15.2 画轴对称的图形 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.2 画轴对称的图形 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、落笔·知识与方法 2 二、题型一　落笔·画轴对称图形的步骤 7 三、题型二　落笔·找关键点与作对称点 11 四、题型三　落笔·尺规作线段垂直平分线 14 五、题型四　落笔·尺规过一点作已知直线垂线 18 六、A、落笔·画法落实 21 七、B、落笔·改一个条件看图形变 25 八、C、落笔·找全满足条件的作图 28 九、D、落笔·近年真题画与作 31 十、E、落笔·一条对称链三问收口 34 十一、课堂检测 36 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、落笔·知识与方法 图0 知识点一　画轴对称图形的基本步骤 1．画一个图形关于某条直线 l 的对称图形，先要弄清原图形由哪些关键点确定，例如三角形的三个顶点、多边形的各个顶点。 2．作法是：过每个关键点作 l 的垂线，垂足记为点 O，在垂线上 l 的另一侧截取 OA′＝OA，得到该关键点的对称点 A′。 3．为什么先找点再连线：图形的位置由关键点唯一决定，只要所有关键点都找到了对称点，按原顺序连接就得到对称图形，不会错位。 4．反例两则：“不找关键点直接凭感觉把图形描一遍”得到的往往不是对称图形；“只作一个点的对称点就去连线”会丢掉其余部分。 5．换一个条件：把对称轴 l 从水平改成竖直，关键点的对称点整体跟着改变位置，但“先找点、再作对称点、后连线”的三步顺序不变。 6．举例：画△ABC 关于 l 的对称图形，先作 A、B、C 关于 l 的对称点 A′、B′、C′，再依次连接 A′B′、B′C′、C′A′。 图示1 易错提醒：画图核心是“找点—作对称点—连线”三步；垂线要作准，截取长度要等于关键点到轴的距离。 知识点二　找关键点与作对称点 1．关键点是能确定图形形状与位置的点，常见有线段端点、顶点、弧的端点、交点等，越少越省事但必须够用。 2．作单个点 P 关于 l 的对称点 P′：过 P 作 l 的垂线，垂足 O，在垂线另一侧取 OP′＝OP，P′即所求。 3．为什么 OP′＝OP：轴对称要求图形与原图形全等，点到对称轴的距离在对称前后保持不变，所以两侧取等长。 4．反例两则：“过 P 作 l 的平行线再取点”得不到对称点，因为对称点必须在 l 的另一侧且连线被 l 垂直平分；“垂足取错位置”也会偏离。 5．换一个条件：若 P 恰好在 l 上，则垂足就是 P 自己，OP＝0，故对称点仍是 P，即轴上的点关于该轴对称后不动。 6．举例：线段 AB 关于 l 对称，只需作 A、B 的对称点 A′、B′，连 A′B′ 即得到对称线段，不必逐点去作。 图示2 易错提醒：轴上的点对称后位置不变；不在线上的点对称后跑到轴另一侧，且到轴的距离相等。 知识点三　轴对称画图的性质 1．画出的对称图形与原图形形状相同、大小相等，即两个图形成轴对称，可以完全重合。 2．对应线段相等、对应角相等，例如△ABC 与△A′B′C′ 中 AB＝A′B′、∠A＝∠A′。 3．为什么对应点连线被对称轴垂直平分：由作法，每个对称点对都满足轴是它们连线的中垂线，这是轴对称画图的“命根”。 4．反例两则：“对称后图形会变大或变小”不成立，全等保证大小不变；“对应角相等只在特殊图形成立”也不成立，它是普遍性质。 5．换一个条件：把原图形换成更复杂的多边形，性质不变——无论图形多复杂，对应点连线仍被 l 垂直平分、对应线段仍相等。 6．举例：若原图中 AB 与 l 斜交，其对称线段 A′B′ 也与 l 斜交且关于 l 对称，两者长度相等、倾斜角互补。 图示3 易错提醒：拿到对称图形，先想三句话：全等、对应相等、对应点连线被轴垂直平分。 知识点四　尺规作图：作线段的垂直平分线 1．已知线段 AB，用无刻度直尺和圆规作它的垂直平分线：分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 一半的长度为半径画弧。 2．两弧在线段两侧各交于一点，记为 C、D，作直线 CD，CD 就是 AB 的垂直平分线（也叫中垂线）。 3．为什么半径要大于一半：若半径不大于一半，两圆弧不会相交，就找不到两个点来确定这条直线。 4．反例两则：“以 AB 中点为圆心画弧”作不出中垂线，因为中点本身就在线上不能提供另一点；“半径取小于一半”两弧不相交。 5．换一个条件：把 AB 换成更长的线段，只要半径仍取“大于一半”，作法完全一样，得到的仍是该线段的中垂线。 6．举例：作出 CD 后，CD 既过 AB 的中点又垂直于 AB，且 CD 上任意一点到 A、B 的距离都相等。 图示4 易错提醒：垂直平分线的尺规作法靠“两圆弧交两点”；半径必须大于线段长的一半，这是交点存在的保证。 知识点五　尺规作图：过一点作已知直线的垂线 1．过直线外一点 C 作直线 AB 的垂线：以 C 为圆心，适当长为半径画弧交 AB 于 D、E 两点。 2．再分别以 D、E 为圆心，大于 DE 一半的长为半径画弧，两弧交于 F，作直线 CF，CF 即所求垂线。 3．为什么这样能垂直：C、F 到 D、E 的距离分别相等，故 CF 是线段 DE 的垂直平分线，自然垂直于 AB。 4．反例两则：“以 AB 上一点为圆心画弧”可能交不到两侧；“半径取太小”第二步两弧不相交，垂线作不出。 5．换一个条件：若 C 在 AB 上（过直线上一点作垂线），仍以 C 为对称中心向两侧取等距交点，作法同构。 6．举例：尺规作对称点时，正是用“过关键点作 l 的垂线”这一步，再截取等长，才得到对称点。 图示5 易错提醒：过一点作垂线本质仍是“作某条线段的垂直平分线”；圆心、半径取法是成败关键。 知识点六　作对称轴 1．若两个图形成轴对称，其对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线，所以只要找到一组对应点就能作出对称轴。 2．作法：连接一对对应点 P、P′，用尺规作线段 PP′ 的垂直平分线，这条直线就是对称轴。 3．为什么是垂直平分线：由轴对称定义，对称轴必须垂直平分每一对对应点的连线，作任意一对即可确定唯一直线。 4．反例两则：“连接两图形顶点就当对称轴”不对，那只是条线段；“凭眼睛估一条线”不精确，必须用垂直平分线确定。 5．换一个条件：换成另一对对应点 Q、Q′ 作垂直平分线，得到的仍是同一条对称轴，因为对称轴唯一。 6．举例：对一个轴对称的星形，找出一对对应尖角连线段，作其中垂线，就得到它的一条对称轴。 图示6 易错提醒：作对称轴=作对应点连线的垂直平分线；对称轴唯一，换哪对对应点结果都一样。 知识点七　不计算判对称关系 1．判断两个图形是否成轴对称、对应线段是否相等，只靠“对应点连线被轴垂直平分”这一结构特征即可，不必量长度。 2．不计算也能判：若一点 P 与 P′ 的连线被直线 l 垂直平分，则 P、P′ 关于 l 对称，无需代值或测量。 3．为什么不计算也行：轴对称的位置关系由“垂直且平分”锁死，在代具体数字之前结论就定了，先算反而绕远。 4．反例两则：“必须先量出每段长度才敢判对称”不必要，结构判断更快；“看着两边差不多”不可靠，要证垂直平分。 5．换一个条件：把判断对象从“点对称”换成“线段相等”，仍只看连线是否被轴垂直平分，方法不变。 6．举例：已知 AA′ 被 l 垂直平分、BB′ 被 l 垂直平分，则△ABC 与△A′B′C′ 一定关于 l 成轴对称。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是轴对称的结构性质，不是把数字代进去算完再回头看。 二、题型一　落笔·画轴对称图形的步骤 例1 画出△ABC 关于直线 l 的对称图形，下面正确的第一步是（　　）。 A．先连接 AB B．先过各顶点作 l 的垂线并找出对称点 C．先凭感觉描出形状 D．先量出三个角的度数 图1 变式1-1 已知对称轴 l 和线段 AB，且 AB 与 l 斜交。要作 AB 关于 l 的对称线段，需要为（　　）作对称点。 A．只作 A B．只作 B C．A 和 B 都作 D．只作 AB 的中点 图1-1 变式1-2 不计算，判断：画轴对称图形时，只要把原图形上每一个关键点关于对称轴的对称点都找出来并依次连接，所得图形一定与原图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 画一个图形关于直线的对称图形，完整作法分三步，依次是找（　　）、作（　　）、连（　　）。 图1-3 在画△ABC 关于 l 的对称图形时，点 A 的对称点 A′ 满足（　　）。 A．AA′ 被 l 平分但不垂直 B．AA′ 与 l 垂直且被 l 平分 C．AA′ 平行 l D．AA′ 等于 l 的长 图1-4 下列画图顺序中，正确的是（　　）。 A．先连线再找点 B．先作垂线找对称点再连线 C．只看形状直接连 D．先用坐标算位置 图1-5 不计算，判断：轴对称画图得到的图形与原图形大小相同、形状也相同（　　）（填“对”或“错”）。 图1-6 作点 P 关于直线 l 的对称点 P′，第一步应过 P 作（　　）。 A．l 的平行线 B．l 的垂线 C．任意一条线 D．l 的延长线 图1-7 过 P 作 l 的垂线，垂足为 O，要在垂线上确定 P′ 使 OP′＝OP，这一步在作图中称为（　　）。 A．平移 B．截取等长 C．翻折 D．放大 图1-8 先判断：画出轴对称图形后，原图形与对称图形关于 l（　　）（填“对称”或“重合”）。 图1-9 三、题型二　落笔·找关键点与作对称点 例2 已知点 P 在直线 l 外，用尺规作 P 关于 l 的对称点 P′，下列哪一步是必须的（　　）。 A．连接 P 与 l 上任意一点 B．过 P 作 l 的垂线并截取 OP′＝OP C．以 P 为圆心画一个圆 D．沿 l 平移 P 图2 变式2-1 若点 A 恰好落在对称轴 l 上，则 A 关于 l 的对称点 A′ 满足（　　）。 A．A′ 在 l 另一侧且 OA′＝OA B．A′ 与 A 重合 C．A′ 在 l 上但远离 A D．A′ 不存在 图2-1 变式2-2 不计算，判断：线段 AB 关于 l 的对称线段，只需要作 A、B 两个端点的对称点再连接即可，不必逐点去作（　　）（填“对”或“错”）。 图2-2 作点 M 关于 l 的对称点 M′，垂足记为 N，则 MN 与 NM′ 的大小关系是（　　）。 A．MN＞NM′ B．MN＝NM′ C．MN＜NM′ D．无法比较 图2-3 下列说法正确的是（　　）。 A．轴上的点没有对称点 B．轴上的点关于该轴对称后位置不变 C．所有点对称后都移动到轴另一侧 D．对称点一定比原点远 图2-4 不计算，先判断：若点 Q 与 Q′ 的连线被直线 l 垂直平分，则 Q 与 Q′ 关于 l（　　）（填“对称”或“无关”）。 图2-5 作对称点时，截取的等长是指（　　）。 A．关键点到垂足的距离等于对称点到垂足的距离 B．关键点到轴两端的距离 C．两点间的全部长度 D．轴的长度 图2-6 画多边形的对称图形时，关键点一般选（　　）。 A．只选一个顶点 B．所有顶点与必要的端点、交点 C．只选最长边中点 D．任意内部一点 图2-7 下列描述对称点关系的话中，正确的是（　　）。 A．对称点在轴的同侧 B．对称点连线与轴相交但不平分 C．对称点连线被轴垂直平分 D．对称点到轴距离不等 图2-8 不计算，判断：原图形在轴左侧，其对称图形一定整体在轴右侧（　　）（填“对”或“错”）。 图2-9 四、题型三　落笔·尺规作线段垂直平分线 例3 已知△ABC 和对称轴 l。先定解：画对称图形第一步要找的是（　　）个关键点（填数字）；再找一解：只需确定顶点 A 的对称点 A′，A′ 在 l 的（　　）侧且 AA′ 被 l（　　）；接着找全：△ABC 的全部关键点还应包括（　　）和（　　）；最后改一个条件：只把 l 换成与 AB 平行的另一条直线，则对称点位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图3 变式3-1 只找一解：画△ABC 关于 l 的对称图形时，先作出顶点 A 的对称点 A′，这一步在四层作图中称为（　　）。 A．定解 B．找一解 C．找全 D．改条件 图3-1 变式3-2 找全：画△ABC 关于 l 的对称图形，需要找全的关键点至少有（　　）个（顶点与必要端点），说明无遗漏的理由只写在教师版解析中。 图3-2 解答： 变式3-3 改一个条件：只把对称轴 l 平移到图形内部（仍是一条直线），则原图形的关键点不变，但对称点（　　）（填“变”或“不变”），连接顺序（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-3 解答： 定解：用尺规作线段 AB 的垂直平分线，关键是确定（　　）个在垂直平分线上的点。 A．1 B．2 C．3 D．4 图3-4 找一解：已知一对对应点 P、P′，则它们的对称轴一定是线段 PP′ 的（　　）。 A．平行线 B．垂直平分线 C．中线 D．角平分线 图3-5 找全：一个图形关于某直线 l 的对称图形有（　　）个（填数字），理由是轴对称由轴和原图唯一确定。 图3-6 改一个条件：把对称轴从 l 换成与它平行的另一条直线，则原关键点的对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-7 五、题型四　落笔·尺规过一点作已知直线垂线 例4 不计算，判断：画出的对称图形与原图形相比，对应线段的长度（　　）（填“相等”或“不等”），理由是（　　）。 图4 变式4-1 估算决策：用无刻度直尺和圆规作一条线段的垂直平分线，至少要画（　　）段圆弧才能确定两个交点（填数字），理由是两圆弧各需一次画弧。 图4-1 变式4-2 只把原图形换成更复杂的五边形，其余同例4 设定。不计算，对应角的关系（　　）（填“变”或“不变”），理由是（　　）。 图4-2 解答： 不计算，在轴对称画图中，原图形上的点与对称图形上的点之间的连线被对称轴（　　）。 A．平分但不垂直 B．垂直但不平分 C．垂直平分 D．既不垂直也不平分 图4-3 先判断：若△ABC 与△A′B′C′ 关于 l 对称，则 AB 与 A′B′ 的长度关系是（　　）。 A．AB＞A′B′ B．AB＝A′B′ C．AB＜A′B′ D．无法得知 图4-4 不计算，判断：两个成轴对称的图形一定能够完全重合（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 在画对称图形时，下列可以作为“关键点”的是（　　）。 A．只有顶点 B．顶点、端点、交点等能确定图形的点 C．只能取中点 D．只能取内部点 图4-6 不计算，先判断：若一点 P 关于 l 的对称点 P′ 与 P 重合，则 P 一定在（　　）上（填“轴”或“轴外”）。 图4-7 下列作图中，得到的直线一定垂直平分已知线段的是（　　）。 A．过一端点的任意直线 B．以两端点为圆心画弧所得两交点连线 C．连接两端点的线段 D．过中点的斜线 图4-8 不计算，判断：轴对称画图后，原图形与对称图形对应角相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 六、A、落笔·画法落实 画轴对称图形的正确顺序是（　　）。 A．连线、找点、作对称点 B．找关键点、作对称点、连线 C．作垂线、量角、连线 D．平移、翻折、连线 图5-1 作点 P 关于 l 的对称点，垂足记为 O，下一步应在垂线上取（　　）。 A．OP′＜OP B．OP′＝OP C．OP′＞OP D．任意长度 图5-2 不计算，判断：对称轴上的点在轴对称后位置不变（　　）（填“对”或“错”）。 图5-3 线段 AB 关于 l 的对称线段 A′B′，其长度与 AB 的关系是（　　）。 A．更长 B．更短 C．相等 D．无关 图5-4 下列能唯一确定一条直线的作图依据是（　　）。 A．一个点 B．两个点 C．一条线段 D．一个圆 图5-5 作对称轴时，应作（　　）连线的垂直平分线。 A．任意两点 B．一对对应点 C．两个顶点 D．轴两端 图5-6 不计算，先判断：若 AA′ 被 l 垂直平分，则 A 与 A′ 关于 l（　　）（填“对称”或“平行”）。 图5-7 画△ABC 的对称图形时，需要作的对称点个数是（　　）。 A．1 B．2 C．3 D．4 图5-8 下列说法正确的是（　　）。 A．对称图形比原图大 B．对称图形与原图全等 C．对称图形翻折得到 D．对称图形必须着色 图5-9 不计算，判断：用尺规作对称点时，过关键点作的必须是对称轴的垂线（　　）（填“对”或“错”）。 图5-10 七、B、落笔·改一个条件看图形变 只把对称轴 l 从水平位置翻折 30°，其余不变，则原图形各关键点的对称点位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-1 只把原△ABC 换成△DEF，对称轴 l 不变，则需要的对称点个数由 3 变为（　　）。 A．3 B．4 C．由 D、E、F 三点决定仍为 3 D．5 图6-2 只把点 A 沿 l 平移到 A₁，其余关键点不动，则 A 的对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-3 只把“作垂线”改成“作平行线”，则还能得到对称点吗（　　）（填“能”或“不能”）。 图6-4 只把线段 AB 加长，对称轴 l 不变，则对称线段 A′B′ 的长度（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-5 只把截取等长改成截取 OP′＝2OP，则得到的点（　　）（填“是”或“不是”）A 关于 l 的对称点。 图6-6 只把直线 l 换成与它重合的同一条直线，则对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-7 只把三角形换成正方形（四个顶点），对称轴不变，则关键点个数由 3 变为（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．6 图6-8 只把“连接对称点”改成“不连接”，则（　　）（填“得到”或“得不到”）完整对称图形。 图6-9 只把对称轴移到图形内部穿过△ABC，则对称点（　　）（填“仍在”或“不在”）轴两侧分布。 图6-10 八、C、落笔·找全满足条件的作图 找全：一个图形关于某直线 l 的对称图形共有（　　）个（填数字），因为轴与原图唯一确定它。 图7-1 找全：要作线段 AB 的垂直平分线，两圆弧需交于（　　）个点才能确定直线。 A．1 B．2 C．3 D．4 图7-2 找全：下列图形中是轴对称图形的有（　　）。①线段 ②角 ③普通四边形 ④正方形 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 图7-3 找全：正六边形共有（　　）条对称轴。 A．3 B．4 C．6 D．8 图7-4 找全：作对称轴时，换用不同的对应点作垂直平分线，得到的直线（　　）（填“相同”或“不同”）。 图7-5 找全：下列各组线段中，能直接用“端点对称法”作出对称线段的是（　　）。 A．只给一个端点 B．给两个端点 C．只给中点 D．只给内部点 图7-6 找全：下列说法中，一定正确的是（　　）。 A．所有四边形都轴对称 B．圆有无数条对称轴 C．梯形都只有 1 条对称轴 D．三角形都不是轴对称 图7-7 找全：一个图形有两条对称轴，则它至少要有（　　）对对应点才能分别作出这两条轴。 A．1 B．2 C．3 D．4 图7-8 找全：下列尺规作图中，能作出已知直线垂线的是（　　）。 A．过直线外一点作垂线 B．作角平分线 C．截等长线段 D．作平行线 图7-9 找全：判断两个图形成轴对称，只需验证（　　）即可。 A．面积相等 B．存在一条直线使对应点连线被其垂直平分 C．周长相等 D．颜色相同 图7-10 九、D、落笔·近年真题画与作 1．（2025年·江苏·期中考试）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）。 A．一般四边形　B．等腰梯形　C．任意梯形　D．非等腰直角三角形 图8-1 2．（2025年·浙江·期末考试）用无刻度的直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线，第一步应当以（　　）为圆心画弧。 A．以 A 为圆心　B．以 B 为圆心　C．分别以 A 和 B 为圆心　D．以 AB 中点为圆心 图8-2 3．（2026年·山东·期中考试）画△ABC 关于直线 l 的对称图形，正确的作图顺序是（　　）。 A．连线、找点、作对称点　B．找关键点、作对称点、连线　C．作垂线、量角、连线　D．平移、翻折、连线 图8-3 4．（2025年·广东·期末考试）已知点 A 关于直线 l 的对称点为 A′，则线段 AA′ 与 l 的关系是（　　）。 A．平行且相等　B．相交但不垂直　C．被 l 垂直平分　D．垂直但不平分 图8-4 5．（2026年·四川·中考）下列尺规作图中，能作出已知直线垂线的是（　　）。 A．过直线外一点作垂线　B．作角平分线　C．作平行线　D．截取等长线段 图8-5 6．（2025年·湖北·期中考试）一个正五边形共有（　　）条对称轴。 A．3　B．4　C．5　D．6 图8-6 7．（2026年·湖南·期末考试）作一个图形的对称轴时，依据是（　　）。 A．对应点连线被对称轴垂直平分　B．对应角相等　C．面积相等　D．周长相等 图8-7 8．（2025年·河南·期中考试）用尺规作线段 AB 的垂直平分线，两弧交于 C、D 两点，则直线 CD 是（　　）。 A．AB 的平行线　B．AB 的中垂线　C．AB 的延长线　D．过中点的斜线 图8-8 十、E、落笔·一条对称链三问收口 对△ABC 与对称轴 l：(1) 不计算，画对称图形第一步找的是（　　）个关键点；(2) 点 A 的对称点 A′ 与 A 的连线被 l（　　）；(3) 只把 l 平移，A′ 的位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-1 对线段 AB 与轴 l：(1) 对称线段只需作（　　）个端点的对称点；(2) 所得 A′B′ 与 AB 的长度（　　）（填“相等”或“不等”）；(3) 若 A 在 l 上，则 A′ 与 A（　　）（填“重合”或“分居两侧”）。 图9-2 对一对对应点 P、P′ 与轴 l：(1) 不计算，l 与 PP′ 的位置关系是（　　）；(2) 线段 PP′ 被 l（　　）（填“平分”或“三等分”）；(3) 只换另一对对应点 Q、Q′ 作轴，得到的直线（　　）（填“相同”或“不同”）。 图9-3 对正五边形与轴 l：(1) 该图形共有（　　）条对称轴；(2) 画它关于 l 的对称图形需找全（　　）个顶点；(3) 不计算，对应角（　　）（填“相等”或“不等”）。 图9-4 对原图与对称图：(1) 先判断二者是否全等（　　）（填“是”或“否”）；(2) 估算决策：作线段垂直平分线至少需画（　　）段弧；(3) 对应点连线被轴（　　）。 图9-5 对△ABC 与轴 l：(1) 改一个条件：把 l 换成平行的另一条直线，则 A 的对称点（　　）（填“变”或“不变”）；(2) 连接顺序（　　）（填“变”或“不变”）；(3) 不计算，对应线段（　　）（填“相等”或“不等”）。 图9-6 十一、课堂检测 画轴对称图形时，下列第一步正确的是（　　）。 A．直接连线 B．先找关键点 C．先量角 D．先平移 图10-1 不计算，判断：对称点的连线一定与对称轴垂直（　　）（填“对”或“错”）。 图10-2 作点 P 关于 l 的对称点，垂足为 O，要取 OP′＝OP，这是（　　）。 A．平移 B．截取等长 C．翻折 D．放大 图10-3 下列图形中不是轴对称图形的是（　　）。 A．线段 B．角 C．一般四边形 D．正方形 图10-4 不计算，先判断：若 AA′ 被 l 垂直平分，则 A 与 A′ 关于 l（　　）（填“对称”或“无关”）。 图10-5 用尺规作线段 AB 的垂直平分线，半径必须（　　）。 A．大于 AB 一半 B．小于 AB 一半 C．等于 AB D．任意 图10-6 估算决策：过直线外一点作该直线的垂线，至少要确定（　　）个交点才能连出垂线（填数字）。 图10-7 不计算，判断：轴对称画图后对应角相等（　　）（填“对”或“错”）。 图10-8 作对称轴应作（　　）连线的垂直平分线。 A．任意两点 B．一对对应点 C．两个中点 D．轴两端 图10-9 只把原图形沿轴翻折后，整体位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图10-10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 画轴对称的图形 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、落笔·知识与方法 2 二、题型一　落笔·画轴对称图形的步骤 7 三、题型二　落笔·找关键点与作对称点 12 四、题型三　落笔·尺规作线段垂直平分线 17 五、题型四　落笔·尺规过一点作已知直线垂线 21 六、A、落笔·画法落实 26 七、B、落笔·改一个条件看图形变 30 八、C、落笔·找全满足条件的作图 34 九、D、落笔·近年真题画与作 39 十、E、落笔·一条对称链三问收口 42 十一、课堂检测 45 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、落笔·知识与方法 图0 知识点一　画轴对称图形的基本步骤 1．画一个图形关于某条直线 l 的对称图形，先要弄清原图形由哪些关键点确定，例如三角形的三个顶点、多边形的各个顶点。 2．作法是：过每个关键点作 l 的垂线，垂足记为点 O，在垂线上 l 的另一侧截取 OA′＝OA，得到该关键点的对称点 A′。 3．为什么先找点再连线：图形的位置由关键点唯一决定，只要所有关键点都找到了对称点，按原顺序连接就得到对称图形，不会错位。 4．反例两则：“不找关键点直接凭感觉把图形描一遍”得到的往往不是对称图形；“只作一个点的对称点就去连线”会丢掉其余部分。 5．换一个条件：把对称轴 l 从水平改成竖直，关键点的对称点整体跟着改变位置，但“先找点、再作对称点、后连线”的三步顺序不变。 6．举例：画△ABC 关于 l 的对称图形，先作 A、B、C 关于 l 的对称点 A′、B′、C′，再依次连接 A′B′、B′C′、C′A′。 图示1 易错提醒：画图核心是“找点—作对称点—连线”三步；垂线要作准，截取长度要等于关键点到轴的距离。 知识点二　找关键点与作对称点 1．关键点是能确定图形形状与位置的点，常见有线段端点、顶点、弧的端点、交点等，越少越省事但必须够用。 2．作单个点 P 关于 l 的对称点 P′：过 P 作 l 的垂线，垂足 O，在垂线另一侧取 OP′＝OP，P′即所求。 3．为什么 OP′＝OP：轴对称要求图形与原图形全等，点到对称轴的距离在对称前后保持不变，所以两侧取等长。 4．反例两则：“过 P 作 l 的平行线再取点”得不到对称点，因为对称点必须在 l 的另一侧且连线被 l 垂直平分；“垂足取错位置”也会偏离。 5．换一个条件：若 P 恰好在 l 上，则垂足就是 P 自己，OP＝0，故对称点仍是 P，即轴上的点关于该轴对称后不动。 6．举例：线段 AB 关于 l 对称，只需作 A、B 的对称点 A′、B′，连 A′B′ 即得到对称线段，不必逐点去作。 图示2 易错提醒：轴上的点对称后位置不变；不在线上的点对称后跑到轴另一侧，且到轴的距离相等。 知识点三　轴对称画图的性质 1．画出的对称图形与原图形形状相同、大小相等，即两个图形成轴对称，可以完全重合。 2．对应线段相等、对应角相等，例如△ABC 与△A′B′C′ 中 AB＝A′B′、∠A＝∠A′。 3．为什么对应点连线被对称轴垂直平分：由作法，每个对称点对都满足轴是它们连线的中垂线，这是轴对称画图的“命根”。 4．反例两则：“对称后图形会变大或变小”不成立，全等保证大小不变；“对应角相等只在特殊图形成立”也不成立，它是普遍性质。 5．换一个条件：把原图形换成更复杂的多边形，性质不变——无论图形多复杂，对应点连线仍被 l 垂直平分、对应线段仍相等。 6．举例：若原图中 AB 与 l 斜交，其对称线段 A′B′ 也与 l 斜交且关于 l 对称，两者长度相等、倾斜角互补。 图示3 易错提醒：拿到对称图形，先想三句话：全等、对应相等、对应点连线被轴垂直平分。 知识点四　尺规作图：作线段的垂直平分线 1．已知线段 AB，用无刻度直尺和圆规作它的垂直平分线：分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 一半的长度为半径画弧。 2．两弧在线段两侧各交于一点，记为 C、D，作直线 CD，CD 就是 AB 的垂直平分线（也叫中垂线）。 3．为什么半径要大于一半：若半径不大于一半，两圆弧不会相交，就找不到两个点来确定这条直线。 4．反例两则：“以 AB 中点为圆心画弧”作不出中垂线，因为中点本身就在线上不能提供另一点；“半径取小于一半”两弧不相交。 5．换一个条件：把 AB 换成更长的线段，只要半径仍取“大于一半”，作法完全一样，得到的仍是该线段的中垂线。 6．举例：作出 CD 后，CD 既过 AB 的中点又垂直于 AB，且 CD 上任意一点到 A、B 的距离都相等。 图示4 易错提醒：垂直平分线的尺规作法靠“两圆弧交两点”；半径必须大于线段长的一半，这是交点存在的保证。 知识点五　尺规作图：过一点作已知直线的垂线 1．过直线外一点 C 作直线 AB 的垂线：以 C 为圆心，适当长为半径画弧交 AB 于 D、E 两点。 2．再分别以 D、E 为圆心，大于 DE 一半的长为半径画弧，两弧交于 F，作直线 CF，CF 即所求垂线。 3．为什么这样能垂直：C、F 到 D、E 的距离分别相等，故 CF 是线段 DE 的垂直平分线，自然垂直于 AB。 4．反例两则：“以 AB 上一点为圆心画弧”可能交不到两侧；“半径取太小”第二步两弧不相交，垂线作不出。 5．换一个条件：若 C 在 AB 上（过直线上一点作垂线），仍以 C 为对称中心向两侧取等距交点，作法同构。 6．举例：尺规作对称点时，正是用“过关键点作 l 的垂线”这一步，再截取等长，才得到对称点。 图示5 易错提醒：过一点作垂线本质仍是“作某条线段的垂直平分线”；圆心、半径取法是成败关键。 知识点六　作对称轴 1．若两个图形成轴对称，其对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线，所以只要找到一组对应点就能作出对称轴。 2．作法：连接一对对应点 P、P′，用尺规作线段 PP′ 的垂直平分线，这条直线就是对称轴。 3．为什么是垂直平分线：由轴对称定义，对称轴必须垂直平分每一对对应点的连线，作任意一对即可确定唯一直线。 4．反例两则：“连接两图形顶点就当对称轴”不对，那只是条线段；“凭眼睛估一条线”不精确，必须用垂直平分线确定。 5．换一个条件：换成另一对对应点 Q、Q′ 作垂直平分线，得到的仍是同一条对称轴，因为对称轴唯一。 6．举例：对一个轴对称的星形，找出一对对应尖角连线段，作其中垂线，就得到它的一条对称轴。 图示6 易错提醒：作对称轴=作对应点连线的垂直平分线；对称轴唯一，换哪对对应点结果都一样。 知识点七　不计算判对称关系 1．判断两个图形是否成轴对称、对应线段是否相等，只靠“对应点连线被轴垂直平分”这一结构特征即可，不必量长度。 2．不计算也能判：若一点 P 与 P′ 的连线被直线 l 垂直平分，则 P、P′ 关于 l 对称，无需代值或测量。 3．为什么不计算也行：轴对称的位置关系由“垂直且平分”锁死，在代具体数字之前结论就定了，先算反而绕远。 4．反例两则：“必须先量出每段长度才敢判对称”不必要，结构判断更快；“看着两边差不多”不可靠，要证垂直平分。 5．换一个条件：把判断对象从“点对称”换成“线段相等”，仍只看连线是否被轴垂直平分，方法不变。 6．举例：已知 AA′ 被 l 垂直平分、BB′ 被 l 垂直平分，则△ABC 与△A′B′C′ 一定关于 l 成轴对称。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是轴对称的结构性质，不是把数字代进去算完再回头看。 二、题型一　落笔·画轴对称图形的步骤 例1 画出△ABC 关于直线 l 的对称图形，下面正确的第一步是（　　）。 A．先连接 AB B．先过各顶点作 l 的垂线并找出对称点 C．先凭感觉描出形状 D．先量出三个角的度数 图1 【答案】B 【解析】画对称图形先找关键点（三个顶点）的对称点，即过顶点作 l 的垂线并取等长，所以第一步是作垂线找对称点。另一做法错在不找点就直接描形状；本题顺序是找点、作对称点、再连线。图1 把△ABC 与轴 l、三对对称点画出。 变式1-1 已知对称轴 l 和线段 AB，且 AB 与 l 斜交。要作 AB 关于 l 的对称线段，需要为（　　）作对称点。 A．只作 A B．只作 B C．A 和 B 都作 D．只作 AB 的中点 图1-1 【答案】C 【解析】线段由两端点唯一确定，作对称线段只需把 A、B 分别关于 l 对称得到 A′、B′，再连 A′B′。另一做法错在只作一个端点；本题线段对称要两端点都作。图1-1 把 A、B 的对称点标出。 变式1-2 不计算，判断：画轴对称图形时，只要把原图形上每一个关键点关于对称轴的对称点都找出来并依次连接，所得图形一定与原图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 【答案】对 【解析】轴对称画图的定义保证对应点连线被轴垂直平分，所得图形与原图形全等。另一做法错在以为还要额外缩放；本题只靠作图规则即可判对。图1-2 把关键点与对称点对应连起。 画一个图形关于直线的对称图形，完整作法分三步，依次是找（　　）、作（　　）、连（　　）。 图1-3 【答案】关键点；对称点；对应点 【解析】标准三步是找关键点、作各关键点的对称点、按原顺序连接对应点。另一做法错在把“连线”放第一步；本题顺序是找点在前。 在画△ABC 关于 l 的对称图形时，点 A 的对称点 A′ 满足（　　）。 A．AA′ 被 l 平分但不垂直 B．AA′ 与 l 垂直且被 l 平分 C．AA′ 平行 l D．AA′ 等于 l 的长 图1-4 【答案】B 【解析】对称点连线被对称轴垂直平分，所以 AA′ 与 l 垂直且被 l 平分。另一做法错在只说平分漏了垂直；本题垂直平分二者都要。 下列画图顺序中，正确的是（　　）。 A．先连线再找点 B．先作垂线找对称点再连线 C．只看形状直接连 D．先用坐标算位置 图1-5 【答案】B 【解析】正确顺序是先过关键点作垂线找对称点，再连接。另一做法错在先连线；本题不依赖图形、只用文字条件即可判。 不计算，判断：轴对称画图得到的图形与原图形大小相同、形状也相同（　　）（填“对”或“错”）。 图1-6 【答案】对 【解析】对称图形与原图形全等，大小形状都相同。另一做法错在以为会放大缩小；本题只看作图性质。 作点 P 关于直线 l 的对称点 P′，第一步应过 P 作（　　）。 A．l 的平行线 B．l 的垂线 C．任意一条线 D．l 的延长线 图1-7 【答案】B 【解析】作对称点先过 P 作 l 的垂线，垂足记为 O。另一做法错在作平行线；本题必须垂直才能确定垂足。 过 P 作 l 的垂线，垂足为 O，要在垂线上确定 P′ 使 OP′＝OP，这一步在作图中称为（　　）。 A．平移 B．截取等长 C．翻折 D．放大 图1-8 【答案】B 【解析】在垂线上取 OP′＝OP 叫截取等长，保证对称点到轴距离相等。另一做法错在说成平移；本题是截取。 先判断：画出轴对称图形后，原图形与对称图形关于 l（　　）（填“对称”或“重合”）。 图1-9 【答案】对称 【解析】二者关于 l 成轴对称，并非已经重合。另一做法错在填重合；本题关系是成轴对称。 三、题型二　落笔·找关键点与作对称点 例2 已知点 P 在直线 l 外，用尺规作 P 关于 l 的对称点 P′，下列哪一步是必须的（　　）。 A．连接 P 与 l 上任意一点 B．过 P 作 l 的垂线并截取 OP′＝OP C．以 P 为圆心画一个圆 D．沿 l 平移 P 图2 【答案】B 【解析】作对称点必须过 P 作 l 的垂线、取垂足 O、再截取 OP′＝OP。另一做法错在不作垂线；本题核心是垂线加等长。图2 把 P、O、P′ 与 l 画出。 变式2-1 若点 A 恰好落在对称轴 l 上，则 A 关于 l 的对称点 A′ 满足（　　）。 A．A′ 在 l 另一侧且 OA′＝OA B．A′ 与 A 重合 C．A′ 在 l 上但远离 A D．A′ 不存在 图2-1 【答案】B 【解析】轴上的点关于该轴对称后位置不变，故 A′ 与 A 重合，此时 OA＝0。另一做法错在以为还要跑到另一侧；本题轴上点不动。图2-1 标出 A 在 l 上。 变式2-2 不计算，判断：线段 AB 关于 l 的对称线段，只需要作 A、B 两个端点的对称点再连接即可，不必逐点去作（　　）（填“对”或“错”）。 图2-2 【答案】对 【解析】线段由端点唯一确定，作两端点对称点连接即得对称线段。另一做法错在逐点去作浪费；本题端点法足够。图2-2 把 A′B′ 连出。 作点 M 关于 l 的对称点 M′，垂足记为 N，则 MN 与 NM′ 的大小关系是（　　）。 A．MN＞NM′ B．MN＝NM′ C．MN＜NM′ D．无法比较 图2-3 【答案】B 【解析】对称点到轴距离相等，故 MN＝NM′。另一做法错在以为会不等；本题等长。 下列说法正确的是（　　）。 A．轴上的点没有对称点 B．轴上的点关于该轴对称后位置不变 C．所有点对称后都移动到轴另一侧 D．对称点一定比原点远 图2-4 【答案】B 【解析】轴上的点对称后仍在原处，位置不变。另一做法错在说没有对称点；本题轴上点重合。 不计算，先判断：若点 Q 与 Q′ 的连线被直线 l 垂直平分，则 Q 与 Q′ 关于 l（　　）（填“对称”或“无关”）。 图2-5 【答案】对称 【解析】连线被 l 垂直平分正是对称的定义，故二者关于 l 对称。另一做法错在填无关；本题结构即判定依据。 作对称点时，截取的等长是指（　　）。 A．关键点到垂足的距离等于对称点到垂足的距离 B．关键点到轴两端的距离 C．两点间的全部长度 D．轴的长度 图2-6 【答案】A 【解析】等长指关键点到垂足的距离等于对称点到垂足的距离（都在同一条垂线上）。另一做法错在说成到轴两端；本题是到垂足。 画多边形的对称图形时，关键点一般选（　　）。 A．只选一个顶点 B．所有顶点与必要的端点、交点 C．只选最长边中点 D．任意内部一点 图2-7 【答案】B 【解析】多边形由全部顶点及必要端点、交点确定，这些都要作对称点。另一做法错在只选一个顶点；本题要找全顶点。 下列描述对称点关系的话中，正确的是（　　）。 A．对称点在轴的同侧 B．对称点连线与轴相交但不平分 C．对称点连线被轴垂直平分 D．对称点到轴距离不等 图2-8 【答案】C 【解析】对称点连线的本质是“被轴垂直平分”。另一做法错在同侧；本题垂直平分是判定核心。 不计算，判断：原图形在轴左侧，其对称图形一定整体在轴右侧（　　）（填“对”或“错”）。 图2-9 【答案】对 【解析】对称把每点翻到轴另一侧，整体从左侧移到右侧。另一做法错在以为部分不动；本题整图翻面。 四、题型三　落笔·尺规作线段垂直平分线 例3 已知△ABC 和对称轴 l。先定解：画对称图形第一步要找的是（　　）个关键点（填数字）；再找一解：只需确定顶点 A 的对称点 A′，A′ 在 l 的（　　）侧且 AA′ 被 l（　　）；接着找全：△ABC 的全部关键点还应包括（　　）和（　　）；最后改一个条件：只把 l 换成与 AB 平行的另一条直线，则对称点位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图3 【答案】3；另一；垂直平分；B；C；变 【解析】定解：三角形由三个顶点确定，故找 3 个关键点。找一解：A′ 在 l 另一侧且 AA′ 被 l 垂直平分。找全：除 A 外还须 B、C 的对称点，理由（教师版）按顶点逐个数无遗漏。改条件：轴位置一变，每点垂足改变，对称点随之变。图3 把三步并在一张图。 变式3-1 只找一解：画△ABC 关于 l 的对称图形时，先作出顶点 A 的对称点 A′，这一步在四层作图中称为（　　）。 A．定解 B．找一解 C．找全 D．改条件 图3-1 【答案】B 【解析】先确定其中一个对称点叫“找一解”，是四层递进的第二层。另一做法错在叫作定解；本题只作一个点。图3-1 高亮 A 与 A′。 变式3-2 找全：画△ABC 关于 l 的对称图形，需要找全的关键点至少有（　　）个（顶点与必要端点），说明无遗漏的理由只写在教师版解析中。 图3-2 【答案】3 【解析】三角形由 A、B、C 三个顶点唯一确定，故至少找全 3 个关键点；理由（教师版）按顶点枚举证明没有第四种必要点。另一做法错在只数两个；本题三角形三顶点。图3-2 把三顶点圈出。 变式3-3 改一个条件：只把对称轴 l 平移到图形内部（仍是一条直线），则原图形的关键点不变，但对称点（　　）（填“变”或“不变”），连接顺序（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-3 【答案】变；不变 【解析】轴一平移，每点垂足改变，对称点位置跟着变；但“按原顺序连接”这一步不变。另一做法错在以为连接顺序也变；本题只位置变。图3-3 把改前改后轴并排。 定解：用尺规作线段 AB 的垂直平分线，关键是确定（　　）个在垂直平分线上的点。 A．1 B．2 C．3 D．4 图3-4 【答案】B 【解析】两点确定一条直线，故要找两个交点 C、D 来确定中垂线。另一做法错在只找一个；本题需两点。 找一解：已知一对对应点 P、P′，则它们的对称轴一定是线段 PP′ 的（　　）。 A．平行线 B．垂直平分线 C．中线 D．角平分线 图3-5 【答案】B 【解析】成轴对称时对称轴垂直平分每对对应点连线，故是 PP′ 的垂直平分线。另一做法错在说平行；本题垂直平分。 找全：一个图形关于某直线 l 的对称图形有（　　）个（填数字），理由是轴对称由轴和原图唯一确定。 图3-6 【答案】1 【解析】给定轴与原图，对称图形唯一，只有 1 个。另一做法错在说无数个；本题唯一确定。 改一个条件：把对称轴从 l 换成与它平行的另一条直线，则原关键点的对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-7 【答案】变 【解析】轴平行移动后，每点的垂足改变，对称点位置随之变。另一做法错在以为不变；本题轴变则对称点变。 五、题型四　落笔·尺规过一点作已知直线垂线 例4 不计算，判断：画出的对称图形与原图形相比，对应线段的长度（　　）（填“相等”或“不等”），理由是（　　）。 图4 【答案】相等；对应点连线被对称轴垂直平分（或轴对称全等） 【解析】轴对称保证图形全等，对应线段相等，不需量。另一做法错在还要去量长度；本题只靠性质判定。图4 把一对对应边标等长。 变式4-1 估算决策：用无刻度直尺和圆规作一条线段的垂直平分线，至少要画（　　）段圆弧才能确定两个交点（填数字），理由是两圆弧各需一次画弧。 图4-1 【答案】2 【解析】以 A、B 分别为圆心各画一段弧，两弧交于两点，至少 2 段弧。一步可判：少于两段弧找不到两个交点。另一做法错在以为要四段；本题两段足够。图4-1 把两段弧画出。 变式4-2 只把原图形换成更复杂的五边形，其余同例4 设定。不计算，对应角的关系（　　）（填“变”或“不变”），理由是（　　）。 图4-2 【答案】不变；轴对称性质对任意图形都成立 【解析】无论图形多复杂，轴对称仍保证对应角相等。另一做法错在以为复杂图形性质会变；本题性质普适。图4-2 把五边形对称画出。 不计算，在轴对称画图中，原图形上的点与对称图形上的点之间的连线被对称轴（　　）。 A．平分但不垂直 B．垂直但不平分 C．垂直平分 D．既不垂直也不平分 图4-3 【答案】C 【解析】对应点连线被对称轴垂直平分，这是轴对称的核心。另一做法错在只说其一；本题二者兼具。 先判断：若△ABC 与△A′B′C′ 关于 l 对称，则 AB 与 A′B′ 的长度关系是（　　）。 A．AB＞A′B′ B．AB＝A′B′ C．AB＜A′B′ D．无法得知 图4-4 【答案】B 【解析】对应线段相等，故 AB＝A′B′，不必计算。另一做法错在以为要算；本题靠性质。 不计算，判断：两个成轴对称的图形一定能够完全重合（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 【答案】对 【解析】成轴对称即沿轴对折可重合，故全等。另一做法错在以为只是相似；本题是重合。 在画对称图形时，下列可以作为“关键点”的是（　　）。 A．只有顶点 B．顶点、端点、交点等能确定图形的点 C．只能取中点 D．只能取内部点 图4-6 【答案】B 【解析】关键点是一切能确定图形位置的点，含顶点、端点、交点。另一做法错在限定只顶点；本题范围更广。 不计算，先判断：若一点 P 关于 l 的对称点 P′ 与 P 重合，则 P 一定在（　　）上（填“轴”或“轴外”）。 图4-7 【答案】轴 【解析】只有轴上的点对称后与自己重合。另一做法错在说轴外；本题轴上是重合条件。 下列作图中，得到的直线一定垂直平分已知线段的是（　　）。 A．过一端点的任意直线 B．以两端点为圆心画弧所得两交点连线 C．连接两端点的线段 D．过中点的斜线 图4-8 【答案】B 【解析】以两端点为圆心画弧交于两点，连线即中垂线。另一做法错在以为连两端点就是；本题是交点连线。 不计算，判断：轴对称画图后，原图形与对称图形对应角相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 【答案】对 【解析】对应角相等是轴对称基本性质。另一做法错在以为会变化；本题恒相等。 六、A、落笔·画法落实 画轴对称图形的正确顺序是（　　）。 A．连线、找点、作对称点 B．找关键点、作对称点、连线 C．作垂线、量角、连线 D．平移、翻折、连线 图5-1 【答案】B 【解析】标准顺序为找关键点、作对称点、连线。另一做法错在把连线放最前；本题三步顺序固定。 作点 P 关于 l 的对称点，垂足记为 O，下一步应在垂线上取（　　）。 A．OP′＜OP B．OP′＝OP C．OP′＞OP D．任意长度 图5-2 【答案】B 【解析】对称要求两侧等长，故取 OP′＝OP。另一做法错在取不等；本题等长。 不计算，判断：对称轴上的点在轴对称后位置不变（　　）（填“对”或“错”）。 图5-3 【答案】对 【解析】轴上点关于该轴对称后重合，位置不变。另一做法错在以为会移动；本题不动。 线段 AB 关于 l 的对称线段 A′B′，其长度与 AB 的关系是（　　）。 A．更长 B．更短 C．相等 D．无关 图5-4 【答案】C 【解析】对应线段相等，故 A′B′＝AB。另一做法错在以为会变；本题相等。 下列能唯一确定一条直线的作图依据是（　　）。 A．一个点 B．两个点 C．一条线段 D．一个圆 图5-5 【答案】B 【解析】两点确定一条直线，作中垂线也靠找两个交点。另一做法错在说一个点；本题两点。 作对称轴时，应作（　　）连线的垂直平分线。 A．任意两点 B．一对对应点 C．两个顶点 D．轴两端 图5-6 【答案】B 【解析】对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。另一做法错在说任意两点；本题要对应点。 不计算，先判断：若 AA′ 被 l 垂直平分，则 A 与 A′ 关于 l（　　）（填“对称”或“平行”）。 图5-7 【答案】对称 【解析】垂直平分即对称判定，故关于 l 对称。另一做法错在填平行；本题对称。 画△ABC 的对称图形时，需要作的对称点个数是（　　）。 A．1 B．2 C．3 D．4 图5-8 【答案】C 【解析】三角形三个顶点各作一个对称点，共 3 个。另一做法错在只数两个；本题三顶点。 下列说法正确的是（　　）。 A．对称图形比原图大 B．对称图形与原图全等 C．对称图形翻折得到 D．对称图形必须着色 图5-9 【答案】B 【解析】轴对称保证全等。另一做法错在说更大；本题全等。 不计算，判断：用尺规作对称点时，过关键点作的必须是对称轴的垂线（　　）（填“对”或“错”）。 图5-10 【答案】对 【解析】只有作垂线才能确定垂足并截取等长，得到对称点。另一做法错在以为任意线；本题垂线必要。 七、B、落笔·改一个条件看图形变 只把对称轴 l 从水平位置翻折 30°，其余不变，则原图形各关键点的对称点位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-1 【答案】变 【解析】轴方向一变，垂足改变，对称点位置随之变。另一做法错在以为不变；本题轴变则动点。 只把原△ABC 换成△DEF，对称轴 l 不变，则需要的对称点个数由 3 变为（　　）。 A．3 B．4 C．由 D、E、F 三点决定仍为 3 D．5 图6-2 【答案】C 【解析】三角形都由三个顶点确定，换名不换结构，仍 3 个对称点。另一做法错在说变多；本题仍是三顶点。 只把点 A 沿 l 平移到 A₁，其余关键点不动，则 A 的对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-3 【答案】变 【解析】A 自身移动后，它的对称点随新位置改变。另一做法错在以为不变；本题点动则像动。 只把“作垂线”改成“作平行线”，则还能得到对称点吗（　　）（填“能”或“不能”）。 图6-4 【答案】不能 【解析】平行线上取不到关于轴的等长对应点，得不到对称点。另一做法错在说能；本题必须垂线。 只把线段 AB 加长，对称轴 l 不变，则对称线段 A′B′ 的长度（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-5 【答案】变 【解析】原线段变长，对应线段随之变长，仍相等但数值变了。另一做法错在以为不变；本题等长但长度变。 只把截取等长改成截取 OP′＝2OP，则得到的点（　　）（填“是”或“不是”）A 关于 l 的对称点。 图6-6 【答案】不是 【解析】对称要求 OP′＝OP，取两倍就跑到更远，不再是对称点。另一做法错在说仍是；本题等长才对。 只把直线 l 换成与它重合的同一条直线，则对称点（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-7 【答案】不变 【解析】同一根轴，作图结果当然不变。另一做法错在以为会变；本题轴重合即不变。 只把三角形换成正方形（四个顶点），对称轴不变，则关键点个数由 3 变为（　　）。 A．3 B．4 C．5 D．6 图6-8 【答案】B 【解析】正方形由四个顶点确定，故 4 个关键点。另一做法错在仍填 3；本题四顶点。 只把“连接对称点”改成“不连接”，则（　　）（填“得到”或“得不到”）完整对称图形。 图6-9 【答案】得不到 【解析】不连接只散着点，无法形成图形轮廓。另一做法错在说得到；本题连线必要。 只把对称轴移到图形内部穿过△ABC，则对称点（　　）（填“仍在”或“不在”）轴两侧分布。 图6-10 【答案】仍在 【解析】无论轴穿过与否，每点都被翻到另一侧，对称点仍在两侧。另一做法错在说全在一侧；本题仍两侧。 八、C、落笔·找全满足条件的作图 找全：一个图形关于某直线 l 的对称图形共有（　　）个（填数字），因为轴与原图唯一确定它。 图7-1 【答案】1 【解析】给定轴和原图，对称图形唯一，只有 1 个。另一做法错在说多个；本题唯一。 找全：要作线段 AB 的垂直平分线，两圆弧需交于（　　）个点才能确定直线。 A．1 B．2 C．3 D．4 图7-2 【答案】B 【解析】两交点连直线即中垂线，需 2 个点。另一做法错在只取 1 个；本题两点确定线。 找全：下列图形中是轴对称图形的有（　　）。①线段 ②角 ③普通四边形 ④正方形 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 图7-3 【答案】A 【解析】线段、角、正方形都能沿某直线对折重合，是轴对称；一般四边形不是。另一做法错在把普通四边形算入；本题①②④。 找全：正六边形共有（　　）条对称轴。 A．3 B．4 C．6 D．8 图7-4 【答案】C 【解析】正六边形有 6 条对称轴（3 条过对顶点、3 条过对边中点）。另一做法错在说 3；本题 6 条。 找全：作对称轴时，换用不同的对应点作垂直平分线，得到的直线（　　）（填“相同”或“不同”）。 图7-5 【答案】相同 【解析】对称轴唯一，换对应点结果相同。另一做法错在说不同；本题唯一。 找全：下列各组线段中，能直接用“端点对称法”作出对称线段的是（　　）。 A．只给一个端点 B．给两个端点 C．只给中点 D．只给内部点 图7-6 【答案】B 【解析】线段需两个端点都作对称点，故给两个端点才行。另一做法错在只一个端点；本题两端点。 找全：下列说法中，一定正确的是（　　）。 A．所有四边形都轴对称 B．圆有无数条对称轴 C．梯形都只有 1 条对称轴 D．三角形都不是轴对称 图7-7 【答案】B 【解析】圆沿任意直径对折都重合，有无数条对称轴。另一做法错在说所有四边形；本题圆正确。 找全：一个图形有两条对称轴，则它至少要有（　　）对对应点才能分别作出这两条轴。 A．1 B．2 C．3 D．4 图7-8 【答案】B 【解析】每条轴可由一对对应点确定，两条轴至少需两对对应点（可共用部分点）。另一做法错在只 1 对；本题至少 2。 找全：下列尺规作图中，能作出已知直线垂线的是（　　）。 A．过直线外一点作垂线 B．作角平分线 C．截等长线段 D．作平行线 图7-9 【答案】A 【解析】过一点作已知直线垂线是本课尺规作图内容。另一做法错在选角平分线；本题是作垂线。 找全：判断两个图形成轴对称，只需验证（　　）即可。 A．面积相等 B．存在一条直线使对应点连线被其垂直平分 C．周长相等 D．颜色相同 图7-10 【答案】B 【解析】轴对称判定看是否存在一条轴垂直平分所有对应点连线。另一做法错在只看面积；本题看轴。 九、D、落笔·近年真题画与作 1．（2025年·江苏·期中考试）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）。 A．一般四边形　B．等腰梯形　C．任意梯形　D．非等腰直角三角形 图8-1 【答案】B 【解析】等腰梯形可沿两底中点的连线对折重合，是轴对称图形；一般四边形、任意梯形、非等腰直角三角形都不是。易错：把一般四边形误当轴对称；它无对称轴。 2．（2025年·浙江·期末考试）用无刻度的直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线，第一步应当以（　　）为圆心画弧。 A．以 A 为圆心　B．以 B 为圆心　C．分别以 A 和 B 为圆心　D．以 AB 中点为圆心 图8-2 【答案】C 【解析】作中垂线需分别以 A、B 为圆心、大于一半为半径画弧，两弧交于两点。易错：只以一个端点为圆心；那样找不到两个交点确定直线。 3．（2026年·山东·期中考试）画△ABC 关于直线 l 的对称图形，正确的作图顺序是（　　）。 A．连线、找点、作对称点　B．找关键点、作对称点、连线　C．作垂线、量角、连线　D．平移、翻折、连线 图8-3 【答案】B 【解析】标准顺序是先找关键点、作各点对称点、再连线。易错：把连线放第一步；未找点就连线得不到对称形。 4．（2025年·广东·期末考试）已知点 A 关于直线 l 的对称点为 A′，则线段 AA′ 与 l 的关系是（　　）。 A．平行且相等　B．相交但不垂直　C．被 l 垂直平分　D．垂直但不平分 图8-4 【答案】C 【解析】对称点连线被对称轴垂直平分。易错：只说垂直漏了平分；垂直平分两者都要满足。 5．（2026年·四川·中考）下列尺规作图中，能作出已知直线垂线的是（　　）。 A．过直线外一点作垂线　B．作角平分线　C．作平行线　D．截取等长线段 图8-5 【答案】A 【解析】过一点作已知直线垂线是 15.2 的尺规作图内容。易错：选作角平分线；那是另一类作图。 6．（2025年·湖北·期中考试）一个正五边形共有（　　）条对称轴。 A．3　B．4　C．5　D．6 图8-6 【答案】C 【解析】正 n 边形有 n 条对称轴，正五边形有 5 条。易错：误填 3；正五边形是 5 条而非 3 条。 7．（2026年·湖南·期末考试）作一个图形的对称轴时，依据是（　　）。 A．对应点连线被对称轴垂直平分　B．对应角相等　C．面积相等　D．周长相等 图8-7 【答案】A 【解析】对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。易错：选对应角相等；那是性质不是作轴依据。 8．（2025年·河南·期中考试）用尺规作线段 AB 的垂直平分线，两弧交于 C、D 两点，则直线 CD 是（　　）。 A．AB 的平行线　B．AB 的中垂线　C．AB 的延长线　D．过中点的斜线 图8-8 【答案】B 【解析】两圆弧交点连线即 AB 的垂直平分线（中垂线）。易错：说成平行线；中垂线垂直而非平行。 十、E、落笔·一条对称链三问收口 对△ABC 与对称轴 l：(1) 不计算，画对称图形第一步找的是（　　）个关键点；(2) 点 A 的对称点 A′ 与 A 的连线被 l（　　）；(3) 只把 l 平移，A′ 的位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-1 【答案】3；垂直平分；变 【解析】第(1)问三角形由三顶点确定故 3 个。第(2)问对称点连线被 l 垂直平分。第(3)问轴一平移，垂足改变，A′ 变。 对线段 AB 与轴 l：(1) 对称线段只需作（　　）个端点的对称点；(2) 所得 A′B′ 与 AB 的长度（　　）（填“相等”或“不等”）；(3) 若 A 在 l 上，则 A′ 与 A（　　）（填“重合”或“分居两侧”）。 图9-2 【答案】2；相等；重合 【解析】第(1)问线段两端点 A、B 各作一个对称点共 2 个。第(2)问对应线段相等。第(3)问轴上点对称后重合。 对一对对应点 P、P′ 与轴 l：(1) 不计算，l 与 PP′ 的位置关系是（　　）；(2) 线段 PP′ 被 l（　　）（填“平分”或“三等分”）；(3) 只换另一对对应点 Q、Q′ 作轴，得到的直线（　　）（填“相同”或“不同”）。 图9-3 【答案】垂直；平分；相同 【解析】第(1)问轴垂直 PP′。第(2)问被 l 平分。第(3)问对称轴唯一，换对应点结果相同。 对正五边形与轴 l：(1) 该图形共有（　　）条对称轴；(2) 画它关于 l 的对称图形需找全（　　）个顶点；(3) 不计算，对应角（　　）（填“相等”或“不等”）。 图9-4 【答案】5；5；相等 【解析】第(1)问正五边形 5 条对称轴。第(2)问五个顶点都作对称点共 5 个。第(3)问轴对称对应角相等。 对原图与对称图：(1) 先判断二者是否全等（　　）（填“是”或“否”）；(2) 估算决策：作线段垂直平分线至少需画（　　）段弧；(3) 对应点连线被轴（　　）。 图9-5 【答案】是；2；垂直平分 【解析】第(1)问轴对称全等。第(2)问两段弧交两点足矣。第(3)问垂直平分是本质关系。 对△ABC 与轴 l：(1) 改一个条件：把 l 换成平行的另一条直线，则 A 的对称点（　　）（填“变”或“不变”）；(2) 连接顺序（　　）（填“变”或“不变”）；(3) 不计算，对应线段（　　）（填“相等”或“不等”）。 图9-6 【答案】变；不变；相等 【解析】第(1)问轴平行移动，垂足变，对称点变。第(2)问按原顺序连接不变。第(3)问对应线段恒相等。 十一、课堂检测 画轴对称图形时，下列第一步正确的是（　　）。 A．直接连线 B．先找关键点 C．先量角 D．先平移 图10-1 【答案】B 【解析】先找关键点是作图第一步。另一做法错在直接连线；本题找点优先。 不计算，判断：对称点的连线一定与对称轴垂直（　　）（填“对”或“错”）。 图10-2 【答案】对 【解析】对称点连线被轴垂直平分，必垂直。另一做法错在以为只平分；本题垂直成立。 作点 P 关于 l 的对称点，垂足为 O，要取 OP′＝OP，这是（　　）。 A．平移 B．截取等长 C．翻折 D．放大 图10-3 【答案】B 【解析】取两侧等长是截取等长。另一做法错在说平移；本题截取。 下列图形中不是轴对称图形的是（　　）。 A．线段 B．角 C．一般四边形 D．正方形 图10-4 【答案】C 【解析】一般四边形无对称轴。另一做法错在把线段排除；线段是轴对称。 不计算，先判断：若 AA′ 被 l 垂直平分，则 A 与 A′ 关于 l（　　）（填“对称”或“无关”）。 图10-5 【答案】对称 【解析】垂直平分即对称判定。另一做法错在填无关；本题对称。 用尺规作线段 AB 的垂直平分线，半径必须（　　）。 A．大于 AB 一半 B．小于 AB 一半 C．等于 AB D．任意 图10-6 【答案】A 【解析】半径大于一半两弧才相交。另一做法错在取小于一半；本题要大于一半。 估算决策：过直线外一点作该直线的垂线，至少要确定（　　）个交点才能连出垂线（填数字）。 图10-7 【答案】2 【解析】以该点为圆心画弧交线于两点，再分别以两点为圆心画弧交于一点，至少需 2 个交点确定垂线方向。一步可判少于两点不行。 不计算，判断：轴对称画图后对应角相等（　　）（填“对”或“错”）。 图10-8 【答案】对 【解析】对应角相等是基本性质。另一做法错在以为会变；本题恒等。 作对称轴应作（　　）连线的垂直平分线。 A．任意两点 B．一对对应点 C．两个中点 D．轴两端 图10-9 【答案】B 【解析】对称轴是对应点连线的垂直平分线。另一做法错在任意两点；本题要对应点。 只把原图形沿轴翻折后，整体位置（　　）（填“变”或“不变”）。 图10-10 【答案】变 【解析】翻折把图形移到轴另一侧，位置变了。另一做法错在说不变；本题整体移位。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $