16.3.1 平方差公式（讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 课标要点 1．经历平方差公式的推导过程，理解公式的结构特征与几何背景。 2．掌握平方差公式，能熟练运用公式进行整式运算和简便计算。 3．体会数形结合、整体思想，提升符号运算与推理能力。 学习重难点 重点： 1．准确判断“一同一反”的特征，即两项的和乘以两项的差，结果等于这两项的平方差。 2．掌握平方差公式，能利用公式进行快速、准确的整式乘法运算。 3．能正确运用公式进行简便计算，并规范书写步骤。 难点： 1．对公式中字母、的广泛含义的理解，即“整体思想”的运用。 2．准确识别并构造符合平方差公式的结构，特别是符号的处理与项的对应。 3．公式的逆用与构造：从结果反推因式或利用添项、拆项构造公式。 知识点一 平方差公式 1.，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的结构特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式； （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便. 特别提醒 1）找准相同项、相反项. 2）相同项平方 减去 相反项平方. 3）结果：(相同项)2-(相反项)2. 易错提醒 1）分不清结构，随便套公式. 2）平方的时候漏括号，系数、符号忘记一起平方. 3）搞反顺序，写成相反项平方减相同项平方. 4）结果画蛇添足，多加中间项. 5）只看表面，不会变形构造平方差. 即学即练 1．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列算式中，能用平方差公式计算的是________． ①；②；③；④ 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）______． 知识点二 平方差公式的几何背景 法一：S绿=a2-b2 法二：S绿=(a+b)(a-b) 法三：S绿=2S梯形 =2×(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 故(a+b)(a-b)=a2-b2 特别提醒 1）图形：大正方形减小正方形，只能挖去角落的小正方形，不是随便切一块 2）割补方法：把剪下的小长方形平移拼接，拼成一个长、宽的矩形 3）本质：用面积相等，验证代数公式，数形结合 易错提醒 1）图形理解错：不是两个正方形并排，一定是大正方形里面包含小正方形 2）割补乱拼：不能随便分割，只有沿虚线剪开，才能拼成长方形；任意分割不能验证平方差 3）混淆模型：和完全平方的几何图搞混 即学即练 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 3．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 题型01 平方差公式的适用条件 解题贴士 （1）两个二项式相乘； （2）这两个二项式中，一组完全相同，一组互为相反数； 方法：（1）找相同项；（2）找相反项． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列各式中，能够使用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式中，能用平方差公式进行运算的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 题型02 运用平方差公式进行计算 解题贴士 ，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 （1）判断能不能用：两个括号相乘，一同一反：一组完全一样，一组只有符号相反； （2）圈出：相同项、相反项； （3）套公式：结果 = 相同项² − 相反项²； （4）算平方、化简：系数、字母、符号都要平方. 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）_______． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为________． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）计算：________． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）设，则_________（用含的代数式表示）． 题型03 利用平方差公式进行简便运算 解题贴士 （1）识别形式：判断算式是否为两个数的平方相减，若不是，通过变形凑出该形式（如凑整、拆分、补项）； （2）确定a和b：明确公式中a（较大数/式）和b（较小数/式），优先让a、b为整数、整十/整百数，简化计算； （3）代入公式计算：先算a+b和a-b，再将结果相乘，得到最终答案． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）简便运算：． 2．（上海市虹口区2026-2027学年七年级数学第一学期期中试题）用简便方法计算：． 3．（26-27七年级上·上海闵行·期中）用乘法公式计算：． 题型04 利用平方差公式进行化简求值 解题贴士 （1）观察代数式，识别平方差形式，判断式子是否为平方差基本形式，或能否通过变形转化为该形式； （2）套用公式，彻底化简代数式，将识别出的平方差，严格按公式拆分为和×差的形式，化简至最简整式（无括号、无同类项）； （3）分析已知条件，整理代入式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简再求值：，其中． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·新疆·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（26-27八年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（2026·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 解题贴士 多个因式相乘的核心解题思路是通过凑配构造平方差形式，反复套用公式逐步化简，将连乘式转化为简单的平方差或最终整式，关键在于找规律、凑共轭、逐步消项． （1）共轭配对原则：优先将能凑成“a+b”和“a-b”的共轭因式配对相乘，直接套用平方差公式； （2）逐步升幂原则：每一次套用平方差后，结果会形成新的平方项，再将新的平方项与后续因式继续凑共轭、用公式，逐步将式子升幂化简； （3）形式统一原则：先将所有因式化为相同底数/相同结构的形式（如系数、符号统一），再进行配对，避免因形式混乱无法凑平方差． 典｜例｜精｜析 1．（2025秋•黔东南州期末）计算的值是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·四川眉山·期中）计算（n为正整数）的个位数字为（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期中）计算所得结果个位数字是_____ ． 3．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 题型06 利用平方差公式解决整除问题 解题贴士 解决整除问题的核心是将待判断的代数式/数，通过平方差公式分解为两个因式的乘积，再结合整除的定义（若A=B×C，则B、C均能整除A）分析，关键在于构造平方差形式、结合整除条件验证 （1） 构造/识别平方差：将被除的整数（或表达式）转化为平方差形式a² - b²； （2）套用公式分解：分解为(a+b)(a-b)，得到若干整数（或含n的整式）的乘积； （3）验证整除性：判断除式是否为分解结果的因数（或分解结果中是否包含除式），若是则能整除，反之则不能． 典｜例｜精｜析 1．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”_________ (2)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗?为什么? (3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值?若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·北京·期中）已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 2．观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍． (2)设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 3．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 题型07 规律探究型问题 解题贴士 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）观察下面的等式： ， ， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律，试写出第个等式（用含的等式表示，为正整数），并证明． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下面文字，寻找规律： 已知，计算： (1)观察规律填空：___________， ___________； (2)根据规律计算： ① ②； (3)有一个数列若从第二项起每一项与它的前一项的比都等于常数（其中为正整数），即：，我们把这样的数列称为等比数列，请你利用以上规律计算： 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 题型08 几何背景 解题贴士 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）观察下面图形，从图到图用式子表示为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 题型09 新定义问题 解题贴士 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）代数推理． 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 观察等式：，，，，可以看到，等式左边均为两个连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”． 问题解决： (1)探索发现：___________； (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数； (3)已知，求代数式的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 2．对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)按照上述规律，设两个连续正奇数为，（其中n为正整数），试说明它们的平方差是8的倍数； (2)如图所示，拼接的正方形边长是从1开始的连续正奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为43，求阴影部分的总面积． 基础通关 1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．无法确定 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）从前，一位庄园主把一块边长为 的正方形土地租给租户，第二年，他把这块地的一边增加12米，相邻一边减少12米，变成长方形继续租，租金不变．租户的租地面积会（     ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 8．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 9．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察各式：；；；…根据规律计算：________． 10．（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在对角两块长为米，宽为米的长方形区域修建两座雕塑，剩余地方进行绿化． (1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示，结果化到最简）； (2)当，时，求绿化区域的面积． 12．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【阅读】如果一个数的平方等于，记为．形如（a、b为实数）的数叫做复数，a是这个复数的实部，b是这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，如：；． ②两个复数，若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭复数．例如：的共轭复数是． 【理解】 (1)填空：写出的共轭复数为 ； (2)计算： ____________ (3)计算： ； 13．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式， 再回答问题： (1)根据上述规律填空： ； ； (2)用你的发现计算： 14．（2022八年级上·江西赣州·竞赛）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 15．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 素养提升 16．（25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·浙江台州·期末）一大一小两个正方形的位置如图所示，其中，要求阴影部分的面积，只需知道（     ） A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．两个正方形的面积的和 D．两个正方形的面积的差 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，且在上，连接、、、．若正方形的面积为21，正方形的面积为3，则阴影部分的总面积为__________． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 (1)根据上述规律，请直接写出结果： ； (2)根据上述规律计算： ① ； ②． 21．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）在平方差公式这一节中，我们从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2）． 【公式推导】 (1)课堂上我们用两种不同的方法计算图②中拼合后的大长方形的面积，并用多项式乘多项式法则推导，得到的乘法公式是________； 【基础应用】 (2)应用所得公式简便计算：； 【拓展应用】 (3)应用你在（1）中得到的乘法公式，计算：． 迁移创新 22．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 课标要点 1．经历平方差公式的推导过程，理解公式的结构特征与几何背景。 2．掌握平方差公式，能熟练运用公式进行整式运算和简便计算。 3．体会数形结合、整体思想，提升符号运算与推理能力。 学习重难点 重点： 1．准确判断“一同一反”的特征，即两项的和乘以两项的差，结果等于这两项的平方差。 2．掌握平方差公式，能利用公式进行快速、准确的整式乘法运算。 3．能正确运用公式进行简便计算，并规范书写步骤。 难点： 1．对公式中字母、的广泛含义的理解，即“整体思想”的运用。 2．准确识别并构造符合平方差公式的结构，特别是符号的处理与项的对应。 3．公式的逆用与构造：从结果反推因式或利用添项、拆项构造公式。 知识点一 平方差公式 1.，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的结构特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式； （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便. 特别提醒 1）找准相同项、相反项. 2）相同项平方 减去 相反项平方. 3）结果：(相同项)2-(相反项)2. 易错提醒 1）分不清结构，随便套公式. 2）平方的时候漏括号，系数、符号忘记一起平方. 3）搞反顺序，写成相反项平方减相同项平方. 4）结果画蛇添足，多加中间项. 5）只看表面，不会变形构造平方差. 即学即练 1．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：选项：存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算，符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意． 2．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列算式中，能用平方差公式计算的是________． ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】平方差公式的结构为，即两个因式相乘，存在一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【详解】解：①中不存在相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算； ②，两项都互为相反的项，没有同号，不符合结构，不能用平方差公式计算； ③，两项都互为相反的项，没有同号，不符合结构，不能用平方差公式计算； ④，有相同项，互为相反项和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算， 因此能用平方差公式计算的是④． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）______． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 知识点二 平方差公式的几何背景 法一：S绿=a2-b2 法二：S绿=(a+b)(a-b) 法三：S绿=2S梯形 =2×(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 故(a+b)(a-b)=a2-b2 特别提醒 1）图形：大正方形减小正方形，只能挖去角落的小正方形，不是随便切一块 2）割补方法：把剪下的小长方形平移拼接，拼成一个长、宽的矩形 3）本质：用面积相等，验证代数公式，数形结合 易错提醒 1）图形理解错：不是两个正方形并排，一定是大正方形里面包含小正方形 2）割补乱拼：不能随便分割，只有沿虚线剪开，才能拼成长方形；任意分割不能验证平方差 3）混淆模型：和完全平方的几何图搞混 即学即练 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【答案】(1)；； (2)； (3)①B； ②； (4)． 【分析】（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①利用两次平方差公式求解即可； ②利用两次平方差公式求解即可； （4）将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为； （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：； （3）①解：原式， ∵，， ∴； ②解：原式 ； （4）解： ． 3．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 【答案】(1) (2)①5；② (3)． 【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得 ，根据图形分别求出、，即可得． （2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值． （3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可． 【详解】（1）解：如图， 在图1中，， 在图2中，， ∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴ ， ∴． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为5． ② （3）解：原式 题型01 平方差公式的适用条件 解题贴士 （1）两个二项式相乘； （2）这两个二项式中，一组完全相同，一组互为相反数； 方法：（1）找相同项；（2）找相反项． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：选项：存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算，符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列各式中，能够使用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特征，判断两个因式中是否一项完全相同，另一项互为相反数，依次检验四个选项． 【详解】解：，两项均互为相反数，不满足平方差公式结构．故A项错误． ，2m这一项完全相同，n与互为相反数，满足平方差公式结构．故B项正确． ，两项均互为相反数，不满足平方差公式结构．故C项错误． ，这一项完全相同，与没有互为相反数，不满足平方差公式结构．故D项错误． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式中，能用平方差公式进行运算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，可用平方差公式运算； B、两个因式无一组相同项与一组相反项，不可用； C、，不可用； D、，不可用． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、中无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、中既无相同项，也无互为相反的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、中两项均互为相反数，无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为，互为相反项为与，能用平方差公式计算，符合题意． 题型02 运用平方差公式进行计算 解题贴士 ，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 （1）判断能不能用：两个括号相乘，一同一反：一组完全一样，一组只有符号相反； （2）圈出：相同项、相反项； （3）套公式：结果 = 相同项² − 相反项²； （4）算平方、化简：系数、字母、符号都要平方. 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）_______． 【答案】 【分析】根据平方差公式对进行计算即可得答案． 【详解】解：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】利用平方差公式结合已知的的值，通过整体代入即可求出，无需单独求解、的具体数值． 【详解】解：根据平方差公式可得，， ∵，， ∴代入上式得， 化简得． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）计算：________． 【答案】 / 【详解】解：原式． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）设，则_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】将2022和2024变形为与2023相关的式子，利用平方差公式化简，代入即可得到结果． 【详解】解：设， 则 ． 题型03 利用平方差公式进行简便运算 解题贴士 （1）识别形式：判断算式是否为两个数的平方相减，若不是，通过变形凑出该形式（如凑整、拆分、补项）； （2）确定a和b：明确公式中a（较大数/式）和b（较小数/式），优先让a、b为整数、整十/整百数，简化计算； （3）代入公式计算：先算a+b和a-b，再将结果相乘，得到最终答案． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】将原式变形为两数和与差的乘积，利用平方差公式简便计算． 【详解】解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）简便运算：． 【答案】 【分析】观察到，，可利用平方差公式对进行变形，简化计算． 【详解】解： ． 2．（上海市虹口区2026-2027学年七年级数学第一学期期中试题）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】先提取公因式，将带分数转化为与相关的和差形式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： 原式 ． 3．（26-27七年级上·上海闵行·期中）用乘法公式计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型04 利用平方差公式进行化简求值 解题贴士 （1）观察代数式，识别平方差形式，判断式子是否为平方差基本形式，或能否通过变形转化为该形式； （2）套用公式，彻底化简代数式，将识别出的平方差，严格按公式拆分为和×差的形式，化简至最简整式（无括号、无同类项）； （3）分析已知条件，整理代入式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用平方差公式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 代入得： 原式． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·新疆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解：， 当时，原式． 2．（26-27八年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 将，代入得 原式． 3．（2026·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为, 值为 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简结果，再代入的值进行计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 解题贴士 多个因式相乘的核心解题思路是通过凑配构造平方差形式，反复套用公式逐步化简，将连乘式转化为简单的平方差或最终整式，关键在于找规律、凑共轭、逐步消项． （1）共轭配对原则：优先将能凑成“a+b”和“a-b”的共轭因式配对相乘，直接套用平方差公式； （2）逐步升幂原则：每一次套用平方差后，结果会形成新的平方项，再将新的平方项与后续因式继续凑共轭、用公式，逐步将式子升幂化简； （3）形式统一原则：先将所有因式化为相同底数/相同结构的形式（如系数、符号统一），再进行配对，避免因形式混乱无法凑平方差． 典｜例｜精｜析 1．（2025秋•黔东南州期末）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·四川眉山·期中）计算（n为正整数）的个位数字为（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】将变形为，连续运用平方差公式化简原式，再根据3的幂次的个位数字循环规律求解． 【详解】解：将变形为， 原式 ∵的幂次的个位数字按循环，周期为， 由题可知是的倍数， ∴的个位数字为． 2．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期中）计算所得结果个位数字是_____ ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 3．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 题型06 利用平方差公式解决整除问题 解题贴士 解决整除问题的核心是将待判断的代数式/数，通过平方差公式分解为两个因式的乘积，再结合整除的定义（若A=B×C，则B、C均能整除A）分析，关键在于构造平方差形式、结合整除条件验证 （1） 构造/识别平方差：将被除的整数（或表达式）转化为平方差形式a² - b²； （2）套用公式分解：分解为(a+b)(a-b)，得到若干整数（或含n的整式）的乘积； （3）验证整除性：判断除式是否为分解结果的因数（或分解结果中是否包含除式），若是则能整除，反之则不能． 典｜例｜精｜析 1．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”_________ (2)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗?为什么? (3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值?若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)28 (2) 能够被4整除，理由为： 根据定义，两个连续偶数为和（k为非负整数），构造的“神秘数”为， ∵ ， ∴构造的“神秘数”能够被4整除； (3)两个相邻的“神秘数”之差是定值8 【分析】（1）根据“神秘数”的定义写出一个“神秘数”即可； （2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“神秘数”，利用平方差公式化简即可判断； （3）利用“神秘数”的定义和（2）中结论即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴28是“神秘数”， 故答案为：28； （2）略 （3）解：根据（2）中结论，设两个相邻的“神秘数”为，， ∵ ， ∴两个相邻的“神秘数”之差是定值8． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·北京·期中）已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 2．观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍． (2)设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 【答案】(1)27 (2) 证明：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差能被7整除． 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， 即的结果是3的27倍， 故答案为：27； （2）略 3．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2) 证明：由题意得， ， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； (3)该数是第个“特征数” 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 题型07 规律探究型问题 解题贴士 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）观察下面的等式： ， ， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律，试写出第个等式（用含的等式表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)， 证明：左边 ， 右边， ∴左边右边，等式成立． 【分析】（1）根据给出的等式得出规律写出的结果即可； （2）根据平方差公式进行计算，证明结论即可． 【详解】（1）解：由规律可知，， ，， ∴， ∴． （2）略 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下面文字，寻找规律： 已知，计算： (1)观察规律填空：___________， ___________； (2)根据规律计算： ① ②； (3)有一个数列若从第二项起每一项与它的前一项的比都等于常数（其中为正整数），即：，我们把这样的数列称为等比数列，请你利用以上规律计算： 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的式子化为，进而根据规律，即可求解； ②先把要求值的式子化为，再利用①的方法，即可求解； （3）由题意可得，再利用（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：根据规律可得，， ． （2）解：①原式． ②原式． （3）解：根据题意得，原式 ． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 【答案】(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将原式变形为，利用，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 题型08 几何背景 解题贴士 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：① ， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）观察下面图形，从图到图用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式几何意义，通过两种图形面积相等推导公式． 【详解】图①长方形面积：， 图②正方形挖去小正方形面积：， 两图形面积相等，故． 2．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则两正方形的面积之差为．两个阴影三角形与的底分别为、，且，高分别为与，由三角形面积公式，阴影面积，由阴影面积为即可求出面积差． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵四边形与四边形都是正方形，且点在线段上，点在线段上， ∴，， ∴，． ∵点在的延长线上，且， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为； ∵于点，点在上， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为． ∴阴影部分的面积为， ∴， 即大正方形与小正方形的面积之差为． 【点睛】本题考查正方形的性质与三角形面积的计算，考查割补思想的应用．解题关键是发现两个阴影三角形的底相等（），而高分别为两正方形的边长（与），从而阴影面积，故两正方形的面积之差等于阴影面积的倍，无需分别求出边长即可求解． 3．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， ∴可以得到公式或； （2）解：①， ， ， ， ； ② ． 题型09 新定义问题 解题贴士 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）代数推理． 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 观察等式：，，，，可以看到，等式左边均为两个连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”． 问题解决： (1)探索发现：___________； (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数； (3)已知，求代数式的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数． 【答案】(1)9 (2)证明：设两个连续正奇数分别为和（为正整数） ， ∵为正整数， ∴是的倍数，即能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数一定是的倍数． (3)代数式的值为，该计算结果是和谐数． 【分析】（1）根据题干中等式的规律求解； （2）设两个连续正奇数分别为和（为正整数），然后化简求解即可； （3）将原式利用平方差公式和完全平方公式化简，然后整体代入求解，然后利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）略； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴该计算结果是和谐数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 【答案】2704 【分析】设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式， 证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等． ∴不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2026个智慧数在（组），并且是第组的最后一个数，即． 2．对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【答案】(1)9 (2)化简为，值为1 【分析】（1）根据新定义，直接列出算式即可求解； （2）根据新定义，得到，再代入化简后的代数式，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：∵， ∴． ∴原式． 3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)按照上述规律，设两个连续正奇数为，（其中n为正整数），试说明它们的平方差是8的倍数； (2)如图所示，拼接的正方形边长是从1开始的连续正奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为43，求阴影部分的总面积． 【答案】(1)解：， ∵n为正整数， ∴是8的倍数， 即两个连续正奇数为，（其中n为正整数），它们的平方差是8的倍数； (2) 解： ． 【分析】（1）根据题意，运用平方差公式计算即可； （2）根据题意得到，结合平方差公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 基础通关 1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】寻找一组项相同、另一组项互为相反数的两个二项式相乘的选项． 【详解】解：A选项两项均相同，不符合要求． B、D选项的两个二项式两项均互为相反数，不符合要求． C选项中为相同项，与互为相反数，符合要求． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的平行四边形，再根据面积关系即可得结论． 【详解】解：由图可知，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的底为，高为的平行四边形，则图2的面积为， ∵图1中四个等腰梯形的面积和可以看作是两个正方形的面积差，即， ∴从图1到图2可表示的等式为． 5．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分解因式，结合已知条件整体代入化简求值． 【详解】解：由， ∵， ∴ ． 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，求一个数的平方根，利用平方差公式得到，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）从前，一位庄园主把一块边长为 的正方形土地租给租户，第二年，他把这块地的一边增加12米，相邻一边减少12米，变成长方形继续租，租金不变．租户的租地面积会（     ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】表示出变化前后土地的面积，比较即可得到答案． 【详解】解：原正方形土地的面积为 改造后长方形土地的长为，宽为，面积为． ∵ ， ∴ 租户的租地面积变小了． 8．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用平方差公式分别展开M和变形后的N，通过比较减数大小判断两者关系． 【详解】解：， ， ， ，即． 9．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察各式：；；；…根据规律计算：________． 【答案】 【详解】解： ； ； ； … ， ． 10．（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】首先根据平方差公式、单项式乘多项式运算法则进行计算，进而合并同类项完成化简，再将整理为，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在对角两块长为米，宽为米的长方形区域修建两座雕塑，剩余地方进行绿化． (1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示，结果化到最简）； (2)当，时，求绿化区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)136平方米 【详解】（1）解：绿化区域的面积 平方米； （2）解：当，时， 绿化区域的面积平方米． 12．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【阅读】如果一个数的平方等于，记为．形如（a、b为实数）的数叫做复数，a是这个复数的实部，b是这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，如：；． ②两个复数，若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数是共轭复数．例如：的共轭复数是． 【理解】 (1)填空：写出的共轭复数为 ； (2)计算： ____________ (3)计算： ； 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】（1）根据共轭复数的概念即可解答； （2）根据题意计算即可； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得的共轭复数为； （2）解：根据题意可得 （3）解：． 13．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式， 再回答问题： (1)根据上述规律填空： ； ； (2)用你的发现计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，找出数字规律，再进行计算即可； （2）利用规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，． （2）解： 14．（2022八年级上·江西赣州·竞赛）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 15．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】观察①②③④，等式左边是两个连续偶数的平方差，右边是与相应奇数的乘积，第个式子可表示为，用平方差公式即可验证． 【详解】（1）解：第个式子为，取，得⑥：；取，得⑦：． （2）解：取，则，，，故第1013个式子为． （3）解：由规律， 取，将各式相加，中间项两两抵消，得 ， 于是． 故原式． 素养提升 16．（25-26六年级下·山东威海·期末）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征将原式变形为两个数的和乘两个数的差的形式，据此判断正确选项即可． 【详解】解：∵平方差公式要求式子变形为的形式，即两个因式中一组项相同，另一组项互为相反数， 观察原式，两个因式中是相同项，和互为相反数，对原式添括号变形：， ∴． 17．（25-26七年级下·浙江台州·期末）一大一小两个正方形的位置如图所示，其中，要求阴影部分的面积，只需知道（     ） A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．两个正方形的面积的和 D．两个正方形的面积的差 【答案】D 【分析】阴影部分是两个梯形，其上底与下底分别为一小一大两个正方形的边长，两梯形高之和为大正方形边长减去小正方形边长，据此可求阴影部分面积． 【详解】解：一大一小两个正方形的位置如图所示，其中， 故， 设小正方形边长为a，大正方形边长为b， ； ∴只需知道两正方形面积差即可求阴影部分面积． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 【答案】A 【分析】根据“美好数”的定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过525的条件确定的范围，再进行求和即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得， ，即“美好数”可表示为， 由题意得， 解得， 为正整数， 的最大值为， ∴所有不超过的“美好数”之和为， ． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，且在上，连接、、、．若正方形的面积为21，正方形的面积为3，则阴影部分的总面积为__________． 【答案】9 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再根据梯形的面积公式，结合平方差公式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 又阴影部分为梯形和梯形， 则总面积 ． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 (1)根据上述规律，请直接写出结果： ； (2)根据上述规律计算： ① ； ②． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查了平方差公式，探索规律，掌握是解题的关键． 根据3个例子可得规律， （1）根据题目的规律，请直接写出结果： （1）多次利用平方差公式计算即可； （2）先在算式前面添加，再多次利用平方差公式计算即可即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得出：， 故答案为：； （2）解：① ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 21．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）在平方差公式这一节中，我们从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2）． 【公式推导】 (1)课堂上我们用两种不同的方法计算图②中拼合后的大长方形的面积，并用多项式乘多项式法则推导，得到的乘法公式是________； 【基础应用】 (2)应用所得公式简便计算：； 【拓展应用】 (3)应用你在（1）中得到的乘法公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用面积相等建立等量关系； （2）利用平方差公式求解； （3）构造前项，同时除以保持原式不变，通过连锁反应化简求值． 【详解】（1）解：． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 迁移创新 22．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【答案】（1）；（2）①4，②1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）直接按照有理数混合运算法则计算“美好数”的结果； （2）设位置的数为，用表示出、、、的数，根据“美好数”的定义列出代数式并化简； （3）设型中间数为，用表示出的数，代入进行整式的乘法与减法运算并化简； （4）分别用字母表示出和，根据建立方程，结合月历中数的取值范围确，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：设位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则该“十字型”的“美好数”为： ； （3）解：设型中间位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则 28； （4）解：设十字型中间数为，则十字型五个数之和， 设型中间数为，则型七个数之和， 由，得，变形为， 又∵为正整数，需为正整数， ∴是5的倍数， 当时，型中间数为5，月历中不存在这种情况； 当时，型中间数为，月历中不存在这种情况； 当时，，型中间数为，十字型中间数为， 此时； 当时，，型中间数为，十字型中间数为7，月历中不存在这种情况； 当时，，月历中不存在这种情况； 综上，的最大值为． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $