15.1 图形的轴对称 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦人教版八年级上册“15.1 图形的轴对称”核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，轴对称的性质（全等、对称点连线被对称轴垂直平分），线段垂直平分线的性质与判定，以及尺规作线段垂直平分线和过直线外一点作垂线的方法，构建从概念辨析到性质应用再到作图实践的完整学习支架。 该资料以分层设计为特色，预习导航通过填空引导学生自主抽象概念培养抽象能力，课内探究结合图形示例（如等腰三角形、轴对称四边形）设计问题链发展几何直观与空间观念，分层训练A/B/C组满足不同需求强化推理能力，课后作业还原课本习题并附详细答案，助力学生查漏补缺，教师授课时可通过问题驱动提升课堂效率。

人教版数学八年级上册 · 第十五章 轴对称 · 15.1 图形的轴对称（学生用书） 15.1 图形的轴对称 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册 原创分层学案 · 与教师讲义例题一一对应 · 课后作业还原课本《习题15.1》（对齐2024版教材） 一、学习目标 1. 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能识别常见的轴对称图形，会找对称轴。 2. 掌握轴对称的性质：① 成轴对称的两个图形全等；② 连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 3. 探索并掌握线段垂直平分线的性质与判定，会用尺规作图作线段的垂直平分线和过直线外一点作已知直线的垂线。 4. 通过折纸、画图、推理等活动，体会"运动变换"（翻折）的数学思想，发展空间观念。 二、预习导航（课前填空） 同学们在课前阅读课本 P63—P68，完成下列填空。 概念辨析 ① 如果一个平面图形沿一条直线折叠，_______________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的__________。 ② 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形__________，那么就说这两个图形关于这条直线成__________，这条直线叫作__________，折叠后重合的点是对应点，叫作__________。 轴对称的性质 ③ 成轴对称的两个图形__________（全等/相似/不确定）。 ④ 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴__________。 线段的垂直平分线 ⑤ 经过线段中点并且__________于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 ⑥ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________（相等/不一定相等）。 ⑦ 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________上。 尺规作图 ⑧ 作线段 AB 的垂直平分线：以 A、B 为圆心，__________（大于 AB / 等于 AB / 大于 AB 的 ）的长为半径作弧。 ⑨ 过直线 AB 外一点 C 作 AB 的垂线：先以 C 为圆心作弧交 AB 于 D、E，再作线段 __________的垂直平分线。 我的作答区 三、课内探究（与教师讲义例题对应，留白作答） 【探究一 · 轴对称图形与两个图形成轴对称】 观察下列图形，回答问题： 轴对称图形示例（等腰三角形，对称轴 l 经过顶点 A 且垂直平分 BC） 问题 1：图中等腰三角形的对称轴是什么？除了 l 之外，是否还有其他对称轴？ 探究一问题 1 两个图形成轴对称示例：△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称 问题 2：标出点 A、B、C 的对称点 A′、B′、C′（在图中画出对应点）。 探究一问题 2 问题 3：若 ∠A = 50°，∠B = 70°，则 ∠A′ = ____°，∠B′ = ____°。由"成轴对称的两个图形全等"可知，△ABC 与 △A′B′C′ 的对应边和对应角分别______。 探究一问题 3 【探究二 · 轴对称的性质（与教师例题对应）】 观察下图：△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称，AA′、BB′、CC′ 与 MN 有什么关系？ 轴对称的性质示意图 问题 4：填写下列结论（每空唯一答案）。 ① 线段 AA′ 被 MN __________（垂直平分/平行/相交）。 ② ∠MPA = __________°。 ③ 由轴对称的性质，对称轴是任意一对对称点所连线段的__________。 探究二问题 4 【探究三 · 课本例1（与教师例题对应）】 滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，其中 ∠BAD = 150°，∠B = 40°，求 ∠BCD 的度数。 例1 配图：左右成轴对称的四边形 ABCD 思路提示：① 由"左右成轴对称"知 ∠C = ∠B = 40°，∠D = ∠BAD = 150°；② 由四边形内角和 360° 得 ∠BCD = 360° − ∠BAD − ∠B − ∠D = ____°。 探究三作答区 【探究四 · 线段垂直平分线的性质】 观察下图：直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1、P2、P3 在 l 上。 性质：l 垂直平分 AB，l 上的点 P1、P2、P3 满足 P1A = P1B 问题 5：填空。 ① 由 △PAC ≌ △PBC（SAS），可得 PA = ____。 ② 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________。 探究四问题 5 【探究五 · 线段垂直平分线的判定】 观察下图：PD⊥OA、PE⊥OB，且 PD = PE，则 P 在 ∠AOB 的平分线上。 判定：PD⊥OA、PE⊥OB、PD=PE ⇒ P 在角平分线上 问题 6：判定定理的证明关键在于"过 P 作 PC⊥AB"——这一步的作用是构造__________三角形，从而可以使用__________判定方法。 探究五问题 6 【探究六 · 尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线】 已知线段 AB，用尺规作 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹）。 尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 问题 7：填空。 ① 作图时以 A、B 为圆心的半径必须__________（大于 AB / 大于 AB 的 / 小于 AB 的 ），否则两弧可能不相交。 ② 由 △ACD ≌ △BCD（SSS）可证 CD⊥AB 且 AC = BC，即 CD 是 AB 的__________。 探究六问题 7 【探究七 · 尺规作图：过直线外一点作垂线】 已知直线 AB 和 AB 外一点 C，用尺规作 AB 的垂线，使它经过点 C（保留作图痕迹）。 尺规作图：过直线 AB 外一点 C 作 AB 的垂线 CF 问题 8：第一步以 C 为圆心作弧交 AB 于 D、E，这一步的作用是找到与 C__________的两点。 探究七问题 8 四、分层训练（原创 A/B/C 三组） A 组（基础） B 组（综合） C 组（拓广） 1. 下列汉字美术字中，是轴对称图形的有 ____（如"品""田""日""林"等）。 4. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′ = 6，求 ∠B′ 的度数和 AB 的长。 7. 如图，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A、B 是路边两个新建小区。画出车站的位置，使 A、B 两小区到车站的路程一样长。 2. 如图，将一张正方形纸片对折后再对折，然后沿虚线剪开，所得图形是否是轴对称图形？有几条对称轴？ 5. 如图，△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13，求 △ABC 的周长。 8. 如图，△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线交于点 P。（1）求证：PA = PB = PC；（2）点 P 是否也在 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 3. 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上一点。已知 PA = 5 cm，求 PB 的长。 6. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上，求证：EB = EC。 9. 如图，两个四边形关于直线 l 对称，∠C = 90°，a = 5 cm，b = 4 cm，∠A = 80°，∠B = 135°，求 ∠G 的度数。 A4 配图 B5 配图 B6 配图 C7 配图 C9 配图 五、课堂小结（填空巩固） 本节课我们学习了"图形的轴对称"，请用关键词填空（每空唯一答案）。 ① 一个图形沿对称轴折叠两部分重合 ⇒ 这个图形是__________；两个图形沿对称轴折叠能重合 ⇒ 这两个图形__________。 ② 轴对称的核心推论：连接__________的线段被__________垂直平分。 ③ 线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离__________的点在这条线段的垂直平分线上（用__________方法）。 ④ 尺规作图的两条核心是：作线段的__________、过直线外一点作已知直线的__________。 课堂小结作答区 六、课后作业（课本《习题15.1》P69—P71） 复习巩固（1—4） 1. 下列图案中，是轴对称图形的打"√"，并指出对称轴。 2. 如图，图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把 4 个三角形看成一个整体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？ 第2题配图 3. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′ = 6，求 ∠B′ 的度数和 AB 的长。 4. 如图，△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13，求 △ABC 的周长。 综合运用（5—8） 5. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上，求证：EB = EC。 6. 下列命题都成立，写出它们的逆命题，并判断这些逆命题是否成立：（（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）全等三角形的对应边相等。 7. 下面的图形是轴对称图形吗？若是，画出它的一条对称轴。 8. 如图，AD 与 BC 相交于点 O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE。求证：OE 垂直平分 BD。 拓广探索（9—10） 9. 如图，△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线交于点 P。（1）求证：PA = PB = PC；（2）点 P 是否也在 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 10. 如图，某地要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A、B 是路边两个新建小区。这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ 第10题配图 我的作答区（作业） 七、参考答案 预习导航（填空答案） ① 直线两旁的部分能够互相重合；对称轴 ② 重合；成轴对称；对称轴；对称点 ③ 全等 ④ 垂直平分 ⑤ 垂直 ⑥ 相等 ⑦ 垂直平分线 ⑧ 大于 AB 的 ⑨ DE 课内探究答案 探究一问题 1：对称轴是经过顶点 A 且垂直平分 BC 的直线 l（只有 1 条对称轴）。 探究一问题 2：点 A′、B′、C′ 是原三角形关于 MN 的对称点（在图上画出）。 探究一问题 3：∠A′ = 50°，∠B′ = 70°；对应边和对应角分别相等。 探究二问题 4：① 垂直平分；② 90；③ 垂直平分线。 探究三 ∠BCD = 360° − 150° − 40° − 150° = 20°。 探究四问题 5：① PB；② 相等。 探究五问题 6：直角；HL。 探究六问题 7：① 大于 AB 的 ；② 垂直平分线。 探究七问题 8：距离相等。 分层训练答案 分层训练参考答案 · A 组 分层训练参考答案 · B 组 分层训练参考答案 · C 组 A1. "品""田""日"是轴对称图形；"林"不是（左右结构不对称）。 B4. ∠B′ = ∠B = 90°，AB = A′B′ = 6。 C7. 车站 C 建在 AB 的垂直平分线与公路 l 的交点处（保留作图痕迹）。 A2. 是轴对称图形，对称轴有 2 条（两条对角线方向）。 B5. AC = 2AE = 6；△ABD 周长 = AB + BC = 13 ⇒ △ABC 周长 = 19。 C8. (1) ∵ P 在 AB 的垂直平分线上 ⇒ PA = PB；∵ P 在 BC 的垂直平分线上 ⇒ PB = PC；故 PA = PB = PC。(2) 由 PA = PC ⇒ 点 P 也在 AC 的垂直平分线上。结论：三角形三边的垂直平分线交于一点。 A3. PB = PA = 5 cm。 B6. 连接 BC：∵ AB = AC 且 DB = DC ⇒ AD 是 BC 的垂直平分线；∵ E 在 AD 上 ⇒ EB = EC。 C9. 由对称性 ∠H = ∠C = 90°，∠F = ∠A = 80°，∠E = ∠B = 135°；∠G = 360° − 90° − 80° − 135° = 55°。 课堂小结答案 ① 轴对称图形；关于这条直线成轴对称；② 对称点；对称轴；③ 相等；HL；④ 垂直平分线；垂线。 课后作业参考答案（习题15.1 第 1—10 题） 1. (1) 是（对称轴为竖直中线）；(2) 是；(3) 否；(4) 是；(5) 是。 2. 阴影三角形与三角形 1、三角形 3 成轴对称；整个图形是轴对称图形，共有 2 条对称轴。 3. ∠B′ = ∠B = 90°，AB = A′B′ = 6。 4. AC = 2AE = 6；△ABD 周长 = AB + BD + DA = AB + BC = 13；故 △ABC 周长 = 13 + 6 = 19。 5. 连接 BC。∵ AB = AC 且 DB = DC ⇒ AD 是 BC 的垂直平分线。∵ E 在 AD 上 ⇒ EB = EC。 6. (1) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补。成立。(2) 逆命题：对应边相等的两个三角形全等。成立（SSS）。 7. 是轴对称图形；用尺规作图找一对对称点连线段的垂直平分线即为对称轴。 8. 在 △AOB 和 △COD 中，∠A = ∠C，OA = OC，∠AOB = ∠COD ⇒ △AOB ≌ △COD（ASA）⇒ OB = OD。又 BE = DE ⇒ 点 O 和点 E 都在 BD 的垂直平分线上 ⇒ OE 是 BD 的垂直平分线 ⇒ OE 垂直平分 BD。 9. (1) ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 ⇒ PA = PB；∵ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 ⇒ PB = PC；故 PA = PB = PC。(2) 由 PA = PC ⇒ 点 P 也在 AC 的垂直平分线上。结论：三角形三边的垂直平分线交于一点。 10. 作 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点 C 即为车站位置（此时 CA = CB）。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十五章 轴对称 · 15.1 图形的轴对称（教师讲义） 15.1 图形的轴对称 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册（2课时） 一、教学导航 【课题】15.1 图形的轴对称（2 课时） 【教材】人教版数学八年级上册 第十五章 15.1 节，课本 P63—P68、习题 15.1 在 P69—P71。 【课标要求】通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；掌握轴对称（图形）和成轴对称的（两个图形）的性质；理解线段垂直平分线的概念；探索线段垂直平分线的性质与判定；会作一个图形（成轴对称的两个图形）的对称轴；会过直线外一点作已知直线的垂线。 课时建议 建议 2 课时：课时1 完成轴对称图形、两个图形成轴对称的概念辨析（P63—P64）、轴对称的性质（课本 P64 探究 + 例1 滑翔伞）；课时2 完成线段的垂直平分线的性质与判定（课本 P65–P66 思考）、尺规作图（课本 P67–P68 例）。每课时均设课堂探究与当堂巩固，作业分层布置。 教学准备 PPT 课件；学生用圆规、直尺、剪刀、彩纸；本课共 9 张几何图（Pillow 离线绘制，figs15_1/ 已嵌入：轴对称图形示例、两个图形成轴对称、轴对称性质、垂直平分线性质/判定、尺规作图作垂直平分线、作轴对称图形对称轴、过直线外一点作垂线、习题 15.1 配图）。 二、教学过程（2 课时） 【（课时1）轴对称图形与两个图形成轴对称】 环节一 · 情境导入 （约 4 分钟） 【情境】观察窗花——把一张纸对折、剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开对折的纸。同学们看到什么？窗花的两部分有什么共同特点？ 【追问】生活中这样的"对称"例子还有哪些？（刺绣、四合院、蝴蝶、蜻蜓等）今天我们就从这些自然现象出发，探索"轴对称"的数学本质。 环节二 · 探究新知 · 概念辨析 （约 16 分钟） 【探究一】轴对称图形（课本 P63）。 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。 例如等腰三角形沿底边上的高折叠，两旁部分能重合——等腰三角形是轴对称图形。 轴对称图形：△ABC 是轴对称图形，对称轴 l 经过顶点 A 且垂直平分底边 BC 【探究二】两个图形成轴对称（课本 P63—P64）。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。 两个图形成轴对称：△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称 区别与联系：辨析（课本 P64）：轴对称图形 vs 两个图形成轴对称。前者是"一个图形沿对称轴折叠两部分重合"；后者是"两个图形沿对称轴折叠能够重合"。联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 【探究三】轴对称的性质（课本 P64 探究）。 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称，A′、B′、C′ 分别是 A、B、C 的对称点。线段 AA′、BB′、CC′ 与直线 MN 有什么关系？ 轴对称的性质：AA′、BB′、CC′ 都被对称轴 MN 垂直平分 证明要点：推导：设 AA′ 交 MN 于点 P。将 △ABC 沿 MN 折叠后与 △A′B′C′ 完全重合，故点 A 与点 A′ 重合 ⇒ AP = A′P（M 是 AA′ 的中点），∠MPA = ∠MPA′。又 ∠MPA + ∠MPA′ = 180°（平角），故 ∠MPA = ∠MPA′ = 90°（即 MN⊥AA′）。同理 MN⊥BB′、MN⊥CC′。 轴对称图形同样性质：轴对称图形也具有类似性质。例如右图的五边形 ABCDE 是轴对称图形，对称轴 l 垂直平分对称点所连线段 AA′、BB′。 轴对称图形也具有类似性质：五边形 ABCDE 是轴对称图形，l 垂直平分 AA′、BB′ 【归纳】① 成轴对称的两个图形全等；② 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分（轴对称图形也具备性质②）。 环节三 · 例题精讲 （约 12 分钟） 【课本例1】（P64）滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，其中 ∠BAD = 150°，∠B = 40°，求 ∠BCD 的度数。 例1：左右成轴对称的四边形 ABCD 思路：思路：四边形 ABCD 关于左右对称轴成轴对称，故 ∠C = ∠B = 40°，∠D = ∠BAD = 150°。由四边形内角和 ∠BAD + ∠B + ∠BCD + ∠D = 360°，得 150° + 40° + ∠BCD + 150° = 360°，解得 ∠BCD = 20°。 易错提醒：常见错误：(1) 把"成轴对称"与"全等"等同——轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；(2) 漏用"四边形内角和 360°"；(3) 与"等腰三角形"误用混淆——本题四边形左右对称，是"轴对称图形"类问题，不是等腰三角形性质。 环节四 · 当堂巩固 （约 8 分钟） A1. 如图，△ABC 与 △DEF 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′ = 6，求 ∠B′ 的度数和 AB 的长。 A1 配图：△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90° A2. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 l 对称，∠C = 90°，a = 5 cm，b = 4 cm，∠A = 80°，∠B = 135°，求 ∠G 的度数。 【（课时2）线段的垂直平分线的性质、判定与尺规作图】 环节一 · 情境导入 （约 3 分钟） 【情境】同学们在操场上挖一条等距于两个水井的沟渠，怎么确定沟渠的位置？——这要用到"线段垂直平分线"的性质。 环节二 · 探究新知 · 性质与判定 （约 12 分钟） 【探究四】线段的垂直平分线（课本 P65）。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 【探究五】线段垂直平分线的性质（课本 P65）。 问题：在 l 垂直平分 AB 的条件下，取 l 上任意一点 P，比较 PA 与 PB，你有什么发现？ 性质：直线 l 垂直平分 AB，l 上的点 P 满足 PA = PB 思路与规范：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。证明（课本 P65）：设 l⊥AB 于 C，点 P 在 l 上。在 △PAC 和 △PBC 中，∠PCA = ∠PCB = 90°，AC = BC，PC = PC，∴ △PAC ≌ △PBC（SAS）⇒ PA = PB。 【探究六】线段垂直平分线的判定（课本 P66 思考）。 把性质定理的题设与结论反过来："如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上？"——这就是判定定理。 判定：若 PA = PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 思路与规范：判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。证明（课本 P66）：过 P 作 PC⊥AB 于 C。在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，PA = PB，PC = PC，∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL）⇒ AC = BC，故点 P 在 AB 的垂直平分线上。 易错提醒：常见错误：(1) 性质与判定的方向混淆——性质是"已知在垂直平分线上 ⇒ 距离相等"，判定是"已知距离相等 ⇒ 在垂直平分线上"；(2) HL 仅适用于直角三角形，过 P 作 PC⊥AB 这一步必须显式写出；(3) "垂直"与"垂直平分"不同——前者只要求垂直，后者既垂直又平分中点。 环节三 · 尺规作图 （约 14 分钟） 【探究七】尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线（课本 P67）。 思考："两点确定一条直线"，所以作 AB 的垂直平分线，关键是确定垂直平分线上的两个点。如何找到这两个点？ 作法：① 分别以点 A 和点 B 为圆心，以大于 AB 的 的长为半径作弧，两弧交于 C、D 两点；② 作直线 CD。直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。 尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 CD（依据 SSS） 证明要点：为什么 CD 是 AB 的垂直平分线？连接 AC、AD、BC、BD。由作图 AC = BC（同圆半径），AD = BD（同圆半径），CD = CD，故 △ACD ≌ △BCD（SSS）⇒ ∠ACD = ∠BCD ⇒ CD⊥AB 且 AC = BC，即 CD 平分且垂直 AB。 【探究八】作轴对称图形的对称轴（课本 P67 思考 2）。 由轴对称的性质可知，两个图形成轴对称时，对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。因此只要找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到这两个图形的对称轴。 作轴对称图形的对称轴：找出五角星一对对称点 A、A′，作 AA′ 的垂直平分线 l 【探究九】尺规作图：经过已知直线 AB 外一点 C 作 AB 的垂线（课本 P68 例）。 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C。求作：AB 的垂线，使它经过点 C。 作法：① 以 C 为圆心、适当长为半径作弧，交 AB 于 D、E；② 分别以 D、E 为圆心、大于 DE 的 的长为半径作弧，两弧交于点 F；③ 作直线 CF。直线 CF 就是所求作的垂线。 尺规作图：经过直线 AB 外一点 C 作 AB 的垂线 CF 思路：分析：假设所求直线已作出，它不仅过 C 与 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线。我们已会作线段的垂直平分线，故只需先在 AB 上确定这两点（与 C 等距即可）。 环节四 · 当堂巩固 （约 8 分钟） B1. 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上一点。已知 PA = 5，求 PB 的长。 B2. 如图，△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13，求 △ABC 的周长。 B2 配图：△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 B3. 如图，AB = AC，DB = DC，E 在 AD 上，求证：EB = EC。 三、巩固训练（2 课时综合） A 组（基础） B 组（综合） C 组（拓广） 1. 下列汉字的美术字中，是轴对称图形的有哪几个？（如"品""田""日"） 4. 如图，△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13，求 △ABC 的周长。 7. 尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。 2. 如图，下列四组图形中，成轴对称的有几组？ 5. 如图，AB = AC，DB = DC，E 在 AD 上，求证：EB = EC。 8. 已知直线 AB 和 AB 外一点 C，用尺规作 AB 的垂线，使它经过点 C。 3. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′ = 6，求 ∠B′ 的度数和 AB 的长。 6. 如图，两个四边形关于直线 l 对称，∠C = 90°，a = 5 cm，b = 4 cm，∠A = 80°，∠B = 135°，求 ∠G 的度数。 9. 如图，要在公路 l 上增加一个车站，使 A、B 两小区到车站的路程一样长，画出车站位置。 A3 配图：△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B=90° B4 配图：△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3，△ABD 周长 13 B5 配图：AB=AC，DB=DC，E 在 AD 上，求证 EB=EC B6 配图：两个四边形关于直线 l 对称，∠C=90° C7 配图：尺规作图作线段 AB 的垂直平分线 C8 配图：尺规作图过直线外一点作垂线 C9 配图：在公路 l 上找一点 C 使 CA = CB 四、课堂小结 【两组核心概念】轴对称图形（一个图形沿对称轴折叠两部分重合）vs 两个图形成轴对称（两个图形沿对称轴折叠能重合）。前者描述一个图形自身性质，后者描述两个图形的位置关系。 【两条核心性质】① 成轴对称的两个图形全等；② 连接对称点的线段被对称轴垂直平分（轴对称图形也具备此性质）。 【线段垂直平分线的性质与判定】性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（SAS 证明）。判定：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上（HL 证明）。 【尺规作图两条】作线段的垂直平分线（半径大于 AB 的 ）、过直线外一点作已知直线的垂线（先用 C 画弧得 D/E，再作 DE 的垂直平分线 CF）。 【证明书写格式】条件→判定方法（SAS / SSS / HL）→全等→对应边/对应角相等→结论。HL 仅适用于直角三角形。 【常见易错】(1) 性质与判定的方向混淆；(2) HL 误用于非直角三角形；(3) "垂直"与"垂直平分"的概念混淆；(4) "轴对称"与"全等"的关系误判（全等是必要条件，非充分）。 五、分区板书（参考） 主题 要点 一、轴对称与两个图形成轴对称 ① 一个图形沿对称轴折叠两部分能重合 ⇒ 轴对称图形；② 两个图形沿对称轴折叠能重合 ⇒ 这两个图形成轴对称。联系：把前者沿对称轴分成两部分即后者；把后者看成一个整体即前者。 二、轴对称的性质 ① 成轴对称的两个图形全等；② 连接对称点的线段被对称轴垂直平分（推论：对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线）。 三、线段垂直平分线 定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线。性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（SAS）。判定：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上（HL）。 四、尺规作图 ① 作线段垂直平分线：以 A、B 为圆心，大于 AB 的 为半径画弧，两弧交于 C、D，CD 即所求。② 过直线外一点作垂线：以 C 为圆心作弧交 AB 于 D、E，再作 DE 的垂直平分线 CF。 五、应用选择 ① 证 PA = PB 用性质定理（SAS）；② 证 OP 平分或点 P 在中垂线上用判定定理（HL）；③ 作对称轴先找一对对称点。 六、课后作业 真实还原《习题15.1》P69—P71 第 1—10 题（2024 版）。先做基础题再做综合题，最后做拓广探索。 复习巩固（1—4） 1. 下列图案中，是轴对称图形的打"√"，并指出对称轴。 2. 如图，图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把 4 个三角形看成一个整体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？ 第2题配图：4 个直角三角形（阴影与 1、3 成轴对称，整体 2 条对称轴） 3. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′ = 6，求 ∠B′ 的度数和 AB 的长。 4. 如图，△ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13，求 △ABC 的周长。 综合运用（5—8） 5. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上，求证：EB = EC。 6. 下列命题都成立，写出它们的逆命题，并判断这些逆命题是否成立：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）全等三角形的对应边相等。 7. 下面的图形是轴对称图形吗？若是，画出它的一条对称轴。 8. 如图，AD 与 BC 相交于点 O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE。求证：OE 垂直平分 BD。 拓广探索（9—10） 9. 如图，△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线相交于点 P。（1）求证：PA = PB = PC；（2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 10. 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A、B 是路边两个新建小区。这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ 第10题配图：A、B 为两小区，l 为公路，车站建在 AB 垂直平分线与 l 的交点 C 七、教学反思 ① 课时1应让学生先观察生活中的轴对称实例（窗花、蜻蜓、蝴蝶等），再抽象出"沿直线折叠两部分重合"的本质。区分"轴对称图形"与"两个图形成轴对称"是本课难点，可用"一个是单个图形自身的性质、两个是两个图形的位置关系"的口诀帮助记忆。 ② 课时2性质定理的 SAS 证明中，"AC = BC（垂直平分线定义）"与"∠PCA = ∠PCB = 90°（垂直定义）"两步最易被学生漏写，强调"已知条件"必须显式写全。 ③ 判定定理用 HL 证明，前提是构造直角三角形——"过 P 作 PC⊥AB"这一步是构造辅助线的关键，必须显式写出。 ④ 尺规作图的"为什么"——让学生说明每一步的依据（半径大于 AB 的 ⇒ 弧必相交），不要把作图当成机械步骤。 ⑤ 学生易把"全等"与"轴对称"等同：可举例"全等但不成轴对称"（如一块橡皮的两面——形状全等但位置未形成对称），强化"轴对称是带对称轴的特殊全等"。 八、参考答案 巩固训练参考答案 · A 组 巩固训练参考答案 · B 组 巩固训练参考答案 · C 组 A1. 如"品""田""日"是轴对称图形；"林"不是（左右结构不对称）。 B4. 由 DE⊥平分 AC ⇒ DA = DC，AC = 2AE = 6。△ABD 周长 = AB + BD + DA = AB + BC = 13，故 AC = 6 ⇒ AB + BC = 13 ⇒ △ABC 周长 = 13 + 6 = 19。 C7. 分别以 A、B 为圆心、大于 AB 的 的长为半径作弧，两弧交于 C、D，作直线 CD 即所求（依据 SSS）。 A2. 4 组图形中成轴对称的共 1 组（依课本 P65 答案 A）。 B5. 连接 BC：∵ AB = AC ⇒ A 在 BC 垂直平分线上；∵ DB = DC ⇒ D 在 BC 垂直平分线上；∴ AD 是 BC 的垂直平分线。∵ E 在 AD 上 ⇒ E 在 BC 垂直平分线上 ⇒ EB = EC。 C8. 以 C 为圆心作弧交 AB 于 D、E；分别以 D、E 为圆心、大于 DE 的 的长为半径作弧，两弧交于 F；作直线 CF 即所求。 A3. 由轴对称性质 △ABC ≌ △A′B′C′，故 ∠B′ = ∠B = 90°，AB = A′B′ = 6。 B6. 由对称性 a = 5 cm，b = 4 cm，∠H = ∠C = 90°，∠F = ∠A = 80°，∠E = ∠B = 135°。由四边形内角和 ∠G = 360° − 90° − 80° − 135° = 55°。 C9. 车站 C 建在 AB 的垂直平分线与公路 l 的交点处。先连接 AB，作 AB 的垂直平分线，其与 l 的交点 C 即为所求。 课后作业参考答案（习题15.1 第 1—10 题） 1. (1) 是（对称轴为竖直中线）；(2) 是；(3) 否；(4) 是；(5) 是。 2. 阴影三角形与三角形 1、三角形 3 成轴对称；整个图形是轴对称图形，共有 2 条对称轴。 3. ∠B′ = ∠B = 90°，AB = A′B′ = 6。 4. AC = 2AE = 6；△ABD 周长 = AB + BD + DA = AB + BC = 13；故 △ABC 周长 = 13 + 6 = 19。 5. 连接 BC。∵ AB = AC 且 DB = DC ⇒ AD 是 BC 的垂直平分线。∵ E 在 AD 上 ⇒ EB = EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。 6. (1) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补。成立。(2) 逆命题：对应边相等的两个三角形全等。成立（SSS）。 7. 是轴对称图形；用尺规作图找一对对称点连线段的垂直平分线即为对称轴。 8. 在 △AOB 和 △COD 中，∠A = ∠C，OA = OC，∠AOB = ∠COD ⇒ △AOB ≌ △COD（ASA）⇒ OB = OD。又 BE = DE ⇒ 点 O 和点 E 都在 BD 的垂直平分线上 ⇒ OE 是 BD 的垂直平分线 ⇒ OE 垂直平分 BD。 9. (1) ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 ⇒ PA = PB；∵ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 ⇒ PB = PC；故 PA = PB = PC。(2) 由 PA = PC ⇒ 点 P 也在 AC 的垂直平分线上。结论：三角形三边的垂直平分线交于一点。 10. 作 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点 C 即为车站位置（此时 CA = CB）。 学科网（北京）股份有限公司 $