第7讲·等腰三角形·培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第7讲·等腰三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解等腰三角形的概念，掌握等边对等角的性质 · 掌握等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高三线合一 · 掌握等腰三角形的判定方法（等角对等边） · 会利用等腰三角形性质求角度、线段长度与周长 · 能综合运用等腰三角形与垂直平分线、角平分线解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.等腰三角形的概念与性质 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边 性质：等边对等角，即两个底角相等 顶角与底角关系：顶角=180°-2×底角，底角= 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线 概念辨析例题：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则底角∠B的度数为（　　）A．40°　B．50°　C．60°　D．80° 答案：B 解析：AB=AC，等边对等角得∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，所以80°+2∠B=180°，解得∠B=50°，故选B。 ✅️ 2.等腰三角形的三线合一 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 由三线合一可证角相等、线段相等、垂直关系 底边中点到两腰距离相等等结论可由三线合一推得 遇到等腰三角形取底边中点或作底边高线是常见辅助线 概念辨析例题：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B=65°，则∠BAD的度数为（　　）A．25°　B．30°　C．35°　D．40° 答案：A 解析：AB=AC，AD是底边BC上的中线，由三线合一，AD平分顶角∠A且AD⊥BC。∠B=65°，∠BAD=90°-∠B=25°，故选A。 ✅️ 3.等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形判定的常用方法：等角对等边、两边相等、三线合一逆用 结合角平分线与平行线可构造等腰三角形（“角平分线+平行线→等腰”） 判定时先确认两角相等或两边相等，再下结论 概念辨析例题：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则△ADE是（　　）A．等边三角形　B．等腰三角形　C．直角三角形　D．不能确定 答案：B 解析：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，DE∥AC得∠ADE=∠CAD，所以∠BAD=∠ADE，等角对等边，EA=ED，△ADE是等腰三角形，故选B。 ✅️ 4.等腰三角形的综合应用 等腰三角形与垂直平分线：腰的垂直平分线可求周长与角度 等腰三角形与角平分线：结合构造等腰求线段长 等腰三角形中求周长注意讨论腰与底边的关系（三角形三边关系） 综合题先确定相等线段与相等角，再列式求解 概念辨析例题：等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是（　　）A．17　B．22　C．17或22　D．不确定 答案：B 解析：若腰为4、底为9，则4+4<9不满足三边关系，舍去；故腰为9、底为4，周长为9+9+4=22，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等边对等角 两底角相等 顶角=180°-2底角 三线合一 顶角平分线、底边中线、底边高重合 仅等腰三角形有 等角对等边 两角相等则对边相等 用于判定等腰 角平分线+平行线 可构造等腰三角形 常见辅助线模型 周长讨论 腰、底边分情况 必须满足三边关系 📩 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质（第1-15题） · 等边对等角求底角、顶角 · 三线合一证明垂直、平分 · 结合角度列方程 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．已知，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（   ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】过作于点，已知，则，根据三角函数即可求解． 【详解】解：如图：过作于点，    已知，则， 在中，； 故选：B． 【点睛】本题考查了含的直角三角形性质的运用，构造直角三角形是解题的关键． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的中线相等 B．面积相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的中线与高重合 D．等腰三角形两底角平分线不相等 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、判断命题真假 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等腰三角形两腰、两底角相等，底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键． 通过逐一分析各选项，结合等腰三角形的性质进行判断 【详解】解：选项A：等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰相等，取两腰中点连线形成的中线， 可通过全等三角形（SAS）证明两中线长度相等， 故A为真命题． 选项B：面积相等的两个等腰三角形全等． 反例：底边为6、高为4的三角形与底边为8、高为3的三角形面积均为12， 但形状不同，不全等． 故B为假命题． 选项C：等腰三角形的中线与高重合 仅底边上的中线与高重合，若中线为腰上的中线，则不与高重合． 题干未明确限定为底边中线，故C为假命题． 选项D：等腰三角形两底角平分线不相等． 等腰三角形两底角相等， 其角平分线可通过全等三角形（ASA）证明长度相等， 故D为假命题． 综上，真命题为A． 故选：A 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 6．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数． 【详解】解：于点， 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义和判定，三角形三边关系，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的定义和等角对等边的判定定理是解题关键．由等腰三角形的定义可直接判断A；由三角形三边关系可判断B；根据三角形内角和定理可求出，再根据等角对等边，可判断C；直接由等角对等边可判断D． 【详解】解：A．∵， ∴，即是等腰三角形，故该选项能判定，不符合题意； B．∵， ∴可设，则，， ∴，即此时以为边不能组成三角形， ∴不能判定是等腰三角形，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴可设， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．由可得，再由垂直平分可得，推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 9．（2022·海南海口·一模）如图，点、分别在直线、上，且直线，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角 【分析】由题意可得，由等边对等角可得，再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，先用三角形的内角和求出，根据折叠的性质得到，，则由等边对等角求出，从而得解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴，即为等腰三角形． 在中，∵， ∴． ∴． 故选：A． 13．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 15．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 【考点2】等腰三角形的判定（第16-30题） · 等角对等边判定等腰 · 角平分线+平行线构造等腰 · 尺规作等腰三角形 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（    ） A．80° B．72° C．64° D．78° 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，，则，在中，由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 17．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、三线合一 【分析】过点A作于点D，根据轴，可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D， 轴， ， ，，， ， ， 点C的坐标为． 18．（2024·陕西西安·三模）如图，，点E在线段上，，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】此题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出，再由得出，由三角形内角和定理即可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：B． 19．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握尺规作图的识别方法是解题关键． 先从图中的作图痕迹判断出是的垂直平分线，是的角平分线，再结合垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质，对每个结论逐一验证． 【详解】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线． 垂直平分， ，，， ①、②、④正确， 平分， ， ， ， ． ③正确． 个结论全部正确． 故选：． 20．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、等边对等角、折叠问题 【分析】本题主要考查图形折叠的性质、含有角的直角三角形的性质、等边对等角、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由等边对等角以及三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，再利用含有角的直角三角形的性质以及一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴，． 设，则，， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 21．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，中，，，是边上的中线，，则______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 【答案】，或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一及直角三角形两锐角互余．先通过已知条件利用等腰三角形三线合一定理得出，平分，再由已知条件求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质得出结果． 【详解】解：∵为等腰三角形，为的中线， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（21-22八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 26．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（13-14九年级上·河南·期中）如图，已知，，那么的度数是_________度． 【答案】60 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据等边对等角的性质，，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得；再根据等边对等角的性质，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出的度数，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 28．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，是的中点，于点，若，则_____． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】此题主要考查了含直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质是解决本问题的关键．在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 由中，，，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出，再由，且为的中点，利用三线合一得到垂直于，又垂直于，利用同角的余角相等得到，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半，根据的长，即可求出的长． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：4． 29．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的一个内角为，则底角的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出底角的度数． 因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，从而可求出底角的度数． 【详解】解：在等腰三角形中，若角为底角，则另一底角也为，其和大于，不成立。故角只能为顶角 ∵为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：. 【考点3】等腰三角形综合应用（第31-45题） · 垂直平分线结合求周长 · 分类讨论腰与底边 · 综合证明线段相等、垂直 31．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是_____． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 根据题意分三种情况讨论：如图，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ①如图：当时，连接， ∵， ∴ ②如图：当时，连接， ∵， ∴ ③如图：当时，连接， ∵， 故答案为：或或. 32．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为__． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为__________． 【答案】14 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且，若，则的度数为_____________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，是的中线，点E在边上，，则等于______． 【答案】/20度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】连接，根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，得到，又由线段垂直平分线的性质可得，得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 37．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为__________． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先根据等边对等角得到，再由线段垂直平分线的性质得到，，则，再证明，利用含30度角的直角三角形的性质分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 38．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为______． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为___________． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，分与在斜边的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 当与在斜边的两侧时，， ， 当与在斜边的同侧时，， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 40．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【答案】2 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】先根据直角三角形的性质得出，故可得出，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ，， ． ， ． 的垂直平分线交于点， ． 41．（25-26八年级上·山东滨州·期末）在等腰中，若，，求的大小． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角得到，根据三角形的内角和定理，以及给定的角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； (2) 解：如图所示，即为所求； 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 43．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴F为线段中点； (2) 解：，理由如下： 连接， 在中，，D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键． （1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明． （2）连接，先证明，再证明，得出，结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 44．（22-23八年级上·全国·期中）已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)等腰三角形 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 45．（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 课后巩固 🍬 复习建议 · 等腰三角形两底角相等，先找相等线段再求角 · 三线合一常用于证明垂直与平分，注意辅助线取中点 · 判定等腰三角形首选等角对等边 · 角平分线加平行线可构造等腰三角形 · 周长问题分腰与底边讨论并满足三边关系 【作业 1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 【作业 2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个等腰三角形模型（如图），它的顶角为，腰长为12．求底边上的高． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．熟练掌握以上知识点是关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D． 在中，，， ． 又， ， ，即底边上的高为． 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，分别以线段a，c为一直角边和斜边，作直角三角形． 【答案】如图，即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】画直线，在上取点，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交于点、，分别以点、为圆心，线段的长度为半径画弧，交于点，连接，由作图可知是等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”可知，则即为所求． 【详解】略 【作业 4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知线段、，请用尺规作图的方法作，使得，，高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求． 【知识点】线段垂直平分线的性质、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点为点P、Q，则直线为边的垂直平分线，交于点D，再以点D为圆心，线段为半径画弧，交直线于点B，连接、． 【详解】略 【作业 5】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题、找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 【作业 6】（13-14八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，过腰的中点D作的垂线，交另一腰于E，连结． (1)若，求的度数； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质定理，可证明，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，进一步可推得它们与的关系，即可列方程求解； （2）先求出，及的长，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：点D是的中点， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 由（1）知，， 的周长． 【作业 7】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，且． (1)若，求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线段最短、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）根据垂线段最短得出时，最小，根据角平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于， ∵点是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，，， ∴， ∴的最小值为． 【作业 8】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定以及30度直角三角形的性质；解题关键在于角度和边长的转换． （1）由可得，再由，即可求出， （2）先求出，即可得到，再根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半可得，由此得出，从而求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即：， ∴ 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 【答案】(1) 证明：，， ，， 又， ， ； (2) 证明：连接， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 过点，的直线垂直平分线段． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据全等三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定可得出点在线段的垂直平分线上，同理得出点在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【作业 10】（21-22八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据等角对等边得到，证明，即可得到； （2）过点D作交于点H，根据同角的余角相等得到，根据得到，证明，得到，根据等边对等角得到，，进而得到，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【作业 11】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1) 如图所示，是的垂直平分线； (2) 证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质. （1）根据线段的垂直平分线的作法作的垂直平分线即可. （2）如图，连接，证明，，可得，再进一步证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，点在边上，，．求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 通过等边对等角得到，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后再根据等边对等角，结合三角形内角和为180°求出的度数． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 【作业 13】（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和题目的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，延长到点D，使得，连接画出图形，然后即可计算出的值； （3）根据题意，取上的点D，使得，连接，画出图形，根据即可计算出结果． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：； （2）如图所示， 在中，，延长到点D，使得，连接， 则， ，设，则， 故， ； （3）如图所示， 在中，，取上的点D，使得，连接， ， ， 设，则， ， 则， ． 【作业 14】（25-26七年级下·全国·课后作业）在线段的垂直平分线上任取两个不同的点，，则和之间有什么关系？为什么？ 【答案】，理由如下： 当点、点在的不同的两侧时，如图： 因为垂直平分， 所以，， 则，， 于是， 即； 当点、点在的同一侧时，如图： 因为垂直平分， 所以，， 则，， 于是， 即． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】根据垂直平分线的性质转化为等腰三角形的问题，再进行两角大小的运算，即可求解． 【详解】略 【作业 15】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，在中，，BD平分，CD平分．过点D作，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有_______个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是_______． （2）如图②，若将（1）中“在中，”改为“若为不等边三角形”，其余条件不变，则图中共有_______个等腰三角形；试猜想EF与BE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）5  ， （2）2 ， 猜想：， 证明：∵是等腰三角形， ∴ ∵是等腰三角形 ∴ 又∵ ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】先根据等腰三角形性质和角平分线定义找等腰三角形，再利用平行线性质和等腰三角形性质推导线段关系； 同理找等腰三角形，再证明线段关系． 【详解】解：①找等腰三角形 ∵ ∴是等腰三角形 ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， 则， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴ ∴，是等腰三角形． 还有（∵） 所以共有个等腰三角形． ②推导与，的关系 是等腰三角形， ∴； 是等腰三角形 ∴． 又∵ ∴． 故答案为：，． ①找等腰三角形 平分 ∴ 又 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 同理平分，，可得 ∴是等腰三角形，共个等腰三角形． ②略 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题关键是利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，进而判定等腰三角形，再结合线段的和差关系得出结论． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲·等腰三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解等腰三角形的概念，掌握等边对等角的性质 · 掌握等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高三线合一 · 掌握等腰三角形的判定方法（等角对等边） · 会利用等腰三角形性质求角度、线段长度与周长 · 能综合运用等腰三角形与垂直平分线、角平分线解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.等腰三角形的概念与性质 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边 性质：等边对等角，即两个底角相等 顶角与底角关系：顶角=180°-2×底角，底角= 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线 概念辨析例题：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则底角∠B的度数为（　　）A．40°　B．50°　C．60°　D．80° 答案：B 解析：AB=AC，等边对等角得∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，所以80°+2∠B=180°，解得∠B=50°，故选B。 ✅️ 2.等腰三角形的三线合一 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 由三线合一可证角相等、线段相等、垂直关系 底边中点到两腰距离相等等结论可由三线合一推得 遇到等腰三角形取底边中点或作底边高线是常见辅助线 概念辨析例题：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B=65°，则∠BAD的度数为（　　）A．25°　B．30°　C．35°　D．40° 答案：A 解析：AB=AC，AD是底边BC上的中线，由三线合一，AD平分顶角∠A且AD⊥BC。∠B=65°，∠BAD=90°-∠B=25°，故选A。 ✅️ 3.等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形判定的常用方法：等角对等边、两边相等、三线合一逆用 结合角平分线与平行线可构造等腰三角形（“角平分线+平行线→等腰”） 判定时先确认两角相等或两边相等，再下结论 概念辨析例题：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则△ADE是（　　）A．等边三角形　B．等腰三角形　C．直角三角形　D．不能确定 答案：B 解析：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，DE∥AC得∠ADE=∠CAD，所以∠BAD=∠ADE，等角对等边，EA=ED，△ADE是等腰三角形，故选B。 ✅️ 4.等腰三角形的综合应用 等腰三角形与垂直平分线：腰的垂直平分线可求周长与角度 等腰三角形与角平分线：结合构造等腰求线段长 等腰三角形中求周长注意讨论腰与底边的关系（三角形三边关系） 综合题先确定相等线段与相等角，再列式求解 概念辨析例题：等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是（　　）A．17　B．22　C．17或22　D．不确定 答案：B 解析：若腰为4、底为9，则4+4<9不满足三边关系，舍去；故腰为9、底为4，周长为9+9+4=22，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等边对等角 两底角相等 顶角=180°-2底角 三线合一 顶角平分线、底边中线、底边高重合 仅等腰三角形有 等角对等边 两角相等则对边相等 用于判定等腰 角平分线+平行线 可构造等腰三角形 常见辅助线模型 周长讨论 腰、底边分情况 必须满足三边关系 📩 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质（第1-15题） · 等边对等角求底角、顶角 · 三线合一证明垂直、平分 · 结合角度列方程 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．已知，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（   ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的中线相等 B．面积相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的中线与高重合 D．等腰三角形两底角平分线不相等 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2022·海南海口·一模）如图，点、分别在直线、上，且直线，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【考点2】等腰三角形的判定（第16-30题） · 等角对等边判定等腰 · 角平分线+平行线构造等腰 · 尺规作等腰三角形 16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（    ） A．80° B．72° C．64° D．78° 17．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·陕西西安·三模）如图，，点E在线段上，，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，中，，，是边上的中线，，则______． 22．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为______． 24．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 25．（21-22八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 26．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 27．（13-14九年级上·河南·期中）如图，已知，，那么的度数是_________度． 28．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，是的中点，于点，若，则_____． 29．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的一个内角为，则底角的度数为________． 【考点3】等腰三角形综合应用（第31-45题） · 垂直平分线结合求周长 · 分类讨论腰与底边 · 综合证明线段相等、垂直 31．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是_____． 32．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为__． 33．（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为__________． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且，若，则的度数为_____________． 35．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，是的中线，点E在边上，，则等于______． 36．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 37．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为__________． 38．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为______． 39．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为___________． 40．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 41．（25-26八年级上·山东滨州·期末）在等腰中，若，，求的大小． 42．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 43．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 44．（22-23八年级上·全国·期中）已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 45．（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 课后巩固 🍬 复习建议 · 等腰三角形两底角相等，先找相等线段再求角 · 三线合一常用于证明垂直与平分，注意辅助线取中点 · 判定等腰三角形首选等角对等边 · 角平分线加平行线可构造等腰三角形 · 周长问题分腰与底边讨论并满足三边关系 【作业 1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【作业 2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个等腰三角形模型（如图），它的顶角为，腰长为12．求底边上的高． 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，分别以线段a，c为一直角边和斜边，作直角三角形． 【作业 4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知线段、，请用尺规作图的方法作，使得，，高．（保留作图痕迹，不写作法） 【作业 5】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【作业 6】（13-14八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，过腰的中点D作的垂线，交另一腰于E，连结． (1)若，求的度数； (2)若，．求的周长． 【作业 7】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，且． (1)若，求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 【作业 8】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求的长． 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 【作业 10】（21-22八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 【作业 11】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）． (2)求证：． 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，点在边上，，．求的度数． 【作业 13】（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 【作业 14】（25-26七年级下·全国·课后作业）在线段的垂直平分线上任取两个不同的点，，则和之间有什么关系？为什么？ 【作业 15】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，在中，，BD平分，CD平分．过点D作，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有_______个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是_______． （2）如图②，若将（1）中“在中，”改为“若为不等边三角形”，其余条件不变，则图中共有_______个等腰三角形；试猜想EF与BE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想． 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