专题15.2 画轴对称图形（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦画轴对称图形核心知识点，系统梳理轴对称变换的定义与性质，作轴对称图形的“找关键点、作对称点、连接对应点”步骤，以及坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特点，构建从基础概念到操作应用的递进学习支架。 资料以10类题型为载体，结合例题与变式，涵盖镜面对称、最短路线等实际应用及规律探究。通过镜面对称培养几何直观，坐标系规律探究发展推理意识，设计图案激发创新意识，课中辅助分层教学，课后助力巩固练习与查漏补缺。

专题15.2 画轴对称图形（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 作与已知图形成轴对称的图形】 2 【题型2 镜面对称】 4 【题型3 求坐标系中对称点的坐标】 6 【题型4 由点的坐标判断对称关系】 7 【题型5 由对称关系求参数】 9 【题型6 坐标系中轴对称作图】 10 【题型7 设计轴对称图案】 15 【题型8 坐标系中轴对称规律探究】 19 【题型9 轴对称-最短路线问题】 23 【题型10 轴对称的实际应用】 26 考点1 画轴对称图形 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【题型1 作与已知图形成轴对称的图形】 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元复习）分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义解题． 【详解】略． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，以为对称轴，作出所给图形的对称图形． 【答案】如图，即为所求． 【分析】根据轴对称的性质，找到点C，D，E，F，G的对应点，即可． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形的顶点均在正方形的顶点上． (1)求图中四边形的面积； (2)在图中画出与四边形关于直线对称的四边形（点，，，的对应点分别为，，，）； 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据分割法和网格，结合三角形面积公式求解， （2）根据轴对称的性质找出点，，，，顺次连接即可． 【详解】（1）解：； （2）略 【题型2 镜面对称】 【例2】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 【变式2-2】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 【变式2-3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 【题型3 求坐标系中对称点的坐标】 【例3】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式3-3】（25-26八年级下·北京·开学考试）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【答案】 3.5 【详解】解：经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为； 关于轴对称得； 关于平行于轴的直线对称得， 根据关于水平直线对称的性质：对称点的纵坐标中点在对称轴上，即． 【题型4 由点的坐标判断对称关系】 【例4】（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 【题型5 由对称关系求参数】 【例5】（25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型6 坐标系中轴对称作图】 【例6】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的对称，掌握相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，描点后顺次连接，可画出； （2）关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，根据点的坐标，可得关于x轴对称的点的坐标． 【详解】（1），，，关于轴的对称图形是， ， 描点后，画出如图所示， （2）由（1）知， 点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式6-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【答案】(1)图见解析，、、 (2)图见解析， 【分析】本题考查轴对称图形，最短路径． （1）由关于轴对称的点的坐标特征，即可得点，，的坐标，用线段顺次连接点，，，即可得； （2）作关于线段的对称点，连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，，与关于轴对称， ∴、、， 如图，即为所求． （2）解：作关于线段的对称点，连接，交于点，如图所示，点即为所求，． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 【题型7 设计轴对称图案】 【例7】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个点，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点的横、纵坐标仍是整数（不在坐标轴上），则移动后点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了轴对称图形．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，描点画图即可得解． 【详解】解：如图所示： ，，，，（在坐标轴上，舍去）， 故答案为：或或． 【变式7-1】如图，网络中每个小正方形的边长为1，点的坐标为． （1）画出直角坐标系（要求标出轴，轴和原点）并写出点的坐标； （2）以为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意． 【答案】 (1)图形见解析，A（-4，3） （2）见解析. 【分析】（1）利用已知点C的坐标，建立坐标系即可； （2）利用轴对称，作三角形关于y轴的对称图形，利用轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线），先做关键点A、B、C的对应点，顺次连接即可． 【详解】解：（1）如图所示：A（-4，3）； （2） 创意：一双振翅高飞的翅膀，带着无限的希望！（8分） 【点睛】本题的关键是作各个关键点的对应点． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 【变式7-3】工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在的正方形网格中，已确定三个格点，，的位置，需要在图中确定点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点的位置，需建立平面直角坐标系．若点，． (1)请画出平面直角坐标系； (2)在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) 解：画出平面直角坐标系如图所示， (2) 解：点的位置如图所示， 由图可知，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平行四边形的判定描出点的位置，从而即可得出点的坐标． 【题型8 坐标系中轴对称规律探究】 【例8】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式8-1】（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索、点坐标与轴对称变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期， ∵， ∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为， 故选：D． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 【题型9 轴对称-最短路线问题】 【例9】（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点_____． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式9-3】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点；连接，与直线的交点即为所求的点；此时，根据“两点之间线段最短”，取得最小值． （2）将点沿垂直河流的方向向下平移2个单位，得到点，连接与，与河流下沿的交点即为天桥的一端；将点沿垂直河流的方向向上平移2个单位，得到点；连接与，与河流上沿的交点即为天桥的一端；则即为天桥位置． 【详解】（1）解：如图，点为所求．（作法不唯一） （2）解：如图，线段为所求． 【题型10 轴对称的实际应用】 【例10】2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式10-1】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 【变式10-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 画轴对称图形（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 作与已知图形成轴对称的图形】 2 【题型2 镜面对称】 3 【题型3 求坐标系中对称点的坐标】 4 【题型4 由点的坐标判断对称关系】 5 【题型5 由对称关系求参数】 5 【题型6 坐标系中轴对称作图】 6 【题型7 设计轴对称图案】 7 【题型8 坐标系中轴对称规律探究】 9 【题型9 轴对称-最短路线问题】 10 【题型10 轴对称的实际应用】 11 考点1 画轴对称图形 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)． 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【题型1 作与已知图形成轴对称的图形】 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元复习）分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，以为对称轴，作出所给图形的对称图形． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形的顶点均在正方形的顶点上． (1)求图中四边形的面积； (2)在图中画出与四边形关于直线对称的四边形（点，，，的对应点分别为，，，）； 【题型2 镜面对称】 【例2】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【变式2-2】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【变式2-3】（2025八年级上·全国·专题练习）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求坐标系中对称点的坐标】 【例3】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【变式3-3】（25-26八年级下·北京·开学考试）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【题型4 由点的坐标判断对称关系】 【例4】（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【题型5 由对称关系求参数】 【例5】（25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式5-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【题型6 坐标系中轴对称作图】 【例6】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【变式6-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【题型7 设计轴对称图案】 【例7】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个点，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点的横、纵坐标仍是整数（不在坐标轴上），则移动后点的坐标为_____． 【变式7-1】如图，网络中每个小正方形的边长为1，点的坐标为． （1）画出直角坐标系（要求标出轴，轴和原点）并写出点的坐标； （2）以为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【变式7-3】工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在的正方形网格中，已确定三个格点，，的位置，需要在图中确定点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点的位置，需建立平面直角坐标系．若点，． (1)请画出平面直角坐标系； (2)在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【题型8 坐标系中轴对称规律探究】 【例8】（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为_________． 【变式8-1】（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【题型9 轴对称-最短路线问题】 【例9】（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点_____． 【变式9-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【变式9-3】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【题型10 轴对称的实际应用】 【例10】2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【变式10-1】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式10-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $