16.1 幂的运算 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
|
2份
|
35页
|
113人阅读
|
1人下载
普通
内容正文：
16.1 幂的运算
专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
（学生版）
目录导航
一、幂次·知识与方法 2
二、幂次题型一 同底数幂的乘法 7
三、幂次题型二 幂的乘方 8
四、幂次题型三 积的乘方 9
五、幂次题型四 混合运算与顺序 10
六、A、幂次起步指数加减 11
七、B、幂次改一个底数看结果 12
八、C、幂次找全同类与反例 13
九、D、近年真题·幂次运算综合 13
十、E、幂次一条链三问收口 14
十一、课堂检测 15
姓名：____________ 班级：____________ 得分：__________
一、幂次·知识与方法
图0
知识点一 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加
1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方（m、n 为正整数）。
2．法则只对“同底”生效：相乘的两个幂底数必须相同，结果底数不变，指数相加。
3．为什么指数相加：a 的 m 次方是 m 个 a 连乘、a 的 n 次方是 n 个 a 连乘，合并就是 m 加 n 个 a 连乘，即指数相加。
4．反例两则：“底数不同的幂直接加指数”不成立，如 a 的 2 次方乘 b 的 2 次方不能等于 a 或 b 的某次方；“指数相乘”也不成立，乘法是加不是乘。
5．换一个条件：把“两个幂相乘”改成“三个同底数幂相乘”，法则扩展为指数全部相加，仍是底数不变。
6．举例：a 的 3 次方乘 a 的 4 次方等于 a 的 7 次方；x 的 2 次方乘 x 的 5 次方等于 x 的 7 次方。
图示1
易错提醒：同底数幂相乘永远底数不变、指数相“加”；只有底数相同才能用，不同底先不忙加。
知识点二 幂的乘方：底数不变，指数相乘
1．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（a 的 m 次方）的 n 次方等于 a 的 m 乘 n 次方（m、n 为正整数）。
2．这是“幂再乘方”，外指数乘到内指数上，结果底数仍与原来相同。
3．为什么指数相乘：括号里 m 个 a，整体取 n 次，总共 m 乘 n 个 a，故指数相乘。
4．反例两则：“幂的乘方把指数相加”不成立，那是乘法法则不是乘方；（a 的 m 次方）的 n 次方不等于 a 的 m 加 n 次方。
5．换一个条件：把“两层括号”改成“三层（（a 的 m 次方）的 n 次方）的 p 次方”，指数连乘为 m 乘 n 乘 p。
6．举例：（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 6 次方；（x 的 3 次方）的 4 次方等于 x 的 12 次方。
图示2
易错提醒：幂的乘方是“指数相乘”，别和同底数幂的“指数相加”混；一个括号外指数、一个同底相乘。
知识点三 积的乘方：每个因式分别乘方
1．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方（n 为正整数）。
2．底数是乘积时，乘方要“分配到”每个因式上，不能只乘其中一个。
3．为什么分别乘方：n 个 ab 相乘等于 n 个 a 相乘再乘 n 个 b 相乘，即 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方。
4．反例两则：“（ab）的 n 次方等于 a 乘 b 的 n 次方”不成立，a 也要升 n 次方；“只给系数乘方漏掉字母”也不成立。
5．换一个条件：把“两个因式”改成“三个因式（abc）的 n 次方”，则等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方乘 c 的 n 次方。
6．举例：（ab）的 3 次方等于 a 的 3 次方乘 b 的 3 次方；（2x）的 2 次方等于 4 乘 x 的 2 次方。
图示3
易错提醒：积的乘方“家家有份”：乘积里每个因式都升到 n 次方，系数和字母一个都别漏。
知识点四 三条法则的区别与联系
1．同底数幂乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘，积的乘方是各因式分别乘方，三者动作完全不同。
2．共同点：结果底数都与参与运算的底有关，且都不改变既有底数的“身份”，只是重排指数。
3．为什么容易混：名字都带“幂”，但看运算符号——乘号用加、括号用乘、乘积用分配。
4．反例两则：“看见幂就指数相加”不成立，有括号的乘方要相乘；“积的乘方只乘系数”不成立，字母也要乘方。
5．换一个条件：把“单字母底”换成“多项式底（如 x 加 y）”，法则形式不变，仍按符号选加、乘或分配。
6．举例：a 的 2 次方乘 a 的 3 次方得 a 的 5 次方（加）；（a 的 2 次方）的 3 次方得 a 的 6 次方（乘）；（ab）的 2 次方得 a 的 2 次方 b 的 2 次方（分配）。
图示4
易错提醒：分辨三法则先看清运算：同底相乘加指数、幂再乘方乘指数、乘积乘方分配到每个因式。
知识点五 混合运算的顺序
1．含有乘、乘方、积的乘方的混合式，先算乘方，再算乘除（此处只涉及幂的乘法），最后算加减。
2．有括号先算括号里；多层括号从内到外逐层降幂。
3．为什么先乘方：乘方改变指数结构，必须先定型再合并同底，否则会加错指数。
4．反例两则：“先加指数再乘方”不成立，顺序错了结果完全不同；“忽略系数符号”也不成立，负号要随底数一起乘方。
5．换一个条件：把“加减收尾”改成“连乘收尾”，则全程只做同底数合并，不再有加减干扰。
6．举例：a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方等于 a 的 2 次方乘 a 的 6 次方等于 a 的 8 次方。
图示5
易错提醒：混合运算铁顺序：括号→乘方→同底数合并→加减；先定型再合并，别抢跑。
知识点六 不计算判结果：只比指数与底数
1．判断两个幂是否相等、谁更大，常常不必算出具体结果，只比底数与指数结构就能定性。
2．不计算也能判：同底数时，指数大的幂更大（底大于 1）；结构不同则先化简再比。
3．为什么不计算也行：幂的运算由法则锁死“底数＋指数”的结构，化简前后等价，先算反而绕远。
4．反例两则：“必须算出每个幂的值才能比”不成立，同底比指数即可；“指数相加与相乘结果一样”也不成立，二者规则不同。
5．换一个条件：把“比大小”改成“判能否合并”，只看底数与指数是否完全相同即可，不必算值。
6．举例：不计算可判 a 的 5 次方与 a 的 3 次方能否合并（同底可加得 a 的 8 次方），也可判（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 6 次方而非 a 的 5 次方。
图示6
易错提醒：“不计算”靠的是三法则的结构规则，不是代值算完再回头看；同底比指数、异构先化同构。
知识点七 底数为负与含字母时的符号和括号
1．底数为负数时，先加括号再乘方：括号里的负号随底数一起参与，奇次幂得负、偶次幂得正。
2．底数是多项式（如 x 加 y）时，必须整体加括号，乘方作用在整个多项式上，不能只作用第一项。
3．为什么强调括号：没有括号，负号或加号只管到紧邻的数，乘方会绑错对象，结果全变。
4．反例两则：“−2 的 2 次方等于负 4”不成立，应为（−2）的 2 次方等于正 4；“（x 加 y）的 2 次方等于 x 的 2 次方加 y 的 2 次方”不成立，缺了交叉项且越界到后续章节。
5．换一个条件：把“负底数”改成“负系数乘字母（如 −2x）”，系数与字母整体作积的底，分别乘方。
6．举例：（−3）的 3 次方等于负 27；（2a）的 2 次方等于 4 乘 a 的 2 次方。
图示7
易错提醒：负号和多项式进乘方必须先加括号；奇负偶正看指数，括号漏了结果就错。
二、幂次题型一 同底数幂的乘法
例1
计算 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方，结果正确的是（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 12 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
变式1-1
先定解：x 的 2 次方乘 x 的 5 次方等于 x 的（ ）次方；再找一解：b 的 4 次方乘 b 的 4 次方等于 b 的（ ）次方。
变式1-2
不计算准确得数，判断：在底数相同且大于 1 时，a 的 5 次方乘 a 的 3 次方（ ）a 的 6 次方（填“＞”“＝”或“＜”）。
计算 m 的 6 次方乘 m 的 2 次方，结果是（ ）。
A．m 的 8 次方 B．m 的 12 次方 C．m 的 4 次方 D．m 的 3 次方
a 的 2 次方乘 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方等于（ ）。
不计算，判断：同底数幂相乘，底数不变、指数相乘（ ）（填“对”或“错”）。
若 x 的 m 次方乘 x 的 3 次方等于 x 的 8 次方，则 m＝（ ）。
计算（−y）的 2 次方乘（−y）的 3 次方，结果是（ ）。
A．（−y）的 5 次方 B．y 的 5 次方 C．（−y）的 6 次方 D．−y 的 6 次方
不计算，在 a 的 4 次方乘 a 的 3 次方（a＞1）与 a 的 6 次方中，较大的是（ ）。
下列能用同底数幂乘法法则直接合并的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 b 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 5 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方
计算 2 的 3 次方乘 2 的 4 次方，结果是（ ）。
三、幂次题型二 幂的乘方
例2
计算（a 的 2 次方）的 3 次方，结果正确的是（ ）。
A．a 的 5 次方 B．a 的 6 次方 C．a 的 8 次方 D．a 的 9 次方
变式2-1
先定解：（x 的 3 次方）的 4 次方等于 x 的（ ）次方；再找一解：若（a 的 m 次方）的 2 次方等于 a 的 10 次方，则 m＝（ ）。
变式2-2
不计算准确得数，判断：（a 的 2 次方）的 3 次方（ ）（a 的 3 次方）的 2 次方（填“＞”“＝”或“＜”，a＞1）。
计算（b 的 4 次方）的 2 次方，结果是（ ）。
A．b 的 6 次方 B．b 的 8 次方 C．b 的 16 次方 D．b 的 2 次方
（a 的 3 次方）的 3 次方等于（ ）。
不计算，判断：幂的乘方，底数不变、指数也相加（ ）（填“对”或“错”）。
若（x 的 m 次方）的 2 次方等于 x 的 6 次方，则 m＝（ ）。
计算（−2 的 2 次方）的 3 次方，结果是（ ）。
A．−2 的 6 次方 B．2 的 6 次方 C．−2 的 5 次方 D．2 的 5 次方
不计算，在（a 的 2 次方）的 4 次方（a＞1）与 a 的 7 次方中，较大的是（ ）。
下列运算正确的是（ ）。
A．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 5 次方
B．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方
C．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 6 次方
D．（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b
计算（x 的 2 次方）的 5 次方乘 x 的 3 次方，结果是（ ）。
四、幂次题型三 积的乘方
例3
化简（ab）的 3 次方。先定解：（ab）的 3 次方等于（ ）；再找一解：其中 a 的因式升到（ ）次方、b 的因式升到（ ）次方；接着找全：写出（ab）的 3 次方展开后共有（ ）个 a 与（ ）个 b 相乘；最后改一个条件：只把“ab”改成“abc”，则（abc）的 3 次方等于（ ）。
变式3-1
只找一解：写出一个与（2x）的 3 次方结果相同的展开式（ ），并说明它等于（ ）。
变式3-2
找全：下列幂中，与（ab）的 2 次方展开后“因式完全分配”的有哪些（ ）；说明为什么（a 加 b）的 2 次方不属于积的乘方（ ）。
解答：
变式3-3
仍以上述（ab）的 3 次方为基础。改一个条件：只把指数 3 改成 4，其余不变，则（ab）的 4 次方等于（ ）；并说明法则本身（ ）（填“变”或“不变”）。
解答：
化简（xy）的 2 次方，结果是（ ）。
（3a）的 2 次方等于（ ）。
找全：（−2b）的 3 次方展开后系数与字母分别是（ ）与（ ）。
改一个条件：把（ab）的 2 次方中的 b 换成 c，则（ac）的 2 次方等于（ ）。
五、幂次题型四 混合运算与顺序
例4
不计算准确得数，化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，判断它等于（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 8 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 5 次方
变式4-1
估算决策：比较 2 的 5 次方与 2 的 2 次方乘 2 的 2 次方的大小，不计算准确得数，判断前者（ ）后者（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
变式4-2
只把例4 的底 a 改成 3，其余不变，则 3 的 2 次方乘（3 的 3 次方）的 2 次方等于（ ）；并说明法则顺序（ ）（填“变”或“不变”）。
解答：
不计算，化简（a 的 2 次方）的 3 次方乘 a 的 4 次方等于（ ）。
A．a 的 9 次方 B．a 的 10 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 7 次方
不计算，判断：a 的 2 次方乘 a 的 3 次方乘（a 的 2 次方）的 2 次方等于 a 的 9 次方（ ）（填“对”或“错”）。
化简（ab）的 2 次方乘 a 的 3 次方，结果是（ ）。
估算决策：不计算准确得数，判断 3 的 4 次方（ ）3 的 2 次方乘 3 的 3 次方（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
不计算，下列与 a 的 6 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
B．（a 的 3 次方）的 2 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方加 a 的 0 次方
D．（ab）的 3 次方
化简（−a）的 2 次方乘 a 的 3 次方，结果是（ ）。
不计算，判断：混合运算应先乘方后合并同底数（ ）（填“对”或“错”）。
六、A、幂次起步指数加减
计算 a 的 5 次方乘 a 的 2 次方，结果是（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 10 次方 C．a 的 3 次方 D．a 的 8 次方
x 的 3 次方乘 x 的 3 次方等于（ ）。
不计算，判断：同底数幂相乘底数不变、指数相乘（ ）（填“对”或“错”）。
若 a 的 m 次方乘 a 的 4 次方＝a 的 9 次方，则 m＝（ ）。
计算 b 的 2 次方乘 b 的 2 次方乘 b 的 2 次方，结果是（ ）。
（−a）的 3 次方乘（−a）的 2 次方等于（ ）。
计算 5 的 2 次方乘 5 的 3 次方，结果是（ ）。
不计算，下列能直接合并的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 b 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 5 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方
若 x 的 2 次方乘 x 的 n 次方＝x 的 7 次方，则 n＝（ ）。
计算 y 的 4 次方乘 y 的 1 次方，结果是（ ）。
七、B、幂次改一个底数看结果
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 5 次方。只把底 a 改成 b，其余不变，则结果是（ ）。
原式（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方。只把指数 3 改成 4，其余不变，则结果是（ ）。
原式（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方。只把 ab 改成 ac，其余不变，则结果是（ ）。
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方。只把“乘”改成“乘方（a 的 2 次方）的 3 次方”，其余不变，则结果由 a 的 5 次方变为（ ）。
原式（a 的 3 次方）的 2 次方＝a 的 6 次方。只把底 a 改成（−a），其余不变，则结果是（ ）。
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 5 次方。只把第二个指数 3 改成 1，其余不变，则结果是（ ）。
原式（ab）的 3 次方。只把指数 3 改成 2，其余不变，则结果由 a 的 3 次方 b 的 3 次方变为（ ）。
原式 a 的 4 次方乘 a 的 2 次方＝a 的 6 次方。只把底 a 改成数字 2，其余不变，则结果是（ ）。
原式（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方。只把内层指数 2 改成 5，其余不变，则结果是（ ）。
原式（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方。只把积的因式由 2 个改为 3 个（abc），其余不变，则结果是（ ）。
八、C、幂次找全同类与反例
找全：下列与 a 的 7 次方相等的是（ ）。
A．a 的 3 次方乘 a 的 4 次方
B．（a 的 7 次方）的 1 次方
C．（a 的 3 次方）的 2 次方乘 a 的 1 次方
D．以上 A、B、C 都对
说明为什么 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方不等于 a 的 6 次方（ ）。
判断：积的乘方（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方加 b 的 n 次方（ ）（填“对”或“错”）。
反例验证：有人说（a 加 b）的 2 次方属于本节积的乘方，错误在于（ ）。
找全：下列能用三法则之一直接化简的是（ ）。
A．（ab）的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．以上都能
判断：幂的乘方与同底数幂乘法都“底数不变”（ ）（填“对”或“错”）。
反例验证：有人说（−2）的 3 次方等于正 8，错误在于（ ）。
找全：在 a 的 2 次方、a 的 3 次方、a 的 5 次方中，能由前两个同底相乘得到的是（ ）。
判断：三个同底数幂相乘，指数全部相加（ ）（填“对”或“错”）。
反例验证：有人说（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 5 次方，错误在于（ ）。
九、D、近年真题·幂次运算综合
1．（2025年·江苏·期中考试）下列运算正确的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 6 次方
B．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 5 次方
C．（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方＝a 的 5 次方
2．（2025年·浙江·期末考试）计算 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方，结果为（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 12 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
3．（2026年·湖北·期中考试）计算（a 的 2 次方）的 3 次方，结果为（ ）。
A．a 的 5 次方 B．a 的 6 次方 C．a 的 8 次方 D．a 的 9 次方
4．（2025年·四川·期末考试）计算（2x）的 3 次方，结果为（ ）。
A．2x 的 3 次方 B．6 乘 x 的 3 次方 C．8 乘 x 的 3 次方 D．2 的 3 次方 x
5．（2026年·广东·期中考试）化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，结果为（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 8 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 5 次方
6．（2025年·山东·期末考试）若 a 的 m 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 8 次方，则 m 的值为（ ）。
A．2 B．5 C．6 D．11
7．（2026年·湖南·期中考试）下列与 a 的 6 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
B．（a 的 3 次方）的 2 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方加 a 的 0 次方
D．（ab）的 3 次方
8．（2025年·河南·期末考试）计算（−3a）的 2 次方，结果为（ ）。
A．−9 乘 a 的 2 次方 B．9 乘 a 的 2 次方 C．−3 乘 a 的 2 次方 D．3 乘 a 的 2 次方
十、E、幂次一条链三问收口
对 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方：(1) 不计算，它等于 a 的（ ）次方；(2) 与（a 的 3 次方）的 2 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”，a＞1）；(3) 只把底 a 改成 b，结果变为（ ）。
对（ab）的 2 次方：(1) 先定解展开为（ ）；(2) 其中 a 与 b 各升到（ ）次方；(3) 只把指数 2 改成 3，则结果为（ ）。
对（a 的 2 次方）的 3 次方：(1) 不计算，它等于 a 的（ ）次方；(2) 与 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”，a＞1）；(3) 只把内层 2 改成 4，则结果为（ ）。
对 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方：(1) 先定解化简为（ ）；(2) 与 a 的 7 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把外层相加的指数改由 4 起始，即 a 的 4 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，则结果为（ ）。
对（−a）的 3 次方乘（−a）的 2 次方：(1) 不计算，它等于（ ）；(2) 与 a 的 5 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把奇次幂的指数 3 改成 4，则结果为（ ）。
对 2 的 3 次方乘 2 的 4 次方：(1) 不计算，它等于 2 的（ ）次方；(2) 估算决策：与 2 的 6 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把底 2 改成 3，结果变为（ ）。
十一、课堂检测
计算 a 的 4 次方乘 a 的 5 次方，结果是（ ）。
A．a 的 9 次方 B．a 的 20 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
（a 的 3 次方）的 2 次方等于（ ）。
不计算，判断：积的乘方（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方（ ）（填“对”或“错”）。
计算（3y）的 2 次方，结果是（ ）。
若（a 的 m 次方）的 2 次方＝a 的 8 次方，则 m＝（ ）。
化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，结果是（ ）。
估算决策：不计算准确得数，判断 2 的 6 次方（ ）2 的 2 次方乘 2 的 5 次方（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
不计算，下列与 a 的 5 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．（a 的 5 次方）的 0 次方
计算（−b）的 2 次方乘 b 的 3 次方，结果是（ ）。
不计算，判断：混合运算应先乘方、再合并同底数（ ）（填“对”或“错”）。
第 1 页 共 1 页
学科网（北京）股份有限公司
$
16.1 幂的运算
专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
（教师版）
目录导航
一、幂次·知识与方法 2
二、幂次题型一 同底数幂的乘法 7
三、幂次题型二 幂的乘方 9
四、幂次题型三 积的乘方 11
五、幂次题型四 混合运算与顺序 12
六、A、幂次起步指数加减 14
七、B、幂次改一个底数看结果 15
八、C、幂次找全同类与反例 17
九、D、近年真题·幂次运算综合 19
十、E、幂次一条链三问收口 20
十一、课堂检测 21
姓名：____________ 班级：____________ 得分：__________
一、幂次·知识与方法
图0
知识点一 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加
1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方（m、n 为正整数）。
2．法则只对“同底”生效：相乘的两个幂底数必须相同，结果底数不变，指数相加。
3．为什么指数相加：a 的 m 次方是 m 个 a 连乘、a 的 n 次方是 n 个 a 连乘，合并就是 m 加 n 个 a 连乘，即指数相加。
4．反例两则：“底数不同的幂直接加指数”不成立，如 a 的 2 次方乘 b 的 2 次方不能等于 a 或 b 的某次方；“指数相乘”也不成立，乘法是加不是乘。
5．换一个条件：把“两个幂相乘”改成“三个同底数幂相乘”，法则扩展为指数全部相加，仍是底数不变。
6．举例：a 的 3 次方乘 a 的 4 次方等于 a 的 7 次方；x 的 2 次方乘 x 的 5 次方等于 x 的 7 次方。
图示1
易错提醒：同底数幂相乘永远底数不变、指数相“加”；只有底数相同才能用，不同底先不忙加。
知识点二 幂的乘方：底数不变，指数相乘
1．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（a 的 m 次方）的 n 次方等于 a 的 m 乘 n 次方（m、n 为正整数）。
2．这是“幂再乘方”，外指数乘到内指数上，结果底数仍与原来相同。
3．为什么指数相乘：括号里 m 个 a，整体取 n 次，总共 m 乘 n 个 a，故指数相乘。
4．反例两则：“幂的乘方把指数相加”不成立，那是乘法法则不是乘方；（a 的 m 次方）的 n 次方不等于 a 的 m 加 n 次方。
5．换一个条件：把“两层括号”改成“三层（（a 的 m 次方）的 n 次方）的 p 次方”，指数连乘为 m 乘 n 乘 p。
6．举例：（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 6 次方；（x 的 3 次方）的 4 次方等于 x 的 12 次方。
图示2
易错提醒：幂的乘方是“指数相乘”，别和同底数幂的“指数相加”混；一个括号外指数、一个同底相乘。
知识点三 积的乘方：每个因式分别乘方
1．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方（n 为正整数）。
2．底数是乘积时，乘方要“分配到”每个因式上，不能只乘其中一个。
3．为什么分别乘方：n 个 ab 相乘等于 n 个 a 相乘再乘 n 个 b 相乘，即 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方。
4．反例两则：“（ab）的 n 次方等于 a 乘 b 的 n 次方”不成立，a 也要升 n 次方；“只给系数乘方漏掉字母”也不成立。
5．换一个条件：把“两个因式”改成“三个因式（abc）的 n 次方”，则等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方乘 c 的 n 次方。
6．举例：（ab）的 3 次方等于 a 的 3 次方乘 b 的 3 次方；（2x）的 2 次方等于 4 乘 x 的 2 次方。
图示3
易错提醒：积的乘方“家家有份”：乘积里每个因式都升到 n 次方，系数和字母一个都别漏。
知识点四 三条法则的区别与联系
1．同底数幂乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘，积的乘方是各因式分别乘方，三者动作完全不同。
2．共同点：结果底数都与参与运算的底有关，且都不改变既有底数的“身份”，只是重排指数。
3．为什么容易混：名字都带“幂”，但看运算符号——乘号用加、括号用乘、乘积用分配。
4．反例两则：“看见幂就指数相加”不成立，有括号的乘方要相乘；“积的乘方只乘系数”不成立，字母也要乘方。
5．换一个条件：把“单字母底”换成“多项式底（如 x 加 y）”，法则形式不变，仍按符号选加、乘或分配。
6．举例：a 的 2 次方乘 a 的 3 次方得 a 的 5 次方（加）；（a 的 2 次方）的 3 次方得 a 的 6 次方（乘）；（ab）的 2 次方得 a 的 2 次方 b 的 2 次方（分配）。
图示4
易错提醒：分辨三法则先看清运算：同底相乘加指数、幂再乘方乘指数、乘积乘方分配到每个因式。
知识点五 混合运算的顺序
1．含有乘、乘方、积的乘方的混合式，先算乘方，再算乘除（此处只涉及幂的乘法），最后算加减。
2．有括号先算括号里；多层括号从内到外逐层降幂。
3．为什么先乘方：乘方改变指数结构，必须先定型再合并同底，否则会加错指数。
4．反例两则：“先加指数再乘方”不成立，顺序错了结果完全不同；“忽略系数符号”也不成立，负号要随底数一起乘方。
5．换一个条件：把“加减收尾”改成“连乘收尾”，则全程只做同底数合并，不再有加减干扰。
6．举例：a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方等于 a 的 2 次方乘 a 的 6 次方等于 a 的 8 次方。
图示5
易错提醒：混合运算铁顺序：括号→乘方→同底数合并→加减；先定型再合并，别抢跑。
知识点六 不计算判结果：只比指数与底数
1．判断两个幂是否相等、谁更大，常常不必算出具体结果，只比底数与指数结构就能定性。
2．不计算也能判：同底数时，指数大的幂更大（底大于 1）；结构不同则先化简再比。
3．为什么不计算也行：幂的运算由法则锁死“底数＋指数”的结构，化简前后等价，先算反而绕远。
4．反例两则：“必须算出每个幂的值才能比”不成立，同底比指数即可；“指数相加与相乘结果一样”也不成立，二者规则不同。
5．换一个条件：把“比大小”改成“判能否合并”，只看底数与指数是否完全相同即可，不必算值。
6．举例：不计算可判 a 的 5 次方与 a 的 3 次方能否合并（同底可加得 a 的 8 次方），也可判（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 6 次方而非 a 的 5 次方。
图示6
易错提醒：“不计算”靠的是三法则的结构规则，不是代值算完再回头看；同底比指数、异构先化同构。
知识点七 底数为负与含字母时的符号和括号
1．底数为负数时，先加括号再乘方：括号里的负号随底数一起参与，奇次幂得负、偶次幂得正。
2．底数是多项式（如 x 加 y）时，必须整体加括号，乘方作用在整个多项式上，不能只作用第一项。
3．为什么强调括号：没有括号，负号或加号只管到紧邻的数，乘方会绑错对象，结果全变。
4．反例两则：“−2 的 2 次方等于负 4”不成立，应为（−2）的 2 次方等于正 4；“（x 加 y）的 2 次方等于 x 的 2 次方加 y 的 2 次方”不成立，缺了交叉项且越界到后续章节。
5．换一个条件：把“负底数”改成“负系数乘字母（如 −2x）”，系数与字母整体作积的底，分别乘方。
6．举例：（−3）的 3 次方等于负 27；（2a）的 2 次方等于 4 乘 a 的 2 次方。
图示7
易错提醒：负号和多项式进乘方必须先加括号；奇负偶正看指数，括号漏了结果就错。
二、幂次题型一 同底数幂的乘法
例1
计算 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方，结果正确的是（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 12 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
【答案】A
【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，3 加 4 得 7，故为 a 的 7 次方，选 A。另一做法错在把指数相乘得 12；本题是乘法不是乘方。图1 写出 a 的 3 次方、a 的 4 次方、合并为 a 的 7 次方。
变式1-1
先定解：x 的 2 次方乘 x 的 5 次方等于 x 的（ ）次方；再找一解：b 的 4 次方乘 b 的 4 次方等于 b 的（ ）次方。
【答案】7；8
【解析】同底数幂相乘指数相加，2 加 5 得 7，4 加 4 得 8。另一做法错在把 4 加 4 写成 4 乘 4 得 16；乘法是加不是乘。图1-1 把两组同底相加标出。
变式1-2
不计算准确得数，判断：在底数相同且大于 1 时，a 的 5 次方乘 a 的 3 次方（ ）a 的 6 次方（填“＞”“＝”或“＜”）。
【答案】＞
【解析】左边等于 a 的 8 次方，右边 a 的 6 次方，同底大于 1 时指数大者大，故大于，不必代值。另一做法错在把左边当成 a 的 6 次方；本题要先加指数。图1-2 把两指数 8 与 6 比对。
计算 m 的 6 次方乘 m 的 2 次方，结果是（ ）。
A．m 的 8 次方 B．m 的 12 次方 C．m 的 4 次方 D．m 的 3 次方
【答案】A
【解析】指数相加 6 加 2 得 8，选 A。另一做法错在相乘得 12；乘法加指数。
a 的 2 次方乘 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方等于（ ）。
【答案】a 的 9 次方
【解析】三个同底相加 2 加 3 加 4 得 9。另一做法错在只加前两个；三个都加。
不计算，判断：同底数幂相乘，底数不变、指数相乘（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】错
【解析】乘法是指数相加，乘方才相乘，错。另一做法错在把两法则颠倒；看清符号。
若 x 的 m 次方乘 x 的 3 次方等于 x 的 8 次方，则 m＝（ ）。
【答案】5
【解析】m 加 3 等于 8，故 m＝5。另一做法错在 m 乘 3 等于 8；加法关系。
计算（−y）的 2 次方乘（−y）的 3 次方，结果是（ ）。
A．（−y）的 5 次方 B．y 的 5 次方 C．（−y）的 6 次方 D．−y 的 6 次方
【答案】A
【解析】同底（−y）指数 2 加 3 得 5，选 A。另一做法错在写成 y 的 5 次方漏负号；底含括号整体不变。
不计算，在 a 的 4 次方乘 a 的 3 次方（a＞1）与 a 的 6 次方中，较大的是（ ）。
【答案】a 的 4 次方乘 a 的 3 次方（即 a 的 7 次方）
【解析】前者化简为 a 的 7 次方，同底大于 1 时 7 大于 6 更大。另一做法错在以为 a 的 6 次方大；先加指数再比。
下列能用同底数幂乘法法则直接合并的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 b 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 5 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方
【答案】B
【解析】只有 B 同底，选 B。A 底不同；C 是乘方；D 是加法不能合。另一做法错在选 A；底不同不可加指数。
计算 2 的 3 次方乘 2 的 4 次方，结果是（ ）。
【答案】2 的 7 次方
【解析】同底 2，指数 3 加 4 得 7。另一做法错在把 2 也相加；底数 2 保持不变。
三、幂次题型二 幂的乘方
例2
计算（a 的 2 次方）的 3 次方，结果正确的是（ ）。
A．a 的 5 次方 B．a 的 6 次方 C．a 的 8 次方 D．a 的 9 次方
【答案】B
【解析】幂的乘方，底数不变、指数相乘，2 乘 3 得 6，故为 a 的 6 次方，选 B。另一做法错在把指数相加得 5；本题是乘方不是乘法。图2 写出内层 2、外层 3、结果 6。
变式2-1
先定解：（x 的 3 次方）的 4 次方等于 x 的（ ）次方；再找一解：若（a 的 m 次方）的 2 次方等于 a 的 10 次方，则 m＝（ ）。
【答案】12；5
【解析】指数相乘 3 乘 4 得 12；m 乘 2 等于 10 故 m＝5。另一做法错在把 3 加 4 当 7；乘方是乘不是加。图2-1 把两层指数相乘标出。
变式2-2
不计算准确得数，判断：（a 的 2 次方）的 3 次方（ ）（a 的 3 次方）的 2 次方（填“＞”“＝”或“＜”，a＞1）。
【答案】＝
【解析】左边 a 的 6 次方、右边 a 的 6 次方，相等，不必代值。另一做法错在以为括号不同结果不同；乘法交换律使二者同。图2-2 把两侧都化到 a 的 6 次方。
计算（b 的 4 次方）的 2 次方，结果是（ ）。
A．b 的 6 次方 B．b 的 8 次方 C．b 的 16 次方 D．b 的 2 次方
【答案】B
【解析】指数相乘 4 乘 2 得 8，选 B。另一做法错在相加得 6；乘方乘指数。
（a 的 3 次方）的 3 次方等于（ ）。
【答案】a 的 9 次方
【解析】3 乘 3 得 9。另一做法错在 3 加 3 得 6；乘方是乘。
不计算，判断：幂的乘方，底数不变、指数也相加（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】错
【解析】乘方是指数相乘，错。另一做法错在与乘法法则混；看清括号。
若（x 的 m 次方）的 2 次方等于 x 的 6 次方，则 m＝（ ）。
【答案】3
【解析】m 乘 2 等于 6，故 m＝3。另一做法错在 m 加 2 等于 6；乘法关系。
计算（−2 的 2 次方）的 3 次方，结果是（ ）。
A．−2 的 6 次方 B．2 的 6 次方 C．−2 的 5 次方 D．2 的 5 次方
【答案】B
【解析】内层 −2 的 2 次方等于 4，外层 4 的 3 次方等于 64，即 2 的 6 次方，选 B。另一做法错在写成 −2 的 6 次方漏了内层已定正号。
不计算，在（a 的 2 次方）的 4 次方（a＞1）与 a 的 7 次方中，较大的是（ ）。
【答案】（a 的 2 次方）的 4 次方（即 a 的 8 次方）
【解析】前者化 a 的 8 次方，大于 a 的 7 次方。另一做法错在以为后者大；先乘指数再比。
下列运算正确的是（ ）。
A．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 5 次方
B．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方
C．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 6 次方
D．（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b
【答案】B
【解析】B 正确（乘方乘指数）。A 错在相加；C 错在相乘；D 漏 b 的 2 次方。另一做法错在选 A；混淆两法则。
计算（x 的 2 次方）的 5 次方乘 x 的 3 次方，结果是（ ）。
【答案】x 的 13 次方
【解析】先乘方得 x 的 10 次方，再乘 x 的 3 次方得 x 的 13 次方。另一做法错在 10 乘 3；第二步是同底相加。
四、幂次题型三 积的乘方
例3
化简（ab）的 3 次方。先定解：（ab）的 3 次方等于（ ）；再找一解：其中 a 的因式升到（ ）次方、b 的因式升到（ ）次方；接着找全：写出（ab）的 3 次方展开后共有（ ）个 a 与（ ）个 b 相乘；最后改一个条件：只把“ab”改成“abc”，则（abc）的 3 次方等于（ ）。
【答案】a 的 3 次方乘 b 的 3 次方；3；3；3；3；a 的 3 次方乘 b 的 3 次方乘 c 的 3 次方
【解析】定解：积的乘方各因式分别乘方，得 a 的 3 次方乘 b 的 3 次方。找一解：a、b 各升 3 次方。找全：三个 ab 相乘含 3 个 a 与 3 个 b；理由（教师版）：每个 ab 贡献一个 a 一个 b，三因子共 3 加 3。改条件：加因式 c，同样各升 3 次方。图3 把 ab 三次分配标出。
变式3-1
只找一解：写出一个与（2x）的 3 次方结果相同的展开式（ ），并说明它等于（ ）。
【答案】8 乘 x 的 3 次方；2 的 3 次方乘 x 的 3 次方
【解析】（2x）的 3 次方＝2 的 3 次方乘 x 的 3 次方＝8 乘 x 的 3 次方。另一做法错在只给 2x 的 3 次方不分配；须系数字母都升次。图3-1 把系数 8 与 x 的 3 次方标出。
变式3-2
找全：下列幂中，与（ab）的 2 次方展开后“因式完全分配”的有哪些（ ）；说明为什么（a 加 b）的 2 次方不属于积的乘方（ ）。
【答案】（ab）的 2 次方、a 的 2 次方 b 的 2 次方；a 加 b 是加法不是乘积，乘方作用于和会越界到后续公式
【解析】积的乘方只针对乘积底；（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方。a 加 b 是和，其平方越界到后续乘法章节，本节不处理。另一做法错在把和与积混；看清运算符号。图3-2 把乘积与和两类对比。
变式3-3
仍以上述（ab）的 3 次方为基础。改一个条件：只把指数 3 改成 4，其余不变，则（ab）的 4 次方等于（ ）；并说明法则本身（ ）（填“变”或“不变”）。
【答案】a 的 4 次方乘 b 的 4 次方；不变
【解析】指数改 4，各因式升 4 次方，法则不变。另一做法错在以为系数要变；只是指数变化。图3-3 把指数 3、4 并排比对。
化简（xy）的 2 次方，结果是（ ）。
【答案】x 的 2 次方乘 y 的 2 次方
【解析】积的乘方各因式分别乘方。另一做法错在写成 x 的 2 次方 y；漏 y 的 2 次方。
（3a）的 2 次方等于（ ）。
【答案】9 乘 a 的 2 次方
【解析】3 的 2 次方乘 a 的 2 次方＝9a 的 2 次方。另一做法错在写成 3a 的 2 次方不分配；系数也要升次。
找全：（−2b）的 3 次方展开后系数与字母分别是（ ）与（ ）。
【答案】−8；b 的 3 次方
【解析】（−2）的 3 次方等于 −8，b 升 3 次方。另一做法错在把符号漏成 8；负底奇次幂为负。
改一个条件：把（ab）的 2 次方中的 b 换成 c，则（ac）的 2 次方等于（ ）。
【答案】a 的 2 次方乘 c 的 2 次方
【解析】换字母同法则，各升 2 次方。另一做法错在以为只 a 升次；c 也要。
五、幂次题型四 混合运算与顺序
例4
不计算准确得数，化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，判断它等于（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 8 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 5 次方
【答案】B
【解析】先乘方（a 的 3 次方）的 2 次方＝a 的 6 次方，再同底相乘得 a 的 8 次方，选 B，不必代值。另一做法错在 2 乘 6 得 12；第二步是乘法加指数。图4 用两张卡标出先乘方后相加。
变式4-1
估算决策：比较 2 的 5 次方与 2 的 2 次方乘 2 的 2 次方的大小，不计算准确得数，判断前者（ ）后者（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
【答案】大于；2 的 2 次方乘 2 的 2 次方等于 2 的 4 次方，同底指数 5 大于 4
【解析】后者合并为 2 的 4 次方，同底大于 1 时指数大者大，故前者大。一步即可判：只比指数 5 与 4。另一做法错在算出 32 再比；结构判断更快。图4-1 把指数 5 与 4 标在数轴上。
变式4-2
只把例4 的底 a 改成 3，其余不变，则 3 的 2 次方乘（3 的 3 次方）的 2 次方等于（ ）；并说明法则顺序（ ）（填“变”或“不变”）。
【答案】3 的 8 次方；不变
【解析】先乘方得 3 的 6 次方再乘 3 的 2 次方得 3 的 8 次方，法则顺序不变。另一做法错在把底换成数就改顺序；字母数字同法则。图4-2 把字母与数字两式并排。
不计算，化简（a 的 2 次方）的 3 次方乘 a 的 4 次方等于（ ）。
A．a 的 9 次方 B．a 的 10 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 7 次方
【答案】B
【解析】先乘方得 a 的 6 次方，再乘 a 的 4 次方得 a 的 10 次方，选 B。另一做法错在 6 乘 4；第二步加。
不计算，判断：a 的 2 次方乘 a 的 3 次方乘（a 的 2 次方）的 2 次方等于 a 的 9 次方（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】2 加 3 得 5，加 4 得 9，对。另一做法错在把乘方也当加；先乘指数再合计。
化简（ab）的 2 次方乘 a 的 3 次方，结果是（ ）。
【答案】a 的 5 次方乘 b 的 2 次方
【解析】（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方，再乘 a 的 3 次方得 a 的 5 次方 b 的 2 次方。另一做法错在把 b 也加指数；b 只与自身合并。
估算决策：不计算准确得数，判断 3 的 4 次方（ ）3 的 2 次方乘 3 的 3 次方（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
【答案】小于；后者合并为 3 的 5 次方，指数 4 小于 5
【解析】后者为 3 的 5 次方，同底大于 1 时指数小者小。一步可判：仅比指数。另一做法错在算出 81 再比；结构判断即可。
不计算，下列与 a 的 6 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
B．（a 的 3 次方）的 2 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方加 a 的 0 次方
D．（ab）的 3 次方
【答案】B
【解析】（a 的 3 次方）的 2 次方＝a 的 6 次方，选 B。A 为 a 的 5 次方；C 含越界情形；D 含 b。另一做法错在选 A；看清指数。
化简（−a）的 2 次方乘 a 的 3 次方，结果是（ ）。
【答案】a 的 5 次方
【解析】（−a）的 2 次方＝a 的 2 次方（偶次幂正），再乘 a 的 3 次方得 a 的 5 次方。另一做法错在保留负号；偶次幂消去负号。
不计算，判断：混合运算应先乘方后合并同底数（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】顺序：括号→乘方→同底合并→加减，对。另一做法错在先加指数；必须先定型。
六、A、幂次起步指数加减
计算 a 的 5 次方乘 a 的 2 次方，结果是（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 10 次方 C．a 的 3 次方 D．a 的 8 次方
【答案】A
【解析】指数相加 5 加 2 得 7，选 A。另一做法错在相乘得 10；乘法加指数。
x 的 3 次方乘 x 的 3 次方等于（ ）。
【答案】x 的 6 次方
【解析】3 加 3 得 6。另一做法错在写成 x 的 9 次方；加法关系。
不计算，判断：同底数幂相乘底数不变、指数相乘（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】错
【解析】是相加不是相乘，错。另一做法错在记反法则；看清符号。
若 a 的 m 次方乘 a 的 4 次方＝a 的 9 次方，则 m＝（ ）。
【答案】5
【解析】m 加 4 等于 9，m＝5。另一做法错在 m 乘 4；加法。
计算 b 的 2 次方乘 b 的 2 次方乘 b 的 2 次方，结果是（ ）。
【答案】b 的 6 次方
【解析】2 加 2 加 2 得 6。另一做法错在 2 乘 2 乘 2；加法。
（−a）的 3 次方乘（−a）的 2 次方等于（ ）。
【答案】（−a）的 5 次方
【解析】同底（−a）指数 3 加 2 得 5。另一做法错在去掉负号；底含括号整体不变。
计算 5 的 2 次方乘 5 的 3 次方，结果是（ ）。
【答案】5 的 5 次方
【解析】同底 5，2 加 3 得 5。另一做法错在把 5 也加；底数不变。
不计算，下列能直接合并的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 b 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 5 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方
【答案】B
【解析】B 同底可加指数，选 B。A 底不同；C 是乘方；D 是加法。
若 x 的 2 次方乘 x 的 n 次方＝x 的 7 次方，则 n＝（ ）。
【答案】5
【解析】2 加 n 等于 7，n＝5。另一做法错在 2 乘 n；加法。
计算 y 的 4 次方乘 y 的 1 次方，结果是（ ）。
【答案】y 的 5 次方
【解析】4 加 1 得 5（指数 1 不省但可补）。另一做法错在 4 乘 1；加法。
七、B、幂次改一个底数看结果
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 5 次方。只把底 a 改成 b，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】b 的 5 次方
【解析】法则与底的名称无关，得 b 的 5 次方。另一做法错在保留 a；底已改。
原式（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方。只把指数 3 改成 4，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】a 的 8 次方
【解析】2 乘 4 得 8。另一做法错在 2 加 4；乘方是乘。
原式（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方。只把 ab 改成 ac，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】a 的 2 次方乘 c 的 2 次方
【解析】换字母同法则，c 升 2 次方。另一做法错在只 a 升；c 也要。
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方。只把“乘”改成“乘方（a 的 2 次方）的 3 次方”，其余不变，则结果由 a 的 5 次方变为（ ）。
【答案】a 的 6 次方
【解析】乘法变乘方，指数由加变乘，得 a 的 6 次方。另一做法错在仍写 a 的 5 次方；运算符号变了。
原式（a 的 3 次方）的 2 次方＝a 的 6 次方。只把底 a 改成（−a），其余不变，则结果是（ ）。
【答案】（−a）的 6 次方（即 a 的 6 次方）
【解析】底数整体替换，偶次幂仍为正。另一做法错在写成 −a 的 6 次方漏括号；底含负号要保留。
原式 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 5 次方。只把第二个指数 3 改成 1，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】a 的 3 次方
【解析】2 加 1 得 3。另一做法错在 2 乘 1；加法。
原式（ab）的 3 次方。只把指数 3 改成 2，其余不变，则结果由 a 的 3 次方 b 的 3 次方变为（ ）。
【答案】a 的 2 次方乘 b 的 2 次方
【解析】指数改 2，各因式升 2 次方。另一做法错在只改一项；乘积全部分配。
原式 a 的 4 次方乘 a 的 2 次方＝a 的 6 次方。只把底 a 改成数字 2，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】2 的 6 次方
【解析】法则对数字同样成立。另一做法错在把 2 相加；底数不变。
原式（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 6 次方。只把内层指数 2 改成 5，其余不变，则结果是（ ）。
【答案】a 的 15 次方
【解析】5 乘 3 得 15。另一做法错在 5 加 3；乘方是乘。
原式（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方。只把积的因式由 2 个改为 3 个（abc），其余不变，则结果是（ ）。
【答案】a 的 2 次方乘 b 的 2 次方乘 c 的 2 次方
【解析】加因式 c 同样升 2 次方。另一做法错在漏 c 的 2 次方；家家有份。
八、C、幂次找全同类与反例
找全：下列与 a 的 7 次方相等的是（ ）。
A．a 的 3 次方乘 a 的 4 次方
B．（a 的 7 次方）的 1 次方
C．（a 的 3 次方）的 2 次方乘 a 的 1 次方
D．以上 A、B、C 都对
【答案】D
【解析】A 加得 7；B 乘 1 得 7；C 6 加 1 得 7，都对，选 D。另一做法错在漏判 C；先化同再比。
说明为什么 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方不等于 a 的 6 次方（ ）。
【答案】乘法是指数相加得 5，不是相乘得 6
【解析】同底相乘加指数，2 加 3 得 5。另一做法错在套用乘方；看清符号。
判断：积的乘方（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方加 b 的 n 次方（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】错
【解析】应是相乘 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方，错。另一做法错在把分配当加法；是乘积。
反例验证：有人说（a 加 b）的 2 次方属于本节积的乘方，错误在于（ ）。
【答案】a 加 b 是加法不是乘积，其平方越界到后续乘法章节
【解析】积的乘方只针对乘积底，和的乘方不在 16.1 范围。另一做法错在把和与积混；看清运算。
找全：下列能用三法则之一直接化简的是（ ）。
A．（ab）的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．以上都能
【答案】D
【解析】A 积乘方、B 乘法、C 乘方，都能，选 D。另一做法错在漏判；三法则覆盖这三类。
判断：幂的乘方与同底数幂乘法都“底数不变”（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】二者都保持原底，只动指数，对。另一做法错在以为乘方改底；底不变。
反例验证：有人说（−2）的 3 次方等于正 8，错误在于（ ）。
【答案】负底奇次幂为负，应为负 8
【解析】奇次幂保留负号。另一做法错在忽略括号里的负号；奇偶看指数。
找全：在 a 的 2 次方、a 的 3 次方、a 的 5 次方中，能由前两个同底相乘得到的是（ ）。
【答案】a 的 5 次方
【解析】2 加 3 得 5，选 a 的 5 次方。另一做法错在选 a 的 3 次方；那是已知项。
判断：三个同底数幂相乘，指数全部相加（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】扩展法则指数全加，对。另一做法错在只加前两个；三个都加。
反例验证：有人说（a 的 2 次方）的 3 次方等于 a 的 5 次方，错误在于（ ）。
【答案】乘方是指数相乘得 6，不是相加得 5
【解析】2 乘 3 得 6。另一做法错在套用加法；看清括号。
九、D、近年真题·幂次运算综合
1．（2025年·江苏·期中考试）下列运算正确的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 6 次方
B．（a 的 2 次方）的 3 次方＝a 的 5 次方
C．（ab）的 2 次方＝a 的 2 次方 b 的 2 次方
D．a 的 2 次方加 a 的 3 次方＝a 的 5 次方
【答案】C
【解析】积的乘方各因式分别乘方，C 正确。A 应 a 的 5 次方（加法）；B 应 a 的 6 次方（乘法）；D 加法不可合。
2．（2025年·浙江·期末考试）计算 a 的 3 次方乘 a 的 4 次方，结果为（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 12 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
【答案】A
【解析】同底相乘指数相加 3 加 4 得 7，选 A。易错：写成 a 的 12 次方；那是乘方不是乘法。
3．（2026年·湖北·期中考试）计算（a 的 2 次方）的 3 次方，结果为（ ）。
A．a 的 5 次方 B．a 的 6 次方 C．a 的 8 次方 D．a 的 9 次方
【答案】B
【解析】幂的乘方指数相乘 2 乘 3 得 6，选 B。易错：写成 a 的 5 次方；加法是乘法法则。
4．（2025年·四川·期末考试）计算（2x）的 3 次方，结果为（ ）。
A．2x 的 3 次方 B．6 乘 x 的 3 次方 C．8 乘 x 的 3 次方 D．2 的 3 次方 x
【答案】C
【解析】积的乘方系数与字母分别升次：2 的 3 次方乘 x 的 3 次方＝8x 的 3 次方，选 C。易错：漏系数升次。
5．（2026年·广东·期中考试）化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，结果为（ ）。
A．a 的 7 次方 B．a 的 8 次方 C．a 的 12 次方 D．a 的 5 次方
【答案】B
【解析】先乘方得 a 的 6 次方，再同底相乘得 a 的 8 次方，选 B。易错：把 6 乘 2；第二步是加法。
6．（2025年·山东·期末考试）若 a 的 m 次方乘 a 的 3 次方＝a 的 8 次方，则 m 的值为（ ）。
A．2 B．5 C．6 D．11
【答案】B
【解析】m 加 3 等于 8，m＝5，选 B。易错：m 乘 3 得 8；加法关系。
7．（2026年·湖南·期中考试）下列与 a 的 6 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
B．（a 的 3 次方）的 2 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方加 a 的 0 次方
D．（ab）的 3 次方
【答案】B
【解析】（a 的 3 次方）的 2 次方＝a 的 6 次方，选 B。A 为 a 的 5 次方；C 含越界情形；D 含 b。
8．（2025年·河南·期末考试）计算（−3a）的 2 次方，结果为（ ）。
A．−9 乘 a 的 2 次方 B．9 乘 a 的 2 次方 C．−3 乘 a 的 2 次方 D．3 乘 a 的 2 次方
【答案】B
【解析】（−3）的 2 次方乘 a 的 2 次方＝9a 的 2 次方，选 B。易错：写成 −9a 的 2 次方；偶次幂为正。
十、E、幂次一条链三问收口
对 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方：(1) 不计算，它等于 a 的（ ）次方；(2) 与（a 的 3 次方）的 2 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”，a＞1）；(3) 只把底 a 改成 b，结果变为（ ）。
【答案】5；小（a 的 5 次方小于 a 的 6 次方）；b 的 5 次方
【解析】第(1)问加得 5。第(2)问后者 a 的 6 次方更大。第(3)问底改名法则不变。
对（ab）的 2 次方：(1) 先定解展开为（ ）；(2) 其中 a 与 b 各升到（ ）次方；(3) 只把指数 2 改成 3，则结果为（ ）。
【答案】a 的 2 次方乘 b 的 2 次方；2；a 的 3 次方乘 b 的 3 次方
【解析】第(1)问积乘方分配。第(2)问各升 2 次。第(3)问指数改 3 同分配。
对（a 的 2 次方）的 3 次方：(1) 不计算，它等于 a 的（ ）次方；(2) 与 a 的 2 次方乘 a 的 3 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”，a＞1）；(3) 只把内层 2 改成 4，则结果为（ ）。
【答案】6；大（a 的 6 次方大于 a 的 5 次方）；a 的 12 次方
【解析】第(1)问乘得 6。第(2)问后者 a 的 5 次方较小。第(3)问 4 乘 3 得 12。
对 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方：(1) 先定解化简为（ ）；(2) 与 a 的 7 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把外层相加的指数改由 4 起始，即 a 的 4 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，则结果为（ ）。
【答案】a 的 8 次方；大；a 的 10 次方
【解析】第(1)问先乘方得 a 的 6 次方再加 2 得 8。第(2)问大于 a 的 7 次方。第(3)问 4 加 6 得 10。
对（−a）的 3 次方乘（−a）的 2 次方：(1) 不计算，它等于（ ）；(2) 与 a 的 5 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把奇次幂的指数 3 改成 4，则结果为（ ）。
【答案】（−a）的 5 次方（即 −a 的 5 次方）；小（为负小于正）；a 的 6 次方
【解析】第(1)问同底（−a）加得 5，负底奇次幂为负。第(2)问负小于正 a 的 5 次方。第(3)问（−a）的 6 次方为正 a 的 6 次方。
对 2 的 3 次方乘 2 的 4 次方：(1) 不计算，它等于 2 的（ ）次方；(2) 估算决策：与 2 的 6 次方相比（ ）（填“大”“等”或“小”）；(3) 只把底 2 改成 3，结果变为（ ）。
【答案】7；大（2 的 7 次方大于 2 的 6 次方）；3 的 7 次方
【解析】第(1)问 3 加 4 得 7。第(2)问 7 大于 6。第(3)问底改名法则不变。
十一、课堂检测
计算 a 的 4 次方乘 a 的 5 次方，结果是（ ）。
A．a 的 9 次方 B．a 的 20 次方 C．a 的 1 次方 D．a 的 8 次方
【答案】A
【解析】4 加 5 得 9，选 A。另一做法错在相乘得 20；加法。
（a 的 3 次方）的 2 次方等于（ ）。
【答案】a 的 6 次方
【解析】3 乘 2 得 6。另一做法错在相加得 5；乘方乘指数。
不计算，判断：积的乘方（ab）的 n 次方等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】各因式分别乘方再相乘，对。另一做法错在以为相加；是乘积。
计算（3y）的 2 次方，结果是（ ）。
【答案】9 乘 y 的 2 次方
【解析】3 的 2 次方乘 y 的 2 次方＝9y 的 2 次方。另一做法错在漏系数升次；也升。
若（a 的 m 次方）的 2 次方＝a 的 8 次方，则 m＝（ ）。
【答案】4
【解析】m 乘 2 等于 8，m＝4。另一做法错在 m 加 2；乘法。
化简 a 的 2 次方乘（a 的 3 次方）的 2 次方，结果是（ ）。
【答案】a 的 8 次方
【解析】先乘方得 a 的 6 次方再乘 a 的 2 次方得 a 的 8 次方。另一做法错在 6 乘 2；第二步加。
估算决策：不计算准确得数，判断 2 的 6 次方（ ）2 的 2 次方乘 2 的 5 次方（填“大于”“等于”或“小于”）；一步理由是（ ）。
【答案】小于；后者合并为 2 的 7 次方，指数 6 小于 7
【解析】后者为 2 的 7 次方，同底大于 1 时指数小者小。一步可判：仅比指数。另一做法错在算出 64 再比；结构判断即可。
不计算，下列与 a 的 5 次方相等的是（ ）。
A．a 的 2 次方乘 a 的 2 次方
B．a 的 2 次方乘 a 的 3 次方
C．（a 的 2 次方）的 3 次方
D．（a 的 5 次方）的 0 次方
【答案】B
【解析】B 加得 5，选 B。A 为 4；C 为 6；D 含越界情形。另一做法错在选 C；看清指数。
计算（−b）的 2 次方乘 b 的 3 次方，结果是（ ）。
【答案】b 的 5 次方
【解析】（−b）的 2 次方＝b 的 2 次方（偶次幂正），再乘 b 的 3 次方得 b 的 5 次方。另一做法错在留负号；消去。
不计算，判断：混合运算应先乘方、再合并同底数（ ）（填“对”或“错”）。
【答案】对
【解析】顺序：括号→乘方→同底合并→加减，对。另一做法错在先加指数；必须先定型。
第 1 页 共 1 页
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
