专题14.3 角的平分线（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题14.3 角的平分线 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握用尺规作已知角的平分线的方法，理解作图的理论依据 掌握角的平分线的性质定理，能运用性质解决线段相等、面积计算等问题 掌握角的平分线的判定定理，能运用判定证明点在角平分线上 能综合运用角平分线的性质和判定解决较复杂的几何问题 2.过程与方法 经历"操作—观察—猜想—验证—证明"的探究过程，发展几何直观和推理能力 通过角平分线性质和判定的对比学习，体会互逆的数学思想 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 全等三角形的判定与性质 SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法；全等三角形对应边相等、对应角相等 角平分线的性质和判定都需要通过证明三角形全等来推导 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 角平分线性质中的"距离"特指点到角两边的垂线段的长度 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 角平分线的定义是性质和判定的基础，也是最基本的判定方法 垂直的定义与性质 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直 角平分线性质中涉及到垂线段，需要用到垂直的相关知识 知识点1：尺规作已知角的平分线 1.作图步骤 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法： 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N 分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P 作射线OP，射线OP即为所求 2.作图依据 作图的理论依据是全等三角形的SSS判定。 连接MP、NP，在△OMP和△ONP中： ∴△OMP≌△ONP（SSS） ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB 3.注意事项 "适当长"的含义：不宜太长也不宜太短，以方便作图为准 两弧的交点必须在角的内部，否则作出的不是角的平分线 半径必须大于，否则两弧没有交点 知识点2：角的平分线的性质 1.性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.符号语言 如图，∵OP是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ∴PD=PE 3.解读 这里的"距离"指的是点到角两边的垂线段的长度，不是任意线段 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形 使用该性质的前提条件：图中有角平分线、有垂直（即点到两边的距离） 角平分线的性质是证明线段相等的重要方法之一，比用全等更简捷 4.应用技巧 运用角平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论。 知识点3：角的平分线的判定 1.判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.符号语言 如图，∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） 3.性质与判定的区别与联系 性质 判定 条件 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 结论 点到角两边的距离相等 点在角平分线上 作用 证明线段相等 证明角相等或点在角平分线上 关系 互为逆命题 互为逆命题 4.拓展结论 三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 这个点叫做三角形的内心，是三角形内切圆的圆心 角的平分线可以看作是角的内部到角两边距离相等的所有点的集合 【基础巩固题型】 【题型1】角平分线性质求线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理；点到直线的距离；垂线段的识别 2.解题方法技巧 ①条件确认法：确认有角平分线、有垂直两个条件，才能应用性质 ②距离识别法：准确识别哪条线段是点到角两边的距离，即垂线段 ③直接应用法：由角平分线性质直接得出垂线段相等，求出长度 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作，根据角平分线的性质定理得，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点F， ∵平分，， ∴． ∵， ∴, 解得． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型2】角平分线与角度计算 1.核心知识点 角平分线的定义；角的和差运算；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①角度拆分法：利用角平分线将一个角拆分为两个相等的角 ②和差计算法：结合角的和差关系，计算未知角的度数 ③方程思想法：设未知数，根据角度关系列方程求解 【例题2】.（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到的距离，然后再根据三角形中线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为， 是角平分线， ，设，， ∴， ， 解得，， ， 是的中线， ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 【题型3】角平分线性质求三角形面积 1.核心知识点 角平分线的性质；三角形面积公式；等底等高三角形面积关系 2.解题方法技巧 ①高的转化法：利用角平分线性质，将点到两边的距离作为三角形的高 ②面积公式法：运用三角形面积公式，结合高相等的条件计算面积 ③面积比法：两个三角形等高时，面积比等于底边长的比 【例题3】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/74度 【分析】由，，，，可得，分别平分，，则，，则由，可得． 【详解】解：∵，，，， ∴，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 【题型4】角平分仪的原理 1.核心知识点 角平分线的判定；全等三角形的SSS判定；数学原理的实际应用 2.解题方法技巧 ①实物抽象法：将角平分仪的结构抽象为几何图形，找出相等的边 ②原理推导法：用SSS证明三角形全等，从而得出角相等 ③联系实际法：理解角平分仪的工作原理，体会数学的应用价值 【例题4】.（25-26八年级上·河南安阳·期末）考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断即可． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺， ， 平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上， 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． (1)如图1，射线是的平分线的依据是______； A．    B．    C．    D． (2)如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； (3)如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 【答案】(1)C (2) (3)解：射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴，，， ∴，即． 又， ， ∴． 在和中：， ， ，即是的平分线． 【分析】（1）因为作图步骤中得到了三组对应边相等，所以可利用全等三角形的判定定理来确定依据，进而判断是角平分线的理由． （2）因为是角平分线，根据角平分线的性质可得到点L到的距离等于的长度；然后利用三角形面积公式，代入对应底和高的数值即可计算面积． （3）因为已知两个三角形全等，所以可得对应边、对应角相等；再结合已知条件，可证明 ，根据全等三角形对应角相等，得到，从而判断是否为角平分线． 【详解】（1）解：由尺规作图步骤可得：，，为公共边，三边对应相等，依据判定，从而得到是角平分线，因此选C． （2）解：∵是的平分线， 又∵，， ∴点到的距离h也等于． ∴． （3）略 【变式题4-3】.（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）略 【培优提升题型】 【题型5】尺规作角平分线 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤；作图的理论依据；作图注意事项 2.解题方法技巧 ①三步作图法：按照"画弧—交两边—再画弧—交内部—作射线"的步骤规范作图 ②依据分析法：用SSS证明三角形全等，从而说明作图的正确性 ③细节注意法：注意半径长度、交点位置等细节，确保作图准确 【例题5】.（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知点C是的边上的一点，请用尺规作图法求作一点P，使点P到，的距离相等且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知：点在的角平分线上，故先作出的角平分线，再在角平分线上取点，使即可解题． 【详解】略 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求. (2) 【分析】（1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）先求解，，再结合三角形的高与直角三角形的两锐角互余可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：，，， ． 是的平分线， ． ， ．     ， ． ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)①；② (2)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则点E即为所求；②根据角平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）证明，即可证明； （3）由三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6】三角形三条角平分线交点性质 1.核心知识点 角平分线的性质与判定；三角形内心的概念；点到直线的距离 2.解题方法技巧 ①性质应用法：利用角平分线性质得出交点到三边距离相等 ②判定验证法：验证交点到两边距离相等，得出在第三条角平分线上 ③结论记忆法：记住三角形三条角平分线交于一点的重要结论 【例题6】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，电信部门要在内部修建一座电视信号发射塔．按照要求，发射塔到两个城镇、的距离相等，到两条公路和的距离也必须相等．则发射塔应该修建在（　　） A．两个角的角平分线的交点 B．线段的垂直平分线与的角平分线的交点 C．的角平分线与线段的垂直平分线的交点 D．线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质的应用是解题的关键．根据发射塔到两个城镇A、B的距离相等，可知发射塔在线段的垂直平分线上，再根据发射塔到两条公路的距离也必须相等，可知发射塔在的角平分线上，综上即可推出答案． 【详解】解：∵发射塔到两个城镇A、B的距离相等， ∴发射塔应修建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条公路和的距离也必须相等， ∴发射塔应修建在的角平分线上， ∴发射塔应修建在线段的垂直平分线与的角平分线的交点． 故选：B． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·全国·期中）如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 根据角平分线的性质得到点到、、的距离相等，设到、、的距离为，利用面积公式得到． 【详解】解：是三条角平分线交点， 点到、、的距离相等， 设到、、的距离为， ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有妙用．如图①，在面积为的中，，，，三条角平分线的交点到三边的距离为．连接，，，将划分为三个小三角形． ，． 【类比推理】（1）若面积为的四边形的四条角平分线交于点，如图②，且，，，．求点到四边形四条边的距离． 【理解应用】（2）如图③，在四边形中，，，，，对角线，点，分别为与的三条角平分线的交点．设它们到各自三角形三边的距离为和，则的值为__________． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积计算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据给出的示例，我们仿照例子，连接，，，，则四边形被分为四个小三角形，根据角平分线的性质可得点到四边形的四条边的距离相等，设这个距离为，根据四边形的面积为分割成的四个三角形的面积之和，由此即可求出点到四边形四条边的距离； （2）根据平行线之间的距离处处相等，可得到与的面积比等于底之比；根据（1）中的结论分别表示出和，然后求比值即可． 【详解】解：（1）如图，连接，，，． 根据角平分线的性质可得点到四边形的四条边的距离相等，设这个距离为． ． ． 故点到四边形四条边的距离均为． （2） ， ． ，， ． 【压轴素养题型】 【题型7】利用角平分线构造全等三角形 1.核心知识点 角平分线的性质；全等三角形的判定；辅助线的添加方法 2.解题方法技巧 ①作垂线段法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造全等直角三角形 ②截长补短法：在角的两边截取相等线段，构造全等三角形 ③延长垂线法：角平分线遇垂线，延长构造等腰三角形 【例题7】.（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/31度 【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得是的角平分线， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与之间的距离为6，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)24 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据得，根据平分得，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得，由此可判定，进而根据全等三角形的性质可得出结论； （3）过点A作于点H，根据三角形的面积不变性解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点H，如图所示： ∵与之间的距离为6， ∴， ∵， ∴由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， ∴． 【题型8】角平分线的综合探究 1.核心知识点 角平分线的性质与判定；全等三角形；三角形面积；综合推理能力 2.解题方法技巧 ①性质判定联用法：性质和判定交替使用，层层推进证明 ②面积法：利用三角形面积的不同表示方法，建立等式关系 ③辅助线构造法：根据题目特点，灵活添加辅助线构造全等或特殊图形 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形． 如图1：在中，是中线，求证：； （2）类比探究 如图2：在中，是角平分线，求证：； （3）进阶探究： 如图2：在中，是角平分线，，，那么______．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查三角形中线、角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质定理等知识是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形中线的定义可得，然后由三角形面积公式可得，即可证明结论； （2）过作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，根据三角形面积公式的得到，，即可证明； （3）过点作于点，易证，结合（2）中结论得到，即可解答． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵ 在中，是中线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过作，，垂足分别为，， 平分， ， ，， ，即； （3）解：过点作于点， ，， ，即， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解：        ， ① 在和中， ， ∴② ． (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得到平分即可. 【详解】（1）解： ， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ； （3）解：． 理由：如图，过点A作于点M，作于点N． 由（1）可知，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵； ∴平分. ∴. 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 【情境】同学们在小组探究过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图难以完成的三等分角问题． 【模型】如图是小组设计出的三等分角的仪器——勾尺（图1）．勾尺的直角顶点为，每臂的对边均平行，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足三点共线． 【操作】小组利用手中的勾尺，通过下列操作步骤将三等分： 第一步：画经过的直线，使；（图2） 第二步：移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上；（图3） 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．（图4） 【探究】该小组欲利用图4证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程． 证明：过点作于，由题意得（不用证明） 又∵…… 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线、平行的性质以及线段垂直平分线的性质，首先利用平行线的性质得到直角，进而判定点在的平分线上， 通过垂直平分线段，推导出三个角相等，从而证明射线和射线是的三等分线． 【详解】证明：过点作于，由题意得 又，， ， ， 点在的平分线上， ； ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， 射线和射线是的三等分线． 易错点 1、混淆角平分线的性质与判定，不清楚何时用性质、何时用判定 2、应用角平分线性质时，忽略"距离"必须是垂线段的长度 3、角平分线的判定忽略"点在角的内部"这个前提条件 4、尺规作角平分线时，两弧半径小于，导致没有交点 5、证明角平分线时，直接用"到两边距离相等"，未先说明是垂线段 重点 1、角平分线的性质定理及其应用（证明线段相等、求面积等） 2、角平分线的判定定理及其应用（证明点在角平分线上） 3、角平分线性质与判定的综合应用 难点 1、角平分线性质与判定的区别与联系，以及灵活选用 2、利用角平分线构造全等三角形的辅助线添加方法 3、角平分线与动点、最值等综合问题的分析与解决 4、角平分线在实际问题中的数学建模与应用 一、单选题 1．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 2．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 3．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 二、填空题 4．如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，即可推导出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即． 5．如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 6．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和为和角平分线的性质求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，是的平分线，，垂足为，若的面积为，求的长． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：因为，所以． 又是的平分线，， 所以． 因为， 所以， 解得． 8．如图，在中，，． (1)求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）由角平分线求出，再利用三角形内角和算出． 【详解】（1）略 （2）解：，平分， ， ， ． 9．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 10．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.3 角的平分线 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握用尺规作已知角的平分线的方法，理解作图的理论依据 掌握角的平分线的性质定理，能运用性质解决线段相等、面积计算等问题 掌握角的平分线的判定定理，能运用判定证明点在角平分线上 能综合运用角平分线的性质和判定解决较复杂的几何问题 2.过程与方法 经历"操作—观察—猜想—验证—证明"的探究过程，发展几何直观和推理能力 通过角平分线性质和判定的对比学习，体会互逆的数学思想 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 全等三角形的判定与性质 SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法；全等三角形对应边相等、对应角相等 角平分线的性质和判定都需要通过证明三角形全等来推导 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 角平分线性质中的"距离"特指点到角两边的垂线段的长度 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 角平分线的定义是性质和判定的基础，也是最基本的判定方法 垂直的定义与性质 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直 角平分线性质中涉及到垂线段，需要用到垂直的相关知识 知识点1：尺规作已知角的平分线 1.作图步骤 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法： 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N 分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P 作射线OP，射线OP即为所求 2.作图依据 作图的理论依据是全等三角形的SSS判定。 连接MP、NP，在△OMP和△ONP中： ∴△OMP≌△ONP（SSS） ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB 3.注意事项 "适当长"的含义：不宜太长也不宜太短，以方便作图为准 两弧的交点必须在角的内部，否则作出的不是角的平分线 半径必须大于，否则两弧没有交点 知识点2：角的平分线的性质 1.性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.符号语言 如图，∵OP是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ∴PD=PE 3.解读 这里的"距离"指的是点到角两边的垂线段的长度，不是任意线段 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形 使用该性质的前提条件：图中有角平分线、有垂直（即点到两边的距离） 角平分线的性质是证明线段相等的重要方法之一，比用全等更简捷 4.应用技巧 运用角平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论。 知识点3：角的平分线的判定 1.判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.符号语言 如图，∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） 3.性质与判定的区别与联系 性质 判定 条件 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 结论 点到角两边的距离相等 点在角平分线上 作用 证明线段相等 证明角相等或点在角平分线上 关系 互为逆命题 互为逆命题 4.拓展结论 三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 这个点叫做三角形的内心，是三角形内切圆的圆心 角的平分线可以看作是角的内部到角两边距离相等的所有点的集合 【基础巩固题型】 【题型1】角平分线性质求线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理；点到直线的距离；垂线段的识别 2.解题方法技巧 ①条件确认法：确认有角平分线、有垂直两个条件，才能应用性质 ②距离识别法：准确识别哪条线段是点到角两边的距离，即垂线段 ③直接应用法：由角平分线性质直接得出垂线段相等，求出长度 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【题型2】角平分线与角度计算 1.核心知识点 角平分线的定义；角的和差运算；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①角度拆分法：利用角平分线将一个角拆分为两个相等的角 ②和差计算法：结合角的和差关系，计算未知角的度数 ③方程思想法：设未知数，根据角度关系列方程求解 【例题2】.（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【题型3】角平分线性质求三角形面积 1.核心知识点 角平分线的性质；三角形面积公式；等底等高三角形面积关系 2.解题方法技巧 ①高的转化法：利用角平分线性质，将点到两边的距离作为三角形的高 ②面积公式法：运用三角形面积公式，结合高相等的条件计算面积 ③面积比法：两个三角形等高时，面积比等于底边长的比 【例题3】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【题型4】角平分仪的原理 1.核心知识点 角平分线的判定；全等三角形的SSS判定；数学原理的实际应用 2.解题方法技巧 ①实物抽象法：将角平分仪的结构抽象为几何图形，找出相等的边 ②原理推导法：用SSS证明三角形全等，从而得出角相等 ③联系实际法：理解角平分仪的工作原理，体会数学的应用价值 【例题4】.（25-26八年级上·河南安阳·期末）考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． (1)如图1，射线是的平分线的依据是______； A．    B．    C．    D． (2)如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； (3)如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 【变式题4-3】.（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【培优提升题型】 【题型5】尺规作角平分线 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤；作图的理论依据；作图注意事项 2.解题方法技巧 ①三步作图法：按照"画弧—交两边—再画弧—交内部—作射线"的步骤规范作图 ②依据分析法：用SSS证明三角形全等，从而说明作图的正确性 ③细节注意法：注意半径长度、交点位置等细节，确保作图准确 【例题5】.（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知点C是的边上的一点，请用尺规作图法求作一点P，使点P到，的距离相等且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 【题型6】三角形三条角平分线交点性质 1.核心知识点 角平分线的性质与判定；三角形内心的概念；点到直线的距离 2.解题方法技巧 ①性质应用法：利用角平分线性质得出交点到三边距离相等 ②判定验证法：验证交点到两边距离相等，得出在第三条角平分线上 ③结论记忆法：记住三角形三条角平分线交于一点的重要结论 【例题6】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，电信部门要在内部修建一座电视信号发射塔．按照要求，发射塔到两个城镇、的距离相等，到两条公路和的距离也必须相等．则发射塔应该修建在（　　） A．两个角的角平分线的交点 B．线段的垂直平分线与的角平分线的交点 C．的角平分线与线段的垂直平分线的交点 D．线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点 【变式题6-2】.（24-25八年级下·全国·期中）如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则________． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有妙用．如图①，在面积为的中，，，，三条角平分线的交点到三边的距离为．连接，，，将划分为三个小三角形． ，． 【类比推理】（1）若面积为的四边形的四条角平分线交于点，如图②，且，，，．求点到四边形四条边的距离． 【理解应用】（2）如图③，在四边形中，，，，，对角线，点，分别为与的三条角平分线的交点．设它们到各自三角形三边的距离为和，则的值为__________． 【压轴素养题型】 【题型7】利用角平分线构造全等三角形 1.核心知识点 角平分线的性质；全等三角形的判定；辅助线的添加方法 2.解题方法技巧 ①作垂线段法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造全等直角三角形 ②截长补短法：在角的两边截取相等线段，构造全等三角形 ③延长垂线法：角平分线遇垂线，延长构造等腰三角形 【例题7】.（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，是的平分线，．求证：． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与之间的距离为6，，求的值． 【题型8】角平分线的综合探究 1.核心知识点 角平分线的性质与判定；全等三角形；三角形面积；综合推理能力 2.解题方法技巧 ①性质判定联用法：性质和判定交替使用，层层推进证明 ②面积法：利用三角形面积的不同表示方法，建立等式关系 ③辅助线构造法：根据题目特点，灵活添加辅助线构造全等或特殊图形 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形． 如图1：在中，是中线，求证：； （2）类比探究 如图2：在中，是角平分线，求证：； （3）进阶探究： 如图2：在中，是角平分线，，，那么______．（直接写出答案） 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解：        ， ① 在和中， ， ∴② ． (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 【情境】同学们在小组探究过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图难以完成的三等分角问题． 【模型】如图是小组设计出的三等分角的仪器——勾尺（图1）．勾尺的直角顶点为，每臂的对边均平行，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足三点共线． 【操作】小组利用手中的勾尺，通过下列操作步骤将三等分： 第一步：画经过的直线，使；（图2） 第二步：移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上；（图3） 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．（图4） 【探究】该小组欲利用图4证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程． 证明：过点作于，由题意得（不用证明） 又∵…… 易错点 1、混淆角平分线的性质与判定，不清楚何时用性质、何时用判定 2、应用角平分线性质时，忽略"距离"必须是垂线段的长度 3、角平分线的判定忽略"点在角的内部"这个前提条件 4、尺规作角平分线时，两弧半径小于，导致没有交点 5、证明角平分线时，直接用"到两边距离相等"，未先说明是垂线段 重点 1、角平分线的性质定理及其应用（证明线段相等、求面积等） 2、角平分线的判定定理及其应用（证明点在角平分线上） 3、角平分线性质与判定的综合应用 难点 1、角平分线性质与判定的区别与联系，以及灵活选用 2、利用角平分线构造全等三角形的辅助线添加方法 3、角平分线与动点、最值等综合问题的分析与解决 4、角平分线在实际问题中的数学建模与应用 一、单选题 1．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 2．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 二、填空题 4．如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 5．如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 6．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 三、解答题 7．如图，在中，是的平分线，，垂足为，若的面积为，求的长． 8．如图，在中，，． (1)求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 9．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 10．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $