】先算出水温从升到需要分钟，之后水温按反比例函数下降，判断分钟在降温区间内，直接把代入反比例解析式求出水温． 【详解】解：， 经过，水温上升至， 在中，当时，，， 经过，水温从上升至后又下降到了， 当时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式， 当时，， 从杯内水温时开始通电，此时杯内的水温为． 15．在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设点A坐标为，结合第二象限点的坐标特征、即可得，再根据反比例函数的图象经过点A，即可得，再根据，即可得，进而得，进一步得，进一步推理即可得的取值范围． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵ 点A在第二象限， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 反比例函数的图象经过点A， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的取值范围为． 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标列方程求解的值． （2）根据反比例函数的增减性列不等式求的取值范围． （3）结合反比例函数的图象位置与增减性比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上． ∴将，代入解析式， 得 解得 ． （2）∵反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大． ∴ ． 解得 ． （3）当时，． ∴该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ． ∴点、在第四象限，，，且． ∵ ． ∴点在第二象限，． ∴ ． 18．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动，客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)填空：y与x的函数关系式是 ，y是x的 函数； (2)如果小张打算24个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过0.4万元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1)（为正整数，且）；反比例 (2)0.5万元 (3)30个月 【分析】（1）由余款总额为定值，推导与的函数关系式，判断函数类型． （2）将代入函数关系式，计算的值． （3）根据的上限列不等式，结合实际意义求解的最小值． 【详解】（1）解：购车余款为（万元）． ∵平均每月还款额×还款月数=余款总额， ∴， 整理得（为正整数，且），是的反比例函数． （2）解：当时，． 答：他平均每月应还款0.5万元． （3）解：由题意得，即． ∵， ∴， 解得． 又∵，且为正整数， ∴的最小值为30． 答：他至少要30个月才能结清余款． 19．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图象，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当时，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． （2）解：当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入得出，代入，得出，再将代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：过， ， ， ∴直线解析式为：． （2）解：过， ， ， 在反比例函数图像上， ， 在反比例函数图像上， ， 作点关于轴对称点，则， 过点作轴于，则，． 又，， ． 21．图中的曲线是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题： (1)填空：图象的另一支位于第 象限，常数的取值范围是 ． (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点， 如果，那么和有怎样的大小关系？用反比例函数的性质说明理由． (3)若一次函数与图中的曲线有一个交点是，求出这两个函数的解析式，并直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)二， (2)，理由如下： ：反比例函数的图象在第二、四象限， 在每一个象限内，函数值随着的增加而增加， 点和点在同一支上，且， ． (3)或 【分析】（1）由反比例函数一支在第四象限，可判断另一支所在象限，根据列不等式求范围； （2）根据，利用反比例函数的增减性，根据，直接比较同支上两点纵坐标的大小； （3）代入公共点求出两个函数解析式，联立求出交点，结合图象找出反比例函数值小于一次函数值对应的范围． 【详解】（1）解：据图可知，图象的另一支位于第二象限， 图象位于第二、四象限，则， 解得． （2）略 （3）解：将代入， 可得， 解得， 则一次函数的解析式为， 将代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数， 可得， 解得或， 如图，一次函数与反比例函数的交点为，， 时，的取值范围为反比例函数低于一次函数部分的自变量范围， 故此时的取值范围为或． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3) 【分析】（1）把点代入反比例函数求出，再代入点横坐标求出，将、两点代入一次函数解析式，列方程组求出和． （2）对比一次函数图象在反比例函数图象上方部分，读出对应的自变量范围是或． （3）由两个三角形面积比为得到线段比，设，利用两点间距离公式列方程求出，得到． 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵ 一次函数 的图象经过点 ，， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得， ∴ 的取值范围是 或 ． （3）解：∵ 点 在线段 上，连接，，． ∴ 设，其中， ∵， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不合题意，舍去） 当 时，， ∴ 点 的坐标为 ． 23．如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 24．定义：在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半倍双曲线”． (1)双曲线的“半倍双曲线”的表达式为________________； (2)如图1，点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，交轴于点． ①图中两支曲线________交点（填“有”或“没有”）； ②证明：点是的中点： (3)如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①没有 ②证明：设点的横坐标为，则， ∵平行于轴，点在“半倍双曲线”上， ∴， ∵点是与轴的交点， ∴， ∴，， ∴，即点是的中点； (3) 【分析】（1）根据“半倍双曲线”定义，计算即可得出对应表达式； （2）①联立两条双曲线方程，通过方程无解判断无交点，②设点横坐标，分别求出三点坐标，验证与长度相等即可完成证明； （3）设点坐标，根据平行线性质求出坐标，计算直角三角形的面积得到与的关系，结 合的范围解不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵双曲线的半倍双曲线为， ∴，即， ∴双曲线的“半倍双曲线”的表达式为； （2）解：①由 “半倍双曲线”的定义知，双曲线的半倍双曲线为， ∵联立方程，解方程组得此方程组无解， ∴两支曲线没有交点； ②略； （3）解：由 “半倍双曲线”的定义知，双曲线的半倍双曲线为， 设点的坐标为， ∵过作轴的平行线交半倍双曲线于， ∴的横坐标为，代入半倍双曲线得； ∵过作轴的平行线交半倍双曲线于， ∴的纵坐标为，代入半倍双曲线得， ∴是直角三角形（竖直，水平）， ∴；， ∴, ∵， ∴，解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $