专题16.2 整式的乘法（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册
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精品
内容正文：
专题16.2整式的乘法
教学目标
1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则，并能熟练运用这些法则进行有关计算．
2.理解同底数幂的除法的运算性质，理解零指数幂的意义．
3.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行相关计算．
教学重难点
1.重点
（1）零指数幂的意义；
（2）整式乘法及除法．
2.难点
运用相关法则进行计算．
知识点01 单项式与单项式相乘
1．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：
①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
3．已知单项式和的积与是同类项，求的值．
【答案】
【详解】解：∵
又∵单项式和的积与是同类项，
∴ ，解得 ，
∴．
∴的值为．
4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
（1）根据上述信息，分别计算出m，n的值．
（2）在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）解：由题意得，
，
即，
所以，，
解得，．
（2）解：原式．
由（1）知，，，
所以原式．
知识点02 单项式与多项式相乘
1．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）．
注意：
①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．
②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：．
2．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式；
当时，原式．
3．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值．
【答案】
【详解】解：．
∵计算结果不含x的三次项，
∴，
解得．
4．将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，．
（1）当时，用含a，b的式子表示，；
（2）若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而的值总保持不变，求a，b满足的数量关系．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）当时，
，
；
（2）∵，
∴．
∵长度不变，变长，的值总保持不变，
∴，
解得．
即a、b满足的关系是．
知识点03 多项式与多项式相乘
1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为．
注意：
①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
【即学即练】
1．计算
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：．
2．已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值．
【答案】，
【详解】解：
，
因为展开式中不含项和x项，
所以，，
所以，．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
；
当时，
原式．
4．我国是中草药的发源地．为了让学生充分体验中草药种植的乐趣，某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种植田的长为米，宽为米；正方形种植田的边长为米．
（1）求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果化至最简）
（2）当，时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？
【答案】（1）种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米；（2）种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米
【详解】解：（1）由题意可得：，
答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米．
（2）当，时，（平方米），
答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米．
5．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
（1）图中括号内的数为_____；
（2）展开式共有_____项，第3项系数为_____；
（3）利用上面的规律计算：．
【答案】（1）6；（2）6，10；（3）32
【详解】（1）解：依题意，，
∴图中括号内的数为6；
（2）解：，
，
，
，
∴
∴的展开式有6项，第3项系数为10；
（3）解：依题意，，
∴
．
知识点04 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法法则
一般地，（，m，n都是正整数，并且）．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
注意：
①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了．
②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）．
③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）0；（2）；（3）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
3．根据条件求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求n的值．
【答案】（1）；（2）1
【详解】（1）解：∵，，
∴ ；
（2）解：，
，
，
，
，
，
∴．
4．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）2；（2）54
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
知识点05 零指数幂
1．同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有．
于是规定：．
即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
注意：
任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式．
【即学即练】
1．计算：．
【答案】
【详解】解： ．
2．我们规定：．完成下列问题：
（1）已知，则x的取值范围是___________；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）；（2）x的值为或或
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：当时，则，
∴，
∵，
∴此时满足；
当时，则，
∴，
∵，
∴此时满足；
当时，则，
∴，
∵，
∴此时满足；
综上所述，x的值为或或．
知识点06 单项式除以单项式
1．单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注意：
计算结果是否正确，可由单项式乘法验证．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：；
（2）解：．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
3．先化简再求值：，其中，，．
【答案】，
【详解】解：原式，
当，，时
原式．
4．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
当，时，原式．
知识点07 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
（m，a，b都是单项式）．
注意：
①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：；
（2）解：．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
；
（4）．
3．化简求值：，其中，．
【答案】，8
【详解】解：
，
当，时，原式．
题型01 整式的混合运算
【典例1】计算
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
【变式1】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
题型02 逆用同底数幂的除法运算性质
【典例1】若，，则（ ）
A．2
B．
C．15
D．50
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴．
【典例2】若，，，则__________．
【答案】100
【详解】解：先变形已知的，可得，
由题意得，
∵，
∴将，，代入得：．
【变式1】若，，则的值为_____．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
【变式2】根据已知条件求值．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）1；（2）6
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
解得．
题型03 零次幂在运算中的应用
【典例1】若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴．
【变式1】若式子无意义，则实数x的值为____________．
【答案】2
【详解】解：∵式子无意义，
∴，
∴．
【典例2】探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题：
【课内回顾】
（1）若，则；
若（c满足条件________），则．
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如；
②底数为1，例如；
③底数为的偶数次幂，例如．
【知识运用】
（2）若，求x的值．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）解：∵，
∴当时，则，
因此若，当c满足时，则，
故答案为：；
（2）解：分三种情况讨论如下：
①当且时，，
由，解得：，此时，
∴当时，；
②当时，，
由，解得：，
∴当时，；
③当且为偶数时，，
由，解得：，
此时不是偶数，故不合题意，舍去．
综上所述：若，则x的值为或．
【变式2】小明做了这样一道题：若，求a的值．
他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明的解答过程如下：
解：∵1的任何次幂为1，∴，∴，
此时，
∴a的值为2．
你的解答过程是：
【答案】见解析
【详解】解：若，则，
此时；
若，则，
此；
若，则，
此时，不成立．
综上所述，a的值为或2．
题型04 整式除法的应用
【典例1】已知，并且一个多项式与的乘积等于，求这个多项式．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【变式1】已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式．
【答案】
【详解】解：
，
∴这个多项式为．
【典例2】 已知A，B均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．
（1）求整式B；
（2）求的正确结果．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：，
小马误算为，
故：；
（2）解：．
【变式2】已知A、B均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求整式B；
（3）求的正确结果．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴；
（3）解：．
【典例3】如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．
（1）求长方形甲的宽．
（2）试探究：图乙的面积与图甲的面积的差（即）是一个常数，求出这个常数．
【答案】（1）；（2）16
【详解】（1）解：∵长方形甲的面积为，它的长为，
∴长方形甲的宽；
（2）解：∵甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等，
∴正方形乙边长为，
∴，
∴．
【变式3】如图，某新建高铁站广场前有一块长，宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道．
（1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）．
（2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？
【答案】（1）；（2）需要块这样的地砖
【详解】（1）解：喷泉的占地面积
；
（2）解：
（块）
答：需要块这样的地砖．
题型05 整式乘除法的化简求值
【典例1】先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式1】先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
∵，，
∴
．
题型06 整式乘法的应用
【典例1】已知代数式，．A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值．
【答案】，
【详解】解：，
∵积中不含x的二次项，且常数项为，
∴，
解得．
【变式1】关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
（1）求a和m的值．
（2）若，求代数式的值．
【答案】（1），；（2）20
【详解】（1）解：
，
因代数式中不含项与常数项，
∴，，
∴，．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【典例2】如图，无锡某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．设通道的宽为x米，种植花草的面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S（要求有计算过程，结果化简）；
（2）当时，求S的值．
【答案】（1）；（2）468（平方米）
【详解】（1）解：可将图中设计的道路平移至矩形的边上，将种花草的区域集中在一起，如图，
∴种植花草的面积为：
；
（2）解：当时，（平方米）．
【变式2】公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：m），阴影部分设计为草坪．
（1）用整式表示草坪的面积；
（2）若，，求草坪的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：草坪面积为：；
（2）解：当，时，草坪面积．
【典例3】对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
（1）______；
（2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？
【答案】（1）11；（2）3
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
图中阴影部分的面积，
∵，
∴原式．
【变式3】学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳：
∴，
；
【及时应用】
（1）多项式除以多项式，所得的商式为____________，余式为____________．
【数形结合】
（2）已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为____________；
________．
【拓展提升】
（3）如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？
①小辉同学认为不能，请你说明理由；
②小雅同学认为只要减少_____张_____卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成；
③小光同学认为也可以只增加_____张_____卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成．
【答案】（1），3；（2），；（3）①理由见解析；②2，乙；③3，丙
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：由题意知能除尽，
，
∴，
解得，
∴；
（3）①由题意，这42张卡片拼成图形的总面积为，
，
∴除不尽，
∴不能将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形；
②如果减少2张乙卡片，则卡片拼成图形的总面积为，
，
，
∴减少2张乙卡片，能除尽，
∴减少2张乙卡片就可以拼成；
③如果增加3张丙卡片，则卡片拼成图形的总面积为，
，
，
∴增加3张丙卡片，能除尽，
∴增加3张丙卡片就可以拼成．
1．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：A．当时，，当时无意义，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
2．若，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】解：，
∵ ，
∴ ，，
解得，．
3．定义新运算：，则的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
4．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：原多项式为，
正确的计算结果是．
5．要使的展开式中不含项，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】C
【详解】解：．
要使的展开式中不含项，则，
解得．
6．学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：将横向小路平移至长方形上方，纵向小路平移至长方形左侧，剩余草场部分可拼成一个新的长方形，
∵原长方形长为，宽为，小路宽均为，
∴新长方形的长为，宽为，
∴草场的面积为．
7．计算：_______．
【答案】
【详解】解：．
8．若有意义，则x所满足的条件是________．
【答案】
【详解】解：∵零指数幂有意义要求底数不为0
∴，
∴．
9．地球与太阳的距离约千米，光的速度是米/秒，那么，太阳光射到地球上大约需要_________秒．（结果用科学记数法表示）
【答案】
【详解】解：首先统一单位，光速米/秒换算为千米每秒是千米/秒．
∵ 时间=路程速度，
∴ 计算得：，
即太阳光射到地球上大约需要秒．
10．如果，那么________．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
11．若，则_________．
【答案】2026
【详解】解：∵，
∴，且，
∴
．
12．如图，这是某社区经济适用房的户型平面简图（图中长度单位：m），根据图中标识数据，该户型的面积为________．（用含a的代数式表示）
【答案】
【详解】解：如图，延长卫生间左侧边线构造出阴影区域的长方形，
由上图可知：此户型图可看成由左侧大长方形以及右侧的卫生间、阴影区域长方形这三个矩形构成，
左侧大长方形面积为：；
黄色长方形区域的面积为：；
卫生间的面积为：；
则该户型的总面积为：．
13．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
14．先化简，再求值．，其中．
【答案】，10
【详解】解：，
∵，
∴原式．
1．根据等式：，
，
，
……的规律，
则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵，
，
，
……
∴，
令，得，
，
∴．
2．若，则___________ ．
【答案】6或4或
【详解】解：分三种情况讨论：
当时，，
此时，
当且为偶数时，，
此时，为偶数，
当且时，，
此时，
综上，x的值是6或4或．
3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
（1）填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________．
（2）已知，则___________；
（3）若，求的值．
【答案】（1）6，10；（2）；（3）
【详解】（1）解：由题意得展开式中共有项，
第三项的系数（字母部分是）是10；
（2）解：∵，，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴当时，，
即：；
当时，，即：，
∴，
∴．
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专题16.2整式的乘法
教学目标
1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则，并能熟练运用这些法则进行有关计算．
2.理解同底数幂的除法的运算性质，理解零指数幂的意义．
3.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行相关计算．
教学重难点
1.重点
（1）零指数幂的意义；
（2）整式乘法及除法．
2.难点
运用相关法则进行计算．
知识点01 单项式与单项式相乘
1．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的_____、__________分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的_____，则连同它的_____作为积的一个因式．
注意：
①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．已知单项式和的积与是同类项，求的值．
4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
（1）根据上述信息，分别计算出m，n的值．
（2）在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案．
知识点02 单项式与多项式相乘
1．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘_______________，再把所得的积_____．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）．
注意：
①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．
②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
2．先化简，再求值：，其中．
3．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值．
4．将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，．
（1）当时，用含a，b的式子表示，；
（2）若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而的值总保持不变，求a，b满足的数量关系．
知识点03 多项式与多项式相乘
1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_________________________，再把所得的积_____．用式子表示为．
注意：
①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
【即学即练】
1．计算
（1）；
（2）；
（3）．
2．已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值．
3．先化简，再求值：，其中．
4．我国是中草药的发源地．为了让学生充分体验中草药种植的乐趣，某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种植田的长为米，宽为米；正方形种植田的边长为米．
（1）求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果化至最简）
（2）当，时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？
5．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
（1）图中括号内的数为_____；
（2）展开式共有_____项，第3项系数为_____；
（3）利用上面的规律计算：．
知识点04 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法法则
一般地，（，m，n都是正整数，并且）．
即同底数幂相除，____________________．
注意：
①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了．
②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）．
③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
3．根据条件求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求n的值．
4．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
知识点05 零指数幂
1．同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有．
于是规定：．
即任何__________的数的0次幂都等于1．
注意：
任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式．
【即学即练】
1．计算：．
2．我们规定：．完成下列问题：
（1）已知，则x的取值范围是___________；
（2）已知，求x的值．
知识点06 单项式除以单项式
1．单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把______________________________，对于只在被除式里含有的字母，则_________________________．
注意：
计算结果是否正确，可由单项式乘法验证．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
3．先化简再求值：，其中，，．
4．先化简，再求值：，其中，．
知识点07 多项式除以单项式
1．多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个_________________________，再把所得的商_____．
（m，a，b都是单项式）．
注意：
①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【即学即练】
1．计算：
（1）；
（2）．
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．化简求值：，其中，．
题型01 整式的混合运算
【典例1】计算
（1）；
（2）；
（3）．
【变式1】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
题型02 逆用同底数幂的除法运算性质
【典例1】若，，则（ ）
A．2
B．
C．15
D．50
【典例2】若，，，则__________．
【变式1】若，，则的值为_____．
【变式2】根据已知条件求值．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求x的值．
题型03 零次幂在运算中的应用
【典例1】若有意义，则x的取值范围是______．
【变式1】若式子无意义，则实数x的值为____________．
【典例2】探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题：
【课内回顾】
（1）若，则；
若（c满足条件________），则．
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如；
②底数为1，例如；
③底数为的偶数次幂，例如．
【知识运用】
（2）若，求x的值．
【变式2】小明做了这样一道题：若，求a的值．
他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明的解答过程如下：
解：∵1的任何次幂为1，∴，∴，
此时，
∴a的值为2．
你的解答过程是：
题型04 整式除法的应用
【典例1】已知，并且一个多项式与的乘积等于，求这个多项式．
【变式1】已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式．
【典例2】 已知A，B均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．
（1）求整式B；
（2）求的正确结果．
【变式2】已知A、B均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求整式B；
（3）求的正确结果．
【典例3】如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．
（1）求长方形甲的宽．
（2）试探究：图乙的面积与图甲的面积的差（即）是一个常数，求出这个常数．
【变式3】如图，某新建高铁站广场前有一块长，宽的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为的人行通道．
（1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）．
（2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？
题型05 整式乘除法的化简求值
【典例1】先化简，再求值：，其中．
【变式1】先化简再求值：，其中，．
题型06 整式乘法的应用
【典例1】已知代数式，．A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值．
【变式1】关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
（1）求a和m的值．
（2）若，求代数式的值．
【典例2】如图，无锡某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．设通道的宽为x米，种植花草的面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S（要求有计算过程，结果化简）；
（2）当时，求S的值．
【变式2】公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：m），阴影部分设计为草坪．
（1）用整式表示草坪的面积；
（2）若，，求草坪的面积．
【典例3】对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
（1）______；
（2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？
【变式3】学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳：
∴，
；
【及时应用】
（1）多项式除以多项式，所得的商式为____________，余式为____________．
【数形结合】
（2）已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为____________；
________．
【拓展提升】
（3）如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？
①小辉同学认为不能，请你说明理由；
②小雅同学认为只要减少_____张_____卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成；
③小光同学认为也可以只增加_____张_____卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成．
1．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．定义新运算：，则的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．要使的展开式中不含项，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
6．学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．计算：_______．
8．若有意义，则x所满足的条件是________．
9．地球与太阳的距离约千米，光的速度是米/秒，那么，太阳光射到地球上大约需要_________秒．（结果用科学记数法表示）
10．如果，那么________．
11．若，则_________．
12．如图，这是某社区经济适用房的户型平面简图（图中长度单位：m），根据图中标识数据，该户型的面积为________．（用含a的代数式表示）
13．化简：
（1）；
（2）．
14．先化简，再求值．，其中．
1．根据等式：，
，
，
……的规律，
则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若，则___________ ．
3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
（1）填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________．
（2）已知，则___________；
（3）若，求的值．
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