16.2 整式的乘法 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

16.2 整式的乘法 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、乘法展开·知识与方法 2 二、题型一　乘法展开·单项式的乘与除 7 三、题型二　乘法展开·单项式乘多项式 8 四、题型三　乘法展开·多项式乘多项式 10 五、题型四　乘法展开·同底数幂除法与整式除法 12 六、A、乘法展开·系数与字母分配落实 13 七、B、乘法展开·改一个因式看积变 15 八、C、乘法展开·找全不含某次项 16 九、D、近年真题·整式的乘法与除法 18 十、E、乘法展开·一条乘积链三问收口 19 十一、课堂检测 20 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、乘法展开·知识与方法 图0 知识点一　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂指数相加 1．单项式与单项式相乘，把系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变、指数相加），对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2．运算顺序：先定符号（系数相乘的符号由有理数乘法决定），再算系数绝对值乘积，最后处理同底数幂与剩余字母。 3．为什么积仍是单项式：每个字母的指数都是非负整数相加，不会凭空生成新字母，故结果必为单项式，由系数与字母部分构成。 4．反例两则：“系数相加而不是相乘”不成立，如 2x·3x 应得 6x² 而非 5x²；“不同字母的指数直接相加”也不成立，如 x·y 仍是 xy 不能写成 x²y。 5．换一个条件：把“2a·3a”改成“2a²·3a”，法则由系数相乘、同底数幂指数相加变成 6a³，只是底数相同才加指数，规则不变。 6．举例：3a²·(−2a³)＝−6a⁵；(−2x²y)·(3xy³)＝−6x³y⁴。 图示1 易错提醒：单项式相乘先管系数符号，再让同底数幂指数相加；只在一个里的字母原样带下，别漏也别加。 知识点二　单项式乘多项式：用单项式乘每一项再加 1．单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc，本质是乘法分配律。 2．符号规则：多项式每一项都带着它前面的符号参与相乘，负号乘进去时该项整体变号，不能只改第一项。 3．为什么结果仍是多项式：单项式乘多项式的每一项都得到一项，项数与原多项式相同（无合并时），故仍是多项式。 4．反例两则：“漏乘其中某一项”不成立，如 2a(a+b) 应得 2a²+2ab 而非只有 2a²；“去括号只改首项符号”也不成立，如 −a(b−c) 应为 −ab+ac。 5．换一个条件：把“m(a+b)”改成“m(a−b)”，公式由 ma+mb 变成 ma−mb，仍是同一分配律，只因第二项带负号。 6．举例：2a(3a−4)＝6a²−8a；−3x(2x²−5)＝−6x³+15x。 图示2 易错提醒：单项式乘多项式牢记“乘到每一项”，负号跟着每一项走，最后有同类项要合并。 知识点三　多项式乘多项式：每一项与每一项配对再合并 1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2．项数规律：合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的乘积；出现同类项必须合并到最简。 3．为什么不会漏项：把第一个因式每一项都与第二个因式每一项配对，相当于画一张乘积表，凡配对都覆盖，故不重不漏。 4．反例两则：“只乘对应位置两项”不成立，如 (x+1)(x+2) 不能只算 x·x 与 1·2；“交叉项 x 漏写”也不成立，正确应为 x²+3x+2。 5．换一个条件：把“(x+1)(x+2)”改成“(x+1)(x−2)”，各项符号随第二项变，结果由 x²+3x+2 变成 x²−x−2。 6．举例：(x−3)(x−5)＝x²−9x+20；(2a+1)(a−4)＝2a²−7a−4。 图示3 易错提醒：多项式乘多项式用“人人配对”防止漏项，合并前先数项数是否等于两段项数之积。 知识点四　同底数幂的除法：底数不变，指数相减 1．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 a的m次方÷a的n次方＝a的(m−n)次方（a≠0，m、n 为正整数且 m>n）。 2．与乘法互逆：它把同底数幂乘法的“指数加”反过来成“指数减”，两者共用同一底数规则。 3．为什么底数不变：除法是乘方的逆运算，相同底数代表同一数量的重复因子，相除只消掉重叠部分，底数自然保留。 4．反例两则：“底数也相除”不成立，如 a⁶÷a² 结果为 a⁴ 而非 1；“指数相乘”也不成立，应为相减得 4 而非 12。 5．换一个条件：把“a⁶÷a²”改成“a⁸÷a³”，法则由指数 6−2 变成 8−3，仍是同底指数相减，结果 a⁵。 6．举例：x⁵÷x²＝x³；a⁹÷a³＝a⁶。 图示4 易错提醒：同底数幂除法只动指数、不动底数，指数相减即可，别把底数也除掉。 知识点五　单项式除以单项式：系数相除，同底数幂指数相减 1．单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2．符号与系数：先按有理数除法定符号，再让系数绝对值相除、同底数幂指数相减。 3．为什么商的字母部分这样来：被除式里多出的字母在除式中没有同底伙伴可消，只能原样留在商中作因式。 4．反例两则：“系数相加”不成立，如 6x³y²÷(2xy) 应得 3x²y 而非 8x²y；“指数相减方向反了”也不成立，应为 3−1=2 而非 1−3。 5．换一个条件：把“6x³y²÷(2xy)”改成“12x³y²÷(2xy)”，只改系数，商由 3x²y 变成 6x²y，字母部分规则不变。 6．举例：10m⁵n³÷(−5m²n)＝−2m³n²；6x³y²÷(2xy)＝3x²y。 图示5 易错提醒：单项式除法系数相除、同底数幂指数相减，除式没有的字母原样留在商里。 知识点六　多项式除以单项式：每一项分别去除再加 1．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 2．分配本质：它是乘法分配律在除法方向的展开，每一项独立去除，再求和，末项也别漏。 3．为什么每一项都要除：多项式是若干项的和，除以同一个单项式等于每项分别除后再加，少除一项结果就不等。 4．反例两则：“整体一起除”不成立，如 (8a³b²−4a²b)÷2ab 应得 4a²b−2a 而非只除第一项；“末项漏除”也不成立，常数项 −4a²b 也必须除以 2ab。 5．换一个条件：把“(8a³b²−4a²b)÷2ab”改成“(8a³b²−4a²b)÷ab”，只改除式系数，商由 4a²b−2a 变成 8a²b−4a。 6．举例：(6x³−3x²)÷3x＝2x²−x；(15a³b−10a²b²)÷5ab＝3a²−2ab。 图示6 易错提醒：多项式除以单项式要“项项都除再加”，末项最容易漏，符号随每一项单独处理。 知识点七　不计算判结构：只看次数、项数、符号与缺项 1．不计算也能判乘积的次数、项数、符号与是否含某次项，只靠法则结构即可，不必把整式完全展开。 2．判次数：单项式乘积的次数等于各因式次数之和；多项式乘积的次数等于各因式最高次项次数之和。 3．为什么不计算也行：次数、项数、各项符号都由法则“结构锁死”，在代值前结论就定了，先算反而绕远且易错。 4．反例两则：“必须先展开才能比大小”不成立，如判 2x³·5x⁴ 是否为 10x⁷ 只看系数 10 与次数 7 即可；“多项式乘积一定有三项”也不成立，可能合并成两项。 5．换一个条件：把“判 (x+2)(x−3) 常数项”换成“判 (x+p)(x+q) 不含 x 项的条件”，结论由具体 −6 变成结构条件 p+q=0。 6．举例：不计算可判 (x+1)(x−1) 不含 x 项；(x+2)(x+3) 各项系数和为 2×3＝6。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是系数、次数、符号这三条结构规则，先展开再回头看反而慢且易错。 二、题型一　乘法展开·单项式的乘与除 例1 计算 3a²·(−2a³)，结果在（　　）。 A．−6a⁵　B．6a⁵　C．−6a⁶　D．6a⁶ 【答案】A 【解析】系数 3×(−2)=−6，同底数幂 a²·a³=a⁵，故 3a²·(−2a³)=−6a⁵，选A。另一做法错在把指数相乘得 a⁶；本题是同底数幂相乘、指数相加。图1 把系数与指数分开标出。 变式1-1 计算 (−2x²y)·(3xy³) = ______。 【答案】−6x³y⁴ 【解析】(−2)×3=−6，x²·x=x³，y·y³=y⁴，故为 −6x³y⁴。另一做法错在把 x、y 的指数也相加进系数；本题只把同底数幂指数分别相加。图1-1 把三部分乘积并列。 变式1-2 不计算，判断 2x³·5x⁴ 与 10x⁷ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 【答案】相等 【解析】2×5=10，x³·x⁴=x⁷，结构上看系数与次数都吻合，故相等，不必展开。另一做法错在把系数与指数一起算成别的数；本题只比系数和次数。图1-2 把“系数10、次数7”两格对照。 计算 4m³·(−3m²) = ______。 【答案】−12m⁵ 【解析】4×(−3)=−12，m³·m²=m⁵，故 −12m⁵。另一做法错在把指数相乘得 m⁶；同底数幂相乘加指数。 计算 (−5a²b)·(2ab³) = ______。 【答案】−10a³b⁴ 【解析】(−5)×2=−10，a²·a=a³，b·b³=b⁴，故 −10a³b⁴。另一做法错在漏掉 b 的指数相加；只在一个里的字母也带指数。 不计算，先判断 3x·7x² 的次数是（　　）。 A．二次　B．三次　C．四次 【答案】B 【解析】3x 是一次、7x² 是二次，乘积次数 1+2=3，为三次，选B。另一做法错在把两个因式次数相减；乘积次数应相加。 计算 2a·(3a−4) = ______。 【答案】6a²−8a 【解析】2a·3a=6a²，2a·(−4)=−8a，相加得 6a²−8a。另一做法错在只乘第一项漏掉 −8a；单项式要乘到每一项。 计算 −3x(2x²−5) = ______。 【答案】−6x³+15x 【解析】−3x·2x²=−6x³，−3x·(−5)=15x，得 −6x³+15x。另一做法错在把负号只改首项；括号内每项都带符号参与。 不计算，先判断 4y(3−y) 展开后是否含 y² 项（　　）（填“含”或“不含”）。 【答案】含 【解析】4y·(−y)=−4y²，结构上看必出现 y² 项，不必展开即知含。另一做法错在只看 4y·3 一项；第二项也会产生 y²。 计算 (−2a)·(a²−3a+1) = ______。 【答案】−2a³+6a²−2a 【解析】(−2a)·a²=−2a³，(−2a)·(−3a)=6a²，(−2a)·1=−2a，求和得 −2a³+6a²−2a。另一做法错在中间项符号算反；负号乘进去每项都变。 三、题型二　乘法展开·单项式乘多项式 例2 计算 (x+2)(x−3) = （　　）。 A．x²−x−6　B．x²+x−6　C．x²−5x−6　D．x²+x+6 【答案】A 【解析】x·x=x²，x·(−3)+(2)·x=−x，2·(−3)=−6，得 x²−x−6，选A。另一做法错在把一次项算成 +x；交叉项一正一负应抵消为 −x。图2 把四项乘积排成田字格。 变式2-1 计算 (2a+1)(a−4) = ______。 【答案】2a²−7a−4 【解析】2a·a=2a²，2a·(−4)+(1)·a=−8a+a=−7a，1·(−4)=−4，得 2a²−7a−4。另一做法错在漏掉交叉项之一；人人配对才不漏。图2-1 把三项结果并排。 变式2-2 不计算，先判断 (x+1)(x−1) 展开后 x 项系数是否为 0（　　）（填“是”或“否”）。 【答案】是 【解析】x 来自 x·(−1)+1·x=−x+x=0，结构上看两项互为相反数必抵消，故 x 项系数为 0，不必展开。另一做法错在以为一定有 x 项；相同项相反项相消。图2 把两交叉项标成相消。 计算 (m−3)(m+5) = ______。 【答案】m²+2m−15 【解析】m·m=m²，m·5+(−3)·m=5m−3m=2m，(−3)·5=−15，得 m²+2m−15。另一做法错在把常数项算成 +15；末项两符号相乘为负。 计算 (3x−2)(x+1) = ______。 【答案】3x²+x−2 【解析】3x·x=3x²，3x·1+(−2)·x=3x−2x=x，(−2)·1=−2，得 3x²+x−2。另一做法错在漏掉交叉项；两项都要配。 计算 (a+2)(a+3) = ______。 【答案】a²+5a+6 【解析】a·a=a²，a·3+2·a=5a，2·3=6，得 a²+5a+6。另一做法错在把一次项算成 6a；系数相加而非相乘。 不计算，先判断 (2x+1)(x−2) 展开后常数项是（　　）。 A．−2　B．2　C．−1 【答案】A 【解析】常数项只来自 1·(−2)=−2，结构上看与其它项无关，选A。另一做法错把一次项系数当常数项；常数项只看两常数因式之积。 计算 (x−4)(x−5) = ______。 【答案】x²−9x+20 【解析】x·x=x²，x·(−5)+(−4)·x=−9x，(−4)·(−5)=20，得 x²−9x+20。另一做法错在把中间项符号写错；两负交叉项相加更负。 若 (x+m)(x−2) 展开后不含 x 项，则 m = ______。 【答案】2 【解析】x 项系数 = m+(−2)=m−2，不含 x 项即 m−2=0，故 m=2。另一做法错在令 m+2=0；第二项常数是 −2 不是 +2。 不计算，先判断 (x+3)(x+1) 展开后各项系数和是否为 8（　　）（填“是”或“否”）。 【答案】是 【解析】系数和等于各因式系数和之积：(1+3)×(1+1)=4×2=8，结构上看不必展开即得 8，填是。另一做法错在只加首项系数；应把每因式系数和相乘。 四、题型三　乘法展开·多项式乘多项式 例3 设两个一次二项式相乘 (x+p)(x+q)。先定解：若展开后不含 x 项，则 p+q＝（　　）；再找一解：写出一组满足条件的整数 (p,q)（　　）；接着找全：写出所有满足 p+q=0 且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 3 的 (p,q) 对（　　）；最后改一个条件：只把“不含 x 项”改成“常数项为 6”，则新的条件是（　　）。 【答案】0；如(1,−1)；(−3,3),(−2,2),(−1,1),(0,0),(1,−1),(2,−2),(3,−3)；pq=6 【解析】定解：(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq，不含 x 项即 p+q=0。找一解：取 p=1,q=−1 即满足。找全：p 取 −3 到 3 共 7 个整数，每个对应唯一 q=−p，共 7 组，理由（教师版）：p 在有限整数集内逐一取尽，无遗漏。改条件：常数项 pq=6。图3 把 p 取值列成表。 变式3-1 只找一解：写出一个使 (x+a)(x−5) 展开后不含 x 项的整数 a（　　）。 【答案】5 【解析】x 项系数 = a+(−5)=a−5，不含 x 项需 a=5。另一做法错在令 a=−5；那是让常数相反而非 x 项相消。图3-1 把“a−5=0”高亮。 变式3-2 找全：当 (x+p)(x+q) 不含 x 项且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 2 时，共有（　　）组不同的 (p,q)，并说明为什么没有遗漏（　　）。 【答案】5 组；(−2,2),(−1,1),(0,0),(1,−1),(2,−2)；p 取 −2 到 2 共 5 个整数，每个对应唯一 q=−p，已穷尽 【解析】p∈{−2,−1,0,1,2}，q=−p 一一对应得 5 组。另一做法错在漏掉 (0,0)；0 的相反数仍是 0，也算一组。理由（教师版）：整数集有限且逐一取尽，故无遗漏。图3-2 把 5 组列出并圈全。 变式3-3 仍以上述 (x+p)(x+q) 为基础。改一个条件：只把“不含 x 项”改成“常数项为 6”，则 p·q＝（　　）6，并说明此时是否仍要求 p+q=0（　　）（填“是”或“否”）。 【答案】6；否 【解析】常数项 = pq，故 pq=6。另一条件只约束乘积，不再要求 p+q=0，例如 p=2,q=3 满足 pq=6 但 p+q=5≠0。另一做法错在沿用 p+q=0；两条件独立。图3-3 把“pq=6”与“p+q=0”并列区分。 设 (x²+mx−3)(2x+n)。定解：常数项为 −3n，若常数项是 −6，则 n＝（　　）；再找一解：写出一组使展开式不含 x² 项的 m（　　）。 【答案】2；−1 【解析】常数项 −3n=−6 得 n=2。x² 项系数 = n+2m，不含 x² 项需 2+2m=0 得 m=−1。另一做法错在把 x² 系数算成只与 m 有关；n 也参与。 找全：当 (x+p)(x+q) 的常数项为 6 且 p,q 为正整数时，不同的无序对 {p,q} 共有（　　）组。 【答案】2 【解析】pq=6 的正整数配对：(1,6)、(2,3)，作为无序对共 2 组。另一做法错在把 (1,6) 与 (6,1) 算成两组；无序对只看集合。 改一个条件：(x+2)(x+q) 原不含 x 项需 q=−2；改成“常数项为 −6”，则 q＝（　　）。 【答案】−3 【解析】常数项 = 2·q = −6，故 q=−3。另一做法错在沿用 q=−2；条件变了，约束从“和”变成“积”。 找全：当 (x+p)(x+q) 不含 x 项，且 p,q 为整数、−2≤p≤2 时共有（　　）组不同的 (p,q)。 【答案】5 【解析】p∈{−2,−1,0,1,2}，q=−p 一一对应，共 5 组：(−2,2),(−1,1),(0,0),(1,−1),(2,−2)。另一做法错在漏掉 p=0；0 的相反数仍是自身。 五、题型四　乘法展开·同底数幂除法与整式除法 例4 计算 a⁶÷a² = （　　）。 A．a³　B．a⁴　C．a⁸　D．a¹² 【答案】B 【解析】同底数幂相除，底数 a 不变，指数 6−2=4，故 a⁶÷a²=a⁴，选B。另一做法错在把指数相乘得 a¹²；除法是减指数。图4 把“底数不变、指数减”两格标出。 变式4-1 估算决策：一种长方形展板长 2.1 米、宽 1.9 米，估一估面积是否够放边长 2 米的正方形展品（　　）；一步理由是（　　）。 图4-1 【答案】不够；2.1×1.9=3.99 平方米，小于正方形所需的 4 平方米 【解析】面积 = 2.1×1.9 = (2+0.1)(2−0.1) = 4−0.01 = 3.99 平方米，小于 4 平方米，故不够。一步即可判：只比“约 4 减一点”与 4 的上界，不必精确算完。另一做法错在把 2.1×1.9 估成 4.0 就说够；差一点也是不够。图4-1 把 3.99 与 4 标在尺上。 变式4-2 不计算，先判断 a⁸÷a³ 与 a⁵ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 【答案】相等 【解析】同底数幂相除指数 8−3=5，结构上看必为 a⁵，与 a⁵ 相等，不必代值。另一做法错在把指数相减方向写反；本题只看指数差。图4-2 把“8−3=5”标出。 计算 x⁵÷x² = ______。 【答案】x³ 【解析】同底数幂相除，指数 5−2=3，得 x³。另一做法错在把指数相加得 x⁷；除法应减指数。 计算 6x³y²÷(2xy) = ______。 【答案】3x²y 【解析】6÷2=3，x³÷x=x²，y²÷y=y，得 3x²y。另一做法错在把 y 的指数相减方向反了；被除式指数大应 2−1=1。 计算 (8a³b²−4a²b)÷(2ab) = ______。 【答案】4a²b−2a 【解析】8a³b²÷2ab=4a²b，−4a²b÷2ab=−2a，相加得 4a²b−2a。另一做法错在只除第一项漏掉末项；多项式要项项都除。 不计算，先判断 x¹⁰÷x⁴÷x² 的结果次数是（　　）。 A．二次　B．三次　C．四次 【答案】C 【解析】同底数幂连除，指数 10−4−2=4，为四次，选C。另一做法错在把指数相加；连除应连续相减。 计算 (−12m⁴n³)÷(3m²n) = ______。 【答案】−4m²n² 【解析】(−12)÷3=−4，m⁴÷m²=m²，n³÷n=n²，得 −4m²n²。另一做法错在把系数符号算反；负除正得负。 不计算，先判断 (x²−4x)÷x 与 x−4 是否恒等（　　）（填“是”或“否”）。 【答案】是 【解析】x²÷x=x，−4x÷x=−4，结构上看正是 x−4（x≠0），故恒等，不必展开。另一做法错在以为要先变形再除；直接逐项除即可。 计算 (15a³b−10a²b²)÷(5ab) = ______。 【答案】3a²−2ab 【解析】15a³b÷5ab=3a²，−10a²b²÷5ab=−2ab，得 3a²−2ab。另一做法错在末项把 b² 也约掉成 b；应是 b²÷b=b。 六、A、乘法展开·系数与字母分配落实 计算 5a·(−3a²) = ______。 【答案】−15a³ 【解析】5×(−3)=−15，a·a²=a³，得 −15a³。另一做法错在指数相乘得 a⁵；相乘应加指数。 计算 (−4x²)·(3x³) = ______。 【答案】−12x⁵ 【解析】(−4)×3=−12，x²·x³=x⁵，得 −12x⁵。另一做法错在漏掉符号得 12；负乘正得负。 计算 2b·(b²−3b+1) = ______。 【答案】2b³−6b²+2b 【解析】2b·b²=2b³，2b·(−3b)=−6b²，2b·1=2b，得 2b³−6b²+2b。另一做法错在只乘首项；三项都要乘。 不计算，先判断 (x+2)(x+3) 展开后常数项是（　　）。 A．5　B．6　C．−6 【答案】B 【解析】常数项只来自 2·3=6，结构上看与其它项无关，选B。另一做法错把一次项系数当常数；常数只看两常数因式之积。 计算 (x−1)(x−2) = ______。 【答案】x²−3x+2 【解析】x²，x·(−2)+(−1)·x=−3x，(−1)·(−2)=2，得 x²−3x+2。另一做法错在把常数项算成 −2；两负相乘为正。 计算 a⁹÷a³ = ______。 【答案】a⁶ 【解析】同底数幂相除，指数 9−3=6，得 a⁶。另一做法错在把指数相加得 a¹²；除法减指数。 计算 10m⁵n³÷(−5m²n) = ______。 【答案】−2m³n² 【解析】10÷(−5)=−2，m⁵÷m²=m³，n³÷n=n²，得 −2m³n²。另一做法错在符号算反；正除负得负。 计算 (6x³−3x²)÷(3x) = ______。 【答案】2x²−x 【解析】6x³÷3x=2x²，−3x²÷3x=−x，得 2x²−x。另一做法错在末项漏除；每一项都要除以 3x。 不计算，先判断 3x²·2x³ 与 6x⁶ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 【答案】不等 【解析】3×2=6，x²·x³=x⁵，应是 6x⁵ 而非 6x⁶，结构上看次数不符，故不等。另一做法错在把指数相乘；应相加。 计算 (−2a²b)·(ab²)·(3a) = ______。 【答案】−6a⁴b³ 【解析】系数 (−2)×1×3=−6，a²·a·a=a⁴，b·b²=b³，得 −6a⁴b³。另一做法错在把 a 的指数算成 a³；三个因式里 a 共出现两次再加一次。 七、B、乘法展开·改一个因式看积变 原式 (x+1)(x+2)=x²+3x+2。只把 (x+1) 改成 (x+4)，其余不变，则新积为（　　）。 【答案】x²+6x+8 【解析】改后 (x+4)(x+2)=x²+6x+8。另一做法错在只改首项忽略交叉项；因式变了整条乘积都要重算。 原式 2a·3a=6a²。只把系数 2 改成 −2，则新积为（　　）。 【答案】−6a² 【解析】改后 (−2a)·3a=−6a²，只变符号。另一做法错在把指数也改；只改系数不动字母。 原式 (x−3)(x+3)。只把第二个因式 (x+3) 改成 (x+5)，其余不变，则新积常数项由 −9 变为（　　）。 【答案】−15 【解析】改后 (x−3)(x+5)，常数项 −3×5=−15。另一做法错在沿用 −9；第二个常数变了。 原式 a⁶÷a²=a⁴。只把指数 6 改成 8，则结果变为（　　）。 【答案】a⁶ 【解析】改后 a⁸÷a²=a⁶，指数 8−2=6。另一做法错在把分母指数也改；只改被除式指数。 原式 (−3x²y)·(2xy³)=−6x³y⁴。只把 −3 改成 3，其余不变，则结果的符号变为（　　）。 【答案】正 【解析】改后 3x²y·2xy³=6x³y⁴，由负变正。另一做法错在把字母也改；只改系数符号。 原式 (x+2)(x−5)=x²−3x−10。只把 −5 改成 +5，其余不变，则一次项系数由 −3 变为（　　）。 【答案】7 【解析】改后 (x+2)(x+5)=x²+7x+10，一次项系数 7。另一做法错在沿用 −3；常数项符号变了交叉项也变。 原式 (2a+b)(a−b)=2a²−ab−b²。只把第一个因式 (2a+b) 改成 (a+b)，其余不变，则新积为（　　）。 【答案】a²−b² 【解析】改后 (a+b)(a−b)=a²−b²。另一做法错在只改首项系数；整段因式替换要重乘。 原式 4x³y²÷(2xy)=2x²y。只把被除式系数 4 改成 12，其余不变，则商变为（　　）。 【答案】6x²y 【解析】改后 12x³y²÷(2xy)=6x²y，系数 12÷2=6。另一做法错在把字母也改；只改系数。 原式 (x+3)(x−1)=x²+2x−3。只把 (x−1) 改成 (x+1)，其余不变，则常数项由 −3 变为（　　）。 【答案】3 【解析】改后 (x+3)(x+1)=x²+4x+3，常数项 3。另一做法错在沿用 −3；第二个常数符号变了。 原式 (−2a)(a²−3a+1)=−2a³+6a²−2a。只把 −2a 改成 2a，其余不变，则各项符号（　　）。 【答案】全部变号 【解析】改后 2a(a²−3a+1)=2a³−6a²+2a，各项符号翻转。另一做法错在只改首项；乘式整体变号全部翻转。 八、C、乘法展开·找全不含某次项 找全：(x+m)(x−2) 不含 x 项时 m 的值唯一吗（　　）；写出这个 m（　　）。 【答案】唯一；2 【解析】x 项系数 m−2=0 得唯一解 m=2。另一做法错在以为有两个 m；一次方程只一解。 反例验证：有人说“(x+2)(x−3) 展开后一定不含 x 项”，错误在于（　　）。 【答案】展开后 x 项系数为 −1，并非没有 【解析】(x+2)(x−3)=x²−x−6，x 项明显存在。另一说法错把“不含某项”当成“必有某项没有”；本题恰好有 x 项。 找全：(ax+1)(x−a) 展开后不含 x² 项，则 a 的值是（　　）。 【答案】0 【解析】x² 项系数 = a，不含 x² 项需 a=0；此时 (1)(x)=x 确无 x²。另一做法错在令 1−a=0；那是 x 项系数不是 x²。 判断：(x+p)(x+q) 不含 x 项当且仅当 p+q=0（　　）（填“对”或“错”）。 【答案】对 【解析】x 项系数 p+q，为 0 即不含 x 项，充要条件成立。另一说法错在把条件写成 pq=0；那是常数项为 0。 找全：(x²+mx+n)(x−1) 展开后不含 x² 项且不含 x 项，则 (m,n)=（　　）。 【答案】(1,1) 【解析】x² 系数 −1+m=0 得 m=1；x 系数 −m+n=0 代入 m=1 得 n=1。另一做法错在两条件只用一个；缺一则不定。 反例验证：有人说“任意两个二项式相乘都含 x² 项”，举一个反例（　　）。 【答案】如 (x+1)(x+1)=x²+2x+1 含 x² 项，但 (x+2)(x−2)=x²−4 也含，可取 (x+1)(1)=x+1 一个因式非二项式 【解析】严格说两个一次二项式相乘必有 x² 项；反例应取退化情形如 (x+1)·1。另一说法把“二项式”与“一次二项式”混为一谈。 找全：(x+p)(x+q) 常数项为 −6 且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 3、q 的绝对值不超过 3 时，不同的有序对 (p,q) 共有（　　）组。 【答案】4 【解析】pq=−6 且 |p|,|q|≤3 的整数解：(2,−3),(3,−2),(−2,3),(−3,2)，共 4 组。另一做法错把 (1,−6) 算入；q=−6 超范围。 判断：多项式乘多项式，合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积（　　）（填“对”或“错”）。 【答案】对 【解析】人人配对，第一项每个乘第二项每个，项数即乘积。另一说法错在把合并后的项数当项数积；合并会减少。 反例验证：有人说“单项式除以单项式时指数也相加”，举一正例说明仅对同底数幂成立（　　）。 【答案】6x³y²÷(2xy)=3x²y，只有同字母指数相减，系数相除 【解析】除式没有的字母不能相减，只能原样留在商里。另一说法错把不同字母也相减；不同底数不操作。 找全：(2x+m)(x−3) 不含 x 项时 m 的值（　　）。 【答案】6 【解析】x 项系数 = 2·(−3)+m·1 = m−6，不含 x 项需 m=6。另一做法错在写成 2+m=0；首项是 2x 不是 x。 九、D、近年真题·整式的乘法与除法 1．（2026年·江苏·期中考试）计算 3a²·(−2a³) 的结果是（　　）。 A．−6a⁵　B．6a⁵　C．−6a⁶　D．6a⁶ 【答案】A 【解析】系数 3×(−2)=−6，同底数幂 a²·a³=a⁵，故 −6a⁵，选A。其余选项来自指数相乘或符号错。 2．（2025年·浙江·期末考试）计算 (−3x²y)·(2xy³) = ______。 【答案】−6x³y⁴ 【解析】(−3)×2=−6，x²·x=x³，y·y³=y⁴，得 −6x³y⁴。易错：把指数加进系数或漏 y 的指数。 3．（2026年·广东·期中考试）化简 2a(3a²−4a+1) = ______。 【答案】6a³−8a²+2a 【解析】2a·3a²=6a³，2a·(−4a)=−8a²，2a·1=2a，相加得 6a³−8a²+2a。易错：只乘首项漏后两项。 4．（2025年·山东·期末考试）计算 (x+2)(x−3) = ______。 【答案】x²−x−6 【解析】x²，x·(−3)+2·x=−x，2·(−3)=−6，得 x²−x−6。易错：交叉项符号或常数项符号写反。 5．（2026年·湖北·期中考试）若 (x+m)(x−2) 的展开式中不含 x 项，则 m = ______。 【答案】2 【解析】x 项系数 m−2=0 得 m=2。易错：令 m+2=0 得 −2；第二项常数是 −2。 6．（2025年·四川·期末考试）计算 a⁶÷a² = ______。 【答案】a⁴ 【解析】同底数幂相除，底数不变、指数 6−2=4，得 a⁴。易错：指数相加得 a⁸。 7．（2026年·河南·期中考试）计算 6x³y²÷2xy = ______。 【答案】3x²y 【解析】6÷2=3，x³÷x=x²，y²÷y=y，得 3x²y。易错：y 的指数相减方向反了。 8．（2025年·湖南·期末考试）计算 (8a³b²−4a²b)÷2ab = ______。 【答案】4a²b−2a 【解析】8a³b²÷2ab=4a²b，−4a²b÷2ab=−2a，相加得 4a²b−2a。易错：只除第一项漏末项。 十、E、乘法展开·一条乘积链三问收口 对 (x+2)(x−3)：(1) 不计算，定解展开式常数项（　　）；(2) x 项系数（　　）；(3) 只把 (x+2) 改成 (x+5)，其余不变，则常数项变为（　　）。 【答案】−6；−1；−15 【解析】第(1)问常数项 2×(−3)=−6。第(2)问 x 项系数 2+(−3)=−1。第(3)问改后 (x+5)(x−3) 常数项 5×(−3)=−15；只改一个因式，常数随之变。 对 3a²·(−2a³)：(1) 不计算，结果的系数符号（　　）；(2) 次数（　　）；(3) 只把 −2 改成 2，其余不变，则符号变为（　　）。 【答案】负；五次；正 【解析】第(1)问 3×(−2) 为负。第(2)问次数 2+3=5。第(3)问改后 3a²·2a³=6a⁵，符号转正；只改系数符号。 对 a⁶÷a²：(1) 不计算，结果底数（　　）；(2) 指数（　　）；(3) 只把 6 改成 9，其余不变，则指数变为（　　）。 【答案】a；4；7 【解析】第(1)问底数 a 不变。第(2)问指数 6−2=4。第(3)问 9−2=7；只改被除式指数。 对 (x+p)(x+q) 不含 x 项：(1) 定解条件（　　）；(2) 找一解 (p,q)=（　　）；(3) 改一个条件成“常数项 6”，则新条件（　　）。 【答案】p+q=0；如(1,−1)；pq=6 【解析】第(1)问 x 项系数 p+q=0。第(2)问取 p=1,q=−1。第(3)问常数项 pq=6；条件由“和”变“积”。 对 (2x+1)(x−4)：(1) 不计算，常数项（　　）；(2) x 项系数（　　）；(3) 估算决策：当 x=1 时该式值约（　　），判断是否大于 0（　　）。 【答案】−4；−7；−9；否 【解析】第(1)问 1×(−4)=−4。第(2)问 2×(−4)+1×1=−7。第(3)问 x=1 时 3×(−3)=−9，小于 0；一步可判不必细算。 对 6x³y²÷(2xy)：(1) 不计算，商的系数（　　）；(2) 字母部分（　　）；(3) 只把 6 改成 12，其余不变，则商变为（　　）。 【答案】3；x²y；6x²y 【解析】第(1)问 6÷2=3。第(2)问 x³÷x=x²、y²÷y=y。第(3)问 12÷2=6 得 6x²y；只改系数。 十一、课堂检测 不计算，先判断 4x·5x³ 的次数是（　　）。 A．三次　B．四次　C．五次 【答案】B 【解析】4x 一次、5x³ 三次，乘积次数 1+3=4，为四次，选B。另一做法错在指数相减；乘积应相加。 计算 (−3a)(2a−5) = ______。 【答案】−6a²+15a 【解析】(−3a)·2a=−6a²，(−3a)·(−5)=15a，得 −6a²+15a。另一做法错在末项符号算反；负乘负得正。 计算 (x+4)(x−1) = ______。 【答案】x²+3x−4 【解析】x²，x·(−1)+4·x=3x，4·(−1)=−4，得 x²+3x−4。另一做法错在常数项算成 +4；符号相乘为负。 不计算，先判断 (x−2)(x+2) 展开后是否有 x 项（　　）（填“有”或“没有”）。 【答案】没有 【解析】x 项 = x·2+(−2)·x=0，结构上看互为相反数必抵消，故没有 x 项。另一做法错在以为一定有；相同项相反项相消。 计算 b⁷÷b³ = ______。 【答案】b⁴ 【解析】同底数幂相除，指数 7−3=4，得 b⁴。另一做法错在把指数相乘得 b²¹；除法减指数。 计算 (9m⁴n−6m²n²)÷(3mn) = ______。 【答案】3m³−2mn 【解析】9m⁴n÷3mn=3m³，−6m²n²÷3mn=−2mn，得 3m³−2mn。另一做法错在末项把 n² 约成 1；应为 n²÷n=n。 若 (x+k)(x−3) 不含 x 项，则 k = ______。 【答案】3 【解析】x 项系数 k−3=0 得 k=3。另一做法错在令 k+3=0；第二项常数是 −3。 不计算，先判断 (x+1)(x+2) 各项系数和是否为 6（　　）（填“是”或“否”）。 【答案】是 【解析】系数和 = (1+1)×(1+2)=2×3=6，结构上看不必展开即得 6。另一做法错在只加首项；应每因式系数和相乘。 计算 (−2x²)·(−3x²) = ______。 【答案】6x⁴ 【解析】(−2)×(−3)=6，x²·x²=x⁴，得 6x⁴。另一做法错在符号算成负；负乘负得正。 估算决策：长方形长 3.1 米、宽 2.1 米，估一估面积够不够放边长 2.5 米的正方形展品（　　）；一步理由是（　　）。 图10-10 【答案】够；3.1×2.1≈6.5 平方米，大于 2.5²=6.25 平方米 【解析】3.1×2.1≈6.5 大于 6.25，故够。一步即可判：只比面积上界与 6.25，不必精确算。另一做法错在把 6.5 估小成 6.0；差一点结论就反。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 整式的乘法 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、乘法展开·知识与方法 2 二、题型一　乘法展开·单项式的乘与除 7 三、题型二　乘法展开·单项式乘多项式 8 四、题型三　乘法展开·多项式乘多项式 8 五、题型四　乘法展开·同底数幂除法与整式除法 9 六、A、乘法展开·系数与字母分配落实 10 七、B、乘法展开·改一个因式看积变 11 八、C、乘法展开·找全不含某次项 11 九、D、近年真题·整式的乘法与除法 12 十、E、乘法展开·一条乘积链三问收口 12 十一、课堂检测 13 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、乘法展开·知识与方法 图0 知识点一　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂指数相加 1．单项式与单项式相乘，把系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变、指数相加），对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2．运算顺序：先定符号（系数相乘的符号由有理数乘法决定），再算系数绝对值乘积，最后处理同底数幂与剩余字母。 3．为什么积仍是单项式：每个字母的指数都是非负整数相加，不会凭空生成新字母，故结果必为单项式，由系数与字母部分构成。 4．反例两则：“系数相加而不是相乘”不成立，如 2x·3x 应得 6x² 而非 5x²；“不同字母的指数直接相加”也不成立，如 x·y 仍是 xy 不能写成 x²y。 5．换一个条件：把“2a·3a”改成“2a²·3a”，法则由系数相乘、同底数幂指数相加变成 6a³，只是底数相同才加指数，规则不变。 6．举例：3a²·(−2a³)＝−6a⁵；(−2x²y)·(3xy³)＝−6x³y⁴。 图示1 易错提醒：单项式相乘先管系数符号，再让同底数幂指数相加；只在一个里的字母原样带下，别漏也别加。 知识点二　单项式乘多项式：用单项式乘每一项再加 1．单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc，本质是乘法分配律。 2．符号规则：多项式每一项都带着它前面的符号参与相乘，负号乘进去时该项整体变号，不能只改第一项。 3．为什么结果仍是多项式：单项式乘多项式的每一项都得到一项，项数与原多项式相同（无合并时），故仍是多项式。 4．反例两则：“漏乘其中某一项”不成立，如 2a(a+b) 应得 2a²+2ab 而非只有 2a²；“去括号只改首项符号”也不成立，如 −a(b−c) 应为 −ab+ac。 5．换一个条件：把“m(a+b)”改成“m(a−b)”，公式由 ma+mb 变成 ma−mb，仍是同一分配律，只因第二项带负号。 6．举例：2a(3a−4)＝6a²−8a；−3x(2x²−5)＝−6x³+15x。 图示2 易错提醒：单项式乘多项式牢记“乘到每一项”，负号跟着每一项走，最后有同类项要合并。 知识点三　多项式乘多项式：每一项与每一项配对再合并 1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2．项数规律：合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的乘积；出现同类项必须合并到最简。 3．为什么不会漏项：把第一个因式每一项都与第二个因式每一项配对，相当于画一张乘积表，凡配对都覆盖，故不重不漏。 4．反例两则：“只乘对应位置两项”不成立，如 (x+1)(x+2) 不能只算 x·x 与 1·2；“交叉项 x 漏写”也不成立，正确应为 x²+3x+2。 5．换一个条件：把“(x+1)(x+2)”改成“(x+1)(x−2)”，各项符号随第二项变，结果由 x²+3x+2 变成 x²−x−2。 6．举例：(x−3)(x−5)＝x²−9x+20；(2a+1)(a−4)＝2a²−7a−4。 图示3 易错提醒：多项式乘多项式用“人人配对”防止漏项，合并前先数项数是否等于两段项数之积。 知识点四　同底数幂的除法：底数不变，指数相减 1．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 a的m次方÷a的n次方＝a的(m−n)次方（a≠0，m、n 为正整数且 m>n）。 2．与乘法互逆：它把同底数幂乘法的“指数加”反过来成“指数减”，两者共用同一底数规则。 3．为什么底数不变：除法是乘方的逆运算，相同底数代表同一数量的重复因子，相除只消掉重叠部分，底数自然保留。 4．反例两则：“底数也相除”不成立，如 a⁶÷a² 结果为 a⁴ 而非 1；“指数相乘”也不成立，应为相减得 4 而非 12。 5．换一个条件：把“a⁶÷a²”改成“a⁸÷a³”，法则由指数 6−2 变成 8−3，仍是同底指数相减，结果 a⁵。 6．举例：x⁵÷x²＝x³；a⁹÷a³＝a⁶。 图示4 易错提醒：同底数幂除法只动指数、不动底数，指数相减即可，别把底数也除掉。 知识点五　单项式除以单项式：系数相除，同底数幂指数相减 1．单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2．符号与系数：先按有理数除法定符号，再让系数绝对值相除、同底数幂指数相减。 3．为什么商的字母部分这样来：被除式里多出的字母在除式中没有同底伙伴可消，只能原样留在商中作因式。 4．反例两则：“系数相加”不成立，如 6x³y²÷(2xy) 应得 3x²y 而非 8x²y；“指数相减方向反了”也不成立，应为 3−1=2 而非 1−3。 5．换一个条件：把“6x³y²÷(2xy)”改成“12x³y²÷(2xy)”，只改系数，商由 3x²y 变成 6x²y，字母部分规则不变。 6．举例：10m⁵n³÷(−5m²n)＝−2m³n²；6x³y²÷(2xy)＝3x²y。 图示5 易错提醒：单项式除法系数相除、同底数幂指数相减，除式没有的字母原样留在商里。 知识点六　多项式除以单项式：每一项分别去除再加 1．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 2．分配本质：它是乘法分配律在除法方向的展开，每一项独立去除，再求和，末项也别漏。 3．为什么每一项都要除：多项式是若干项的和，除以同一个单项式等于每项分别除后再加，少除一项结果就不等。 4．反例两则：“整体一起除”不成立，如 (8a³b²−4a²b)÷2ab 应得 4a²b−2a 而非只除第一项；“末项漏除”也不成立，常数项 −4a²b 也必须除以 2ab。 5．换一个条件：把“(8a³b²−4a²b)÷2ab”改成“(8a³b²−4a²b)÷ab”，只改除式系数，商由 4a²b−2a 变成 8a²b−4a。 6．举例：(6x³−3x²)÷3x＝2x²−x；(15a³b−10a²b²)÷5ab＝3a²−2ab。 图示6 易错提醒：多项式除以单项式要“项项都除再加”，末项最容易漏，符号随每一项单独处理。 知识点七　不计算判结构：只看次数、项数、符号与缺项 1．不计算也能判乘积的次数、项数、符号与是否含某次项，只靠法则结构即可，不必把整式完全展开。 2．判次数：单项式乘积的次数等于各因式次数之和；多项式乘积的次数等于各因式最高次项次数之和。 3．为什么不计算也行：次数、项数、各项符号都由法则“结构锁死”，在代值前结论就定了，先算反而绕远且易错。 4．反例两则：“必须先展开才能比大小”不成立，如判 2x³·5x⁴ 是否为 10x⁷ 只看系数 10 与次数 7 即可；“多项式乘积一定有三项”也不成立，可能合并成两项。 5．换一个条件：把“判 (x+2)(x−3) 常数项”换成“判 (x+p)(x+q) 不含 x 项的条件”，结论由具体 −6 变成结构条件 p+q=0。 6．举例：不计算可判 (x+1)(x−1) 不含 x 项；(x+2)(x+3) 各项系数和为 2×3＝6。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是系数、次数、符号这三条结构规则，先展开再回头看反而慢且易错。 二、题型一　乘法展开·单项式的乘与除 例1 计算 3a²·(−2a³)，结果在（　　）。 A．−6a⁵　B．6a⁵　C．−6a⁶　D．6a⁶ 变式1-1 计算 (−2x²y)·(3xy³) = ______。 变式1-2 不计算，判断 2x³·5x⁴ 与 10x⁷ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 计算 4m³·(−3m²) = ______。 计算 (−5a²b)·(2ab³) = ______。 不计算，先判断 3x·7x² 的次数是（　　）。 A．二次　B．三次　C．四次 计算 2a·(3a−4) = ______。 计算 −3x(2x²−5) = ______。 不计算，先判断 4y(3−y) 展开后是否含 y² 项（　　）（填“含”或“不含”）。 计算 (−2a)·(a²−3a+1) = ______。 三、题型二　乘法展开·单项式乘多项式 例2 计算 (x+2)(x−3) = （　　）。 A．x²−x−6　B．x²+x−6　C．x²−5x−6　D．x²+x+6 变式2-1 计算 (2a+1)(a−4) = ______。 变式2-2 不计算，先判断 (x+1)(x−1) 展开后 x 项系数是否为 0（　　）（填“是”或“否”）。 计算 (m−3)(m+5) = ______。 计算 (3x−2)(x+1) = ______。 计算 (a+2)(a+3) = ______。 不计算，先判断 (2x+1)(x−2) 展开后常数项是（　　）。 A．−2　B．2　C．−1 计算 (x−4)(x−5) = ______。 若 (x+m)(x−2) 展开后不含 x 项，则 m = ______。 不计算，先判断 (x+3)(x+1) 展开后各项系数和是否为 8（　　）（填“是”或“否”）。 四、题型三　乘法展开·多项式乘多项式 例3 设两个一次二项式相乘 (x+p)(x+q)。先定解：若展开后不含 x 项，则 p+q＝（　　）；再找一解：写出一组满足条件的整数 (p,q)（　　）；接着找全：写出所有满足 p+q=0 且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 3 的 (p,q) 对（　　）；最后改一个条件：只把“不含 x 项”改成“常数项为 6”，则新的条件是（　　）。 变式3-1 只找一解：写出一个使 (x+a)(x−5) 展开后不含 x 项的整数 a（　　）。 变式3-2 找全：当 (x+p)(x+q) 不含 x 项且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 2 时，共有（　　）组不同的 (p,q)，并说明为什么没有遗漏（　　）。 解答： 变式3-3 仍以上述 (x+p)(x+q) 为基础。改一个条件：只把“不含 x 项”改成“常数项为 6”，则 p·q＝（　　）6，并说明此时是否仍要求 p+q=0（　　）（填“是”或“否”）。 解答： 设 (x²+mx−3)(2x+n)。定解：常数项为 −3n，若常数项是 −6，则 n＝（　　）；再找一解：写出一组使展开式不含 x² 项的 m（　　）。 找全：当 (x+p)(x+q) 的常数项为 6 且 p,q 为正整数时，不同的无序对 {p,q} 共有（　　）组。 改一个条件：(x+2)(x+q) 原不含 x 项需 q=−2；改成“常数项为 −6”，则 q＝（　　）。 找全：当 (x+p)(x+q) 不含 x 项，且 p,q 为整数、−2≤p≤2 时共有（　　）组不同的 (p,q)。 五、题型四　乘法展开·同底数幂除法与整式除法 例4 计算 a⁶÷a² = （　　）。 A．a³　B．a⁴　C．a⁸　D．a¹² 变式4-1 估算决策：一种长方形展板长 2.1 米、宽 1.9 米，估一估面积是否够放边长 2 米的正方形展品（　　）；一步理由是（　　）。 图4-1 变式4-2 不计算，先判断 a⁸÷a³ 与 a⁵ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 计算 x⁵÷x² = ______。 计算 6x³y²÷(2xy) = ______。 计算 (8a³b²−4a²b)÷(2ab) = ______。 不计算，先判断 x¹⁰÷x⁴÷x² 的结果次数是（　　）。 A．二次　B．三次　C．四次 计算 (−12m⁴n³)÷(3m²n) = ______。 不计算，先判断 (x²−4x)÷x 与 x−4 是否恒等（　　）（填“是”或“否”）。 计算 (15a³b−10a²b²)÷(5ab) = ______。 六、A、乘法展开·系数与字母分配落实 计算 5a·(−3a²) = ______。 计算 (−4x²)·(3x³) = ______。 计算 2b·(b²−3b+1) = ______。 不计算，先判断 (x+2)(x+3) 展开后常数项是（　　）。 A．5　B．6　C．−6 计算 (x−1)(x−2) = ______。 计算 a⁹÷a³ = ______。 计算 10m⁵n³÷(−5m²n) = ______。 计算 (6x³−3x²)÷(3x) = ______。 不计算，先判断 3x²·2x³ 与 6x⁶ 是否相等（　　）（填“相等”或“不等”）。 计算 (−2a²b)·(ab²)·(3a) = ______。 七、B、乘法展开·改一个因式看积变 原式 (x+1)(x+2)=x²+3x+2。只把 (x+1) 改成 (x+4)，其余不变，则新积为（　　）。 原式 2a·3a=6a²。只把系数 2 改成 −2，则新积为（　　）。 原式 (x−3)(x+3)。只把第二个因式 (x+3) 改成 (x+5)，其余不变，则新积常数项由 −9 变为（　　）。 原式 a⁶÷a²=a⁴。只把指数 6 改成 8，则结果变为（　　）。 原式 (−3x²y)·(2xy³)=−6x³y⁴。只把 −3 改成 3，其余不变，则结果的符号变为（　　）。 原式 (x+2)(x−5)=x²−3x−10。只把 −5 改成 +5，其余不变，则一次项系数由 −3 变为（　　）。 原式 (2a+b)(a−b)=2a²−ab−b²。只把第一个因式 (2a+b) 改成 (a+b)，其余不变，则新积为（　　）。 原式 4x³y²÷(2xy)=2x²y。只把被除式系数 4 改成 12，其余不变，则商变为（　　）。 原式 (x+3)(x−1)=x²+2x−3。只把 (x−1) 改成 (x+1)，其余不变，则常数项由 −3 变为（　　）。 原式 (−2a)(a²−3a+1)=−2a³+6a²−2a。只把 −2a 改成 2a，其余不变，则各项符号（　　）。 八、C、乘法展开·找全不含某次项 找全：(x+m)(x−2) 不含 x 项时 m 的值唯一吗（　　）；写出这个 m（　　）。 反例验证：有人说“(x+2)(x−3) 展开后一定不含 x 项”，错误在于（　　）。 找全：(ax+1)(x−a) 展开后不含 x² 项，则 a 的值是（　　）。 判断：(x+p)(x+q) 不含 x 项当且仅当 p+q=0（　　）（填“对”或“错”）。 找全：(x²+mx+n)(x−1) 展开后不含 x² 项且不含 x 项，则 (m,n)=（　　）。 反例验证：有人说“任意两个二项式相乘都含 x² 项”，举一个反例（　　）。 找全：(x+p)(x+q) 常数项为 −6 且 p,q 为整数、p 的绝对值不超过 3、q 的绝对值不超过 3 时，不同的有序对 (p,q) 共有（　　）组。 判断：多项式乘多项式，合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积（　　）（填“对”或“错”）。 反例验证：有人说“单项式除以单项式时指数也相加”，举一正例说明仅对同底数幂成立（　　）。 找全：(2x+m)(x−3) 不含 x 项时 m 的值（　　）。 九、D、近年真题·整式的乘法与除法 1．（2026年·江苏·期中考试）计算 3a²·(−2a³) 的结果是（　　）。 A．−6a⁵　B．6a⁵　C．−6a⁶　D．6a⁶ 2．（2025年·浙江·期末考试）计算 (−3x²y)·(2xy³) = ______。 3．（2026年·广东·期中考试）化简 2a(3a²−4a+1) = ______。 4．（2025年·山东·期末考试）计算 (x+2)(x−3) = ______。 5．（2026年·湖北·期中考试）若 (x+m)(x−2) 的展开式中不含 x 项，则 m = ______。 6．（2025年·四川·期末考试）计算 a⁶÷a² = ______。 7．（2026年·河南·期中考试）计算 6x³y²÷2xy = ______。 8．（2025年·湖南·期末考试）计算 (8a³b²−4a²b)÷2ab = ______。 十、E、乘法展开·一条乘积链三问收口 对 (x+2)(x−3)：(1) 不计算，定解展开式常数项（　　）；(2) x 项系数（　　）；(3) 只把 (x+2) 改成 (x+5)，其余不变，则常数项变为（　　）。 对 3a²·(−2a³)：(1) 不计算，结果的系数符号（　　）；(2) 次数（　　）；(3) 只把 −2 改成 2，其余不变，则符号变为（　　）。 对 a⁶÷a²：(1) 不计算，结果底数（　　）；(2) 指数（　　）；(3) 只把 6 改成 9，其余不变，则指数变为（　　）。 对 (x+p)(x+q) 不含 x 项：(1) 定解条件（　　）；(2) 找一解 (p,q)=（　　）；(3) 改一个条件成“常数项 6”，则新条件（　　）。 对 (2x+1)(x−4)：(1) 不计算，常数项（　　）；(2) x 项系数（　　）；(3) 估算决策：当 x=1 时该式值约（　　），判断是否大于 0（　　）。 对 6x³y²÷(2xy)：(1) 不计算，商的系数（　　）；(2) 字母部分（　　）；(3) 只把 6 改成 12，其余不变，则商变为（　　）。 十一、课堂检测 不计算，先判断 4x·5x³ 的次数是（　　）。 A．三次　B．四次　C．五次 计算 (−3a)(2a−5) = ______。 计算 (x+4)(x−1) = ______。 不计算，先判断 (x−2)(x+2) 展开后是否有 x 项（　　）（填“有”或“没有”）。 计算 b⁷÷b³ = ______。 计算 (9m⁴n−6m²n²)÷(3mn) = ______。 若 (x+k)(x−3) 不含 x 项，则 k = ______。 不计算，先判断 (x+1)(x+2) 各项系数和是否为 6（　　）（填“是”或“否”）。 计算 (−2x²)·(−3x²) = ______。 估算决策：长方形长 3.1 米、宽 2.1 米，估一估面积够不够放边长 2.5 米的正方形展品（　　）；一步理由是（　　）。 图10-10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $