16.2 整式的乘法（讲义）数学新教材人教版八年级上册
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精品
内容正文：
第十六章
整式的乘法
16.2 整式的乘法
课标要点
1．理解整式乘法的算理，掌握单项式、多项式乘法法则。
2．能进行简单整式乘法运算。
3．能借助面积图形理解多项式乘法的几何意义 。
学习重难点
重点：
1． 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。
2．熟练进行整式的乘法运算，能正确处理系数、符号与同底数幂的运算。
3．会利用乘法分配律完成多项式乘法的展开与化简。
难点：
1．多项式乘法运算中不漏乘、不错符号。
2．准确区分幂的运算与整式乘法，避免指数运算混淆。
3．整式混合运算中，综合运用乘方、乘法、去括号、合并同类项进行化简。
知识点一 单项式乘单项式
1. 单项式乘单项式法则：，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2. 三步计算：
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里．
特别提醒
1）先乘系数，注意符号（负负得正、一负一正得负）；
2）同底数幂：底数不变，指数相加；
3）只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数直接写在积里，不要丢.
易错提醒
1）系数有负号时，符号先定好.
2）单独字母不要漏乘.
3）指数是相加，不是相乘.
教材延伸
可以推广：单项式乘单项式法则对于三个以上的单项式相乘同样适用．
即学即练
1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：________．
2．（2025秋•旬阳市期末）计算﹣3a4b•a3b2的结果正确的是（ ）
A．﹣3a7b2 B．﹣3a7b3 C．3a12b2 D．3a7b3
3．（2025秋•甘肃校级期末）计算（﹣2a）3•a2结果是（ ）
A．8a5 B．8a6 C．﹣8a5 D．﹣8a6
知识点二 单项式乘多项式
，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
特别提醒
1） .
2） .
易错提醒
1）
的符号.
．
即学即练
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝ ．
3．（2026九年级·四川·专题练习）计算：________．
知识点三 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.
2. 多项式乘多项式几何解释
如图大长方形的面积可以表示为(a+b）（m+n），也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn，所以(a+b)（m+n）=am+an+bm+bn.
特别提醒
1）运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.
2）在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积.
3）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果.
易错提醒
1）不能漏乘项，符号出错，不带符号相乘；
2）乘完直接结束，忘记合并同类项；
3）多项多项式相乘，跳步混乱.
即学即练
1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：________．
2．（2025秋•虹口区期末）计算：（2a﹣b）（a+3b）＝ ．
3．（2025秋•朝阳区校级月考）计算：
（1）2a2•（3a2﹣5b）；
（2） （x+5）（x﹣7）．
知识点四 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法：am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n），同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
2.零指数幂：a0＝1（a≠0），任何不等于0的数的0次幂等于1．
3.负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的(是正整数)次幂，等于这个数的次幂的倒数.
4.科学记数法：用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
特别提醒
1）底数必须相同，才能用法则
2）底数不变，用被除数指数减去除数指数
3）先定符号，再算幂
易错提醒
1）忽略底数不为0的前提.
2）混淆运算法则，指数做乘/除而非相减.
3）底数形式不同时不能用法则．
即学即练
1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列运算结果为的算式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2025秋•丰台区期末）计算：．
知识点五 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
特别提醒
1）系数相除，先判断符号（同号得正，异号得负）；
2）同底数幂相除：底数不变，指数相减；
3）只在被除式中出现的字母，连同它的指数照抄，不要丢掉；
4）除式里单独的字母不能直接带到结果里.
易错提醒
1）同底数幂指数做加法、乘法；
2）把除式里单独字母写到结果中.
即学即练
1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算：______．
3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先化简再求值：，其中，，．
知识点六 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
特别提醒
1）把多项式的每一项（连带前面的符号），逐个除以单项式；
2）每一步都按单项式除以单项式法则计算；
3）最后合并，写成代数和形式.
易错提醒
1）漏除其中某一项；
2）符号出错，不带符号相除；
3）混淆：不能用单项式除以多项式.
即学即练
1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
3．（26-27八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
题型01 单项式乘单项式
解题贴士
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•汉阴县校级期末）计算3x2•（﹣2xy2）的结果是（ ）
A．﹣6x3y2 B．6x3y4 C．﹣6x2y4 D．6x3y2
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）___________．
3．计算：
（1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3；
（2）（﹣x）2•x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y．
题型02 利用单项式乘单项式求参数或代数式的值
解题贴士
（1）先把参数当普通数字，正常做乘法，系数乘系数，同底数幂指数相加，参数照抄；
（2）把结果整理成标准形式，系数放前面，字母按顺序写，指数合并1；
（3）看题目问什么，对应列方程；
①是同类项 → 相同字母的指数分别相等
②不含某一项 → 这一项的系数=0
③ 结果是常数 → 所有字母的指数=0
④系数满足某个数 → 令系数=那个数
（4）解方程，求出参数；
（5）带回检验，别算错符号．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•船营区校级期中）已知单项式6x3y与的积为mx9y3，则n的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______．
3．（24-25七年级下·广东河源·阶段检测）若，则________．
题型03 单项式乘单项式中错解问题
解题贴士
（1）先写出：看错的算式，把题目里“看错的系数/指数”代进去，利用看错的结果，列方程求参数；
（2）解方程，把参数求出来；
（3）再写出：正确的原式；
（4）把参数代回去，还原正确式子；
（5）按法则计算正确答案，系数相乘、同底数幂指数相加，算出最终结果．
典｜例｜精｜析
1．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值．
(2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案．
变｜式｜巩｜固
1．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A的值为（ ）
A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．x2﹣3x+1
2．小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案．
题型04 单项式乘多项式
解题贴士
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
变｜式｜巩｜固
1．（2025秋•道里区校级期中）计算：（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是（ ）
A．18a2b3﹣12a3b2 B．18ab3﹣12a3b2
C．18a2b3﹣12a2b2 D．18a2b2﹣12a3b2
2．（2025秋•西宁期中）计算：
（1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）；
（3） ．
3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读：已知，求的值．
分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
，
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
题型05 单项式乘多项式化简求值
解题贴士
（1）去括号；
（2）定符号；
（3）合并同类项；
（4）代入数值．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）先化简，再求值：，其中．
2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值．，其中．
3．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）先化简，再求值：，其中．
题型06 单项式乘多项式错解问题
解题贴士
（1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来；
（2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母
（3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的；
（4）把求出的数代入正确式子，算出答案．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，则正确的计算结果是________________．
3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值；
（2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？
题型07 单项式乘多项式的应用
解题贴士
对于单项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（单项式×多项式），然后按运算法则计算．
（1）建模：将文字转化为代数式；
（2）运算：展开并化简；
（3）解释：将代数结果回归实际问题．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪．
(1)用整式表示草坪的面积；
(2)若，求草坪的面积．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，这是某社区经济适用房的户型平面简图（图中长度单位：），根据图中标识数据，该户型的面积为________．（用含的代数式表示）
2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______．
3．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上（）．
(1)用、表示阴影部分的面积；
(2)计算当，时，阴影部分面积．
题型08 多项式乘多项式
解题贴士
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·云南·期中）计算：
(1)
(2)
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27七年级上·上海闵行·期中）计算：________．
3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）计算：．
题型09 多项式乘多项式化简求值
解题贴士
（1）去括号，逐项相乘：一个一个乘，不漏乘、不错号；
（2）定符号：同号得正，异号得负，先写符号，再写数字；
（3）合并同类项：把次数相同的项合并，化成最简多项式；
（4）代入数值：化简完，再把 x=… 带进去算结果．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，．
3．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）化简求值：，其中．
题型10 多项式乘多项式错解问题
解题贴士
（1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来；
（2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母
（3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的；
（4）把求出的数代入正确式子，算出答案．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______．
2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)请求出正确的结果．
3．（25-26七年级下·广东茂名·阶段检测）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是．
(1)求，的值；
(2)计算的正确结果．
题型11 多项式乘多项式实际问题
解题贴士
对于多项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（多项式×多项式），然后按运算法则计算．
（1）建模：将文字转化为代数式；
（2）运算：展开并化简；
（3）解释：将代数结果回归实际问题．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（ ）.
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南周口·期中）已知一个长方形的长为a，宽为b，若该长方形的周长为8，面积为2，则的值为（ ）
A．11 B．7 C． D．
2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ）
A．长方形与长方形的面积之差
B．长方形与长方形的面积之差
C．长方形与长方形的面积之和
D．长方形与长方形的面积之和
3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）．
(1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）；
(2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？
题型12 几何背景
解题贴士
（1）画图：画大长方形，按项分段标上字母；
（2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽；
（3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加；
（4）合并同类项：整理成最简多项式．
典｜例｜精｜析
1．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）用两个不同的式子表示同一个图形的面积，可以直观地得到一个等式，进而可以应用得到的等式解决问题．如图是一个边长为的正方形，若，，应用下图所反映的等式求的值为________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A类卡片（ ）
A．4张 B．5张 C．6张 D．7张
2．（25-26七年级下·全国·单元复习）分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片．
(1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积；
(2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形．
3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或
(1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________；
(2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值；
(3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）．
题型13 多项式乘法中的规律问题
解题贴士
（1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义；
（2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例；
（3）寻找变化规律；
（4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式；
（5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确；
（6）归纳结论．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
请依据上述规律，展开式中含项的系数是______．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和为______．
2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为_____；
(2)展开式共有_____项，第3项系数为_____；
(3)利用上面的规律计算：；
3．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习：
某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题：
算式①：；
算式②：；
算式③：；
算式④：；…
(1)观察算式①②的运算规律，根据规律完成计算：
①_________________________；
②若两个相同的两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，请用等式表示这两个相同两位数的积的规律：_______________．
(2)兴趣小组通过计算与思考，探索得出上述的规律也适用于两个个位数字是的三位数、四位数的积．请根据规律完成计算：
①__________________________，
②__________________________，
(3) 观察算式③④的运算规律，若两个两位数：和的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，另一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积：的结果，并证明你写出的等式成立．
题型14 同底数幂的除法
解题贴士
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，直接利用运算法则进行计算．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（2025秋•楚雄州期末）若ax＝3，ay＝9，则ax﹣y的值为（ ）
A．﹣6 B．3 C． D．27
2．（2026·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型15 同底数幂的除法逆运算
解题贴士
（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）.
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）如果，，那么的值是（ ）
A． B．32 C．2 D．1
3．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，则的值为________．
题型16 零指数幂
解题贴士
（1）1的任何次幂都等于1；
（2）﹣1的奇数次幂都等于﹣1；﹣1的偶数次幂都等于1；
（3）任何不等于零的数的零次幂都等于1．
典｜例｜精｜析
1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若有意义，则所满足的条件是________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若等式成立，则的值为________．
2．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）计算：__________．
3．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算：
题型17 科学记数法
解题贴士
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
（1） a是只保留一位整数的小数，含非零中间0；
（2） n是正整数，其值为小数点移动的位数，也等于原数左边第一个非0数字前0的总个数（含小数点前的0）．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•渝中区校级期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年版的一元硬币，测得质量大约是0.00605kg，通过排水法测得体积大约为0.00000091m3，计算出了密度约6.65×103kg/m3．将数据0.00605用科学记数法可表示为（ ）
A．6.05×10﹣1 B．6.05×10﹣2 C．6.05×10﹣3 D．6.05×10﹣4
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河南·中考真题）2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（ ）
A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍
2．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍．
题型18 单项式除以单项式
解题贴士
1. 定符号：看系数符号，同号得正，异号得负；
2. 算系数：系数相除，算出系数的商（可以写成分数约分）；
3. 处理同底数幂：底数不变，指数相减；
4. 处理单独字母：只在被除式里面有的字母，连同它的指数直接保留；只在除式里有的字母，保留在分母.
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）_________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________．
3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算
(1)
(2)
题型19 多项式除以单项式
解题贴士
1. 拆项：把多项式每一项，连同前面的正负号拆开，分别除以单项式；
2. 分项计算：每一项单独做单项式÷单项式（先定符号、再算系数、同底幂指数相减）；
3. 相加合并：把每一项得到的商相加；
4. 化简整理：能约分的约分，写成最简整式。
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·河南周口·期中）某公司需要对一种芯片的电路布线进行优化．已知芯片电路的原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）计算：______.
3．（25-26八年级上·云南德宏·期中）计算：
(1)
(2)
(4)
题型20 整式四则混合运算
解题贴士
核心总原则：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面.
1. 看括号：优先计算括号内的式子；多层括号由内向外去括号，去括号注意变号；
2. 算乘方：积的乘方、幂的乘方、同底数幂，先处理所有乘方部分；
3. 算乘除：从左往右依次算整式乘除（单项式×÷单项式、单×多、多×多、多÷单）；
4. 算加减：找到同类项，合并同类项；
5. 检查化简：结果最简，不再含有同类项.
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)；
(2)．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
3．（26-27八年级上·吉林·期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求：
(1)的值；
(2)的值．
题型21 不含某一项问题
解题贴士
（1）先展开：把两个多项式乘开，一项一项乘，不跳步；
（2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）；
（3）找到“不含”的那一项
- 不含二次项 → 二次项系数 = 0；
- 不含一次项 → 一次项系数 = 0；
- 不含常数项 → 常数项 = 0；
（4）令系数 = 0，解方程，求出字母的值．
典｜例｜精｜析
1．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为______．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若的乘积中不含项，___________．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值．
3．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若代数式的值与的取值无关，则含的项的系数为．即，解得．
【理解应用】
(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________．
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【能力提升】
(3)张如图的小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
题型22 新定义问题
解题贴士
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行．
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算．
(1)求的值；
(2)化简：．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值．
2．（2025秋•思明区校级期末）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0
时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为 ．
（2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3—系多项式”，求a与c的值．
3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
①与；②与；③与．
(2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值．
基础通关
1．（2026·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（ ）块．
A．9 B．6 C．4 D．2
4．（26-27七年级上·上海普陀·期中）的乘积中不含项，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2025秋•甘肃校级期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2025秋•南部县期末）已知a2﹣5a﹣1＝0，代数式（a﹣1）（a﹣4）的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．5 D．7
7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍．
8．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________．
9．若，则__________．
10．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）若，，则的值为__________．
11．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________．
12．计算：
(1)；
(2)．
13．（25-26七年级下·北京·课后作业）先化简，再求值：，其中．
14．（2026·河北廊坊·二模）如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，．
(1)用表示；
(2)若，求的值．
15．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积
图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）．
(1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分；
(3)联想探索人教7下P30拓广探索：
如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）；
(4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？
素养提升
16．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（ ）
A． B． C．40 D．44
17．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形．
(1)写出a，b满足的关系式为__________．
(2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积．
(3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度．
18．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
【理解应用】的值与无关，求的值；
【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．
19．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形．
(1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______；
(2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积；
(3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值．
迁移创新
20．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法：
①第1次作差变换后整式串所有整式的和为；
②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为；
③第3次作差变换后，一定含有整式；
④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为．
已知．
(1)求的值；
(2)若与的积的展开式中不含项，求n的值；
(3)已知，且，求代数式的值．
22．（25-26七年级下·浙江金华·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明．
【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是．
①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得；
②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得；
③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，；
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25．
(1)补全上述步骤的填空
【类比迁移】
(2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据）
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第十六章
整式的乘法
16.2 整式的乘法
课标要点
1．理解整式乘法的算理，掌握单项式、多项式乘法法则。
2．能进行简单整式乘法运算。
3．能借助面积图形理解多项式乘法的几何意义 。
学习重难点
重点：
1． 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。
2．熟练进行整式的乘法运算，能正确处理系数、符号与同底数幂的运算。
3．会利用乘法分配律完成多项式乘法的展开与化简。
难点：
1．多项式乘法运算中不漏乘、不错符号。
2．准确区分幂的运算与整式乘法，避免指数运算混淆。
3．整式混合运算中，综合运用乘方、乘法、去括号、合并同类项进行化简。
知识点一 单项式乘单项式
1. 单项式乘单项式法则：，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2. 三步计算：
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里．
特别提醒
1）先乘系数，注意符号（负负得正、一负一正得负）；
2）同底数幂：底数不变，指数相加；
3）只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数直接写在积里，不要丢.
易错提醒
1）系数有负号时，符号先定好.
2）单独字母不要漏乘.
3）指数是相加，不是相乘.
教材延伸
可以推广：单项式乘单项式法则对于三个以上的单项式相乘同样适用．
即学即练
1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：________．
【答案】
【分析】先计算每个因式的积的乘方，再分别计算系数乘积和同底数幂的乘积，得到最终结果．
【详解】解：
．
2．（2025秋•旬阳市期末）计算﹣3a4b•a3b2的结果正确的是（ ）
A．﹣3a7b2 B．﹣3a7b3 C．3a12b2 D．3a7b3
【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：﹣3a4b•a3b2＝﹣3a7b3，
故选：B．
3．（2025秋•甘肃校级期末）计算（﹣2a）3•a2结果是（ ）
A．8a5 B．8a6 C．﹣8a5 D．﹣8a6
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式的乘法法则求解即可求得答案．
【解答】解：（﹣2a）3•a2＝﹣8a3•a2＝﹣8a5，
∴计算（﹣2a）3•a2结果是﹣8a5．
故选：C．
知识点二 单项式乘多项式
，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
特别提醒
1） .
2） .
易错提醒
1）
的符号.
．
即学即练
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果．
【详解】解：．
2．（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝ ．
【分析】根据题意求（12a3﹣6a2+3a）÷3a即可得出答案．
【解答】解：P＝（12a3﹣6a2+3a）÷3a
＝4a2﹣2a+1；
故答案为：4a2﹣2a+1．
3．（2026九年级·四川·专题练习）计算：________．
【答案】
【详解】解：
．
知识点三 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.
2. 多项式乘多项式几何解释
如图大长方形的面积可以表示为(a+b）（m+n），也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn，所以(a+b)（m+n）=am+an+bm+bn.
特别提醒
1）运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.
2）在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积.
3）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果.
易错提醒
1）不能漏乘项，符号出错，不带符号相乘；
2）乘完直接结束，忘记合并同类项；
3）多项多项式相乘，跳步混乱.
即学即练
1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：________．
【答案】
【详解】解：．
2．（2025秋•虹口区期末）计算：（2a﹣b）（a+3b）＝ ．
【分析】直接利用多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进而求出即可．
【解答】解：（2a﹣b）（a+3b）
＝2a2+6ab﹣ab﹣3b2
＝2a2+5ab﹣3b2．
故答案为：2a2+5ab﹣3b2．
3．（2025秋•朝阳区校级月考）计算：
（1）2a2•（3a2﹣5b）；
（2）（x+5）（x﹣7）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算，即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则计算，即可求解．
【解答】解：（1）2a2•（3a2﹣5b）＝6a4﹣10a2b；
（2）原式＝x2﹣7x+5x﹣35
＝x2﹣2x﹣35．
知识点四 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法：am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n），同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
2.零指数幂：a0＝1（a≠0），任何不等于0的数的0次幂等于1．
3.负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的(是正整数)次幂，等于这个数的次幂的倒数.
4.科学记数法：用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
特别提醒
1）底数必须相同，才能用法则
2）底数不变，用被除数指数减去除数指数
3）先定符号，再算幂
易错提醒
1）忽略底数不为0的前提.
2）混淆运算法则，指数做乘/除而非相减.
3）底数形式不同时不能用法则．
即学即练
1．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）下列运算结果为的算式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.与不是同类项，无法合并，结果不为；
B.，不符合要求；
C.，符合要求；
D.，不符合要求．
2．（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据零次幂：a0＝1（a≠0）求解即可．
【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1不成立，
∴2a﹣1＝0，
∴a，
故选：D．
3．（2025秋•丰台区期末）计算：．
【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可．
【解答】解：
＝﹣8+9+1+2
＝4．
知识点五 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
特别提醒
1）系数相除，先判断符号（同号得正，异号得负）；
2）同底数幂相除：底数不变，指数相减；
3）只在被除式中出现的字母，连同它的指数照抄，不要丢掉；
4）除式里单独的字母不能直接带到结果里.
易错提醒
1）同底数幂指数做加法、乘法；
2）把除式里单独字母写到结果中.
即学即练
1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）已知，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴ ，，
解得，．
2．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算：______．
【答案】
【分析】利用幂的运算法则逐步化简，先分别计算两个乘方，再计算除法．
【详解】解：根据积的乘方法则计算两个乘方，得
，
，
再根据单项式除以单项式的法则计算，得
．
3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先化简再求值：，其中，，．
【答案】化简结果为，值为
【详解】解：原式 ，
当，，时
原式
．
知识点六 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
特别提醒
1）把多项式的每一项（连带前面的符号），逐个除以单项式；
2）每一步都按单项式除以单项式法则计算；
3）最后合并，写成代数和形式.
易错提醒
1）漏除其中某一项；
2）符号出错，不带符号相除；
3）混淆：不能用单项式除以多项式.
即学即练
1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出原多项式，再用原多项式除以，即可求解．
【详解】解：原多项式为，
正确的计算结果是．
2．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用同底数幂乘法、积的乘方分别算出两项，再合并同类项；
（2）先做单项式乘多项式、多项式除以单项式，去括号，再合并同类项．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
．
3．（26-27八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】将括号去掉展开后，合并同类项即可化简，然后将，代入即可．
【详解】解：
．
将，代入得：．
题型01 单项式乘单项式
解题贴士
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•汉阴县校级期末）计算3x2•（﹣2xy2）的结果是（ ）
A．﹣6x3y2 B．6x3y4 C．﹣6x2y4 D．6x3y2
【分析】根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可．
【解答】解：原式＝3×（﹣2）×x2×x×y2
＝﹣6×x2+1×y2
＝﹣6x3y2．
故选：A．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）___________．
【答案】
【分析】将原式拆分为系数、同底数幂分别相乘，根据单项式乘单项式法则计算即可．
【详解】解：．
3．计算：
（1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3；
（2）（﹣x）2•x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y．
【分析】（1）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后合并同类项即可；
（2）先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝9a6⋅a3+16a2⋅a7﹣125a9
＝9a9+16a9﹣125a9
＝﹣100a9；
（2）原式＝x2⋅x3⋅（﹣8y3）+4x2y2⋅（﹣x3）y
＝﹣8x5y3﹣4x5y3
＝﹣12x5y3．
题型02 利用单项式乘单项式求参数或代数式的值
解题贴士
（1）先把参数当普通数字，正常做乘法，系数乘系数，同底数幂指数相加，参数照抄；
（2）把结果整理成标准形式，系数放前面，字母按顺序写，指数合并1；
（3）看题目问什么，对应列方程；
①是同类项 → 相同字母的指数分别相等
②不含某一项 → 这一项的系数=0
③ 结果是常数 → 所有字母的指数=0
④系数满足某个数 → 令系数=那个数
（4）解方程，求出参数；
（5）带回检验，别算错符号．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•船营区校级期中）已知单项式6x3y与的积为mx9y3，则n的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【分析】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值．
【解答】解：根据题意可知，
mx9y3，
∴m＝﹣9，3+n＝9，
∴n＝6．
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得．
2．（24-25七年级下·宁夏中卫·阶段检测），求的值_______．
【答案】3
【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年级下·广东河源·阶段检测）若，则________．
【答案】2
【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可．
【详解】解：，
则，，
解得：，，
那么，
故答案为：2．
题型03 单项式乘单项式中错解问题
解题贴士
（1）先写出：看错的算式，把题目里“看错的系数/指数”代进去，利用看错的结果，列方程求参数；
（2）解方程，把参数求出来；
（3）再写出：正确的原式；
（4）把参数代回去，还原正确式子；
（5）按法则计算正确答案，系数相乘、同底数幂指数相加，算出最终结果．
典｜例｜精｜析
1．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值．
(2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案．
【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可；
（2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
即，
所以，，
解得，．
（2）解：原式
．
由（1）知，，，
所以原式．
一题多解法（2）由（1）知，，，
所以原式
．
变｜式｜巩｜固
1．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A的值为（ ）
A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．x2﹣3x+1
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：﹣4x2•B＝32x5﹣16x4，
B＝﹣8x3+4x2，
A+B＝﹣8x3+4x2+（﹣4x2）＝﹣8x3，
故选：C．
2．小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到．
(1)根据上述信息，分别计算出m，n的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案．
【答案】(1)m=2，n=3
(2)-14x16y11
【分析】（1）由题意得，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解方程即可；
（2）将m，n的值代入原式中计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
即，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴原式．
题型04 单项式乘多项式
解题贴士
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】先对代数式展开，得到与已知方程左边相关的形式．因为已知，所以可变形得到的值．将的值代入展开后的代数式，即可求出结果．
【详解】我们先对已知条件变形： 由 ，
移项可得 ．
再化简所求代数式： ，
把 整体代入，
得到原式 ．
变｜式｜巩｜固
1．（2025秋•道里区校级期中）计算：（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是（ ）
A．18a2b3﹣12a3b2 B．18ab3﹣12a3b2
C．18a2b3﹣12a2b2 D．18a2b2﹣12a3b2
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【解答】解：（6ab2﹣4a2b）•3ab
＝6ab2•3ab﹣4a2b•3ab
＝18a2b3﹣12a3b2．
故选：A．
2．（2025秋•西宁期中）计算：
（1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）；
（2）．
【分析】（1）先根据单项式乘单项式的运算法则，单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项即可；
（2）先根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）
＝﹣12xy2+12xy2+4y
＝4y；
（2）
．
3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读：已知，求的值．
分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
，
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】将所求代数式展开，整理为含的幂的形式，整体代入计算；
由已知等式推出，将所求代数式降次后整体代入求值．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴原式
；
（2）解：∵，
∴
将代入，得
原式
．
题型05 单项式乘多项式化简求值
解题贴士
（1）去括号；
（2）定符号；
（3）合并同类项；
（4）代入数值．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简为，值为
【分析】根据单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可．
【详解】解：，
，
，
当时，
原式．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求出结果．
【详解】解：
；
当时，原式．
2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值．，其中．
【答案】，
【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则，展开括号，再合并同类项，得出最简结果，把代入，即可得出答案．
【详解】解：
∵，
∴原式．
3．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开每一项，再合并同类项化简整式，最后把x的值代入化简后的式子求值．
【详解】解：，
，
，
，
当时，原式．
题型06 单项式乘多项式错解问题
解题贴士
（1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来；
（2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母
（3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的；
（4）把求出的数代入正确式子，算出答案．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先运用整式的加减运算求出这个多项式，然后运用多项式乘单项式运算法则计算即可．
【详解】解：这个多项式是，
则．
变｜式｜巩｜固
1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：设这个多项式为，
∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，
∴，
∴，
∴正确的结果为，
故选．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，则正确的计算结果是________________．
【答案】
【分析】根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案．
【详解】解：设多项式为A，
根据题意得原多项式：，
正确的计算结果为：，
故答案为： .
3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值；
（2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答；
（2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答．
【详解】（1）解：
，
∵的值与x无关，
∴，
解得；
（2）解：设原来的多项式为M，
依题意得，，
∴正确的计算结果为．
题型07 单项式乘多项式的应用
解题贴士
对于单项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（单项式×多项式），然后按运算法则计算．
（1）建模：将文字转化为代数式；
（2）运算：展开并化简；
（3）解释：将代数结果回归实际问题．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪．
(1)用整式表示草坪的面积；
(2)若，求草坪的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用大长方形面积减去小长方形面积求解即可；
（2）将代入（1）中的代数式，即可求值．
【详解】（1）解：草坪面积为：
；
（2）解：当时，草坪面积．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，这是某社区经济适用房的户型平面简图（图中长度单位：），根据图中标识数据，该户型的面积为________．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】延长卫生间左侧边线构造出黄色区域的长方形，此户型图可看成由左侧大长方形以及右侧的卫生间、黄色区域长方形这三个矩形构成，再分别表示出三个长方形的面积，即可作答．
【详解】解：如图，延长卫生间左侧边线构造出黄色区域的长方形，
由上图可知：此户型图可看成由左侧大长方形以及右侧的卫生间、黄色区域长方形这三个矩形构成，
左侧大长方形面积为：；
黄色长方形区域的面积为：；
卫生间的面积为：；
则该户型的总面积为：．
2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______．
【答案】
【分析】首先用含有，的式子表示阴影部分的面积，通过配方法，整理为含有，的式子，代入求解即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：
，
把，代入上式，原式．
3．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上（）．
(1)用、表示阴影部分的面积；
(2)计算当，时，阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据阴影部分的面积为两个直角三角形的面积之和，即可求解；
（2）把，代入（1）中的结果，即可求解．
【详解】（1）解：，
即阴影部分的面积为；
（2）解：当，时，
题型08 多项式乘多项式
解题贴士
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·云南·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可；
（2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：.
2．（26-27七年级上·上海闵行·期中）计算：________．
【答案】
【分析】运用多项式乘法法则展开原式，通过合并同类项化简得到结果．
【详解】解：
．
3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）计算：．
【答案】
【详解】解：原式
题型09 多项式乘多项式化简求值
解题贴士
（1）去括号，逐项相乘：一个一个乘，不漏乘、不错号；
（2）定符号：同号得正，异号得负，先写符号，再写数字；
（3）合并同类项：把次数相同的项合并，化成最简多项式；
（4）代入数值：化简完，再把 x=… 带进去算结果．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为，值为
【详解】解：
；
当时，
原式
．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：，
，
，
，
当时，原式．
2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可．
【详解】解：
；
当，时
原式．
3．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用多项式乘法、加减法的法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：
把代入上式，
原式．
题型10 多项式乘多项式错解问题
解题贴士
（1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来；
（2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母
（3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的；
（4）把求出的数代入正确式子，算出答案．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值；
（2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果．
【详解】（1）解：∵甲抄错的符号，
∴甲计算的整式为，
，
∵甲的结果为，
∴①，
∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为，
∴乙计算的整式为，
，
∵乙的结果为，
∴②，
②①得：，
解得，
将代入②得，
解得，
∴；
（2）解：将，代入原式，
．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，求出．先根据多项式乘多项式运算法则求出，再分别求出，，最后求出结果即可．
【详解】解：，
∵甲把抄错成了4，得到的结果为，
∴，
解得：，
∵乙把抄错成了6，得到的结果为，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)请求出正确的结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得：，然后去括号合并同类项可得答案；
（2）根据（1）所得的结论，利用多项式乘法法则可得答案．
【详解】（1）解：∵一个多项式加上，得到的结果是，
即，
∴，
∴这个多项式为；
（2）解：，
∴正确的结果是．
3．（25-26七年级下·广东茂名·阶段检测）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是．
(1)求，的值；
(2)计算的正确结果．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，再分别列出方程求解即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求解即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，
又，
，即：，
解得．
（2）解：当，时，．
题型11 多项式乘多项式实际问题
解题贴士
对于多项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（多项式×多项式），然后按运算法则计算．
（1）建模：将文字转化为代数式；
（2）运算：展开并化简；
（3）解释：将代数结果回归实际问题．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到长方形草场的边缘，剩余部分即为草场面积，此时草场拼成一个新的长方形，直接计算新长方形的长和宽即可．
【详解】解：将横向小路平移至长方形上方，纵向小路平移至长方形左侧，剩余草场部分可拼成一个新的长方形，
原长方形长为，宽为，小路宽均为，
新长方形的长为，宽为，
草场的面积为．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南周口·期中）已知一个长方形的长为a，宽为b，若该长方形的周长为8，面积为2，则的值为（ ）
A．11 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】利用长方形周长、面积公式得到与的值，展开所求代数式，整体代入计算．
【详解】解：由长方形周长为，得，
所以，
由长方形面积为，得
．
把，代入：
原式．
2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ）
A．长方形与长方形的面积之差
B．长方形与长方形的面积之差
C．长方形与长方形的面积之和
D．长方形与长方形的面积之和
【答案】B
【分析】设，推出，即可.
【详解】解：由题意，可知，四边形均为长方形，
设，
∴，
∵
；
∵长方形的面积等于长方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴只要知道长方形与长方形的面积之差，即可求出图中阴影部分的面积.
3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）．
(1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）；
(2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？
【答案】(1)平方米
(2)万元
【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积．
（1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题；
（2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为：
平方米；
（2）解： ，，
网红打卡直播大舞台的面积为
（平方米）；
修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，
修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）．
题型12 几何背景
解题贴士
（1）画图：画大长方形，按项分段标上字母；
（2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽；
（3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加；
（4）合并同类项：整理成最简多项式．
典｜例｜精｜析
1．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）用两个不同的式子表示同一个图形的面积，可以直观地得到一个等式，进而可以应用得到的等式解决问题．如图是一个边长为的正方形，若，，应用下图所反映的等式求的值为________．
【答案】138
【分析】根据大正方形的面积的两种不同的表示方法可得，即可求解．
【详解】解：观察图形得：大正方形的边长为，则面积为，
因为拼成大正方形的几个小正方形和小长方形面积的和为：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A类卡片（ ）
A．4张 B．5张 C．6张 D．7张
【答案】C
【分析】先计算拼成图形的面积和长方形A的面积，根据计算结果确定需要A的张数．
【详解】解：
，
长方形A的面积是，
需要A类6张．
2．（25-26七年级下·全国·单元复习）分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片．
(1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积；
(2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形．
【答案】(1)如图，
长方形的面积为；
如图，
长方形的面积为；（答案不唯一）
(2)如图，
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则画图，然后计算面积即可；
（2）首先得到选择2张卡片，3张卡片，然后画图即可．
【详解】（1）解：如图，标记卡片为、、三种，
用3张卡片、1张卡片、2张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示；
∵，故符合题意；
∴长方形的面积为；
用4张卡片、3张卡片、1张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示；
∵，故符合题意；
∴长方形的面积为；（答案不唯一）
（2）解：∵
∴选择2张卡片，3张卡片，拼成长为，宽为a的长方形，图略．
3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或
(1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________；
(2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值；
(3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答；
（2）利用（1）的结论求解即可；
（3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答．
【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为，
所以．
（2）解：设，则
，
，
∵，
∴ ，
解得：．
（3）解：由图可知：，
设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为；
长方形的长为 ，宽为；
∴长方形的面积为，长方形的面积为，
∴长方形面积与长方形的面积差为，即．
题型13 多项式乘法中的规律问题
解题贴士
（1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义；
（2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例；
（3）寻找变化规律；
（4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式；
（5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确；
（6）归纳结论．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
请依据上述规律，展开式中含项的系数是______．
【答案】
【分析】根据杨辉三角的规律确定目标项对应位置，再计算系数即可．
【详解】解：展开式按x的次数由大到小排列，x的指数从2026逐次递减1，的指数从0逐次递增1，根据杨辉三角系数规律可得：
∴，
其中含的项为，
∴展开式中含项的系数是．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和为______．
【答案】
【分析】根据展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，由此得到规律为展开式中各项的系数和为，解答即可．
【详解】解：根据展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，
由此得到规律为展开式中各项的系数和为，
故展开式中各项的系数和．
2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为_____；
(2)展开式共有_____项，第3项系数为_____；
(3)利用上面的规律计算：；
【答案】(1)6
(2)6，10
(3)32
【分析】（1）根据表中数据特点解题即可；
（2）先找出规律，然后写出的展开式，进而求解即可；
（3）将原式还原为展开式的形式，然后求解即可．
【详解】（1）解：依题意，，
∴图中括号内的数为；
（2）解：
，
，
，
∴
∴的展开式有6项，第3项系数为；
（3）解：依题意，，
∴
．
3．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习：
某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题：
算式①：；
算式②：；
算式③：；
算式④：；…
(1)观察算式①②的运算规律，根据规律完成计算：
①_________________________；
②若两个相同的两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，请用等式表示这两个相同两位数的积的规律：_______________．
(2)兴趣小组通过计算与思考，探索得出上述的规律也适用于两个个位数字是的三位数、四位数的积．请根据规律完成计算：
①__________________________，
②__________________________，
(3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数：和的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，另一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积：的结果，并证明你写出的等式成立．
【答案】(1)①，，； ②
(2)①，，； ②，，
(3)，
证明：左边，
右边，
左边右边，
．
【分析】（1）①根据规律计算即可；②根据所给算式总结规律即可；
（2）①根据规律计算即可；②根据规律计算即可；
（3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律．
【详解】（1）①；
②；
（2）①；
②；
（3）略
题型14 同底数幂的除法
解题贴士
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，直接利用运算法则进行计算．
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：，不符合．
B选项：，不符合．
C选项：，符合．
D选项：，不符合．
变｜式｜巩｜固
1．（2025秋•楚雄州期末）若ax＝3，ay＝9，则ax﹣y的值为（ ）
A．﹣6 B．3 C． D．27
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：∵ax＝3．ay＝9，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝3÷9，
故选：C．
2．（2026·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项正确．
题型15 同底数幂的除法逆运算
解题贴士
（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）.
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再利用同底数幂除法的逆用计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）如果，，那么的值是（ ）
A． B．32 C．2 D．1
【答案】C
【分析】逆用同底数幂除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
3．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，则的值为________．
【答案】
8
【分析】先求出，再将所求式中不同底数的幂统一为以2为底的同底数幂，利用幂的运算法则化简后，代入指数值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
．
题型16 零指数幂
解题贴士
（1）1的任何次幂都等于1；
（2）﹣1的奇数次幂都等于﹣1；﹣1的偶数次幂都等于1；
（3）任何不等于零的数的零次幂都等于1．
典｜例｜精｜析
1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若有意义，则所满足的条件是________．
【答案】
【分析】根据零指数幂有意义的条件，底数不为0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵零指数幂有意义要求底数不为0
∴
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若等式成立，则的值为________．
【答案】或或
【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方．
需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数．
【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合；
当底数时，解得，此时指数，，符合；
当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合；
故x的值为或或．
故答案为：或或．
2．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）计算：__________．
【答案】
【分析】分别计算原式中乘法、开平方、乘方、零指数幂四项，再合并计算结果．
【详解】解：原式．
3．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算：
【答案】
【详解】解：．
题型17 科学记数法
解题贴士
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
（1） a是只保留一位整数的小数，含非零中间0；
（2） n是正整数，其值为小数点移动的位数，也等于原数左边第一个非0数字前0的总个数（含小数点前的0）．
典｜例｜精｜析
1．（2025秋•渝中区校级期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年版的一元硬币，测得质量大约是0.00605kg，通过排水法测得体积大约为0.00000091m3，计算出了密度约6.65×103kg/m3．将数据0.00605用科学记数法可表示为（ ）
A．6.05×10﹣1 B．6.05×10﹣2 C．6.05×10﹣3 D．6.05×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00605＝6.05×10﹣3．
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河南·中考真题）2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（ ）
A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍
【答案】D
【详解】解：由题意得．
2．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案．
【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）．
故答案为：．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍．
【答案】5
【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解： ，，
，
阵风战机价格是歼-10C的5倍．
故答案为：5．
题型18 单项式除以单项式
解题贴士
1. 定符号：看系数符号，同号得正，异号得负；
2. 算系数：系数相除，算出系数的商（可以写成分数约分）；
3. 处理同底数幂：底数不变，指数相减；
4. 处理单独字母：只在被除式里面有的字母，连同它的指数直接保留；只在除式里有的字母，保留在分母.
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）_________．
【答案】/
【分析】根据单项式除法运算法则，分别计算系数与同底数幂即可得到结果．
【详解】解：．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据单项式除法法则化简左边，得，
∵等式右边为，
∴对应字母的指数相等，
∴，，
由解得，将代入，得，
解得．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________．
【答案】
【分析】已知三角形面积与某一边的长度，通过三角形面积公式变形得到高的计算式，结合单项式除法法则求解．
【详解】解：∵三角形面积公式为底×高，
设这条边上的高为h，将，底边长代入上式得
∴．
3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号计算，再根据单项式与单项式相乘法则，把它们的系数、同底数幂分别相乘即可；
（2）先去括号计算，再根据单项式除以单项式计算法则，把它们的系数、同底数幂分别相除，转化为有理数除法和同底数幂的除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型19 多项式除以单项式
解题贴士
1. 拆项：把多项式每一项，连同前面的正负号拆开，分别除以单项式；
2. 分项计算：每一项单独做单项式÷单项式（先定符号、再算系数、同底幂指数相减）；
3. 相加合并：把每一项得到的商相加；
4. 化简整理：能约分的约分，写成最简整式。
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·河南周口·期中）某公司需要对一种芯片的电路布线进行优化．已知芯片电路的原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出运算式，根据多项式除以单项式的运算原则计算即可．
【详解】解：由题意得．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，故此选项错误，符合题意；
B、，故此选项正确，不符合题意；
C、，故此选项正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意．
2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）计算：______.
【答案】
【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，由此逐项计算即可．
【详解】解：
．
3．（25-26八年级上·云南德宏·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ．
题型20 整式四则混合运算
解题贴士
核心总原则：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面.
1. 看括号：优先计算括号内的式子；多层括号由内向外去括号，去括号注意变号；
2. 算乘方：积的乘方、幂的乘方、同底数幂，先处理所有乘方部分；
3. 算乘除：从左往右依次算整式乘除（单项式×÷单项式、单×多、多×多、多÷单）；
4. 算加减：找到同类项，合并同类项；
5. 检查化简：结果最简，不再含有同类项.
典｜例｜精｜析
1．（26-27八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得出结果；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（26-27八年级上·吉林·期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算，然后计算加法时合并同类项即可．
（2）先计算和，利用整式运算法则直接计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，
∴．
（2）解：，，
∴，，
．
题型21 不含某一项问题
解题贴士
（1）先展开：把两个多项式乘开，一项一项乘，不跳步；
（2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）；
（3）找到“不含”的那一项
- 不含二次项 → 二次项系数 = 0；
- 不含一次项 → 一次项系数 = 0；
- 不含常数项 → 常数项 = 0；
（4）令系数 = 0，解方程，求出字母的值．
典｜例｜精｜析
1．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为______．
【答案】2
【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
∵展开式中不含的项，
∴，
解得：，
故答案为：2．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若的乘积中不含项，___________．
【答案】
4
【分析】展开两个多项式的乘积，定位项的系数，根据乘积中不含项的条件，令该项系数为0，建立关于的方程求解．
【详解】解：
，
∵乘积中不含项，
∴项的系数为0，即，
∴．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法．
先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可．
【详解】解：．
计算结果不含x的三次项，
，
解得．
3．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若代数式的值与的取值无关，则含的项的系数为．即，解得．
【理解应用】
(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________．
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【能力提升】
(3)张如图的小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】代数式的值不受某个字母影响，则该字母所有项的系数都为，即“无关型”问题．
（1）一次式，合并同类项后令的系数为即可，属于最基础的模型识别；
（2）整式乘法展开后出现与两项，必须同时令两个系数为，列方程组求解，考查“不漏项”的严谨性；
（3）把几何问题转化为代数问题：用表示的长，分别写出、关于的表达式，作差后整理为“含项常数项”的形式，由“值不变”得含项系数为，从而得到与的关系．本题的难点有二：一是正确数出图形的拼接方式（上半个竖放、下半个横放行列），二是把“面积差不变”翻译成“与无关”．
【详解】（1）解：合并同类项：
代数式的值与的取值无关，
的系数为：
（2）解：先展开化简：
的值与的取值无关，
项、项的系数都为：
由得；代入第二式：，得．
答：的值为．
（3）解：设．
上半部分：左侧竖放个小长方形，每个宽、高，故的宽为，高为：
下半部分：右侧横放个小长方形，排成行列，每列宽，共占宽、高，故的宽为，高为：
当（即）的长度变化时，的值始终保持不变，即该式与无关，
的系数为：
答：与的等量关系为．
题型22 新定义问题
解题贴士
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行．
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算．
(1)求的值；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算：
（1）根据有理数的运算法则计算即可；
（2）根据整式乘法的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值．
【答案】9
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答．
【详解】解：根据题意，可得
，
，
．
2．（2025秋•思明区校级期末）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0
时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为 ．
（2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3—系多项式”，求a与c的值．
【分析】（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0，解方程得出x的值，即可得出答案；
（2）根据题意，把x＝2代入多项式B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案；
（3）根据题意，由“3—系多项式”定义，进而得出答案．
【解答】解：（1）令（3x+2）（x﹣3）＝0，
则3x+2＝0或x﹣3＝0，
∴或x＝3．
故答案为：或3．
（2）把x＝2代入B＝x2+（a﹣1）x﹣3a，
即B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，
则a＝2，
把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），
令x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴多项式B的另一个零点是﹣3．
（3）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7c），
∴M的两个零点分别是或7，
根据“3﹣系多项式”的定义，有，
∴b＝﹣2，
把b＝﹣2代入M，
得M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）
＝（2x+2）（cx﹣7c）
＝2cx2﹣12cx﹣14c，
∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4，
∴a＝2c，5b﹣4＝﹣14c，
∴c＝1，a＝2．
3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
①与；②与；③与．
(2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值．
【答案】(1)②
(2)
【分析】（1）根据定义，计算判断即可；
（2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可．
【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”；
②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”；
③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”；
（2）解：
因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，
∴，，
∴，，
∴对消值为．
基础通关
1．（2026·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘以多项式运算法则、积的乘方运算法则及幂的乘方运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B.，原式计算错误；
C.，原式计算错误；
D.，原式计算正确．
2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴.
3．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（ ）块．
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式求出长方形墙壁的面积即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为，
∵，
∴需要块A板材，4块B板材， 9块C板材．
4．（26-27七年级上·上海普陀·期中）的乘积中不含项，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后由于不含项，那么对应的系数等于，列式即可求出、间关系．
【详解】解：
，
乘积中不含项，
，
，故选择．
5．（2025秋•甘肃校级期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】先将代数式展开，然后化成含有x+y和xy的形式，然后整体代入求值即可．
【解答】解：（1﹣x）（1﹣y）
＝1﹣x﹣y+xy
＝1﹣（x+y）+xy
＝1﹣1+（﹣2）
＝﹣2．
故选：A．
6．（2025秋•南部县期末）已知a2﹣5a﹣1＝0，代数式（a﹣1）（a﹣4）的值是（ ）
A．﹣5 B．3 C．5 D．7
【分析】将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值．
【解答】解：∵a2﹣5a﹣1＝0，
∴a2﹣5a＝1，
∴（a﹣1）（a﹣4）
＝a2﹣5a+4
＝1+4
＝5．
故选：C．
7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍．
【答案】
【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
8．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则________，________．
【答案】 9
【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解．
【详解】，，
，
，
解得，
故答案为：；9．
9．若，则__________．
【答案】6
【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
∴
∴，
故答案为：6．
10．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）若，，则的值为__________．
【答案】
【分析】逆用同底数幂除法、幂的乘方，整体代入求值．
【详解】解：∵，，
∴．
11．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________．
【答案】19
【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可
【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，
且，
故需要19张C类纸片
12．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
13．（25-26七年级下·北京·课后作业）先化简，再求值：，其中．
【答案】， 1
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键．
14．（2026·河北廊坊·二模）如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，．
(1)用表示；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可知，因为，所以，根据矩形的面积公式可得：；
（2）根据矩形的面积公式可得，根据，可得：，从而可求．
【详解】（1）解：四边形为正方形，，，
，
；
（2）解：，
，
．
15．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积
图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）．
(1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分；
(3)联想探索人教7下P30拓广探索：
如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）；
(4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？
【答案】(1)，
(2)
如图：
；
(3)
(4)这个道路宽设计不达到要求
【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可；
（2）依照例题画出图形即可；
（3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积；
（4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断．
【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，
则平方米，平方米；
∴．
故答案为：40，=．
（2）解：略；
（3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米，
∴空白部分表示的草地的面积是平方米，
故答案为：；
（4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米，
∴空白部分表示的草地的面积是平方米．
，
∴这个道路宽设计不达到要求．
素养提升
16．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（ ）
A． B． C．40 D．44
【答案】B
【分析】先展开第k批次成本的多项式，再根据累计成本的系数特征确定批次个数，求出p和m的值，最终计算．
【详解】解：，
∵展开后每个批次成本的一次项系数均为，题目给出累计成本的一次项系数为，
∴从第2批次开始共有个批次相加．
∵展开后每个批次的二次项系数都是，
∴累计二次项系数，
，
∴，
∴，
∴．
17．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将6个如图1的长为a，宽为b的小长方形，无重叠地放入一个大长方形中，摆放方式如图2所示，图2中的阴影部分分别记为①，②，③，④，其中①为正方形．
(1)写出a，b满足的关系式为__________．
(2)记①，②，③，④的面积分别为，，，，若，求大长方形的面积．
(3)记①，②，③，④的周长分别为，，，，若，，求阴影部分③的短边长度．
【答案】(1)
(2)24
(3)2
【分析】（1）根据大长方形的宽可以得到；
（2）利用平移的性质先表述出四个阴影的面积，再结合题意得到，根据求出结果；
（3）先表示出，，的周长，再根据题意求出的周长，利用周长公式求出结果．
【详解】（1）解：观察图2可知大长方形的宽为；
（2）由（1）可得，即，
由图2可得，，，
，
，即，
（3）由图2得：，，，
，
，则，
③的短边长度为．
18．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
【理解应用】的值与无关，求的值；
【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．
【答案】理解应用：；能力提升：
【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键．
理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得．
【详解】解：理解应用：
，
∵的值与无关，
∴，
∴．
能力提升：设，则，，
∴
，
∵当的长变化时，的值始终保持不变，
∴的值与无关，
∴，
∴．
19．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形．
(1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______；
(2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积；
(3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）根据长方形的对边相等，列出等量关系，进行求解即可；
（2）根据（1）中的关系结合类卡片的面积，以及长方形的面积公式进行求解即可；
（3）根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：由图可知，，
∴，
∴；
（2）解：由题意，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴图2的面积为；
（3）解：∵阴影部分的面积是大长方形面积的，
∴7张类卡片的面积之和为大长方形面积的，
由图可知，大长方形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
迁移创新
20．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法：
①第1次作差变换后整式串所有整式的和为；
②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为；
③第3次作差变换后，一定含有整式；
④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式，数字类规律探究，结合给定的操作方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：①第1次作差变换后整式串所有整式的和为：
，故①错误；
②第2次作差变换后整式串为：，，，，，
∴第2次作差变换新增的整式的积为：
，
∵第2次作差变换新得到的整式的积不含，
∴，
解得：，故②正确；
③第3次作差变换后整式串为：，，，，，,，，，
∴第3次作差变换后，一定含有整式；
④第1次作差变换后的整式总个数为个，
第2次作差变换后的整式总个数为个，
第3次作差变换后的整式总个数为个，
第4次作差变换后的整式总个数为个，
……
第次作差变换后的整式总个数为，故④正确；
综上，正确的个数为3个．
21．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为．
已知．
(1)求的值；
(2)若与的积的展开式中不含项，求n的值；
(3)已知，且，求代数式的值．
【答案】(1)36
(2)
(3)1
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）先根据单项式与多项式的乘法法则化简，然后令的系数等于0求解即可；
（3）根据得，根据得，从而得出，则，，然后降次代入即可求解．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：
，
∵与的积的展开式中不含项，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
．
22．（25-26七年级下·浙江金华·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明．
【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是．
①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为______，小正方形的边长为_______，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是______，从而可得；
②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得；
③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即时，；
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25．
(1)补全上述步骤的填空
【类比迁移】
(2)当时，求代数式的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据）
【答案】(1)，，；
(2)，
【分析】（1）根据等面积问题即可得出答案；
（2）设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，仿照（1）作答即可．
【详解】（1）解：当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，25，满足的等量关系是即，从而可得；
（2）解：设长方形长、宽分别为、，则长方形面积为，
拼图略，
①当时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式，，满足的等量关系是即，从而可得；
②当时，类似上述过程进行拼图，同理可得；
③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时，解得，即该长方形变成边长为9的正方形，即时，；
综上分析，长、宽分别为、的长方形的最大面积是，
即代数式的最大值为．
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