15.1 图形的轴对称 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.1 图形的轴对称 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、知识与方法　对折·知识梳理与方法 2 二、题型一　对折·轴对称性质的直接应用 7 三、题型二　对折·对称轴的识别与计数 10 四、题型三　对折·垂直平分线性质与不计算判等距 14 五、题型四　对折·垂直平分线判定与集合观点 18 六、A、对折·性质证线段相等落实 21 七、B、对折·改一个条件看结论怎么变 25 八、C、对折·找全满足条件的点与反例 28 九、D、近年真题·轴对称与垂直平分线 32 十、E、对折·一条对称链·三问收口 35 十一、课堂检测 37 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法　对折·知识梳理与方法 图0 知识点一　轴对称图形与两个图形成轴对称 1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 2．把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线也叫对称轴，重合的点叫对称点。 3．两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分也成轴对称。 4．反例两则：“左右面积相等就是轴对称”不成立，必须以‘折叠能否重合’为依据；“两条边相等就是轴对称”不成立，轴对称看整体能否沿直线重合。 5．换一个条件：把“一个图形的轴对称”改成“两个图形成轴对称”，描述对象从自身特征变成两个图形之间的位置关系，判定仍看折叠能否重合。 6．举例：线段、角、圆、正方形都是轴对称图形；线段有两条对称轴，圆有无数条对称轴。 图示1 易错提醒：轴对称图形说一个图形自身的特征，成轴对称说两个图形的位置关系；二者都靠‘折叠重合’判定。 知识点二　轴对称的性质：对称点连线被对称轴垂直平分 1．成轴对称的两个图形中，连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分；即对称轴是对称点连线的垂直平分线。 2．由此推出：对应线段相等、对应角相等，并且成轴对称的两个图形全等（折叠后完全重合，形状大小不变）。 3．为什么对称轴要画成直线：对称点连线被它垂直平分，它必定穿过图形并向两端无限延伸，不能只画图形内部一小段。 4．反例两则：“对称轴只画在图形中间一段就行”不成立，它必须是一条完整的直线；“对应角相等”误写成“对应角互补”不成立，折叠重合是相等不是互补。 5．换一个条件：把“找一对对称点”换成“找三对对称点”，每一对连线的垂直平分线都是同一条对称轴，可由多对验证。 6．举例：△ABC与△A'B'C'关于l对称，则l垂直平分AA'、BB'、CC'，且AB＝A'B'、∠A＝∠A'。 图示2 易错提醒：轴对称的核心性质是‘对称轴垂直平分对称点连线’，由此可推对应线段、角相等与全等问题。 知识点三　对称轴的识别与计数 1．寻找对称轴应以‘沿直线折叠能否重合’为依据，不能仅凭左右看起来对称就下结论。 2．常见图形的对称轴条数：角有1条（角平分线所在直线），线段有2条（自身所在直线与垂直平分线），圆有无数条（任一过圆心直线），正方形有4条。 3．为什么正方形是4条而不是2条：除两条对角线所在直线外，还有两条过对边中点的直线，共4条都满足折叠重合。 4．反例两则：“任意三角形都有对称轴”不成立，一般三角形不是轴对称图形；“等腰梯形有两条对称轴”不成立，它只有1条（上下底中点连线）。 5．换一个条件：把“判断有无对称轴”换成“数出对称轴条数”，仍按折叠重合逐一列举，避免漏掉对角线方向。 6．举例：正偶数边正多边形的对称轴既有过顶点的也有过边中点的，边数多少决定条数。 图示3 易错提醒：计数对称轴要逐一按‘折叠重合’验证；角1条、线段2条、圆无数条是高频结论。 知识点四　线段垂直平分线的定义与性质 1．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2．性质定理：线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等；若直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA＝PB。 3．为什么成立：由l过中点得AC＝BC，又l⊥AB、PC公共（或PC⊥AB），可证△PCA与△PCB全等，从而PA＝PB。 4．反例两则：“线上任意一点到两端距离成比例”不成立，垂直平分线上是相等不是成比例；“只有中点才等距”不成立，整条线上的点都等距。 5．换一个条件：把“点P在垂直平分线上”换成“点P到A、B距离相等”，这正是判定，与性质配套方向相反。 6．举例：l垂直平分AB，PA＝8，则PB也等于8。 图示4 易错提醒：垂直平分线性质用于‘已知点在线上的中垂线，证到两端等距’；它类比于角平分线，但对象是线段两端。 知识点五　线段垂直平分线的判定 1．判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；若PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上。 2．证明思路：取AB中点C，连PC，由PA＝PB、AC＝BC、PC公共，证△PAC与△PBC全等（SSS），得∠PCA＝∠PCB＝90°，故PC即垂直平分线。 3．为什么方向反过来也成立：性质与判定互为逆定理，等距是“在垂直平分线上”的充要条件，结构满足即可反推。 4．反例两则：“到一端距离等于线段长就在线上”不成立，必须到两端都相等；“只看PA＝PB不要求中点”成立，中点由垂直自然得到。 5．换一个条件：把“PA＝PB”换成“点P到A、B垂线段相等”表述不同事实相同，判定照样成立。 6．举例：点P满足PA＝PB＝6，则P必在AB的垂直平分线上。 图示5 易错提醒：判定用于‘已知到两端等距，证点在垂直平分线上’；和性质配套，方向相反。 知识点六　垂直平分线是到两端等距的点的集合 1．线段的垂直平分线恰好由“到这条线段两端距离相等”的全部点组成，多一个不多、少一个不少。 2．平面视角：平面内每一个到A、B等距的点都落在AB的垂直平分线上，线外不存在到A、B等距的点。 3．为什么叫集合：性质说“线上的点到两端等距”，判定说“等距的点在线上”，合起来垂直平分线上点的全体＝等距点的全体。 4．反例两则：“垂直平分线上只中点等距”不成立，整条直线上的点都等距；“线外可能存在等距点”不成立，判定排除线外。 5．换一个条件：把“平面内”改成“线段同侧”，同侧等距点仍在垂直平分线上，只是少了另一侧那一半。 6．举例：平面内到A、B距离都为9的点，全部排在AB的垂直平分线上。 图示6 易错提醒：集合观点把性质与判定合二为一；谈‘所有点’时指整条垂直平分线。 知识点七　用性质证线段相等与不计算判等距 1．要证两条线段（分别连线上一点到线段两端）相等，只要证该点在垂直平分线上，援引性质即可，无需再证全等。 2．不计算也能判：若已知点到线段两端距离相等，凭判定直接断定该点在垂直平分线上，不必代入任何长度。 3．为什么不计算也行：等距与是否在垂直平分线上是充要条件，结构满足结论就定，先算长度反而绕远。 4．反例两则：“必须量出AC＝BC才认可是垂直平分线”不必要，等距已足够；“只看一条线段长不要求垂直”错误，必须到两端都等距。 5．换一个条件：把“证PA＝PB”换成“证点P在AB垂直平分线上”，由等距推位置即可，方向一致。 6．举例：点P到A、B距离均为7，不计算即可断定P在AB的垂直平分线上。 图示7 易错提醒：垂直平分线性质靠‘在线上’推‘到两端等距’；判定靠‘等距’反推‘在线上’，两类不计算判结构都可用。 二、题型一　对折·轴对称性质的直接应用 例1 在△ABC与△A'B'C'关于直线MN成轴对称，点A与A'是对称点。若AA'交MN于点P，则MN与AA'的关系是（　　）。 A．MN平分AA'但不垂直　B．MN垂直AA'但不过中点　C．MN垂直平分AA'　D．MN平行AA' 图1 【答案】C 【解析】轴对称性质：对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线，故MN垂直平分AA'，选C。另一做法错在只想到平分或只想到垂直；性质要求既垂直又平分。图1 把对称轴、对称点连线、垂直平分线三要素标出。 变式1-1 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝7，则A'B'＝______。 图1-1 【答案】7 【解析】成轴对称的两图形对应线段相等，A'B'＝AB＝7。另一做法错在去量位置；对应线段相等是折叠重合的直接结果。图1-1 把AB与A'B'画成等长对应段。 变式1-2 不计算准确得数，判断：成轴对称的两个图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 【答案】对 【解析】折叠后完全重合，形状大小不变，故全等，填对。另一做法错在把‘位置不同’当‘不全等’；全等不论位置。图1-2 把“折叠重合”与“全等”画成等号。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若∠A＝50°，则∠A'＝______。 图1-3 【答案】50° 【解析】对应角相等，故∠A'＝∠A＝50°。另一做法错在把对应角当成补角；折叠重合角相等而非互补。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点B与B'是对称点，BB'交l于Q。则l（　　）BB'（填“垂直平分”或“平行”）。 图1-4 【答案】垂直平分 【解析】对称轴是对称点连线的垂直平分线，故l垂直平分BB'。另一做法错在只写“平分”；性质要求既垂直又平分。 不计算，在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称的前提下，判断：对应线段一定相等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-5 【答案】对 【解析】性质保证对应线段相等，填对。另一做法错在以为只有全等才有；成轴对称本身蕴含对应相等。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若BC＝9，AC＝6，则B'C'＋A'C'＝______。 图1-6 【答案】15 【解析】对应线段相等，B'C'＝BC＝9、A'C'＝AC＝6，和为15。另一做法错在把两段当同一段；分别相等再相加。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。下列一定成立的是（　　）。 A．AA'⊥l但不平分　B．AB＝A'B'　C．∠C与∠C'互补　D．两图形不全等 图1-7 【答案】B 【解析】对应线段相等，AB＝A'B'一定成立，选B。另一做法错在把对应角写成互补；折叠重合是相等。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点A、A'对称。若AA'＝12，则AP（P为AA'与l交点）＝______。 图1-8 【答案】6 【解析】对称轴垂直平分AA'，故P为中点，AP＝AA'÷2＝6。另一做法错在把AA'当AP；中点才分两半。 不计算，判断：成轴对称的两个图形中，对应线段或其延长线的交点一定在对称轴上（　　）（填“对”或“错”）。 图1-9 【答案】对 【解析】这是轴对称性质之一，填对。另一做法错在以为交点可在任意处；性质锁死在轴上。 三、题型二　对折·对称轴的识别与计数 例2 下列图形中，对称轴恰好有两条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2 【答案】B 【解析】线段的对称轴有两条：自身所在直线与垂直平分线，选B。另一做法错在以为圆只有两条；圆有无数条；角只有一条。图2 把线段的两条对称轴画出。 变式2-1 不计算，圆的对称轴有（　　）条（填“1”“2”或“无数”）。 图2-1 【答案】无数 【解析】圆关于任意过圆心的直线都对称，故无数条，填无数。另一做法错在只数常见的几条；任何直径所在直线都是。图2-1 把过圆心的多条直线画出。 变式2-2 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若∠B＝60°，则∠B'＝______。 图2-2 【答案】60° 【解析】对应角相等，故∠B'＝∠B＝60°。另一做法错在把对应角当成余角；折叠重合相等而非互余。 下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（　　）。 A．线段　B．角　C．圆　D．正方形 图2-3 【答案】B 【解析】角只有一条对称轴（角平分线所在直线），选B。另一做法错在以为线段只有一条；线段有两条。 下列图形对称轴条数最多的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2-4 【答案】C 【解析】圆有无数条对称轴，最多，选C。另一做法错在把圆和正方形比条数；正方形固定4条。 不计算，判断：正方形有4条对称轴（　　）（填“对”或“错”）。 图2-5 【答案】对 【解析】正方形对称轴含两条对角线所在直线与两条对边中点连线，共4条，填对。另一做法错在只数对角线漏掉中点连线。 下列图形中，一定不是轴对称图形的是（　　）。 A．线段　B．角　C．不等边三角形　D．圆 图2-6 【答案】C 【解析】一般不等边三角形无法沿直线折叠重合，不是轴对称图形，选C。另一做法错在以为所有三角形都有轴；只有特殊三角形才有。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝5，BC＝8，则A'B'＋B'C'＝______。 图2-7 【答案】13 【解析】对应线段相等，A'B'＝AB＝5、B'C'＝BC＝8，和为13。另一做法错在把两段混为一段；分别相等再相加。 不计算，判断：轴对称图形至少有一条对称轴（　　）（填“对”或“错”）。 图2-8 【答案】对 【解析】定义要求能沿一条直线折叠重合，故至少一条，填对。另一做法错在以为可以零条；零条就不是轴对称。 下列图形的对称轴中，包含‘自身所在直线’的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2-9 【答案】B 【解析】线段的两条对称轴之一正是它自身所在直线，选B。另一做法错在把角的对称轴当成边所在直线；角的是平分线所在直线。 四、题型三　对折·垂直平分线性质与不计算判等距 例3 直线l垂直平分线段AB，点P在l上。先定解：PA与PB的大小关系是（　　）；再找一解：在l上另取一点Q，QB＝（　　）；接着找全：平面内到A、B距离都相等的点有哪些（　　）；最后改一个条件：只把‘l垂直平分AB’改成‘PA＝PB’，则P（　　）（填“在”或“不在”）l上。 图3 【答案】PA＝PB；QA；全部落在l这条直线上（垂直平分线）；在 【解析】定解：P在垂直平分线上，PA＝PB。找一解：Q同在l上，QB＝QA。找全：到A、B等距的点全体就是l，理由（教师版）：垂直平分线是到两端等距的点的集合，故全部落在l上，没有线外的等距点。改条件：PA＝PB即判定P在垂直平分线上。图3 把定解、找一解、找全、改条件四步画出。 变式3-1 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝9。只找一解：在l上取点Q，则QB＝（　　），并说明原因（　　）。 图3-1 【答案】9；Q在垂直平分线上，到两端等距，故QB＝PA的9 【解析】Q在l上即在垂直平分线上，QB＝QA＝9。另一做法错在把Q当任意点；题干锁定Q在l上。图3-1 把Q标在垂直平分线上，两条等距连线高亮。 变式3-2 直线l垂直平分AB，PA＝9。找全：平面内到A、B距离都等于9的点共有（　　），说明为什么没有别的点（　　）。 图3-2 【答案】l上无数个点；垂直平分线外的点不可能同时到A、B等距 【解析】等距点全体即垂直平分线l，故l上无数个点；线外没有到两端等距的点，故无遗漏也无多余。另一做法错在以为只有垂足C一点；集合观点覆盖整条直线。图3-2 把垂直平分线整条圈出，标注“等距点全在此”。 变式3-3 仍以上述（l垂直平分AB，PA＝9）为基础。改一个条件：只把A、B之间的距离变大，其余不变，则PB（　　）（填“变”或“不变”），数值仍为（　　），并说明为什么端点间距不影响这个等距关系（　　）。 图3-3 【答案】不变；9；垂直平分线性质只要求点在线上，与端点间距无关 【解析】无论AB多长，只要P在垂直平分线上，PA＝PB＝9不变；性质只认‘在线上’不认‘端点多远’。另一做法错在以为线段变长距离也变；等距是结构关系。图3-3 把改前改后两线段并排，等距数值仍标9。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝12。先定解PB＝______；再找一解：l上点Q到A距离为______。 图3-4 【答案】12；12 【解析】P、Q都在垂直平分线上，到两端距离都等于12。另一做法错在把Q另算；同一条直线上的点等距一致。 直线l垂直平分AB。找全：平面内到A、B距离都为12的点落在（　　）。 图3-5 【答案】AB的垂直平分线l上 【解析】等距点全体即垂直平分线，故全部在l上。另一做法错在以为只在垂足处；集合观点覆盖整条直线。 直线l垂直平分AB，PA＝12。改一个条件：只把P改成‘到A、B距离相等’，则PB由______变为______（实际是否改变）。 图3-6 【答案】12；12（不变） 【解析】改成等距即判定P在线上的，PB仍等于PA＝12，未变。另一做法错在以为条件换了结论就变；性质与判定等价。 直线l垂直平分AB。改一个条件：只把‘PA⊥l’改成‘PA不垂直于l’，其余不变，则PA＝PB还（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图3-7 【答案】不成立 【解析】垂直平分线性质要求点在直线上，点到两端等距由‘在线上’保证；若PA不垂直l，P不在线上，结论失效。另一做法错在仍套用PA＝PB；不在线上不能保等距。 五、题型四　对折·垂直平分线判定与集合观点 例4 不计算准确得数，直线l垂直平分线段AB，点P在l上，过点P连PA、PB。判断PA与PB的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 【答案】＝ 【解析】P在垂直平分线上，到两端距离相等，PA＝PB，不必代值，填＝。另一做法错在比较PA与单个端点；性质给两端等距。图4 用两张卡 PA 与 PB 画等号。 变式4-1 估算决策：要在线段AB的垂直平分线上立一根杆，手头只有一把可测到两端距离的尺。不计算准确得数，判断‘只要杆到A、B距离相等，杆就一定在垂直平分线上’（　　）（填“够”或“不够”）；一步理由是（　　）。 图4-1 【答案】够；到两端等距与在垂直平分线上是充要条件 【解析】只要到两端距离相等即可判定在线上，一步成立，填够；理由：判定定理把等距与在线上锁死。另一做法错在还要量垂足；多此一举。图4-1 把“测两端等长”与“在垂直平分线上”直接连起来。 变式4-2 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝8。只改一个条件：把A、B换成更靠近的两点（直线l不变，P仍在l上），则PB（　　）（填“变”或“不变”）。 图4-2 【答案】不变 【解析】端点靠近不改变P在线上，PB＝PA＝8仍成立，填不变。另一做法错在以为端点变近距离也变；性质不随端点间距变。图4-2 把改前改后两线段并排，等距仍成立。 不计算，直线l垂直平分AB，点M在l上，MA＝MB判其关系（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图4-3 【答案】相等 【解析】M在垂直平分线上，到两端等距，MA＝MB。另一做法错在比较MA与单个端点；性质给两端等距。 线段AB的垂直平分线l上一点P，PA＝6，则PB＝______。 图4-4 【答案】6 【解析】P在垂直平分线上，到两端等距，PB＝PA＝6。另一做法错在去求AB长度；结构已足。 不计算，判断：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离都相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 【答案】对 【解析】垂直平分线性质原话，填对。另一做法错在犹豫要不要先证全等；定理已固化该结论。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AC＝4，则A'C'＝______。 图4-6 【答案】4 【解析】对应线段相等，A'C'＝AC＝4。另一做法错在把AC当A'B'；对应关系要找准。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝10。则点P到B的距离是（　　）。 图4-7 【答案】10 【解析】PB即点P到B的距离，等于PA＝10。另一做法错在把A侧距离当B侧；两端一致。 不计算，在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称中，点P为AA'与l交点。则AP（　　）A'P（填“＝”或“≠”）。 图4-8 【答案】＝ 【解析】对称轴垂直平分AA'，P为中点，故AP＝A'P。另一做法错在比较AP与单边；中点才相等。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。若有人说‘因为A、B间距不确定，所以PA、PB不一定相等’，这个说法（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 【答案】错 【解析】无论A、B间距多大，只要P在垂直平分线上PA＝PB就成立，说法错误。另一做法错在把间距不确定当结论不确定；等距与间距无关。 六、A、对折·性质证线段相等落实 直线l垂直平分线段AB，点P在l上，PA＝4，则PB＝______。 图5-1 【答案】4 【解析】P在垂直平分线上，到两端等距，PB＝PA＝4。另一做法错在去求AB长度；结构直接给等距。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PB＝11，则PA＝______。 图5-2 【答案】11 【解析】两端垂线段相等，PA＝PB＝11。另一做法错在把PB当斜边；这里只比两条等距线。 不计算，直线l垂直平分AB，点R在l上，RA与RB（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图5-3 【答案】相等 【解析】R在线上，到两端等距，RA＝RB。另一做法错在想先算长度；性质直接给。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝13。点P到B的距离是______。 图5-4 【答案】13 【解析】PB即点P到B的距离，等于PA＝13。另一做法错在把A侧数值当B侧；两端一致。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝4。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝PA　B．PA＝PB　C．P是AB中点　D．l平行AB 图5-5 【答案】B 【解析】垂直平分线性质保证PA＝PB，选B；P在线上不一定在AB上故未必是中点。另一做法错在由线上联想到中点去选。 直线l垂直平分线段MN，点Q在l上，QM＝7，则QN＝______。 图5-6 【答案】7 【解析】Q在垂直平分线上，到两端等距，QN＝QM＝7。另一做法错在去求MN长度；结构已足。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝9，则A'B'＝______。 图5-7 【答案】9 【解析】对应线段相等，A'B'＝AB＝9。另一做法错在把AB当A'C'；对应关系要找准。 不计算，直线l垂直平分AB，点S在l上，SA与SB（　　）（填“＝”或“≠”）。 图5-8 【答案】＝ 【解析】S在线上到两端等距，SA＝SB。另一做法错在比较SA与单个端点；性质给两端等距。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝6。则PA与PB的差为______。 图5-9 【答案】0 【解析】等距故差为0；另一做法错在去算各自长度再减；结构直接出0。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝8。点P到A的距离是（　　）。 图5-10 【答案】8 【解析】PA⊥? 不要求垂直，PA即点P到A的距离，为8。另一做法错在把PB当距离；本句只问A一侧。 七、B、对折·改一个条件看结论怎么变 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘l垂直平分AB’改成‘点P到A、B距离相等’，其余不变，则PB变为（　　）。 图6-1 【答案】5（不变） 【解析】改成等距即判定P在线上，PB仍等于PA＝5，结论不变。另一做法错在以为换了说法结论就变；判定与性质等价。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把A、B之间的距离变小，其余不变，则PA与PB（　　）（填“仍相等”或“不再相等”）。 图6-2 【答案】仍相等 【解析】端点间距变不影响‘在线上→等距’，PA＝PB依旧。另一做法错在以为线段变短距离也变；等距与间距无关。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘P在l上’改成‘P不在l上但PA⊥l’，其余不变，则PA＝PB（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图6-3 【答案】不成立 【解析】P不在垂直平分线上即无等距保证，PA＝PB失效。另一做法错在以为垂直就够；必须点在线上。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把点P从线上移到线段AB的中点C（C在l上本就在线上），其余不变，则PB（　　）（填“仍等于5”或“不再确定”）。 图6-4 【答案】仍等于5 【解析】中点C本就在垂直平分线上，PB仍等于PA＝5。另一做法错在以为移到中点就改变位置；中点恰在线上。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘PA＝5’改成‘PA比PB大2’，其余不变，则P（　　）垂直平分线（填“仍在”或“不在”）。 图6-5 【答案】不在 【解析】不等距即不满足判定，P不在垂直平分线上。另一做法错在以为位置不变；等距是判定的唯一凭依。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只改AB为更长线段（l不变，P仍在l上），则PB＝______。 图6-6 【答案】5 【解析】仍在线上的，PB＝PA＝5，与线段长短无关。另一做法错在把线段变长当成新条件去重算；等距不随长度变。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把P换成垂直平分线上另一点Q（QA、QB均连），其余不变，则QB＝______。 图6-7 【答案】5 【解析】Q同样在线上的，QB＝QA＝PA＝5，全直线等距一致。另一做法错在把Q当新点另算；同直线一致。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘l垂直平分AB’改成‘l是AB的垂直平分线’，其余不变，则PB＝______。 图6-8 【答案】5 【解析】同一事实换说法，P仍在线上，PB＝PA＝5。另一做法错在以为换表述就改结论；事实未变。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把B换成另一侧的点B'（l仍垂直平分AB'），其余不变，则PB'（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-9 【答案】不变 【解析】无论端点换成谁，只要l垂直平分且P在线上，到两端等距依旧为5。另一做法错在以为换端点距离就变；等距只认位置。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘点P在l上’改成‘点P到A、B垂线段相等’，其余不变，则PB＝______。 图6-10 【答案】5 【解析】等距即判定在线上的，PB仍等于PA＝5。另一做法错在以为改说法就改结论；判定与性质等价。 八、C、对折·找全满足条件的点与反例 直线l垂直平分AB。找全：到端点A、B的距离都恰好为6的点，在平面内落在（　　）。 图7-1 【答案】AB的垂直平分线l上 【解析】等距点全体是垂直平分线，故全在l上；线外无等距点。另一做法错在以为只有垂足一点；集合观点覆盖整条直线。 直线l垂直平分AB。说明为什么垂直平分线外的点不可能同时到A、B垂线段相等（　　）。 图7-2 【答案】线外点无法同时到两端等距，等距必落在垂直平分线上 【解析】判定定理保证等距点只在垂直平分线上，线外不满足。另一做法错在假设线外也存在；定理排除。 判断：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 【答案】对 【解析】性质与判定互为逆，反过来（等距推在线上）也成立。另一做法错在以为性质单向；判定补全反向。 反例验证：有人说‘过线段中点随便画一条直线都能让两端等距’，错误在于（　　）。 图7-4 【答案】只有既过中点又垂直的直线才使线上点到两端等距，随意直线一般不等距 【解析】定义要求过中点且垂直，随意直线不满足。另一做法错在把‘过中点’当成‘垂直平分’；必须垂直。 直线l垂直平分AB，PA＝5。找全：到A距离为5且在垂直平分线上的点，到B的距离必然是（　　）。 图7-5 【答案】5 【解析】在线上即等距，到B也为5，无需另算。另一做法错在把到B当成新未知；结构直接给。 判断：到一条线段两端距离不相等的点，一定不在这条线段的垂直平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 【答案】对 【解析】性质逆否：不等距则不在线上，填对。另一做法错在犹豫；逆否命题与原命题同真。 直线l垂直平分AB。反例验证：有人说‘距离相等的两个线段一定对应同一个点’，错误在于（　　）。 图7-7 【答案】垂直平分线上有无数个点，每个点到两端距离都相等，并非同一点 【解析】集合观点：整条直线都满足等距。另一做法错在以为等距就锁定唯一一点；线上点都等距。 直线l垂直平分AB，PA＝5。找全：满足PB＝5的点在平面内的位置是（　　）。 图7-8 【答案】AB垂直平分线上（含垂足）的所有点 【解析】PB＝5即到B等距为5，结合在线上，全在l上。另一做法错在只找垂足；直线整体满足。 判断：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线（　　）（填“对”或“错”）。 图7-9 【答案】对 【解析】角沿角平分线所在直线折叠两边重合，对称轴是那条直线，填对。另一做法错在把角平分线本身当轴；轴是它所在的直线。 反例验证：有人说‘只要两条线段长度相等，端点就一定在垂直平分线上’，错误在于（　　）。 图7-10 【答案】等距须是到同一线段两端的垂线段，任意等长线段不说明位置 【解析】判定要求到两端等距，不是任意线段。另一做法错在把任意等长当等距；位置无从推出。 九、D、近年真题·轴对称与垂直平分线 1．（2026年·江苏·期中考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点A与A'是对称点。若AA'交l于点P，则下列说法一定正确的是（　　）。 A．l平分AA'但不垂直　B．l垂直平分AA'　C．AP＝2A'P　D．l平行AA' 图8-1 【答案】B 【解析】轴对称性质：对称轴垂直平分对称点连线，故l垂直平分AA'，选B。易错：只写平分漏掉垂直；性质要求既垂直又平分。 2．（2026年·山东·期末考试）下列图形中，对称轴恰好有两条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图8-2 【答案】B 【解析】线段的对称轴有两条（自身所在直线与垂直平分线），选B。易错：以为圆只有两条；圆有无数条。 3．（2025年·浙江·期中考试）直线l垂直平分线段AB，点P在l上。若PA＝8，则PB的长为______。 图8-3 【答案】8 【解析】P在垂直平分线上，到两端距离相等，PB＝PA＝8。易错：去求AB长度；结构直接给等距。 4．（2025年·湖北·期末考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝9，则A'B'的长为______。 图8-4 【答案】9 【解析】对应线段相等，A'B'＝AB＝9。易错：把AB当成A'C'；对应关系要找准。 5．（2026年·四川·期中考试）不计算准确得数，判断：成轴对称的两个图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图8-5 【答案】对 【解析】折叠后完全重合，形状大小不变，故全等，填对。易错：把位置不同当不全等；全等不论位置。 6．（2025年·广东·期末考试）点P满足PA＝PB，其中A、B是线段AB的两个端点。则‘点P在AB的垂直平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图8-6 【答案】成立 【解析】到线段两端距离相等即判定P在垂直平分线上，成立。易错：要求先证三角形全等；判定直接可用。 7．（2026年·河南·期中考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点P为AA'与l的交点。若AA'＝14，则AP的长为______。 图8-7 【答案】7 【解析】对称轴垂直平分AA'，P为中点，AP＝14÷2＝7。易错：把AA'当AP；中点才分两半。 8．（2025年·安徽·期末考试）直线l垂直平分线段MN，点Q在l上，QM＝6，则QN的长为______。 图8-8 【答案】6 【解析】Q在垂直平分线上，到两端距离相等，QN＝QM＝6。易错：去求MN长度；结构直接给等距。 十、E、对折·一条对称链·三问收口 对线段AB（直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝10）：(1) 定解 PB＝（　　）；(2) 找一解：l上另取点Q，Q到A距离＝（　　）；(3) 改一个条件：只把A、B间距变大，PB变为（　　）。 图9-1 【答案】10；10；10 【解析】第(1)问P在线上PB＝PA＝10。第(2)问Q同在l上，到A距离同为10。第(3)问端点间距变不影响等距，PB仍为10。 对△ABC与△A'B'C'关于l对称（∠A＝40°）：(1) 不计算，∠A'＝（　　）；(2) 找一解：另一对对称点BB'也被l（　　）；(3) 找全：所有对称点连线都被l（　　）。 图9-2 【答案】40°；垂直平分；垂直平分 【解析】第(1)问对应角相等为40°。第(2)问BB'同样被l垂直平分。第(3)问全部对称点连线都被l垂直平分。 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 点P到A距离＝（　　）；(2) 点P到B距离＝（　　）；(3) 只把P改成‘到两端等距’，结论（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-3 【答案】10；10；不变 【解析】第(1)(2)问等距均为10。第(3)问等距即判定在线上的，结论不变。 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 不计算判PA与PB关系（　　）；(2) 估算决策：手头只知PA＝PB能否断定P在l上（　　）（填“能”或“不能”）；(3) 一步理由是（　　）。 图9-4 【答案】相等；能；到两端等距与在垂直平分线上是充要条件 【解析】第(1)问相等。第(2)问能，等距即可判定。第(3)问判定定理锁死充要条件。 对线段AB（l垂直平分AB）：(1) 性质：线上点（　　）两端距离相等（填“到”或“不到”）；(2) 判定：两端等距的点（　　）线上（填“在”或“不在”）；(3) 找全：平面内到两端等距的点构成（　　）。 图9-5 【答案】到；在；线段AB的垂直平分线（一条直线） 【解析】第(1)(2)问性质与判定方向。第(3)问集合观点：等距点全体即垂直平分线。 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 改条件：只把‘l垂直平分AB’改‘PA＝PB’，PB＝（　　）；(2) 只把A、B换成更近两点，PB＝（　　）；(3) 角的对称与此题（　　）（填“有关”或“无关”）。 图9-6 【答案】10；10；无关 【解析】第(1)(2)问改条件与改端点都不影响等距。第(3)问线段等距与角无关。 十一、课堂检测 不计算，直线l垂直平分AB，点M在l上，MA与MB（　　）（填“＝”或“≠”）。 图10-1 【答案】＝ 【解析】M在线上到两端等距，MA＝MB。另一做法错在比较MA与单个端点；性质给两端等距。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝3，则PB＝______。 图10-2 【答案】3 【解析】等距PB＝PA＝3。另一做法错在去求AB长度；结构直接给。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。点P为BB'与l交点，则BP（　　）B'P（填“＝”或“≠”）。 图10-3 【答案】＝ 【解析】对称轴垂直平分对称点连线，P为中点，BP＝B'P。另一做法错在比较BP与单边；中点才相等。 下列图形中，对称轴有无数条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图10-4 【答案】C 【解析】圆关于任意过圆心直线对称，无数条，选C。另一做法错在把正方形当最多；正方形固定4条。 不计算，判断：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，反过来（等距推在线上）也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图10-5 【答案】对 【解析】判定定理补全反向，填对。另一做法错在以为性质单向；二者互为逆定理。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝7。点P到A的距离是______。 图10-6 【答案】7 【解析】PA即点P到A的距离，为7。另一做法错在把PB当距离；本句只问A一侧。 估算决策：要确认一点P是否在线段AB的垂直平分线上，只比较P到A、B的距离是否相等即可（　　）（填“够”或“不够”）。 图10-7 【答案】够 【解析】等距即判定在线上，一步足够。另一做法错在还要量垂足；多此一举。 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AC＝5，则A'C'＝______。 图10-8 【答案】5 【解析】对应线段相等，A'C'＝AC＝5。另一做法错在把AC当AB'；对应关系要找准。 不计算，直线l垂直平分AB，点Q在l上，QA与QB（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图10-9 【答案】相等 【解析】Q在线上等距，填相等。另一做法错在想先求长度；性质直接给。 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝6。只把P换成垂直平分线上另一点R（RA、RB均连），则RB＝______。 图10-10 【答案】6 【解析】R同在线上等距，RB＝6。另一做法错在把R当新点另算；同直线一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 图形的轴对称 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、知识与方法　对折·知识梳理与方法 2 二、题型一　对折·轴对称性质的直接应用 7 三、题型二　对折·对称轴的识别与计数 10 四、题型三　对折·垂直平分线性质与不计算判等距 13 五、题型四　对折·垂直平分线判定与集合观点 15 六、A、对折·性质证线段相等落实 18 七、B、对折·改一个条件看结论怎么变 21 八、C、对折·找全满足条件的点与反例 23 九、D、近年真题·轴对称与垂直平分线 26 十、E、对折·一条对称链·三问收口 28 十一、课堂检测 30 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法　对折·知识梳理与方法 图0 知识点一　轴对称图形与两个图形成轴对称 1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 2．把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线也叫对称轴，重合的点叫对称点。 3．两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分也成轴对称。 4．反例两则：“左右面积相等就是轴对称”不成立，必须以‘折叠能否重合’为依据；“两条边相等就是轴对称”不成立，轴对称看整体能否沿直线重合。 5．换一个条件：把“一个图形的轴对称”改成“两个图形成轴对称”，描述对象从自身特征变成两个图形之间的位置关系，判定仍看折叠能否重合。 6．举例：线段、角、圆、正方形都是轴对称图形；线段有两条对称轴，圆有无数条对称轴。 图示1 易错提醒：轴对称图形说一个图形自身的特征，成轴对称说两个图形的位置关系；二者都靠‘折叠重合’判定。 知识点二　轴对称的性质：对称点连线被对称轴垂直平分 1．成轴对称的两个图形中，连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分；即对称轴是对称点连线的垂直平分线。 2．由此推出：对应线段相等、对应角相等，并且成轴对称的两个图形全等（折叠后完全重合，形状大小不变）。 3．为什么对称轴要画成直线：对称点连线被它垂直平分，它必定穿过图形并向两端无限延伸，不能只画图形内部一小段。 4．反例两则：“对称轴只画在图形中间一段就行”不成立，它必须是一条完整的直线；“对应角相等”误写成“对应角互补”不成立，折叠重合是相等不是互补。 5．换一个条件：把“找一对对称点”换成“找三对对称点”，每一对连线的垂直平分线都是同一条对称轴，可由多对验证。 6．举例：△ABC与△A'B'C'关于l对称，则l垂直平分AA'、BB'、CC'，且AB＝A'B'、∠A＝∠A'。 图示2 易错提醒：轴对称的核心性质是‘对称轴垂直平分对称点连线’，由此可推对应线段、角相等与全等问题。 知识点三　对称轴的识别与计数 1．寻找对称轴应以‘沿直线折叠能否重合’为依据，不能仅凭左右看起来对称就下结论。 2．常见图形的对称轴条数：角有1条（角平分线所在直线），线段有2条（自身所在直线与垂直平分线），圆有无数条（任一过圆心直线），正方形有4条。 3．为什么正方形是4条而不是2条：除两条对角线所在直线外，还有两条过对边中点的直线，共4条都满足折叠重合。 4．反例两则：“任意三角形都有对称轴”不成立，一般三角形不是轴对称图形；“等腰梯形有两条对称轴”不成立，它只有1条（上下底中点连线）。 5．换一个条件：把“判断有无对称轴”换成“数出对称轴条数”，仍按折叠重合逐一列举，避免漏掉对角线方向。 6．举例：正偶数边正多边形的对称轴既有过顶点的也有过边中点的，边数多少决定条数。 图示3 易错提醒：计数对称轴要逐一按‘折叠重合’验证；角1条、线段2条、圆无数条是高频结论。 知识点四　线段垂直平分线的定义与性质 1．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2．性质定理：线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等；若直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA＝PB。 3．为什么成立：由l过中点得AC＝BC，又l⊥AB、PC公共（或PC⊥AB），可证△PCA与△PCB全等，从而PA＝PB。 4．反例两则：“线上任意一点到两端距离成比例”不成立，垂直平分线上是相等不是成比例；“只有中点才等距”不成立，整条线上的点都等距。 5．换一个条件：把“点P在垂直平分线上”换成“点P到A、B距离相等”，这正是判定，与性质配套方向相反。 6．举例：l垂直平分AB，PA＝8，则PB也等于8。 图示4 易错提醒：垂直平分线性质用于‘已知点在线上的中垂线，证到两端等距’；它类比于角平分线，但对象是线段两端。 知识点五　线段垂直平分线的判定 1．判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；若PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上。 2．证明思路：取AB中点C，连PC，由PA＝PB、AC＝BC、PC公共，证△PAC与△PBC全等（SSS），得∠PCA＝∠PCB＝90°，故PC即垂直平分线。 3．为什么方向反过来也成立：性质与判定互为逆定理，等距是“在垂直平分线上”的充要条件，结构满足即可反推。 4．反例两则：“到一端距离等于线段长就在线上”不成立，必须到两端都相等；“只看PA＝PB不要求中点”成立，中点由垂直自然得到。 5．换一个条件：把“PA＝PB”换成“点P到A、B垂线段相等”表述不同事实相同，判定照样成立。 6．举例：点P满足PA＝PB＝6，则P必在AB的垂直平分线上。 图示5 易错提醒：判定用于‘已知到两端等距，证点在垂直平分线上’；和性质配套，方向相反。 知识点六　垂直平分线是到两端等距的点的集合 1．线段的垂直平分线恰好由“到这条线段两端距离相等”的全部点组成，多一个不多、少一个不少。 2．平面视角：平面内每一个到A、B等距的点都落在AB的垂直平分线上，线外不存在到A、B等距的点。 3．为什么叫集合：性质说“线上的点到两端等距”，判定说“等距的点在线上”，合起来垂直平分线上点的全体＝等距点的全体。 4．反例两则：“垂直平分线上只中点等距”不成立，整条直线上的点都等距；“线外可能存在等距点”不成立，判定排除线外。 5．换一个条件：把“平面内”改成“线段同侧”，同侧等距点仍在垂直平分线上，只是少了另一侧那一半。 6．举例：平面内到A、B距离都为9的点，全部排在AB的垂直平分线上。 图示6 易错提醒：集合观点把性质与判定合二为一；谈‘所有点’时指整条垂直平分线。 知识点七　用性质证线段相等与不计算判等距 1．要证两条线段（分别连线上一点到线段两端）相等，只要证该点在垂直平分线上，援引性质即可，无需再证全等。 2．不计算也能判：若已知点到线段两端距离相等，凭判定直接断定该点在垂直平分线上，不必代入任何长度。 3．为什么不计算也行：等距与是否在垂直平分线上是充要条件，结构满足结论就定，先算长度反而绕远。 4．反例两则：“必须量出AC＝BC才认可是垂直平分线”不必要，等距已足够；“只看一条线段长不要求垂直”错误，必须到两端都等距。 5．换一个条件：把“证PA＝PB”换成“证点P在AB垂直平分线上”，由等距推位置即可，方向一致。 6．举例：点P到A、B距离均为7，不计算即可断定P在AB的垂直平分线上。 图示7 易错提醒：垂直平分线性质靠‘在线上’推‘到两端等距’；判定靠‘等距’反推‘在线上’，两类不计算判结构都可用。 二、题型一　对折·轴对称性质的直接应用 例1 在△ABC与△A'B'C'关于直线MN成轴对称，点A与A'是对称点。若AA'交MN于点P，则MN与AA'的关系是（　　）。 A．MN平分AA'但不垂直　B．MN垂直AA'但不过中点　C．MN垂直平分AA'　D．MN平行AA' 图1 变式1-1 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝7，则A'B'＝______。 图1-1 变式1-2 不计算准确得数，判断：成轴对称的两个图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-2 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若∠A＝50°，则∠A'＝______。 图1-3 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点B与B'是对称点，BB'交l于Q。则l（　　）BB'（填“垂直平分”或“平行”）。 图1-4 不计算，在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称的前提下，判断：对应线段一定相等（　　）（填“对”或“错”）。 图1-5 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若BC＝9，AC＝6，则B'C'＋A'C'＝______。 图1-6 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。下列一定成立的是（　　）。 A．AA'⊥l但不平分　B．AB＝A'B'　C．∠C与∠C'互补　D．两图形不全等 图1-7 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点A、A'对称。若AA'＝12，则AP（P为AA'与l交点）＝______。 图1-8 不计算，判断：成轴对称的两个图形中，对应线段或其延长线的交点一定在对称轴上（　　）（填“对”或“错”）。 图1-9 三、题型二　对折·对称轴的识别与计数 例2 下列图形中，对称轴恰好有两条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2 变式2-1 不计算，圆的对称轴有（　　）条（填“1”“2”或“无数”）。 图2-1 变式2-2 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若∠B＝60°，则∠B'＝______。 图2-2 下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（　　）。 A．线段　B．角　C．圆　D．正方形 图2-3 下列图形对称轴条数最多的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2-4 不计算，判断：正方形有4条对称轴（　　）（填“对”或“错”）。 图2-5 下列图形中，一定不是轴对称图形的是（　　）。 A．线段　B．角　C．不等边三角形　D．圆 图2-6 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝5，BC＝8，则A'B'＋B'C'＝______。 图2-7 不计算，判断：轴对称图形至少有一条对称轴（　　）（填“对”或“错”）。 图2-8 下列图形的对称轴中，包含‘自身所在直线’的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图2-9 四、题型三　对折·垂直平分线性质与不计算判等距 例3 直线l垂直平分线段AB，点P在l上。先定解：PA与PB的大小关系是（　　）；再找一解：在l上另取一点Q，QB＝（　　）；接着找全：平面内到A、B距离都相等的点有哪些（　　）；最后改一个条件：只把‘l垂直平分AB’改成‘PA＝PB’，则P（　　）（填“在”或“不在”）l上。 图3 变式3-1 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝9。只找一解：在l上取点Q，则QB＝（　　），并说明原因（　　）。 图3-1 变式3-2 直线l垂直平分AB，PA＝9。找全：平面内到A、B距离都等于9的点共有（　　），说明为什么没有别的点（　　）。 图3-2 变式3-3 仍以上述（l垂直平分AB，PA＝9）为基础。改一个条件：只把A、B之间的距离变大，其余不变，则PB（　　）（填“变”或“不变”），数值仍为（　　），并说明为什么端点间距不影响这个等距关系（　　）。 图3-3 解答： 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝12。先定解PB＝______；再找一解：l上点Q到A距离为______。 图3-4 直线l垂直平分AB。找全：平面内到A、B距离都为12的点落在（　　）。 图3-5 直线l垂直平分AB，PA＝12。改一个条件：只把P改成‘到A、B距离相等’，则PB由______变为______（实际是否改变）。 图3-6 直线l垂直平分AB。改一个条件：只把‘PA⊥l’改成‘PA不垂直于l’，其余不变，则PA＝PB还（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图3-7 五、题型四　对折·垂直平分线判定与集合观点 例4 不计算准确得数，直线l垂直平分线段AB，点P在l上，过点P连PA、PB。判断PA与PB的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 变式4-1 估算决策：要在线段AB的垂直平分线上立一根杆，手头只有一把可测到两端距离的尺。不计算准确得数，判断‘只要杆到A、B距离相等，杆就一定在垂直平分线上’（　　）（填“够”或“不够”）；一步理由是（　　）。 图4-1 变式4-2 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝8。只改一个条件：把A、B换成更靠近的两点（直线l不变，P仍在l上），则PB（　　）（填“变”或“不变”）。 图4-2 解答： 不计算，直线l垂直平分AB，点M在l上，MA＝MB判其关系（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图4-3 线段AB的垂直平分线l上一点P，PA＝6，则PB＝______。 图4-4 不计算，判断：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离都相等（　　）（填“对”或“错”）。 图4-5 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AC＝4，则A'C'＝______。 图4-6 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝10。则点P到B的距离是（　　）。 图4-7 不计算，在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称中，点P为AA'与l交点。则AP（　　）A'P（填“＝”或“≠”）。 图4-8 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。若有人说‘因为A、B间距不确定，所以PA、PB不一定相等’，这个说法（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 六、A、对折·性质证线段相等落实 直线l垂直平分线段AB，点P在l上，PA＝4，则PB＝______。 图5-1 直线l垂直平分AB，点P在l上，PB＝11，则PA＝______。 图5-2 不计算，直线l垂直平分AB，点R在l上，RA与RB（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图5-3 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝13。点P到B的距离是______。 图5-4 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝4。下列一定成立的是（　　）。 A．AB＝PA　B．PA＝PB　C．P是AB中点　D．l平行AB 图5-5 直线l垂直平分线段MN，点Q在l上，QM＝7，则QN＝______。 图5-6 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝9，则A'B'＝______。 图5-7 不计算，直线l垂直平分AB，点S在l上，SA与SB（　　）（填“＝”或“≠”）。 图5-8 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝6。则PA与PB的差为______。 图5-9 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝8。点P到A的距离是（　　）。 图5-10 七、B、对折·改一个条件看结论怎么变 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘l垂直平分AB’改成‘点P到A、B距离相等’，其余不变，则PB变为（　　）。 图6-1 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把A、B之间的距离变小，其余不变，则PA与PB（　　）（填“仍相等”或“不再相等”）。 图6-2 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘P在l上’改成‘P不在l上但PA⊥l’，其余不变，则PA＝PB（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图6-3 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把点P从线上移到线段AB的中点C（C在l上本就在线上），其余不变，则PB（　　）（填“仍等于5”或“不再确定”）。 图6-4 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘PA＝5’改成‘PA比PB大2’，其余不变，则P（　　）垂直平分线（填“仍在”或“不在”）。 图6-5 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只改AB为更长线段（l不变，P仍在l上），则PB＝______。 图6-6 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把P换成垂直平分线上另一点Q（QA、QB均连），其余不变，则QB＝______。 图6-7 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘l垂直平分AB’改成‘l是AB的垂直平分线’，其余不变，则PB＝______。 图6-8 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把B换成另一侧的点B'（l仍垂直平分AB'），其余不变，则PB'（　　）（填“变”或“不变”）。 图6-9 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝5。只把‘点P在l上’改成‘点P到A、B垂线段相等’，其余不变，则PB＝______。 图6-10 八、C、对折·找全满足条件的点与反例 直线l垂直平分AB。找全：到端点A、B的距离都恰好为6的点，在平面内落在（　　）。 图7-1 直线l垂直平分AB。说明为什么垂直平分线外的点不可能同时到A、B垂线段相等（　　）。 图7-2 判断：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 反例验证：有人说‘过线段中点随便画一条直线都能让两端等距’，错误在于（　　）。 图7-4 直线l垂直平分AB，PA＝5。找全：到A距离为5且在垂直平分线上的点，到B的距离必然是（　　）。 图7-5 判断：到一条线段两端距离不相等的点，一定不在这条线段的垂直平分线上（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 直线l垂直平分AB。反例验证：有人说‘距离相等的两个线段一定对应同一个点’，错误在于（　　）。 图7-7 直线l垂直平分AB，PA＝5。找全：满足PB＝5的点在平面内的位置是（　　）。 图7-8 判断：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线（　　）（填“对”或“错”）。 图7-9 反例验证：有人说‘只要两条线段长度相等，端点就一定在垂直平分线上’，错误在于（　　）。 图7-10 九、D、近年真题·轴对称与垂直平分线 1．（2026年·江苏·期中考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点A与A'是对称点。若AA'交l于点P，则下列说法一定正确的是（　　）。 A．l平分AA'但不垂直　B．l垂直平分AA'　C．AP＝2A'P　D．l平行AA' 图8-1 2．（2026年·山东·期末考试）下列图形中，对称轴恰好有两条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图8-2 3．（2025年·浙江·期中考试）直线l垂直平分线段AB，点P在l上。若PA＝8，则PB的长为______。 图8-3 4．（2025年·湖北·期末考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AB＝9，则A'B'的长为______。 图8-4 5．（2026年·四川·期中考试）不计算准确得数，判断：成轴对称的两个图形全等（　　）（填“对”或“错”）。 图8-5 6．（2025年·广东·期末考试）点P满足PA＝PB，其中A、B是线段AB的两个端点。则‘点P在AB的垂直平分线上’（　　）（填“成立”或“不成立”）。 图8-6 7．（2026年·河南·期中考试）在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，点P为AA'与l的交点。若AA'＝14，则AP的长为______。 图8-7 8．（2025年·安徽·期末考试）直线l垂直平分线段MN，点Q在l上，QM＝6，则QN的长为______。 图8-8 十、E、对折·一条对称链·三问收口 对线段AB（直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝10）：(1) 定解 PB＝（　　）；(2) 找一解：l上另取点Q，Q到A距离＝（　　）；(3) 改一个条件：只把A、B间距变大，PB变为（　　）。 图9-1 对△ABC与△A'B'C'关于l对称（∠A＝40°）：(1) 不计算，∠A'＝（　　）；(2) 找一解：另一对对称点BB'也被l（　　）；(3) 找全：所有对称点连线都被l（　　）。 图9-2 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 点P到A距离＝（　　）；(2) 点P到B距离＝（　　）；(3) 只把P改成‘到两端等距’，结论（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-3 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 不计算判PA与PB关系（　　）；(2) 估算决策：手头只知PA＝PB能否断定P在l上（　　）（填“能”或“不能”）；(3) 一步理由是（　　）。 图9-4 对线段AB（l垂直平分AB）：(1) 性质：线上点（　　）两端距离相等（填“到”或“不到”）；(2) 判定：两端等距的点（　　）线上（填“在”或“不在”）；(3) 找全：平面内到两端等距的点构成（　　）。 图9-5 对线段AB（l垂直平分AB，PA＝10）：(1) 改条件：只把‘l垂直平分AB’改‘PA＝PB’，PB＝（　　）；(2) 只把A、B换成更近两点，PB＝（　　）；(3) 角的对称与此题（　　）（填“有关”或“无关”）。 图9-6 十一、课堂检测 不计算，直线l垂直平分AB，点M在l上，MA与MB（　　）（填“＝”或“≠”）。 图10-1 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝3，则PB＝______。 图10-2 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。点P为BB'与l交点，则BP（　　）B'P（填“＝”或“≠”）。 图10-3 下列图形中，对称轴有无数条的是（　　）。 A．角　B．线段　C．圆　D．正方形 图10-4 不计算，判断：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，反过来（等距推在线上）也成立（　　）（填“对”或“错”）。 图10-5 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝7。点P到A的距离是______。 图10-6 估算决策：要确认一点P是否在线段AB的垂直平分线上，只比较P到A、B的距离是否相等即可（　　）（填“够”或“不够”）。 图10-7 在△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称。若AC＝5，则A'C'＝______。 图10-8 不计算，直线l垂直平分AB，点Q在l上，QA与QB（　　）（填“相等”或“不相等”）。 图10-9 直线l垂直平分AB，点P在l上，PA＝6。只把P换成垂直平分线上另一点R（RA、RB均连），则RB＝______。 图10-10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $