14.3 角的平分线 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、知识与方法　平分·知识梳理与方法 2 二、题型一　平分·角平分线性质的直接应用 7 三、题型二　平分·判定点在角平分线上的识别 10 四、题型三　平分·点到直线距离与不计算判等距 14 五、题型四　平分·尺规作角平分线与集合观点 17 六、A、平分·性质证线段相等落实 21 七、B、平分·改一个条件看结论怎么变 24 八、C、平分·找全满足条件的点与反例 28 九、D、近年真题·角平分线的性质与判定 31 十、E、平分·一条等距链·三问收口 34 十一、课堂检测 36 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法　平分·知识梳理与方法 图0 知识点一　角的平分线：一条把角分成两个相等角的射线 1．从顶点出发的一条射线，把一个角分成度数相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线；若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC。 2．尺规作图作已知角的平分线：以顶点O为圆心画弧交两边于M、N，再分别以M、N为圆心画等弧交于P，射线OP即为∠AOB的平分线。 3．为什么尺规作法正确：由OM＝ON、PM＝PN、OP公共，得△OMP与△ONP全等（SSS），从而∠MOP＝∠NOP，射线OP确为平分线。 4．反例两则：“任意一条过顶点的射线都是角平分线”不成立，必须保证分出的两角相等；“只用一把直尺也能作出角平分线”不成立，缺圆规无法保证等距。 5．换一个条件：把“已知∠AOB求作平分线”改成“已知∠AOC＝∠BOC，判断OC是否平分线”，由两角相等直接判定，不必再作图。 6．举例：∠AOB＝80°时，其平分线把它分成∠AOC＝∠BOC＝40°的两个角。 图示1 易错提醒：角平分线是射线不是线段；尺规作图的依据是两次构造全等三角形，不是凭眼睛平分。 知识点二　点到直线的距离：垂线段的长度 1．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离；距离是一个非负数，用长度衡量。 2．作距离的步骤：过点P向直线l作垂线，垂足为H，则线段PH的长度就是点P到直线l的距离。 3．为什么用垂线段：在所有连接点P与直线l上点的线段中，垂线段最短，所以把“最短的那条”的长度定义为距离。 4．反例两则：“连接点P与直线l上任一点的线段长都是距离”不成立，只有垂线段才算；“斜着量的长度”比垂线段长，不能当距离。 5．换一个条件：把“点P在直线外”改成“点P在直线上”，此时垂足就是P本身，距离为0。 6．举例：过点P作PH⊥l于H，若PH＝5，则点P到直线l的距离为5。 图示2 易错提醒：距离指垂线段的长度，不是斜线段；点在直线上时距离为0。 知识点三　角平分线性质：平分线上的点到两边距离相等 1．角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等；若OC平分∠AOB，点P在OC上，PE⊥OA、PF⊥OB，则PE＝PF。 2．证明思路：由OC是平分线得∠AOC＝∠BOC，又∠PEO＝∠PFO＝90°、OP公共，得△OPE与△OPF全等（AAS），故PE＝PF。 3．为什么不必再证全等也能用：性质定理本身已把“在平分线上”与“到两边等距”锁死，遇到此类结构直接援引即可。 4．反例两则：“到两边距离相等的点一定在角平分线上”是判定不是性质，性质方向是点在线上推等距；“不在平分线上的点也可能等距”不成立，等距必在线上（判定保证）。 5．换一个条件：把“PE⊥OA、PF⊥OB”改成“过点P作两边的垂线”，只要垂足明确，结论PE＝PF不变。 6．举例：OC平分∠AOB，P在OC上且PE＝4，则PF也等于4。 图示3 易错提醒：性质用于‘已知点在线上的平分线，证两垂线段相等’；距离必须是垂线段，斜的不能代。 知识点四　角平分线判定：到两边等距的点在平分线上 1．到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；若PE⊥OA、PF⊥OB且PE＝PF，则点P在∠AOB的平分线上。 2．证明思路：连OP，由PE＝PF、OP公共、两直角相等，得△OPE与△OPF全等（HL），推得∠AOP＝∠BOP，故OP平分∠AOB。 3．为什么方向反过来也成立：性质与判定互为逆定理，等距是“在平分线上”的充要条件，结构一旦满足等距即可反推。 4．反例两则：“距离相等就一定是同一点”不成立，角的内部满足条件的点都在同一条平分射线上；“只看线段长不看垂直”不成立，必须都是垂线段。 5．换一个条件：把“PE＝PF”改成“点P到两边垂线段长度相等”，表述不同事实相同，判定照样成立。 6．举例：点P到∠AOB两边垂线段都是6，则P必在∠AOB的平分线上。 图示4 易错提醒：判定用于‘已知两垂线段相等，证点在平分线上’；和性质配套，方向相反。 知识点五　角的平分线是到两边等距的所有点的集合 1．角的平分线恰好由“到这个角两边距离相等”的全部点组成，多一个不多、少一个不少。 2．内部视角：角内部每一个到两边等距的点都落在平分线上，平分线外部不存在到两边等距的点。 3．为什么叫集合：性质说“线上的点到两边等距”，判定说“等距的点在线上”，合起来平分线上点的全体＝等距点的全体。 4．反例两则：“角平分线上有两个分支”不成立，它是从顶点出发的一条射线；“等距点可能落在角外”不成立，角外点无法同时垂直两边等距。 5．换一个条件：把“角的内部”改成“整个平面”，平面中到两边等距的点除平分射线外，还多出反向延长线，需限定在角内部。 6．举例：∠AOB内到OA、OB距离都为3的点，全部排在它的平分线上。 图示5 易错提醒：集合观点把性质与判定合二为一；谈‘所有点’时必须限定在角的内部。 知识点六　用性质证线段相等：不必再走一遍全等 1．已知点在角平分线上且向两边作垂线，要证两垂线段相等，直接套性质即可，无需重新证明全等。 2．典型结构：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，则DE＝DF，用来替换“证两次全等”。 3．为什么更快：性质定理已经把“线上→等距”固化，凡见此结构就把等距当已知条件用，省去重复推理。 4．反例两则：“先连再证全等才敢写DE＝DF”绕远，结构已满足时直接援引；“用斜线段代替垂线段”错误，只有垂线才算距离。 5．换一个条件：把“AD平分∠BAC”改成“AD是∠BAC的平分线”，同一事实不同说法，结论DE＝DF不变。 6．举例：AD平分∠BAC，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，若AB边上的垂线段为5，则AC边上的也为5。 图示6 易错提醒：见到‘平分线＋两边垂线’就直接得等距；别把已经成立的定理又证一遍。 知识点七　用判定证点在线上与不计算判等距 1．要证某点在角平分线上，只要证它到两边垂线段相等，援引判定定理即可，无需先求角度。 2．不计算也能判：若已知两垂线段长度相等，凭判定直接断定该点在平分线上，不必代入任何度数。 3．为什么不计算也行：等距与是否在平分线上是充要条件，结构满足结论就定，先算角度反而绕远。 4．反例两则：“必须量出角度相等才认可是平分线”不必要，等距已足够；“只看线段相等不要求垂直”错误，必须都是垂线段。 5．换一个条件：把“证点P在∠AOB平分线上”改成“证射线OP平分∠AOB”，由等距推角相等即可，方向一致。 6．举例：点P到∠MON两边垂线段均为7，不计算即可断定P在∠MON的平分线上。 图示7 易错提醒：判定靠‘等距’反推‘在线上’；不计算判结构只认垂线段相等这一条件。 二、题型一　平分·角平分线性质的直接应用 例1 在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DE＝5，则DF＝（　　）。 A．3　B．4　C．5　D．6 图1 【答案】C 【解析】点D在∠BAC的平分线上，由性质定理，点D到两边AB、AC的距离相等，即DE＝DF＝5，选C。另一做法错在去量∠BAD、∠CAD的度数再算；本题结构已满足，直接援引性质即可。图1 把平分线、两边垂线、等距三要素标出。 变式1-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DF＝8，则DE＝______。 图1-1 【答案】8 【解析】AD是平分线，点D到两边距离相等，故DE＝DF＝8。另一做法错在把DF当成斜边去算长度；这里只比两条垂线段，不涉及斜边。图1-1 把DE与DF画成等长的两条垂线。 变式1-2 不计算准确得数，判断：角平分线上的点到这个角两边的距离相等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 【答案】对 【解析】这是角平分线性质定理的正面表述，点在平分线上即可推出到两边垂线段相等，不必代任何度数，填“对”。另一做法错在想先求角度再判；定理本身就是不计算的结构结论。图1-2 把“线上点”与“两边等距”画成等号。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB与AC不相等，DE＝6，则DF＝______。 图1-3 【答案】6 【解析】点D在平分线AD上，到两边距离相等，与AB、AC是否相等无关，DF＝DE＝6。另一做法错在以为两边不等就会导致距离不等；性质只认‘在线上’这个条件。 在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。若PE＝4，则PF＝______。 图1-4 【答案】4 【解析】P在∠BAC平分线上，到两边垂线段相等，PF＝PE＝4。另一做法错在把P当成任意点；题干明确P在AD上，正是性质适用结构。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB于N、MP⊥AC于P，则MN与MP（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图1-5 【答案】相等 【解析】点M在平分线上，到两边距离必相等，结构既定结论就定，不必代值，填“相等”。另一做法错在去求∠MAB、∠MAC的度数；性质直接给等距。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝7。下列说法正确与否：点D到边AB的距离等于7（　　）（填“对”或“错”）。 图1-6 【答案】对 【解析】DE⊥AB，DE的长度就是点D到AB的距离，已知为7，故说法对。另一做法错在把‘到AC的距离’也当成7去判这句；本句只问AB一侧，DE即是。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若DE＝3，DF却量得为5，则测量（　　）（填“可信”或“有误”）。 图1-7 【答案】有误 【解析】由性质，在平分线上的点到两边距离必相等，DE、DF应同为3，出现5说明测量有误。另一做法错在承认5去算别的；先依定理判定数据矛盾。 在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F。下列等式中一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．BD＝CD　D．AE＝AF 图1-8 【答案】B 【解析】性质保证DE＝DF，与边、段是否相等无关，选B。另一做法错在把‘平分线’联想成‘也平分对边’去选BD＝CD；角平分线一般不分对边。 三、题型二　平分·判定点在角平分线上的识别 例2 在△ABC中，点P在∠BAC的内部，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。若PE＝PF＝6，则点P（　　）。 A．在∠BAC的平分线上　B．在边AB上　C．在边AC上　D．与平分线无关 图2 【答案】A 【解析】到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，判定定理直接给出P在∠BAC平分线上，选A。另一做法错在只看PE＝6就定位；关键是‘两边等距’这一条件。图2 把两边垂线段相等与“P在平分线上”画成推导关系。 变式2-1 不计算，点Q在∠MON内部，Q到OM的垂线段长为5，Q到ON的垂线段长也为5，则Q（　　）（填“在”或“不在”）∠MON的平分线上。 图2-1 【答案】在 【解析】两边垂线段相等即等距，由判定Q必在平分线上，不代任何度数，填“在”。另一做法错在想先求∠MOQ、∠NOQ；等距已足够反推。图2-1 把Q到两边等长垂线标出，箭头指向平分线。 变式2-2 在△ABC中，点P满足：过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，且PE＝PF。则‘P在∠BAC平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图2-2 【答案】成立 【解析】题目给定两边垂线段相等，判定定理即刻推出P在平分线上，填“成立”。另一做法错在要求先证三角形全等；判定本身就是等距推在线上，可直接用。 在△ABC中，点D在∠BAC内部，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，DE＝DF。则AD（　　）∠BAC（填“平分”或“不平分”）。 图2-3 【答案】平分 【解析】D到两边等距，由判定D在平分线上，即AD平分∠BAC，填“平分”。另一做法错在把AD当成普通线段；一旦D在线上，AD就是平分线。 在∠AOB中，点P到OA、OB的垂线段分别是4和4，则点P在（　　）。 A．OA上　B．OB上　C．∠AOB的平分线上　D．∠AOB外 图2-4 【答案】C 【解析】两边距离相等，判定推出P在∠AOB平分线上，选C。另一做法错在把两个4当成坐标去定位；这是等距结构不是坐标法。 不计算，判断：到一个角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图2-5 【答案】对 【解析】这正是判定定理，等距与在线上是充要条件，填“对”。另一做法错在联想‘角平分线上的点到两边等距’误以为单向；判定说明反过来也成立。 在△ABC中，点P、Q都在∠BAC内部，且P、Q到AB、AC的垂线段都相等。则P、Q（　　）（填“都”或“都不”）在∠BAC的平分线上。 图2-6 【答案】都 【解析】凡是到两边等距的内部点都在平分线上，P、Q都满足，故都在，填“都”。另一做法错在以为只一个点在线上；集合观点下整条射线都如此。 在△ABC中，点M在∠BAC平分线上，点N到AB、AC的垂线段也相等。则M、N（　　）（填“都在”或“不都在”）平分线上。 图2-7 【答案】都在 【解析】M由性质在线上的；N由判定因等距也在线上，所以都在，填“都在”。另一做法错在把M、N分开对待；性质与判定正好覆盖两种方向。 在∠XOY中，点R到OX垂线段长为a，到OY垂线段长也为a，则点R（　　）∠XOY的平分线（填“在”或“不在”）。 图2-8 【答案】在 【解析】两垂线段相等，判定给出R在平分线上，填“在”。另一做法错在把a当作未知去解；a相等即等距，与具体数值无关。 在△ABC中，点P在∠BAC内部，PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，PE＝PF。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．P在∠BAC平分线上　C．BE＝CF　D．AP⊥BC 图2-9 【答案】B 【解析】等距推P在平分线上，选B。另一做法错在由等距联想到边相等去选AB＝AC；等距只定位点P，不约束三角形边长。 四、题型三　平分·点到直线距离与不计算判等距 例3 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。先定解：DF＝（　　）；再找一解：在AD上另取一点P，P到AB的距离（　　）；接着找全：△ABC内部到AB、AC距离都等于9的点有哪些（　　）；最后改一个条件：只把‘AD平分∠BAC’改成‘点D到AB、AC垂线段相等’，则DF与DE仍（　　）（填“相等”或“不等”）。 图3 【答案】9；等于9；全部落在AD这条射线上（角平分线上）；相等 【解析】定解：D在平分线上，DF＝DE＝9。找一解：P也在AD上，到AB距离同样等于9。找全：内部到两边距离都为9的点恰是平分线上那段，理由（教师版）：等距点的全体就是平分线，故全部落在AD上，没有角外的等距点。改条件：改成‘D到两边等距’即判定D在平分线上，DF与DE仍相等。图3 把定解、找一解、找全、改条件四步画出。 变式3-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。只找一解：在AD上取一点Q，则Q到AC的距离（　　），并说明它为什么等于这个值（　　）。 图3-1 【答案】9；Q在平分线上，到两边垂线段相等，故等于DE的9 【解析】Q在AD上即在平分线上，到AC距离等于到AB距离9。另一做法错在把Q当成任意内部点；题干锁定Q在AD上，正是性质结构。图3-1 把Q标在平分线上，两条等距垂线高亮。 变式3-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。找全：△ABC内部到AB、AC的距离都等于9的点共有（　　）处（或区域），说明为什么没有别的点（　　）。 图3-2 【答案】无数个（整条AD射线上的点）；角内部到两边等距的点全在平分线上，角外不存在同时垂直两边且等距的点 【解析】内部等距点的全体就是角平分线AD，故是AD上无数个点；角平分线外没有到两边等距的点，因此没有遗漏也没有多余。另一做法错在以为只有D一个点；集合观点下整条射线都满足。图3-2 把平分射线整条圈出，标注“等距点全在此”。 变式3-3 仍以上述△ABC（AD平分∠BAC，DE＝9）为基础。改一个条件：只把∠BAC的大小从80°改成100°，其余不变，则DF（　　）（填“变”或“不变”），数值仍为（　　），并说明为什么角的张开大小不影响这个距离关系（　　）。 图3-3 【答案】不变；9；性质只要求点在平分线上，与角的度数无关 【解析】无论∠BAC是80°还是100°，只要D在平分线上，DF＝DE＝9不变；性质只认‘在线上’不认‘角多大’。另一做法错在以为角变大距离也变；等距是结构关系不随角度变。图3-3 把改前改后两角并排，等距数值仍标9。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝12。先定解DF＝______；再找一解：AD上点P到AB距离为______。 图3-4 【答案】12；12 【解析】D、P都在平分线上，到两边距离都等于12。另一做法错在把P另算；同一条射线上的点等距一致。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝12。找全：内部到AB、AC距离都为12的点落在（　　）。 图3-5 【答案】AD所在的角平分射线上 【解析】等距点全体即平分线，故全部在AD上。另一做法错在以为只在D处；集合观点覆盖整条射线。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝12。改一个条件：只把D改成‘到AB、AC垂线段相等’，则DF由______变为______（实际是否改变）。 图3-6 【答案】12；12（不变） 【解析】改成等距即判定D在线上的，DF仍等于DE＝12，未变。另一做法错在以为条件换了结论就变；性质与判定等价。 在△ABC中，AD平分∠BAC。改一个条件：只把‘DE⊥AB’改成‘DE不垂直于AB’，其余不变，则DF＝DE还（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图3-7 【答案】不成立 【解析】性质中的距离必须是垂线段，DE不垂直则不是距离，无法再用等距结论，故不成立。另一做法错在仍套用DE＝DF；非垂线段不能当代距离。 五、题型四　平分·尺规作角平分线与集合观点 例4 不计算准确得数，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。判断PE与PF的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 【答案】＝ 【解析】P在平分线上，到两边垂线段相等，故PE＝PF，不必代值，填“＝”。另一做法错在拿PE和单个边比；性质比的是两边距离相等。图4 用两张卡 PE 与 PF 画等号。 变式4-1 估算决策：工人要在∠AOB的平分线上立一根杆，手头只有一把可测垂线段长度的尺。不计算准确得数，判断‘只要杆顶到两边垂线段长度相等，杆就一定在平分线上’（　　）（填“够”或“不够”）作为判定依据；一步理由是（　　）。 图4-1 【答案】够；等距与在平分线上是充要条件，无需再算角度 【解析】只要两边垂线段相等即可判定在线上，一步成立，填“够”；理由：判定定理把等距与在线上锁死。另一做法错在还要去量角度复核；多此一举。图4-1 把“测两边等长”与“在平分线上”直接连起来。 变式4-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。只改一个条件：把∠BAC从70°改成110°，其余不变，则DE与DF仍（　　）（填“相等”或“不等”）。 图4-2 【答案】相等 【解析】角的大小变了，但只要D在平分线上，DE＝DF仍成立，填“相等”。另一做法错在以为角变大距离也变；性质不随角度改变。图4-2 把改前改后两角并排，等距仍成立。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB于N、MP⊥AC于P，则MN（　　）MP（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-3 【答案】＝ 【解析】M在平分线上，到两边距离相等，MN＝MP。另一做法错在比较MN与单个角；性质给两边等距。 在△ABC中，点P到AB的垂线段长为3，到AC的垂线段长也为3，则P在∠BAC的（　　）上。 图4-4 【答案】平分线 【解析】两边等距，判定P在∠BAC平分线上。另一做法错在把3当坐标；这是等距结构。 不计算，判断：角的平分线上的点到角两边的距离都相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 【答案】对 【解析】性质定理原话，填“对”。另一做法错在犹豫要不要先证全等；定理已固化该结论。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝10。则点D到边AC的距离是（　　）。 图4-6 【答案】10 【解析】DF⊥AC，其长度即点D到AC的距离，等于DE＝10。另一做法错在把AB侧距离当AC侧；两边等距都取10。 在∠AOB中，点P在平分线上，PH⊥OA于H、PK⊥OB于K，PH＝6。则PK＝______。 图4-7 【答案】6 【解析】P在线上，到两边等距，PK＝PH＝6。另一做法错在去算∠AOH；结构已足。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点Q在AD上，QR⊥AB于R、QS⊥AC于S，则QR与QS（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图4-8 【答案】相等 【解析】Q在平分线上，到两边垂线段相等，填“相等”。另一做法错在想先求∠QAB；性质直接给。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，DE＝5。若有人说‘因为∠BAC不确定，所以DE、DF不一定相等’，这个说法（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 【答案】错 【解析】无论∠BAC多大，只要D在平分线上DE＝DF就成立，说法错误。另一做法错在把角度不确定当结论不确定；等距与角度无关。 六、A、平分·性质证线段相等落实 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝4，则DF＝______。 图5-1 【答案】4 【解析】D在平分线上，到两边等距，DF＝DE＝4。另一做法错在去求∠BAD；结构直接给等距。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DF＝11，则DE＝______。 图5-2 【答案】11 【解析】两边垂线段相等，DE＝DF＝11。另一做法错在把DF当斜边；这里只比两条垂线。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，PE⊥AB、PF⊥AC，则PE与PF（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图5-3 【答案】相等 【解析】P在线上，到两边垂线段相等，结构既定不必代值。另一做法错在想先算角度；性质直接给。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝13。点D到AC的距离是______。 图5-4 【答案】13 【解析】DF即点D到AC的距离，等于DE＝13。另一做法错在把AB侧数值当AC侧；两边一致。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝4。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．AE＝AF　D．BD＝DC 图5-5 【答案】B 【解析】性质保证DE＝DF，选B；其余段边一般不因平分线相等。另一做法错在由平分线联想到边相等去选AB＝AC。 在∠MON中，OP平分∠MON，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA＝7，则PB＝______。 图5-6 【答案】7 【解析】P在平分线上，到两边等距，PB＝PA＝7。另一做法错在去求∠MOA；结构已足。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。若测量得DF＝9，说明数据（　　）（填“一致”或“矛盾”）。 图5-7 【答案】一致 【解析】性质要求DE＝DF，均为9，数据吻合，填一致。另一做法错在怀疑定理去重测；先依性质判吻合。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点R在AD上，RS⊥AB、RT⊥AC，则RS（　　）RT（填“＝”或“≠”）。 图5-8 【答案】＝ 【解析】R在线上到两边等距，RS＝RT。另一做法错在比较RS与单个边；性质给两边等距。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。则DE与DF的差为______。 图5-9 【答案】0 【解析】等距故差为0；另一做法错在去算各自长度再减；结构直接出0。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝8。点D到边AB的距离是（　　）。 图5-10 【答案】8 【解析】DE⊥AB，DE即点D到AB的距离，为8。另一做法错在把DF当距离；本句只问AB一侧。 七、B、平分·改一个条件看结论怎么变 在△ABC中，原AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘AD平分∠BAC’改成‘点D到AB、AC垂线段相等’，其余不变，则DF变为（　　）。 图6-1 【答案】5（不变） 【解析】改成等距即判定D在线上，DF仍等于DE＝5，结论不变。另一做法错在以为换了说法结论就变；判定与性质等价。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把∠BAC从60°改成120°，其余不变，则DE与DF（　　）（填“仍相等”或“不再相等”）。 图6-2 【答案】仍相等 【解析】角大小变不影响‘在线上→等距’，DE＝DF依旧。另一做法错在以为角张大使距离变；等距与角度无关。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘DE⊥AB’改成‘DE不垂直AB’，其余不变，则DF＝DE（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图6-3 【答案】不成立 【解析】距离须为垂线段，DE不垂直则非距离，等距结论失效。另一做法错在仍套用DE＝DF；非垂线段不能当代距离。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把点D从平分线上移到边AB上（仍DE⊥AB），其余不变，则DF（　　）（填“仍等于5”或“不再确定”）。 图6-4 【答案】不再确定 【解析】D离开平分线后无等距保证，DF不再确定等于5。另一做法错在以为D到AB距离为5就自动等于DF；离开线上即失效。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘DF⊥AC’改成‘DF不垂直AC’，其余不变，则还能说DE＝DF吗（　　）（填“能”或“不能”）。 图6-5 【答案】不能 【解析】DF不垂直则不是到AC的距离，无法比较等距。另一做法错在仍把DF当距离；方向必须垂直。 在△ABC中，点D到AB、AC垂线段相等（原在平分线上）。只把‘相等’改成‘DE比DF大2’，其余不变，则D（　　）平分线上（填“仍在”或“不在”）。 图6-6 【答案】不在 【解析】不等距即不满足判定，D不在平分线上。另一做法错在以为位置不变；等距是判定的唯一凭依。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只改∠BAC为直角（90°），其余不变，则DF＝______。 图6-7 【答案】5 【解析】仍在线上的，DF＝DE＝5，与是否直角无关。另一做法错在把直角当成新条件去重算；等距不随角类变。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把D换成平分线上另一点P（PE⊥AB、PF⊥AC），其余不变，则PF＝______。 图6-8 【答案】5 【解析】P同样在线上的，PF＝PE＝DE＝5，全射线等距一致。另一做法错在把P当新点另算；同射线一致。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把AC边换成更长的边（角不变），其余不变，则DF（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-9 【答案】不变 【解析】边长改变不改变‘在线上→等距’，DF仍为5。另一做法错在以为边长变距离也变；等距只认位置。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘AD平分∠BAC’改成‘AD是∠BAC的平分线’，其余不变，则DF＝______。 图6-10 【答案】5 【解析】同一事实换说法，D仍在线上，DF＝DE＝5。另一做法错在以为换表述就改结论；事实未变。 八、C、平分·找全满足条件的点与反例 在△ABC中，AD平分∠BAC。找全：到边AB、AC的距离都恰好为6的点，在△ABC内部落在（　　）。 图7-1 【答案】AD这条角平分射线上 【解析】等距点全体是平分线，故全在AD上；角外无等距点。另一做法错在以为只有D一个点；集合观点覆盖整条射线。 在△ABC中，AD平分∠BAC。说明为什么角平分线外的点不可能同时到AB、AC垂线段相等（　　）。 图7-2 【答案】角外点无法同时向两边作垂线段且等距，等距必落在平分线上 【解析】判定定理保证等距点只在平分线上，角外不满足。另一做法错在假设角外也存在；定理排除。 判断：角平分线上的点到两边的距离相等，反过来也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 【答案】对 【解析】性质与判定互为逆，反过来（等距推在线上）也成立。另一做法错在以为性质单向；判定补全反向。 反例验证：有人说‘过顶点随便画一条射线都能把角分成两个等角’，错误在于（　　）。 图7-4 【答案】只有保证分出的两角相等才是平分线，随意射线一般不等分 【解析】定义要求两角相等，随意射线不满足。另一做法错在把‘过顶点’当成‘平分’；必须等角。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。找全：到AB距离为5且在平分线上的点，到AC的距离必然是（　　）。 图7-5 【答案】5 【解析】在线上即等距，到AC也为5，无需另算。另一做法错在把到AC当成新未知；结构直接给。 判断：到一个角两边距离不相等的点，一定不在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 【答案】对 【解析】性质逆否：不等距则不在线上，填对。另一做法错在犹豫；逆否命题与原命题同真。 在△ABC中，AD平分∠BAC。反例验证：有人说‘距离相等的两个垂线段一定对应同一个点’，错误在于（　　）。 图7-7 【答案】平分线上有无数个点，每个点到两边距离都相等，并非同一点 【解析】集合观点：整条射线都满足等距。另一做法错在以为等距就锁定唯一一点；射线上的点都等距。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。找全：满足DF＝5的点在角内部的位置是（　　）。 图7-8 【答案】AD平分线上（含D）的所有点 【解析】DF＝5即到AC等距为5，结合在线上，全在AD上。另一做法错在只找D；射线整体满足。 判断：角平分线是一条射线而不是线段（　　）（填“对”或“错”）。 图7-9 【答案】对 【解析】平分线从顶点出发无限延伸一侧，是射线不是线段，填对。另一做法错在把它想成一段；射线无终点。 反例验证：有人说‘只要两条线段长度相等，端点就一定在角平分线上’，错误在于（　　）。 图7-10 【答案】等距须是到角两边的垂线段，任意等长线段不说明位置 【解析】判定要求垂线段，不是任意线段。另一做法错在把任意等长当等距；位置无从推出。 九、D、近年真题·角平分线的性质与判定 1．（2026年·江苏·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DE＝6，则DF的长为______。 图8-1 【答案】6 【解析】点D在∠BAC平分线上，由性质定理到两边距离相等，故DF＝DE＝6。易错：去量角度再算；结构已满足直接援引性质。 2．（2026年·山东·期末考试）在△ABC中，点P在∠BAC的内部，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，且PE＝PF＝5。则点P（　　）。 A．在边AB上　B．在∠BAC的平分线上　C．在边AC上　D．在三角形外 图8-2 【答案】B 【解析】到角两边距离相等的点在角的平分线上，判定定理给出P在∠BAC平分线上，选B。易错：把两个5当坐标定位；这是等距结构不是坐标法。 3．（2025年·浙江·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列等式中一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．BD＝CD　D．AE＝AF 图8-3 【答案】B 【解析】性质保证角平分线上的点到两边距离相等，DE＝DF一定成立，选B。易错：由平分线联想到边相等去选AB＝AC；等距只约束距离。 4．（2025年·湖北·期末考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝8。则点D到边AC的距离为______。 图8-4 【答案】8 【解析】DF⊥AC，DF的长度即点D到AC的距离，由性质DF＝DE＝8。易错：把AB侧距离当AC侧；两边等距都取8。 5．（2026年·四川·期中考试）不计算准确得数，判断：角平分线上的点到这个角两边的距离相等（　　）（填“对”或“错”）。 图8-5 【答案】对 【解析】这是角平分线性质定理的正面表述，填对；无需代入度数。易错：想先求角度再判；定理本身是不计算的结构结论。 6．（2025年·广东·期末考试）在△ABC中，点P满足过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，且PE＝PF。则‘P在∠BAC的平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图8-6 【答案】成立 【解析】两边垂线段相等即等距，判定定理推出P在平分线上，成立。易错：要求先证三角形全等；判定直接可用。 7．（2026年·河南·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝7。若测量得DF＝7，说明所测数据（　　）（填“一致”或“矛盾”）。 图8-7 【答案】一致 【解析】性质要求DE＝DF，二者同为7，数据吻合，一致。易错：怀疑定理去重测；先依性质判吻合。 8．（2025年·安徽·期末考试）在∠AOB中，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA＝9，则PB的长为______。 图8-8 【答案】9 【解析】P在∠AOB平分线上，到两边距离相等，PB＝PA＝9。易错：去算∠AOB的度数；结构直接给等距。 十、E、平分·一条等距链·三问收口 对△ABC（AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝10）：(1) 定解 DF＝（　　）；(2) 找一解：AD上另取点P，P到AB距离＝（　　）；(3) 改一个条件：只把∠BAC从70°改成110°，DF变为（　　）。 图9-1 【答案】10；10；10 【解析】第(1)问D在线上DF＝DE＝10。第(2)问P同在AD上，到AB距离同为10。第(3)问角改变不影响等距，DF仍为10。 对△ABC（点P在∠BAC内，PE⊥AB、PF⊥AC，PE＝PF＝8）：(1) 不计算，P（　　）平分线上（填“在”或“不在”）；(2) 找一解：到两边距离都为8的另一个点可在（　　）；(3) 找全：内部满足条件的点都在（　　）。 图9-2 【答案】在；AD平分线上任取；AD平分线上 【解析】第(1)问等距推在线上。第(2)问平分线上任取一点也等距。第(3)问等距点全体即平分线。 对△ABC（AD平分∠BAC，DE＝10）：(1) 点D到AB距离＝（　　）；(2) 点D到AC距离＝（　　）；(3) 只把D改成‘到两边垂线段相等’，结论（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-3 【答案】10；10；不变 【解析】第(1)(2)问等距均为10。第(3)问等距即判定在线上的，结论不变。 对△ABC（AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝10）：(1) 不计算判DE与DF关系（　　）；(2) 估算决策：手头只知DE＝DF能否断定D在平分线上（　　）（填“能”或“不能”）；(3) 一步理由是（　　）。 图9-4 【答案】相等；能；等距与在线上是充要条件 【解析】第(1)问相等。第(2)问能，等距即可判定。第(3)问判定定理锁死充要条件。 对△ABC（AD平分∠BAC）：(1) 性质：线上点（　　）两边距离相等（填“到”或“不到”）；(2) 判定：两边等距的点（　　）线上（填“在”或“不在”）；(3) 找全：内部到两边距离相等的点构成（　　）。 图9-5 【答案】到；在；角平分线（一条射线） 【解析】第(1)(2)问性质与判定方向。第(3)问集合观点：等距点全体即平分线。 对△ABC（AD平分∠BAC，DE＝10）：(1) 改条件：只把‘AD平分∠BAC’改‘D到两边垂线段相等’，DF＝（　　）；(2) 只把∠BAC改成100°，DF＝（　　）；(3) 外角和与此题（　　）（填“有关”或“无关”）。 图9-6 【答案】10；10；无关 【解析】第(1)(2)问改条件与改角度都不影响等距。第(3)问角平分线等距与角和无关。 十一、课堂检测 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB、MP⊥AC，则MN（　　）MP（填“＝”或“≠”）。 图10-1 【答案】＝ 【解析】M在线上到两边等距，MN＝MP。另一做法错在比较MN与单个角；性质给两边等距。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝3，则DF＝______。 图10-2 【答案】3 【解析】等距DF＝DE＝3。另一做法错在去求∠BAD；结构直接给。 在△ABC中，点P到AB、AC的垂线段都是4，则P在∠BAC的（　　）上。 图10-3 【答案】平分线 【解析】等距推在平分线上。另一做法错在把4当坐标；这是等距结构。 在∠AOB中，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA＝5，则PB＝______。 图10-4 【答案】5 【解析】P在线上等距，PB＝5。另一做法错在去算∠AOB；结构已足。 不计算，判断：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图10-5 【答案】对 【解析】判定定理，填对。另一做法错在以为性质单向；判定补全反向。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝7。点D到AC的距离是______。 图10-6 【答案】7 【解析】DF即到AC距离，为7。另一做法错在把AB侧数值当AC侧；两边一致。 估算决策：要确认一根杆是否在∠AOB平分线上，只比较杆顶到两边垂线段长度是否相等即可（　　）（填“够”或“不够”）。 图10-7 【答案】够 【解析】等距即判定在线上，一步足够。另一做法错在还要量角度复核；多此一举。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。若有人说‘角度未给定所以DE、DF不一定相等’，这说法（　　）（填“对”或“错”）。 图10-8 【答案】错 【解析】等距与角度无关，说法错误。另一做法错在把角度不确定当结论不确定；等距只认位置。 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点Q在AD上，QR⊥AB、QS⊥AC，则QR与QS（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图10-9 【答案】相等 【解析】Q在线上等距，填相等。另一做法错在想先求∠QAB；性质直接给。 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。只把D换成平分线上另一点R（RS⊥AB、RT⊥AC），则RT＝______。 图10-10 【答案】6 【解析】R同在线上等距，RT＝6。另一做法错在把R当新点另算；同射线一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、知识与方法　平分·知识梳理与方法 2 二、题型一　平分·角平分线性质的直接应用 7 三、题型二　平分·判定点在角平分线上的识别 10 四、题型三　平分·点到直线距离与不计算判等距 13 五、题型四　平分·尺规作角平分线与集合观点 15 六、A、平分·性质证线段相等落实 18 七、B、平分·改一个条件看结论怎么变 21 八、C、平分·找全满足条件的点与反例 23 九、D、近年真题·角平分线的性质与判定 26 十、E、平分·一条等距链·三问收口 28 十一、课堂检测 30 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法　平分·知识梳理与方法 图0 知识点一　角的平分线：一条把角分成两个相等角的射线 1．从顶点出发的一条射线，把一个角分成度数相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线；若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC。 2．尺规作图作已知角的平分线：以顶点O为圆心画弧交两边于M、N，再分别以M、N为圆心画等弧交于P，射线OP即为∠AOB的平分线。 3．为什么尺规作法正确：由OM＝ON、PM＝PN、OP公共，得△OMP与△ONP全等（SSS），从而∠MOP＝∠NOP，射线OP确为平分线。 4．反例两则：“任意一条过顶点的射线都是角平分线”不成立，必须保证分出的两角相等；“只用一把直尺也能作出角平分线”不成立，缺圆规无法保证等距。 5．换一个条件：把“已知∠AOB求作平分线”改成“已知∠AOC＝∠BOC，判断OC是否平分线”，由两角相等直接判定，不必再作图。 6．举例：∠AOB＝80°时，其平分线把它分成∠AOC＝∠BOC＝40°的两个角。 图示1 易错提醒：角平分线是射线不是线段；尺规作图的依据是两次构造全等三角形，不是凭眼睛平分。 知识点二　点到直线的距离：垂线段的长度 1．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离；距离是一个非负数，用长度衡量。 2．作距离的步骤：过点P向直线l作垂线，垂足为H，则线段PH的长度就是点P到直线l的距离。 3．为什么用垂线段：在所有连接点P与直线l上点的线段中，垂线段最短，所以把“最短的那条”的长度定义为距离。 4．反例两则：“连接点P与直线l上任一点的线段长都是距离”不成立，只有垂线段才算；“斜着量的长度”比垂线段长，不能当距离。 5．换一个条件：把“点P在直线外”改成“点P在直线上”，此时垂足就是P本身，距离为0。 6．举例：过点P作PH⊥l于H，若PH＝5，则点P到直线l的距离为5。 图示2 易错提醒：距离指垂线段的长度，不是斜线段；点在直线上时距离为0。 知识点三　角平分线性质：平分线上的点到两边距离相等 1．角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等；若OC平分∠AOB，点P在OC上，PE⊥OA、PF⊥OB，则PE＝PF。 2．证明思路：由OC是平分线得∠AOC＝∠BOC，又∠PEO＝∠PFO＝90°、OP公共，得△OPE与△OPF全等（AAS），故PE＝PF。 3．为什么不必再证全等也能用：性质定理本身已把“在平分线上”与“到两边等距”锁死，遇到此类结构直接援引即可。 4．反例两则：“到两边距离相等的点一定在角平分线上”是判定不是性质，性质方向是点在线上推等距；“不在平分线上的点也可能等距”不成立，等距必在线上（判定保证）。 5．换一个条件：把“PE⊥OA、PF⊥OB”改成“过点P作两边的垂线”，只要垂足明确，结论PE＝PF不变。 6．举例：OC平分∠AOB，P在OC上且PE＝4，则PF也等于4。 图示3 易错提醒：性质用于‘已知点在线上的平分线，证两垂线段相等’；距离必须是垂线段，斜的不能代。 知识点四　角平分线判定：到两边等距的点在平分线上 1．到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；若PE⊥OA、PF⊥OB且PE＝PF，则点P在∠AOB的平分线上。 2．证明思路：连OP，由PE＝PF、OP公共、两直角相等，得△OPE与△OPF全等（HL），推得∠AOP＝∠BOP，故OP平分∠AOB。 3．为什么方向反过来也成立：性质与判定互为逆定理，等距是“在平分线上”的充要条件，结构一旦满足等距即可反推。 4．反例两则：“距离相等就一定是同一点”不成立，角的内部满足条件的点都在同一条平分射线上；“只看线段长不看垂直”不成立，必须都是垂线段。 5．换一个条件：把“PE＝PF”改成“点P到两边垂线段长度相等”，表述不同事实相同，判定照样成立。 6．举例：点P到∠AOB两边垂线段都是6，则P必在∠AOB的平分线上。 图示4 易错提醒：判定用于‘已知两垂线段相等，证点在平分线上’；和性质配套，方向相反。 知识点五　角的平分线是到两边等距的所有点的集合 1．角的平分线恰好由“到这个角两边距离相等”的全部点组成，多一个不多、少一个不少。 2．内部视角：角内部每一个到两边等距的点都落在平分线上，平分线外部不存在到两边等距的点。 3．为什么叫集合：性质说“线上的点到两边等距”，判定说“等距的点在线上”，合起来平分线上点的全体＝等距点的全体。 4．反例两则：“角平分线上有两个分支”不成立，它是从顶点出发的一条射线；“等距点可能落在角外”不成立，角外点无法同时垂直两边等距。 5．换一个条件：把“角的内部”改成“整个平面”，平面中到两边等距的点除平分射线外，还多出反向延长线，需限定在角内部。 6．举例：∠AOB内到OA、OB距离都为3的点，全部排在它的平分线上。 图示5 易错提醒：集合观点把性质与判定合二为一；谈‘所有点’时必须限定在角的内部。 知识点六　用性质证线段相等：不必再走一遍全等 1．已知点在角平分线上且向两边作垂线，要证两垂线段相等，直接套性质即可，无需重新证明全等。 2．典型结构：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，则DE＝DF，用来替换“证两次全等”。 3．为什么更快：性质定理已经把“线上→等距”固化，凡见此结构就把等距当已知条件用，省去重复推理。 4．反例两则：“先连再证全等才敢写DE＝DF”绕远，结构已满足时直接援引；“用斜线段代替垂线段”错误，只有垂线才算距离。 5．换一个条件：把“AD平分∠BAC”改成“AD是∠BAC的平分线”，同一事实不同说法，结论DE＝DF不变。 6．举例：AD平分∠BAC，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，若AB边上的垂线段为5，则AC边上的也为5。 图示6 易错提醒：见到‘平分线＋两边垂线’就直接得等距；别把已经成立的定理又证一遍。 知识点七　用判定证点在线上与不计算判等距 1．要证某点在角平分线上，只要证它到两边垂线段相等，援引判定定理即可，无需先求角度。 2．不计算也能判：若已知两垂线段长度相等，凭判定直接断定该点在平分线上，不必代入任何度数。 3．为什么不计算也行：等距与是否在平分线上是充要条件，结构满足结论就定，先算角度反而绕远。 4．反例两则：“必须量出角度相等才认可是平分线”不必要，等距已足够；“只看线段相等不要求垂直”错误，必须都是垂线段。 5．换一个条件：把“证点P在∠AOB平分线上”改成“证射线OP平分∠AOB”，由等距推角相等即可，方向一致。 6．举例：点P到∠MON两边垂线段均为7，不计算即可断定P在∠MON的平分线上。 图示7 易错提醒：判定靠‘等距’反推‘在线上’；不计算判结构只认垂线段相等这一条件。 二、题型一　平分·角平分线性质的直接应用 例1 在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DE＝5，则DF＝（　　）。 A．3　B．4　C．5　D．6 图1 变式1-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DF＝8，则DE＝______。 图1-1 变式1-2 不计算准确得数，判断：角平分线上的点到这个角两边的距离相等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB与AC不相等，DE＝6，则DF＝______。 图1-3 在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。若PE＝4，则PF＝______。 图1-4 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB于N、MP⊥AC于P，则MN与MP（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图1-5 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝7。下列说法正确与否：点D到边AB的距离等于7（　　）（填“对”或“错”）。 图1-6 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若DE＝3，DF却量得为5，则测量（　　）（填“可信”或“有误”）。 图1-7 在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F。下列等式中一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．BD＝CD　D．AE＝AF 图1-8 三、题型二　平分·判定点在角平分线上的识别 例2 在△ABC中，点P在∠BAC的内部，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。若PE＝PF＝6，则点P（　　）。 A．在∠BAC的平分线上　B．在边AB上　C．在边AC上　D．与平分线无关 图2 变式2-1 不计算，点Q在∠MON内部，Q到OM的垂线段长为5，Q到ON的垂线段长也为5，则Q（　　）（填“在”或“不在”）∠MON的平分线上。 图2-1 变式2-2 在△ABC中，点P满足：过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，且PE＝PF。则‘P在∠BAC平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图2-2 在△ABC中，点D在∠BAC内部，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，DE＝DF。则AD（　　）∠BAC（填“平分”或“不平分”）。 图2-3 在∠AOB中，点P到OA、OB的垂线段分别是4和4，则点P在（　　）。 A．OA上　B．OB上　C．∠AOB的平分线上　D．∠AOB外 图2-4 不计算，判断：到一个角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图2-5 在△ABC中，点P、Q都在∠BAC内部，且P、Q到AB、AC的垂线段都相等。则P、Q（　　）（填“都”或“都不”）在∠BAC的平分线上。 图2-6 在△ABC中，点M在∠BAC平分线上，点N到AB、AC的垂线段也相等。则M、N（　　）（填“都在”或“不都在”）平分线上。 图2-7 在∠XOY中，点R到OX垂线段长为a，到OY垂线段长也为a，则点R（　　）∠XOY的平分线（填“在”或“不在”）。 图2-8 在△ABC中，点P在∠BAC内部，PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，PE＝PF。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．P在∠BAC平分线上　C．BE＝CF　D．AP⊥BC 图2-9 四、题型三　平分·点到直线距离与不计算判等距 例3 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。先定解：DF＝（　　）；再找一解：在AD上另取一点P，P到AB的距离（　　）；接着找全：△ABC内部到AB、AC距离都等于9的点有哪些（　　）；最后改一个条件：只把‘AD平分∠BAC’改成‘点D到AB、AC垂线段相等’，则DF与DE仍（　　）（填“相等”或“不等”）。 图3 变式3-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。只找一解：在AD上取一点Q，则Q到AC的距离（　　），并说明它为什么等于这个值（　　）。 图3-1 变式3-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。找全：△ABC内部到AB、AC的距离都等于9的点共有（　　）处（或区域），说明为什么没有别的点（　　）。 图3-2 变式3-3 仍以上述△ABC（AD平分∠BAC，DE＝9）为基础。改一个条件：只把∠BAC的大小从80°改成100°，其余不变，则DF（　　）（填“变”或“不变”），数值仍为（　　），并说明为什么角的张开大小不影响这个距离关系（　　）。 图3-3 解答： 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝12。先定解DF＝______；再找一解：AD上点P到AB距离为______。 图3-4 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝12。找全：内部到AB、AC距离都为12的点落在（　　）。 图3-5 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝12。改一个条件：只把D改成‘到AB、AC垂线段相等’，则DF由______变为______（实际是否改变）。 图3-6 在△ABC中，AD平分∠BAC。改一个条件：只把‘DE⊥AB’改成‘DE不垂直于AB’，其余不变，则DF＝DE还（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图3-7 五、题型四　平分·尺规作角平分线与集合观点 例4 不计算准确得数，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F。判断PE与PF的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 变式4-1 估算决策：工人要在∠AOB的平分线上立一根杆，手头只有一把可测垂线段长度的尺。不计算准确得数，判断‘只要杆顶到两边垂线段长度相等，杆就一定在平分线上’（　　）（填“够”或“不够”）作为判定依据；一步理由是（　　）。 图4-1 变式4-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。只改一个条件：把∠BAC从70°改成110°，其余不变，则DE与DF仍（　　）（填“相等”或“不等”）。 图4-2 解答： 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB于N、MP⊥AC于P，则MN（　　）MP（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-3 在△ABC中，点P到AB的垂线段长为3，到AC的垂线段长也为3，则P在∠BAC的（　　）上。 图4-4 不计算，判断：角的平分线上的点到角两边的距离都相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝10。则点D到边AC的距离是（　　）。 图4-6 在∠AOB中，点P在平分线上，PH⊥OA于H、PK⊥OB于K，PH＝6。则PK＝______。 图4-7 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点Q在AD上，QR⊥AB于R、QS⊥AC于S，则QR与QS（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图4-8 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，DE＝5。若有人说‘因为∠BAC不确定，所以DE、DF不一定相等’，这个说法（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 六、A、平分·性质证线段相等落实 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝4，则DF＝______。 图5-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DF＝11，则DE＝______。 图5-2 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P在AD上，PE⊥AB、PF⊥AC，则PE与PF（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图5-3 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝13。点D到AC的距离是______。 图5-4 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝4。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．AE＝AF　D．BD＝DC 图5-5 在∠MON中，OP平分∠MON，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA＝7，则PB＝______。 图5-6 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝9。若测量得DF＝9，说明数据（　　）（填“一致”或“矛盾”）。 图5-7 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点R在AD上，RS⊥AB、RT⊥AC，则RS（　　）RT（填“＝”或“≠”）。 图5-8 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。则DE与DF的差为______。 图5-9 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝8。点D到边AB的距离是（　　）。 图5-10 七、B、平分·改一个条件看结论怎么变 在△ABC中，原AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘AD平分∠BAC’改成‘点D到AB、AC垂线段相等’，其余不变，则DF变为（　　）。 图6-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把∠BAC从60°改成120°，其余不变，则DE与DF（　　）（填“仍相等”或“不再相等”）。 图6-2 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘DE⊥AB’改成‘DE不垂直AB’，其余不变，则DF＝DE（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图6-3 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把点D从平分线上移到边AB上（仍DE⊥AB），其余不变，则DF（　　）（填“仍等于5”或“不再确定”）。 图6-4 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘DF⊥AC’改成‘DF不垂直AC’，其余不变，则还能说DE＝DF吗（　　）（填“能”或“不能”）。 图6-5 在△ABC中，点D到AB、AC垂线段相等（原在平分线上）。只把‘相等’改成‘DE比DF大2’，其余不变，则D（　　）平分线上（填“仍在”或“不在”）。 图6-6 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只改∠BAC为直角（90°），其余不变，则DF＝______。 图6-7 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把D换成平分线上另一点P（PE⊥AB、PF⊥AC），其余不变，则PF＝______。 图6-8 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把AC边换成更长的边（角不变），其余不变，则DF（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-9 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。只把‘AD平分∠BAC’改成‘AD是∠BAC的平分线’，其余不变，则DF＝______。 图6-10 八、C、平分·找全满足条件的点与反例 在△ABC中，AD平分∠BAC。找全：到边AB、AC的距离都恰好为6的点，在△ABC内部落在（　　）。 图7-1 在△ABC中，AD平分∠BAC。说明为什么角平分线外的点不可能同时到AB、AC垂线段相等（　　）。 图7-2 判断：角平分线上的点到两边的距离相等，反过来也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 反例验证：有人说‘过顶点随便画一条射线都能把角分成两个等角’，错误在于（　　）。 图7-4 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。找全：到AB距离为5且在平分线上的点，到AC的距离必然是（　　）。 图7-5 判断：到一个角两边距离不相等的点，一定不在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 在△ABC中，AD平分∠BAC。反例验证：有人说‘距离相等的两个垂线段一定对应同一个点’，错误在于（　　）。 图7-7 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝5。找全：满足DF＝5的点在角内部的位置是（　　）。 图7-8 判断：角平分线是一条射线而不是线段（　　）（填“对”或“错”）。 图7-9 反例验证：有人说‘只要两条线段长度相等，端点就一定在角平分线上’，错误在于（　　）。 图7-10 九、D、近年真题·角平分线的性质与判定 1．（2026年·江苏·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DE＝6，则DF的长为______。 图8-1 2．（2026年·山东·期末考试）在△ABC中，点P在∠BAC的内部，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，且PE＝PF＝5。则点P（　　）。 A．在边AB上　B．在∠BAC的平分线上　C．在边AC上　D．在三角形外 图8-2 3．（2025年·浙江·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。下列等式中一定成立的是（　　）。 A．AB＝AC　B．DE＝DF　C．BD＝CD　D．AE＝AF 图8-3 4．（2025年·湖北·期末考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝8。则点D到边AC的距离为______。 图8-4 5．（2026年·四川·期中考试）不计算准确得数，判断：角平分线上的点到这个角两边的距离相等（　　）（填“对”或“错”）。 图8-5 6．（2025年·广东·期末考试）在△ABC中，点P满足过点P作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，且PE＝PF。则‘P在∠BAC的平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图8-6 7．（2026年·河南·期中考试）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝7。若测量得DF＝7，说明所测数据（　　）（填“一致”或“矛盾”）。 图8-7 8．（2025年·安徽·期末考试）在∠AOB中，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA＝9，则PB的长为______。 图8-8 十、E、平分·一条等距链·三问收口 对△ABC（AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝10）：(1) 定解 DF＝（　　）；(2) 找一解：AD上另取点P，P到AB距离＝（　　）；(3) 改一个条件：只把∠BAC从70°改成110°，DF变为（　　）。 图9-1 对△ABC（点P在∠BAC内，PE⊥AB、PF⊥AC，PE＝PF＝8）：(1) 不计算，P（　　）平分线上（填“在”或“不在”）；(2) 找一解：到两边距离都为8的另一个点可在（　　）；(3) 找全：内部满足条件的点都在（　　）。 图9-2 对△ABC（AD平分∠BAC，DE＝10）：(1) 点D到AB距离＝（　　）；(2) 点D到AC距离＝（　　）；(3) 只把D改成‘到两边垂线段相等’，结论（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-3 对△ABC（AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝10）：(1) 不计算判DE与DF关系（　　）；(2) 估算决策：手头只知DE＝DF能否断定D在平分线上（　　）（填“能”或“不能”）；(3) 一步理由是（　　）。 图9-4 对△ABC（AD平分∠BAC）：(1) 性质：线上点（　　）两边距离相等（填“到”或“不到”）；(2) 判定：两边等距的点（　　）线上（填“在”或“不在”）；(3) 找全：内部到两边距离相等的点构成（　　）。 图9-5 对△ABC（AD平分∠BAC，DE＝10）：(1) 改条件：只把‘AD平分∠BAC’改‘D到两边垂线段相等’，DF＝（　　）；(2) 只把∠BAC改成100°，DF＝（　　）；(3) 外角和与此题（　　）（填“有关”或“无关”）。 图9-6 十一、课堂检测 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M在AD上，MN⊥AB、MP⊥AC，则MN（　　）MP（填“＝”或“≠”）。 图10-1 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝3，则DF＝______。 图10-2 在△ABC中，点P到AB、AC的垂线段都是4，则P在∠BAC的（　　）上。 图10-3 在∠AOB中，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA＝5，则PB＝______。 图10-4 不计算，判断：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图10-5 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝7。点D到AC的距离是______。 图10-6 估算决策：要确认一根杆是否在∠AOB平分线上，只比较杆顶到两边垂线段长度是否相等即可（　　）（填“够”或“不够”）。 图10-7 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。若有人说‘角度未给定所以DE、DF不一定相等’，这说法（　　）（填“对”或“错”）。 图10-8 不计算，在△ABC中，AD平分∠BAC，点Q在AD上，QR⊥AB、QS⊥AC，则QR与QS（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图10-9 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝6。只把D换成平分线上另一点R（RS⊥AB、RT⊥AC），则RT＝______。 图10-10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $