17.2 用公式法分解因式 同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“用公式法分解因式”核心知识点，系统梳理完全平方式定义及公式、运用公式法、提公因式与公式法综合、分组分解法、十字相乘法等内容，构建从基础公式到综合方法的递进学习支架。 资料以题型为纲，典例与变式结合，融入口诀与整体思想，培养抽象能力和推理意识。如通过几何面积计算变式题提升应用意识，课中辅助分层教学，课后助力学生巩固方法，查漏补缺。

第17章 17.2 用公式法分解因式 内 容 导 航 题型1 完全平方式 题型2 因式分解-运用公式法 题型3 提公因式法与公式法的综合运用 题型4 因式分解-分组分解法 题型5 因式分解-十字相乘法等 考 点 演 练 题型1 完全平方式 解｜题｜知｜识 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【典例1】已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【变式1】已知整式A＝2x﹣3，B＝1﹣2x，则下列说法正确的个数为（　　） ①若A+2B＝0，则； ②若A2+2B+k是完全平方式，则常数k的值为5； ③若A•B＝﹣3，则A2+B2＝10． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如果多项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．36 B．13 C．12 D．12或﹣12 【变式3】对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）□（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）□（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y）＝84，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG，若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 题型2 因式分解-运用公式法 解｜题｜知｜识 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例1】多项式4y2+my+9能用完全平方公式分解因式，则m＝　 　 ． 【变式1】观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　 　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　 　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【变式2】在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解．老师的讲解过程如下． 解：令a2﹣4a＝t， 则原式＝（t+2）（t+6）+4＝t2+8t+12+4＝t2+8t+16＝（t+4）2． ∵t＝a2﹣4a， ∴原式＝（a2﹣4a+4）2． 老师的讲解到此就停止了，并提出了以下两个问题： （1）上述讲解的结果没有分解到最后，最后的结果是　 ； 【变式3】阅读材料： 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2； （2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9． 题型3 提公因式法与公式法的综合运用 解｜题｜知｜识 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【典例1】分解因式：（1）x3y﹣4xy； （2）3a2﹣6ab+3b2． 【变式1】已知ab＝2，，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为 　 　 ． 【变式2】因式分解： （1）﹣x3+4x2﹣4x； （2）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）． 【变式3】（1）计算：； （2）分解因式：2a2﹣4ab+2b2． 题型4 因式分解-分组分解法 解｜题｜知｜识 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【典例1】用提公因式法对6xn+2﹣12xn+18xn﹣2进行因式分解时，提取的公因式是（　　） A．18xn+1 B．6xn C．6xn﹣2 D．18x 【变式1】把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1） C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1） 【变式2】分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝　 　 ． 【变式3】因式分解： （1）a2（a﹣b）+（b﹣a）； （2）x2+4y﹣1﹣4y2． 题型5 因式分解-十字相乘法等 解｜题｜知｜识 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【变式1】明明和丽丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4），则a+b的值为（　　） A．﹣11 B．﹣13 C．11 D．13 【变式2】下列因式分解中正确分解的个数是（　　） ①2x2﹣xy+x＝x（2x﹣y+1）；②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）；③x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；④2x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 过 关 验 收 1. 若9x2+kx+4是完全平方式，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．±12 D．±36 2. 设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为a+2b的长方形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3. 若关于x的代数式x2+（2k+4）x+25是一个完全平方式，则实数k＝ ． 4. 如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． （1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡 片 　 　 张，B型卡片 　 　 张，C型卡片 　 　 张； （2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； （3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC，求SA+SB+SC的值． 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+2 B．﹣x2+1 C．2x2+y2 D．﹣4x2﹣9y2 6. 下列多项式（1）a2+b2；（2）a2﹣ab+b2；（3）（x2+y2）2﹣x2y2；（4）x2﹣9；（5）2x2+8xy+8y2，其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7. 下列从左到右的变形中，是用公式法进行因式分解的是（　　） A．x（x﹣4）＝x2﹣4x B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）+2y2 C．2x2﹣6x＝2x（x﹣3） D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 8. 分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　 ． 9. 下列分解因式正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a） C．2y2+4y＝2y（y+4） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 10. 多项式2x3﹣8x因式分解的结果是（　　） A．2x（x2﹣4） B．2x（x+2）（x﹣2） C．2x（x﹣2）2 D．（2x2+4）（x﹣2） 11. 因式分解：4x2﹣16＝ 　 ． 12. 分解因式：（1）x3y﹣4xy； （2）3a2﹣6ab+3b2． 13. 请看下面的问题： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 菲菲发现该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 请你依照菲菲的做法，将下列各式因式分解： （1）x4+4y4； （2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 14. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16． （2）若a，b，c分别为△ABC三边的长． ①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围． 15. 把下列各式分解因式： （1）2x2﹣5x﹣3 （2）a2（x﹣2a）2a（2a﹣x）3 （3）（x2﹣3）2﹣4x2 （4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1 （5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y） （6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab 16. 当x＝21，y＝101时，求xy+1﹣x﹣y的值． 17. 分解因式． （1）ax2﹣16ay2； （2）（x+2）（x﹣6）+16． 18. 小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10＝2×5，一次项系数7＝2+5，则x2+7x+10＝（x+2）（x+5），如图所示：仿照上述解决下列问题： （1）因式分解：x2+5x+6； 小亮做了如下分析：约定p＜q， 一次项系数为：p+q＝5，则常数项为：p×q＝6； 则p＝　 　 ；q＝　 　 ； ∴x2+5x+6＝（x+　 　 ）（x+　 　 ）． （2）若二次三项式x2+ax﹣8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值； （3）仿照以上材料画出图示因式分解：6x2﹣x﹣15． 19. 甲乙两个同字分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x﹣1）（x﹣9），求2a+b的值． 20. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　 （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.2 用公式法分解因式 内 容 导 航 题型1 完全平方式 题型2 因式分解-运用公式法 题型3 提公因式法与公式法的综合运用 题型4 因式分解-分组分解法 题型5 因式分解-十字相乘法等 考 点 演 练 题型1 完全平方式 解｜题｜知｜识 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【典例1】已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【解答】解：∵x2+kx+9是完全平方式， ∴x2+kx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， 即k＝±6． 故选：D． 【变式1】已知整式A＝2x﹣3，B＝1﹣2x，则下列说法正确的个数为（　　） ①若A+2B＝0，则； ②若A2+2B+k是完全平方式，则常数k的值为5； ③若A•B＝﹣3，则A2+B2＝10． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：①将A＝2x﹣3，B＝1﹣2x代入A+2B＝0得：（2x﹣3）+2（1﹣2x）＝0，解得：，故①错误． ②（2x﹣3）2+2（1﹣2x）+k＝4x2﹣16x+11+k＝（2x）2﹣16x+11+k， ，解得k＝5，故②正确； ③∵A•B＝（2x﹣3）（1﹣2x）＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣3， ∴﹣4x2+8x＝0，即4x2﹣8x＝0， ∴A2+B2＝（2x﹣3）2+（1﹣2x）2 ＝4x2﹣12x+9+4x2﹣4x+1 ＝8x2﹣16x+10 ＝2（4x2﹣8x）+10 ＝10，故③正确． 故选：C． 【变式2】如果多项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．36 B．13 C．12 D．12或﹣12 【答案】D 【解答】解：∵4x2+mxy+9y2＝（2x）2+mxy+（3y）2， ∴mxy＝±2×2x×3y， 解得m＝±12． 故选：D． 【变式3】对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）□（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）□（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y）＝84，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG，若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，可得（x，kx）□（y，﹣y）＝x2+（﹣y）2﹣kx•y＝x2﹣kxy+y2， ∵（x，kx）□（y，﹣y）是一个完全平方式， ∴﹣kxy＝±2xy， 解得k＝±2； （2）根据题意，可得（3x+y，2x2+3y2）□（3，x﹣3y） ＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2） ＝（9x2+6xy+y2）+（x2﹣6xy+9y2）﹣（6x2+9y2） ＝4x2+y2 ＝84， ∵2x+y＝10， ∴（2x+y）2＝4x2+4xy+y2＝100， ∴4xy＝100﹣84＝16， ∴xy＝4； （3）由（2）可知，2x+y＝10，xy＝4， ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为长方形， ∴CD＝AB＝2x，BC＝AD＝8x，CG＝EF＝4y，CE＝FG＝y， ∴DE＝2x﹣y，BG＝8x﹣4y， ∴阴影部分的面积为 S＝S△BCD﹣S△BFG﹣S△DEF﹣S△CEG ＝8x2﹣4xy+2y2﹣4xy+2y2﹣2y2 ＝8x2﹣8xy+2y2 ＝2（2x+y）2﹣16xy ＝2×102﹣16×4 ＝136． 题型2 因式分解-运用公式法 解｜题｜知｜识 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例1】多项式4y2+my+9能用完全平方公式分解因式，则m＝　±12　 ． 【答案】±12． 【解答】解：∵多项式4y2+my+9能用完全平方公式分解因式， 又：4y2+my+9＝（2y）2+my+32， ∴my＝±2×2y×3， 解得m＝±12． 故答案为：±12． 【变式1】观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）127． 【解答】解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1＝127． 【变式2】在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解．老师的讲解过程如下． 解：令a2﹣4a＝t， 则原式＝（t+2）（t+6）+4＝t2+8t+12+4＝t2+8t+16＝（t+4）2． ∵t＝a2﹣4a， ∴原式＝（a2﹣4a+4）2． 老师的讲解到此就停止了，并提出了以下两个问题： （1）上述讲解的结果没有分解到最后，最后的结果是　（a﹣2）4 ； （2）请仿照以上方法对多项式（b2﹣6b）（b2﹣6b+18）+81进行因式分解． 【答案】（1）（a﹣2）4； （2）（b﹣3）4． 【解答】解：（1）原式＝（a2﹣4a+4）2 ＝[（a﹣2）2]2 ＝（a﹣2）4； 故答案为：（a﹣2）4； （2）令b2﹣6b＝m， 原式＝m2+18m+81 ＝（m+9）2， ∵m＝b2﹣6b， ∴原式＝（b2﹣6b+9）2＝（b﹣3）4． 【变式3】阅读材料： 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2； （2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9． 【答案】（1）（1+3x﹣3y）2； （2）（a﹣2）4． 【解答】解：（1）令x﹣y＝A， ∴原式＝1+6A+9A2 ＝（1+3A）2 ＝（1+3x﹣3y）2； （2）令a2﹣4a＝A， ∴原式＝（A+1）（A+7）+9 ＝A2+8A+16 ＝（A+4）2 ＝（a2﹣4a+4）2 ＝（a﹣2）4． 题型3 提公因式法与公式法的综合运用 解｜题｜知｜识 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【典例1】分解因式：（1）x3y﹣4xy； （2）3a2﹣6ab+3b2． 【答案】（1）xy（x+2）（x﹣2）； （2）3（a﹣b）2． 【解答】解：（1）x3y﹣4xy ＝xy（x2﹣4） ＝xy（x+2）（x﹣2）； （2）3a2﹣6ab+3b2． ＝3（a﹣b）2． 【变式1】已知ab＝2，，则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为 　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵ab＝2，， ∴，即a+b＝3， 则原式＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝2×32 ＝2×9 ＝18． 故答案为：18． 【变式2】因式分解： （1）﹣x3+4x2﹣4x； （2）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）． 【答案】（1）﹣x（x﹣2）2； （2）（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）． 【解答】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣4x+4） ＝﹣x（x﹣2）2； （2）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b） ＝（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）． 【变式3】（1）计算：； （2）分解因式：2a2﹣4ab+2b2． 【答案】（1）1； （2）2（a﹣b）2． 【解答】解：（1）原式 ＝1 （2）2a2﹣4ab+2b2 ＝2（a2﹣2ab+b2） ＝2（a﹣b）2． 题型4 因式分解-分组分解法 解｜题｜知｜识 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【典例1】用提公因式法对6xn+2﹣12xn+18xn﹣2进行因式分解时，提取的公因式是（　　） A．18xn+1 B．6xn C．6xn﹣2 D．18x 【答案】C 【解答】解：根据提取公因式需要找到系数最大公约数和变量最小幂次可得： 6xn+2﹣12xn+18xn﹣2＝6xn﹣2（x4﹣2x2+3）， 故选：C． 【变式1】把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1） C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1） 【答案】D 【解答】解：a2﹣b2+2b﹣1 ＝a2﹣（b2﹣2b+1） ＝a2﹣（b﹣1）2 ＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）． 故选：D． 【变式2】分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝　（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3）　 ． 【答案】（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3） 【解答】解：a4﹣4a3+4a2﹣9， ＝（a4﹣4a3+4a2）﹣9， ＝a2（a﹣2）2﹣32， ＝（a2﹣2a﹣3）（a2﹣2a+3）， ＝（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3）． 【变式3】因式分解： （1）a2（a﹣b）+（b﹣a）； （2）x2+4y﹣1﹣4y2． 【答案】（1）（a﹣b）（a﹣1）（a+1）； （2）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）． 【解答】解：（1）原式＝a2（a﹣b）﹣（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2﹣1） ＝（a﹣b）（a﹣1）（a+1）； （2）原式＝x2﹣（4y2﹣4y+1） ＝x2﹣（2y﹣1）2 ＝[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] ＝（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）． 题型5 因式分解-十字相乘法等 解｜题｜知｜识 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：（x﹣2）（x+1） ＝x2+x﹣2x﹣2 ＝x2﹣x﹣2， ∵二次三项式x2+mx+n可分解为（x﹣2）（x+1）， ∴m＝﹣1，n＝﹣2， ∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3， 故选：B． 【变式1】明明和丽丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4），则a+b的值为（　　） A．﹣11 B．﹣13 C．11 D．13 【答案】A 【解答】解：∵明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4）， ∴x2﹣ax+b＝（x+3）（x﹣4）， 展开右边：（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， 比较系数得：b＝﹣12，﹣a＝﹣1， ∴b＝﹣12，a＝1， ∴a+b＝1+（﹣12）＝﹣11． 故选：A． 【变式2】下列因式分解中正确分解的个数是（　　） ①2x2﹣xy+x＝x（2x﹣y+1）；②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）；③x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；④2x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据提取公因式、平方差公式、十字相乘法因式分解逐项分析判断如下： ∵①2x2﹣xy+x＝x（2x﹣y+1），提取公因式正确； ②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），平方差公式正确； ③x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），因式分解正确； ④∵（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1≠2x2﹣4x+1； ∴2x2﹣4x+1≠（2x﹣1）2，不能分解因式； ∴正确的有3个． 故选：C． 【变式3】阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）①令A＝x﹣y， 则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3）， 所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）； ②令B＝m2+2m， 则原式＝B（B﹣2）﹣3 ＝B2﹣2B﹣3 ＝（B+1）（B﹣3）， 所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3） ＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）． 过 关 验 收 1. 若9x2+kx+4是完全平方式，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．±12 D．±36 【答案】C 【解答】解：运用完全平方式的定义进行变形、求解可得： ∵9x2+kx+4＝（3x）2+kx+22， ∴当k＝±2×3×2＝±12时，9x2+kx+4是一个完全平方式， 故选：C． 2. 设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为a+2b的长方形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC， ∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片，1张B类纸片和2张C类纸片； ∵（3a+b）（a+2b）＝3a2+2b2+7ab，即S矩形＝3SA+2SB+7SC， ∴若要拼一个长为3a+b，宽为a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为7张； 故选：B． 3. 若关于x的代数式x2+（2k+4）x+25是一个完全平方式，则实数k＝　3或﹣7　 ． 【答案】3或﹣7． 【解答】解：∵关于x的代数式x2+（2k+4）x+25是一个完全平方式， ∴2k+4＝±10， 解得：k＝3或﹣7， 故答案为：3或﹣7． 4. 如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． （1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片 　1　 张，B型卡片 　9　 张，C型卡片 　6　 张； （2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； （3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC，求SA+SB+SC的值． 【答案】（1）1；9；6； （2）a2+b2＝c2，理由：图②阴影部分图形的面积可表示为： （a﹣b）2或， ∴， ∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （3）13． 【解答】解：（1）∵（a+3b）2＝a2+6ab+9b2， 故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张； 故答案为：1；9；6； （2）a2+b2＝c2，理由如下： 图②阴影部分图形的面积可表示为： （a﹣b）2或， ∴， ∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （3）由条件可知（a﹣b）2＝4， ∴（2a+b）（a+2b）﹣2a2﹣2b2＝5ab＝15， ∴ab＝3， ∴． 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+2 B．﹣x2+1 C．2x2+y2 D．﹣4x2﹣9y2 【答案】B 【解答】解：x2+2不能运用平方差公式分解因式， ∴A不符合题意； ﹣x2+1＝（1+x）（1﹣x）， ∴﹣x2+1能运用平方差公式分解因式， ∴B符合题意； 2x2+y2不能运用平方差公式分解因式， ∴C不符合题意； ﹣4x2﹣9y2不能运用平方差公式分解因式， ∴D不符合题意． 故选：B． 6. 下列多项式（1）a2+b2；（2）a2﹣ab+b2；（3）（x2+y2）2﹣x2y2；（4）x2﹣9；（5）2x2+8xy+8y2，其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：（1）a2+b2中的两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； （2）a2﹣ab+b2中的ab为2ab才能用完全平方公式分解； （3）符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式． （4）符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式． （5）符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式． 所以（3）（4）（5）可以利用公式分解因式． 故选：B． 7. 下列从左到右的变形中，是用公式法进行因式分解的是（　　） A．x（x﹣4）＝x2﹣4x B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）+2y2 C．2x2﹣6x＝2x（x﹣3） D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 【答案】D 【解答】解：A、x（x﹣4）＝x2﹣4x，属于整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B、x2+y2＝（x+y）（x﹣y）+2y2，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，故B不符合题意； C、2x2﹣6x＝2x（x﹣3），是用提公因式法分解因式，故C不符合题意； D、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），是用平方差公式分解因式，故D符合题意； 故选：D． 8. 分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　（x﹣y）2（x+y）2 ． 【答案】（x﹣y）2（x+y）2 【解答】解：原式＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy） ＝（x﹣y）2（x+y）2． 故答案为：（x﹣y）2（x+y）2． 9. 下列分解因式正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a） C．2y2+4y＝2y（y+4） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 【答案】D 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）≠（x﹣1）2，原计算错误，不符合题意； B、a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2≠a（a2﹣2a），原计算错误，不符合题意； C、2y2+4y＝2y（y+2）≠2y（y+4），原计算错误，不符合题意； D、m2n﹣2mn+n＝n（m2﹣2m+1）＝n（m﹣1）2，正确，符合题意． 故选：D． 10. 多项式2x3﹣8x因式分解的结果是（　　） A．2x（x2﹣4） B．2x（x+2）（x﹣2） C．2x（x﹣2）2 D．（2x2+4）（x﹣2） 【答案】B 【解答】解：2x3﹣8x ＝2x（x2﹣4） ＝2x（x+2）（x﹣2）， 即多项式2x3﹣8x因式分解的结果是2x（x+2）（x﹣2）， 故选：B． 11. 因式分解：4x2﹣16＝ 　4（x+2）（x﹣2）　 ． 【答案】4（x+2）（x﹣2） 【解答】解：4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）． 故答案为：4（x+2）（x﹣2）． 12. 分解因式：（1）x3y﹣4xy； （2）3a2﹣6ab+3b2． 【答案】（1）xy（x+2）（x﹣2）； （2）3（a﹣b）2． 【解答】解：（1）x3y﹣4xy ＝xy（x2﹣4） ＝xy（x+2）（x﹣2）； （2）3a2﹣6ab+3b2． ＝3（a﹣b）2． 13. 请看下面的问题： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 菲菲发现该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 请你依照菲菲的做法，将下列各式因式分解： （1）x4+4y4； （2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 【答案】（1）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）（x+b）（x﹣2a﹣b）． 【解答】解：（1）x4+4y4； ＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2， ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab ＝x2﹣2ax+a2﹣b2﹣2ab﹣a2 ＝（x2﹣2ax+a2）﹣（b2+2ab+a2） ＝（x﹣a）2﹣（a+b）2 ＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b） ＝（x+b）（x﹣2a﹣b）． 14. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16． （2）若a，b，c分别为△ABC三边的长． ①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围． 【答案】（1）（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）； （2）①△ABC为等腰三角形，理由见解析； ②2＜c＜10． 【解答】解：（1）原式＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16 ＝（3x﹣y）2﹣42 ＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）； （2）①△ABC为等腰三角形，理由如下： 已知ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0， 变形得（a﹣b）c+（a﹣b）2＝0， 即（a﹣b）（a﹣b+c）＝0， ∵a，b，c分别为△ABC三边的长， ∴a﹣b+c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， 即△ABC为等腰三角形； ②已知a2+b2＝12a+8b﹣52， 整理得a2﹣12a+36+b2﹣8b+16＝0， 即（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0， 那么a﹣6＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝6，b＝4， ∵a，b，c分别为△ABC三边的长， ∴a﹣b＜c＜a+b，即6﹣4＜c＜6+4， ∴2＜c＜10， 即c的范围为2＜c＜10． 15. 把下列各式分解因式： （1）2x2﹣5x﹣3 （2）a2（x﹣2a）2a（2a﹣x）3 （3）（x2﹣3）2﹣4x2 （4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1 （5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y） （6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）2x2﹣5x﹣3， ＝（x﹣3）（2x+1）； （2）a2（x﹣2a）2a（2a﹣x）3， a（x﹣2a）2（2a+x﹣2a）， ax（x﹣2a）2； （3）（x2﹣3）2﹣4x2， ＝（x2﹣3）2﹣（2x）2， ＝（x2﹣2x﹣3）（x2+2x﹣3）， ＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）（x+3）； （4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1， ＝（a2+2ab+b2）﹣（2a+2b）+1， ＝（a+b）2﹣2（a+b）+1， ＝（a+b﹣1）2； （5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y）， ＝（x﹣y）（x2+3xy+y2﹣5xy）， ＝（x﹣y）3； （6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab， ＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab， ＝（a2+6ab+9b2）﹣（2c）2， ＝（a+3b﹣2c）（a+3b+2c）． 16. 当x＝21，y＝101时，求xy+1﹣x﹣y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x＝21，y＝101时， xy+1﹣x﹣y ＝x（y﹣1）+（1﹣y） ＝（x﹣1）（y﹣1） ＝20×100 ＝2000． 17. 分解因式． （1）ax2﹣16ay2； （2）（x+2）（x﹣6）+16． 【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）； （2）（x﹣2）2． 【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣16y2） ＝a（x+4y）（x﹣4y）； （2）原式＝x2﹣4x﹣12+16 ＝x2﹣4x+4 ＝（x﹣2）2． 18. 小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10＝2×5，一次项系数7＝2+5，则x2+7x+10＝（x+2）（x+5），如图所示：仿照上述解决下列问题： （1）因式分解：x2+5x+6； 小亮做了如下分析：约定p＜q， 一次项系数为：p+q＝5，则常数项为：p×q＝6； 则p＝　2　 ；q＝　3　 ； ∴x2+5x+6＝（x+　2　 ）（x+　3　 ）． （2）若二次三项式x2+ax﹣8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值； （3）仿照以上材料画出图示因式分解：6x2﹣x﹣15． 【答案】（1）2，3，2，3； （2）a＝±7，a＝±2； （3）6x2﹣x﹣15＝（2x+3）（3x﹣5）． 【解答】解：（1）因式分解：x2+5x+6； 小亮做了如下分析：约定p＜q， 一次项系数为：p+q＝5，则常数项为：p×q＝6； 则p＝2；q＝3； ∴x2+5x+6＝（x+2）（x+3）， 故答案为：2，3，2，3； （2）∵﹣8＝﹣1×8＝1×（﹣8）＝﹣2×4＝2×（﹣4）， ∴二次三项式x2+ax﹣8可以分解成两个一次因式乘积的形式，则整数a所有可能的值为﹣1+8＝7，1+（﹣8）＝﹣7，﹣2+4＝2，2+（﹣4）＝﹣2， 即整数a的值为±7和±2； （3）用十字相乘法分解6x2﹣x﹣15可采用如下的“十字”， 所以6x2﹣x﹣15＝（2x+3）（3x﹣5）． 19. 甲乙两个同字分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x﹣1）（x﹣9），求2a+b的值． 【答案】21． 【解答】解：由条件可得（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， 由条件可得（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9， ∴b＝9． ∴2a+b＝2×6+9＝12+9＝21． 20. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4， ∴该同学因式分解的结果不彻底． （2）设x2﹣2x＝y 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 故答案为：不彻底． 学科网（北京）股份有限公司 $