15.2.1 画轴对称的图形讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.2.1 画轴对称的图形 · 基础讲义 15.2.1 画轴对称的图形 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　对称图形与对称轴的识别 2 题型 1　判断成轴对称与对称轴条数 3 题型 2　补全图形与涂阴影成轴对称 6 微专题 2　作对称图形与网格作图 9 题型 1　作图的步骤与正误辨析 10 题型 2　方格纸中作对称图形 11 题型 3　网格中的对称变换与面积 16 微专题 3　镜面对称与实际读数 22 题型 1　镜中读数与倒影 22 题型 2　剪纸与折纸展开 25 培优微专题 4　坐标与多次对称的综合 26 培优题型 1　坐标平面内的对称与面积 26 培优题型 2　多次对称与规律探究 28 一、本讲导航 学习目标 1．理解画轴对称图形的本质——作出每个关键点关于对称轴的对称点，再按原图顺序连线，能说清"垂直"与"等距"这两个要求。 2．能画出点、线段、三角形、四边形等简单图形关于给定直线的对称图形，会作已知点关于已知直线的对称点。 3．能在方格纸中按对称轴补全图形、补画对称轴，能用数格的方法确定对称图形各顶点的位置。 4．会判断一个图形是否为轴对称图形、数出对称轴的条数，能在网格中通过涂阴影使图形成为轴对称图形，并会计算网格中图形的面积。 5．理解镜面与水面倒影中的成像规律，能由镜中读数还原实际时刻、由倒影读出水面的真实情形，知道剪纸的展开图关于折痕对称。 6．在作图、想象展开图与设计图案的过程中发展空间观念和几何直观，感受轴对称在现实生活与图案设计中的价值。 重点与难点 重点　作已知图形关于给定直线的对称图形；方格纸中的补全与作图；对称轴条数的判断；镜中读数与倒影的还原。 难点　① 对称点必须"垂直且等距"，容易画成斜线；② 对称轴为斜线时的作图；③ 涂阴影类题要把可能的对称轴全部试到；④ 镜中读数时指针位置也要一起翻转；⑤ 网格中格点三角形的计数不重不漏。 学习主线 认对称轴（找对应点）→ 作对称点（垂直＋等距）→ 连成图形（按原序）→ 方格纸中数格作图 → 镜面与倒影还原 → 坐标系中写对称点坐标。 微专题 1　对称图形与对称轴的识别 模块导学 对称图形与对称轴的识别 判断成轴对称看"能否沿一条直线对折重合"，数对称轴按竖直、水平、斜向逐一试；补全图形与涂阴影都归结为一句话——轴两侧必须一一对应。 知识梳理 知识点 1　成轴对称的判定与对称轴（重点） ① 两个图形成轴对称的判据：存在一条直线，沿它对折后两个图形完全重合；位置上必须是"镜像"关系，仅仅全等不算。 ② 找对称轴的方法：找一组对应点，连线的垂直平分线就是对称轴；为了可靠常再找一组对应点核对。 ③ 常见图形的对称轴条数：长方形 2 条，正方形 4 条，等腰三角形 1 条，等边三角形 3 条，正五边形 5 条，正六边形 6 条，圆无数条。 ④ 正 n 边形有 n 条对称轴，奇数边的对称轴都过顶点与对边中点，偶数边的对称轴一半过顶点、一半过对边中点。 ⑤ 补全轴对称图形：先定对称轴，再逐点作对称点，最后顺次连线；连的是关键点，不是逐格描线。 ⑥ 涂阴影使图形成为轴对称图形：先假设一条对称轴，看轴两侧哪些格子已经成对、哪些还缺，缺口就是答案，注意把可能的对称轴全部试一遍。 ⑦ 网格中判断成轴对称：看对应点的连线是否被同一条格线（或 对角格线）垂直平分，两条以上对应点都满足才可靠。 ⑧ "再加一个小正方形成为轴对称图形"这类题：先把已有图形中明显不对称的那一格找出来，再补上与它成对的那一格。 ⑨ 设计图案类题：题目要求"关于某条对角线对称"时，先画出这条对角线作为对称轴，再逐点检查两侧是否对应。 注意　对称轴是直线，画的时候要用虚线并略微穿出图形；答案里写"直线 l"，不要写成"线段 l"。 易错　把"旋转后能重合"当成轴对称——旋转对应的是中心对称，方向要转过来，不是翻折。 易错　数对称轴时只数竖直与水平方向，漏掉斜方向的那几条（正五边形、正六边形、雪花图案最容易漏）。 题型 1 判断成轴对称与对称轴条数 　　例 1　　　下列图形中，与关于直线成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了轴对称变换，认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线进行判断． 解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴垂直平分 ∴B是符合要求的． 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 1　　　一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是　 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合． 解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求； B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求； C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故符合要求； D、图象关于对角线所在的直线不对称；故不符合要求； 故选D． 　　答案　　　D 点睛　考核知识点：轴对称图形. 　　变式 2　　　下列图形中，有4条对称轴的图形有（　　） A．1个　　　　B．2个　　　　 C．3个　　　　D．4个　　　 思路分析　根据如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，解答即可． 解：图形1，3，4中各有4条对称轴，图形2中有3条对称轴． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 　 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 　　 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 　　 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下： 　　 则直线m、n即为所求作的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出： 　　 故此选项符合题意． 　　答案　　　D 　　变式 4　　　图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A．l1　　　　B．l2　　　　 C．l3　　　　D．l4　　　 思路分析　根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故选C． 　　答案　　　C 点睛　本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 　　变式 5　　　如图，已知正五边形，请用直尺画出它所有的对称轴． 思路分析　根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可． 解：略． 　　答案　　　解：如图所示，即为所求． 题型 2 补全图形与涂阴影成轴对称 　　例 2　　　如图，在的方格图中，再给其中一个小方格画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，画法有（　　） A．1种　　　　B．2种　　　　 C．3种　　　　D．4种　　　 　　答案　　　C 　　变式 6　　　如图所示的是一种“钻石”型网格（由边长都为1的等边三角形组成），已有3个小三角形涂上阴影，再从图中其余小三角形中选1个涂上阴影，使整个涂上阴影的图案构成轴对称图形的方法有（　　） A．1种　　　　B．2种　　　　 C．3种　　　　D．4种　　　 思路分析　本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 解：如图，满足条件的三角形有三个． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 7　　　如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形＿＿＿＿＿＿＿＿轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有＿＿＿＿＿＿＿＿种． 思路分析　本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 　　答案　　　　不是　8 　　变式 8　　　下列各图中的小正方形的边长都等于，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有条对称轴且阴影部分面积等于的图形． 思路分析　本题主要考查了画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可． 略 　　答案　　　如图，（部分答案不唯一） 　　变式 9　　　下列每个网格中均有两个阴影三角形，其中一个三角形可以由另一个三角形通过轴对称变换得到的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　答案　　　B 　　变式 10　　　如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿个格点三角形与成轴对称． 思路分析　本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 　　答案　　　6 　　变式 11　　　如图，在小方格中画与成轴对称的三角形(不与重合)，这样的三角形能画出＿＿＿＿＿＿＿＿＿个 　　 思路分析　根据轴对称的定义，找出对称轴就可以确定轴对称图形的个数． 如图，由已知可得，可以选择的对称轴有，，， 所以，与成轴对称的三角形(不与重合)能画出个． 故答案为：． 　　答案　　　 点睛　本题考查了轴对称的定义，解题的关键是理解轴对称的定义． 微专题 2　作对称图形与网格作图 模块导学 作对称图形与网格作图 作图三步走：定关键点、逐点作对称点、按原图顺序连线。方格纸里可以直接数格，不必每次都作垂线。 知识梳理 知识点 2　作对称图形与网格作图（重点） ① 画轴对称图形的三步：确定关键点（顶点、端点、转折点）→ 逐点作关于对称轴的对称点 → 按原图顺序连线。 ② 作一个点的对称点：过该点作对称轴的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OA′＝OA，A′ 就是 A 的对称点。 ③ 只作一条线段、一个三角形的对称图形时，先作两个（或三个）顶点的对称点，再连线，不必逐点作。 ④ 对称轴是斜线时，同样"垂直＋等距"：用三角板过点作斜线的垂线，再用圆规截取等长。 ⑤ 对称轴穿过图形内部时，图形与它的对称图形分居两侧但共享一部分，画完要检查整体是否自洽。 ⑥ 作图要求：一般"不写作法、保留作图痕迹"；痕迹要留全，弧线不能擦，否则判为未作图。 ⑦ 判断四位同学谁作得对：看对应点连线是否被对称轴垂直平分、图形形状大小是否完全相同、方向是否镜像。 ⑧ 方格纸中作对称图形：确定对称轴是横格线、竖格线还是 对角格线，再数出每个顶点到轴的格数，在另一侧取相同格数。 ⑨ 网格中的对称变换：两个格点三角形若能沿某条格线对折重合，就说它们成轴对称；判断时数格数比对，比目测可靠。 ⑩ 面积计算：网格中求图形面积常用割补法——矩形面积减去四周的直角三角形，或把它拆成几个三角形（同底等高）。 ⑪ 格点三角形计数：按对称轴分类逐一列举，同一三角形不重复计数，最后核对总数。 ⑫ 作图后求面积：对称不改变面积，可以先算原图面积再直接沿用。 注意　无刻度直尺只能连线，不能量长度；要截取等长必须用圆规，这是作图题的基本规范。 易错　把对应点连成平行线却不垂直对称轴——只要不垂直，就不是对称点。 注意　题目要求"顶点在格点上"时，所有顶点都必须落在格点，不能落在格线中间。 易错　对称轴取错方向（把斜线当成横线）导致整幅图偏离，作完务必用两组对应点验证。 题型 1 作图的步骤与正误辨析 　　例 1　　　作已知点关于某直线的对称点的第一步是 A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 思路分析　此题考查了作已知点关于某直线的对称点的步骤．根据作已知点关于某直线的对称点的步骤进行解答即可． 解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直． 故选B． 　　答案　　　B 　　变式 1　　　下面是四位同学所作的关于直线对称的图形，其中正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据对称的定义即可得出答案. A：对称点连接的直线与对称轴不垂直，故选项A错误； B：对称点不在对称轴上，故选项B错误； C：对称点连接的直线到对称轴的距离不相等，故选项C错误； 故答案选择：D. 　　答案　　　D 点睛　本题考查的是图形的对称，属于基础题型，比较简单. 题型 2 方格纸中作对称图形 　　例 2　　　图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形（只画一种即可）； (2)在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使面积为3（只画一种即可）． 思路分析　（1）根据轴对称图形的性质作即可； （2）根据网格的特点作图即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)如图1中，是轴对称图形（答案不唯一）；(2)如图2中，即为所求（答案不唯一）． 　　变式 2　　　如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上． (1)求的面积； (2)请在如图所示的网格中，以直线为对称轴，作出关于直线对称的图形． 思路分析　（1）根据进行解答即可； （2）作出关于直线的对称点，顺次连接即可． （1）解：如图1中， ， 故答案为7； （2）略 　　答案　　　(1)7(2) 　　变式 3　　　如图，根据对称轴（虚线）补全下面的轴对称图形． 思路分析　根据轴对称图形的定义（一个图形沿着一条直线对折，两条直线完全重合）即可画出轴对称图形． 解：依次找出每个图形的每条线段关于虚线对称的顶点，进行描点，连线，即可画出对应的轴对称图形． 　　答案　　　 　　变式 4　　　已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 思路分析　本题主要考查图形的轴对称变换，得到关键点的位置是解决本题的关键．首先找出三个顶点关于直线对称的点；　然后顺次连接三个对称点，就能得到关于直线对称的图形． 略 　　答案　　　如图所示： 　　变式 5　　　如图，已知四边形ABCD和直线l，在图中作四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称(不要求写作法，只保留作图痕迹)． 思路分析　找出点A、B、C、D关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可. 略 　　答案　　　如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求作的. 点睛　本题考查了利用轴对称变换作图，准确找出点A、B、C、D的对称点的位置是解题的关键． 　　变式 6　　　下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． 思路分析　（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′； （2）利用一个矩形的面积减去三个三角形的面积去计算△ABC的面积． 解：（1）略 （2）△ABC的面积＝﹣×1×3﹣×2×1﹣×2×3＝3.5． 　　答案　　　（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）3.5 点睛　本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 　　变式 7　　　请在网格中完成下列画图． (1)在图①中画出关于直线成轴对称的． (2)在图②中画出与的对称轴． 解：（1）如图（1），即为所求图形． （2）如图（2），直线即为所求的对称轴． 　　答案　　　(1)见解析(2)见解析 　　变式 8　　　如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 思路分析　（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； （2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． （1）略 （2）． 　　答案　　　（1）如图所示：（2）8 点睛　本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 　　变式 9　　　如图，已知直线m、n， (1)作出关于直线m对称的； (2)作出关于直线n对称的． 思路分析　本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于直线m的对称点D、E、F，然后顺次连接即可； （2）先作出点D、E、F关于直线n的对称点P、Q、R，然后顺次连接即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)解：如图，即为所求作的三角形；(2)解：如图，即为所求作的三角形． 题型 3 网格中的对称变换与面积 　　例 3　　　如图，已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD以直线l为对称轴的对称图形A1B1C1D1． 思路分析　从四点向L引垂线并延长，分别找到四点的对称点，然后顺次连接即可. 如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求． 　　答案　　　见解析 点睛　考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 　　变式 10　　　如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 思路分析　（1）分别以点B和C为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别连接即可； （2）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可． （1）解：略． （2）解：略． 　　答案　　　(1)如图即为所求，(2)证明：如图，设与交于点，，，，，在和中，，，由（1）可得，． 　　变式 11　　　如图1,已知的三个顶点均在单位,长度为1的正方形网格中的格点上,请你按照要求完成以下问题: （1）请直接写出图中的面积为＿＿＿＿＿＿; （2）动手操作与画图:请你根据所学全等与轴对称知识,在图2,图3,图4,图5的网格内完成以下设计轴对称图形的任务,要求如下:画出的三角形要与全等,且它们的顶点都在格点上;画出的三角形与关于某条直线成轴对称图形． 思路分析　（1）要求的面积等于它所在的正方形减去周围直角三角形的面积,即可得出答案. （2）根据轴对称图形的特点,对称点到对称轴的距离相等,对称点的连线垂直于对称轴,分别画出这两个图形关于这条直线的几个关键的对称点,然后连接即可画出它们的对称图形. 解:（1）1 （2）略 　　答案　　　（1）1;（2）如图所示:　 点睛　本题是考查作一个简单图形的轴对称图形,根据轴对称图形的特点画图,求一般三角形的面积,解题的关键是理解并掌握轴对称图形的特点,会用切割法求一般三角形的面积. 　　变式 12　　　如图都是的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图： (1)在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点． (2)在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有　　　　个． 思路分析　（1）根据要求利用轴对称的性质作图即可； （2）根据要求利用轴对称的性质作图即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)如图，线段MN即为所作．（答案不唯一）．(2)如图，与关于直线对称；如图，与关于直线对称；如图，与关于直线对称；如图，与关于直线对称；综上可知符合条件的三角形共有4个．故答案为：4． 点睛　本题考查作图—轴对称变换．掌握轴对称的性质是解题关键． 　　变式 13　　　如图，在中，，是三条角平分线的交点，交于点． (1)将右侧的图形沿向左折叠，设点的对称点为，画出折叠后的图形（保留原图形，不写画法）． (2)若，求的度数． 思路分析　本题主要运用角平分线的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理来求解。 （1）根据折叠的性质画出图形； （2）通过设未知数，利用角平分线和折叠的性质找出角之间的关系，再结合三角形内角和定理建立方程求解. 解：（1）略 （2）设，则． ， ． 三角形的内角和为， ， ． 　　答案　　　(1)如图所示．(2) 　　变式 14　　　实践与探究：活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． (1)勤学小组在图的网格中构造出，使，且这两个三角形沿直线翻折能够完全重合，请画出符合条件的． (2)善思小组在图的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合，请画出符合条件的． (3)笃行小组在图的网格中构造出，使，与相交于点，且平分．请画出符合条件的． 思路分析　（）根据全等形的特征和轴对称图形的性质画图即可； （）根据全等形的特征画图即可； （）根据全等形的特征画图即可 （1）略 （2）略 （3）略 　　答案　　　(1)解：如图所示，即为所求：(2)解：如图所示，即为所求：(3)解：如图所示，即为所求： 　　变式 15　　　如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线m的轴对称图形； (2)在直线m上作一点P，使得． 思路分析　（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)解：如图即为所作．(2)解：如图即为所作． 微专题 3　镜面对称与实际读数 模块导学 镜面对称与实际读数 镜中成像左右翻转、上下不变，水面倒影则是上下翻转；时钟读数用"12 时减去镜中时刻"最快，剪纸展开图一定关于折痕对称。 知识梳理 知识点 3　镜面、倒影与时钟读数（重点） ① 平面镜成像的本质是轴对称：镜面是对称轴，像与原物关于镜面成轴对称。 ② 站在镜前看身后的钟表、电子屏：左右发生翻转，上下不变，所以读数要左右对调后再读。 ③ 时钟读数最快算法：实际时刻＝12 时－镜中时刻（12 小时制）；如镜中 3:25，实际是 8:35。 ④ 时针与分针的位置关系也要一起翻转，不能只看数字：镜中时针指向某处，实际应指向关于 12—6 连线对称的位置。 ⑤ 水面倒影是上下翻转（关于水平轴对称），与镜子的左右翻转不同，读倒影时上下对调。 ⑥ 电子钟数字：只有 0、1、8 等少数数字左右翻转后仍是有效数字，判断"像与原示数相同"要逐个数字检验。 ⑦ 剪纸与折纸：纸张沿虚线折叠后剪裁，展开图一定关于折痕成轴对称，剪去一个缺口，展开后成对出现。 ⑧ 连续对折两次再剪，展开后图案同时关于两条折痕对称，缺口个数是剪口数的 4 倍（对折两次）。 注意　钟面读数题要先确认是"照镜子看到"还是"看倒影"，两者的翻转方向相反。 易错　把镜中时刻直接当成实际时刻，或只翻转数字不翻转指针位置。 题型 1 镜中读数与倒影 小冬站在镜子前，在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是“”请问，此时时间应该是（　　） 　　例 1　　　 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　根据镜子中看到身后的电子屏内显示的时间与真实的时间是成轴对称的判断即可； 在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是，那么真实时间是； 故选C． 　　答案　　　C 点睛　本题主要考查了轴对称图形的判断，准确分析是解题的关键． 　　变式 1　　　下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 2　　　李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　 在镜子中看到时钟显示的是，则实际时间是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了镜面对称：关于镜面问题动手实验是最好的办法，如果没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 把写在透明纸上，从反面看到即可． 解：实际时间为． 故答案为． 　　答案　　　 　　变式 4　　　星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是＿＿＿＿＿时＿＿＿＿＿分．（按12小时制填写） 　　 思路分析　此题考查镜面反射的基本知识，注意与实际问题的结合． 解：从镜子中看到的是，那么正常时间应该是． 故答案为：1，30 　　答案　　　　1　30 点睛　解决此类习题时候，注意与现实生活结合，学以致用． 　　变式 5　　　李明在镜子里看到的时钟如图所示，则此时的准确时间（12小时制）是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据镜面对称的性质，镜子中的像与原物体关于镜面对称，对于时钟而言，左右方向相反，实际时间与镜中时间之和为，据此可求解.　 解：由图可知，镜中显示的时间为；　 准确时间为. 　　答案　　　 　　变式 6　　　河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，　如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 　　答案　　　3时35分 题型 2 剪纸与折纸展开 　　例 2　　　剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得： ． 故选：A． 　　答案　　　A 点睛　此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案． 培优微专题 4　坐标与多次对称的综合 模块导学 坐标与多次对称的综合 关于 x 轴、y 轴、原点对称时坐标的符号变化要背准；连续多次对称找规律，先看几次回到原状，再对次数取余。 知识梳理 知识点 4　坐标平面内的对称（重点） ① 点 (a，b) 关于 x 轴对称的点是 (a，－b)：横坐标不变，纵坐标变号。 ② 点 (a，b) 关于 y 轴对称的点是 (－a，b)：纵坐标不变，横坐标变号。 ③ 点 (a，b) 关于原点对称的点是 (－a，－b)：两个坐标都变号。 ④ 判断口诀：关于哪条轴对称，哪条轴的坐标不变、另一条变号；关于原点对称，两个都变号。 ⑤ 坐标系中求图形面积：用"外接矩形减去三个直角三角形"或"分割成几个三角形"，与网格法一致。 ⑥ 连续关于同一条直线作两次对称，图形回到原位；关于两条平行直线连续对称，结果相当于平移，平移距离是两直线间距的 2 倍。 ⑦ 循环对称的规律题：先写出前几次变换后的坐标，找出周期（常是 4 次或 2 次），再用次数除以周期取余。 ⑧ 对称点落在指定象限的问题：先写出对称点坐标，再由象限制出不等式组求字母范围。 注意　写坐标时先横后纵，符号不能丢；关于 y 轴对称变的是横坐标，容易记反。 易错　把"关于原点对称"与"关于 y 轴对称"混淆——前者两个坐标都变号，后者只变横坐标。 培优题型 1 坐标平面内的对称与面积 　　例 1　　　已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 思路分析　先根据对称轴得到点在第二象限，再根据第二象限的符号特征，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可. 解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴，解得， 在数轴上表示为： 　　答案　　　C 　　变式 1　　　如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标． 如图，过点C作轴于D， ∴，，， ∴． 　　答案　　　 　　变式 2　　　如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，以及与关于y轴对称的； (2)的面积是＿＿＿＿＿＿； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为3，求点P的坐标 思路分析　（1）根据坐标先描出A，B，C三点，再顺次连接即可，再确定A，B，C关于y轴对称的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）设P点坐标为，由的面积为3，可得，再解方程即可． （1）略 （2）． （3）设P点坐标为， ∵的面积为3， ∴， 解得或8 ∴P点坐标为或． 　　答案　　　(1)如图，和为所作；(2)4(3)或 点睛　本题考查的是坐标系内描点画图，画轴对称图形，网格三角形的面积，利用方程思想解决三角形的面积问题是解本题的关键． 培优题型 2 多次对称与规律探究 　　例 2　　　在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后所得的点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查轴对称的性质以及点的坐标变换规律，由题意根据点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到初始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环进行分析即可得出答案． 解：根据题意可知：点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到初始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第2025次变换后所得的点与第1次关于轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为　 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 3　　　我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”． (1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状； (2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状； (3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹． 思路分析　（1）根据题意作出图形，然后问题可求解； （2）根据（1）中的作法可进行作图，然后问题可求解； （3）根据题意画出图形即可． （1）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，然后连接，交于点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，同理可作，如图示， 设与的交点为点E，由题意得：， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：按（1）的作法进行作图，如图所示： 由题意得：， ∴， ∵直线与直线的夹角是， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可得也为等腰直角三角形； （3）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，连接，交直线于点C，然后以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点A为圆心，为半径画弧，交直线于点，进而以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，交于一点D，连接，则直线即可求；如图所示： 　　答案　　　(1)图见详解，是直角三角形(2)图见详解，为等腰直角三角形(3)图见详解 点睛　本题主要考查复杂的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $15.2.1 画轴对称的图形 · 基础讲义 15.2.1 画轴对称的图形 （基础讲义） 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　对称图形与对称轴的识别 2 题型 1　判断成轴对称与对称轴条数 3 题型 2　补全图形与涂阴影成轴对称 4 微专题 2　作对称图形与网格作图 6 题型 1　作图的步骤与正误辨析 7 题型 2　方格纸中作对称图形 7 题型 3　网格中的对称变换与面积 11 微专题 3　镜面对称与实际读数 13 题型 1　镜中读数与倒影 14 题型 2　剪纸与折纸展开 15 培优微专题 4　坐标与多次对称的综合 16 培优题型 1　坐标平面内的对称与面积 16 培优题型 2　多次对称与规律探究 17 一、本讲导航 学习目标 1．理解画轴对称图形的本质——作出每个关键点关于对称轴的对称点，再按原图顺序连线，能说清"垂直"与"等距"这两个要求。 2．能画出点、线段、三角形、四边形等简单图形关于给定直线的对称图形，会作已知点关于已知直线的对称点。 3．能在方格纸中按对称轴补全图形、补画对称轴，能用数格的方法确定对称图形各顶点的位置。 4．会判断一个图形是否为轴对称图形、数出对称轴的条数，能在网格中通过涂阴影使图形成为轴对称图形，并会计算网格中图形的面积。 5．理解镜面与水面倒影中的成像规律，能由镜中读数还原实际时刻、由倒影读出水面的真实情形，知道剪纸的展开图关于折痕对称。 6．在作图、想象展开图与设计图案的过程中发展空间观念和几何直观，感受轴对称在现实生活与图案设计中的价值。 重点与难点 重点　作已知图形关于给定直线的对称图形；方格纸中的补全与作图；对称轴条数的判断；镜中读数与倒影的还原。 难点　① 对称点必须"垂直且等距"，容易画成斜线；② 对称轴为斜线时的作图；③ 涂阴影类题要把可能的对称轴全部试到；④ 镜中读数时指针位置也要一起翻转；⑤ 网格中格点三角形的计数不重不漏。 学习主线 认对称轴（找对应点）→ 作对称点（垂直＋等距）→ 连成图形（按原序）→ 方格纸中数格作图 → 镜面与倒影还原 → 坐标系中写对称点坐标。 微专题 1　对称图形与对称轴的识别 模块导学 对称图形与对称轴的识别 判断成轴对称看"能否沿一条直线对折重合"，数对称轴按竖直、水平、斜向逐一试；补全图形与涂阴影都归结为一句话——轴两侧必须一一对应。 知识梳理 知识点 1　成轴对称的判定与对称轴（重点） ① 两个图形成轴对称的判据：存在一条直线，沿它对折后两个图形完全重合；位置上必须是"镜像"关系，仅仅全等不算。 ② 找对称轴的方法：找一组对应点，连线的垂直平分线就是对称轴；为了可靠常再找一组对应点核对。 ③ 常见图形的对称轴条数：长方形 2 条，正方形 4 条，等腰三角形 1 条，等边三角形 3 条，正五边形 5 条，正六边形 6 条，圆无数条。 ④ 正 n 边形有 n 条对称轴，奇数边的对称轴都过顶点与对边中点，偶数边的对称轴一半过顶点、一半过对边中点。 ⑤ 补全轴对称图形：先定对称轴，再逐点作对称点，最后顺次连线；连的是关键点，不是逐格描线。 ⑥ 涂阴影使图形成为轴对称图形：先假设一条对称轴，看轴两侧哪些格子已经成对、哪些还缺，缺口就是答案，注意把可能的对称轴全部试一遍。 ⑦ 网格中判断成轴对称：看对应点的连线是否被同一条格线（或 对角格线）垂直平分，两条以上对应点都满足才可靠。 ⑧ "再加一个小正方形成为轴对称图形"这类题：先把已有图形中明显不对称的那一格找出来，再补上与它成对的那一格。 ⑨ 设计图案类题：题目要求"关于某条对角线对称"时，先画出这条对角线作为对称轴，再逐点检查两侧是否对应。 注意　对称轴是直线，画的时候要用虚线并略微穿出图形；答案里写"直线 l"，不要写成"线段 l"。 易错　把"旋转后能重合"当成轴对称——旋转对应的是中心对称，方向要转过来，不是翻折。 易错　数对称轴时只数竖直与水平方向，漏掉斜方向的那几条（正五边形、正六边形、雪花图案最容易漏）。 题型 1 判断成轴对称与对称轴条数 　　例 1　　　下列图形中，与关于直线成轴对称的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是　 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　下列图形中，有4条对称轴的图形有（　　） A．1个　　　　B．2个　　　　 C．3个　　　　D．4个　　　 　　变式 3　　　不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 4　　　图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A．l1　　　　B．l2　　　　 C．l3　　　　D．l4　　　 　　变式 5　　　如图，已知正五边形，请用直尺画出它所有的对称轴． 　 　 　 　 题型 2 补全图形与涂阴影成轴对称 　　例 2　　　如图，在的方格图中，再给其中一个小方格画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，画法有（　　） A．1种　　　　B．2种　　　　 C．3种　　　　D．4种　　　 　　变式 6　　　如图所示的是一种“钻石”型网格（由边长都为1的等边三角形组成），已有3个小三角形涂上阴影，再从图中其余小三角形中选1个涂上阴影，使整个涂上阴影的图案构成轴对称图形的方法有（　　） A．1种　　　　B．2种　　　　 C．3种　　　　D．4种　　　 　　变式 7　　　如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形＿＿＿＿＿＿＿＿轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有＿＿＿＿＿＿＿＿种． 　 　 　　变式 8　　　下列各图中的小正方形的边长都等于，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有条对称轴且阴影部分面积等于的图形． 　 　 　 　 　　变式 9　　　下列每个网格中均有两个阴影三角形，其中一个三角形可以由另一个三角形通过轴对称变换得到的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 10　　　如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿个格点三角形与成轴对称． 　 　 　　变式 11　　　如图，在小方格中画与成轴对称的三角形(不与重合)，这样的三角形能画出＿＿＿＿＿＿＿＿＿个 　　 　 　 微专题 2　作对称图形与网格作图 模块导学 作对称图形与网格作图 作图三步走：定关键点、逐点作对称点、按原图顺序连线。方格纸里可以直接数格，不必每次都作垂线。 知识梳理 知识点 2　作对称图形与网格作图（重点） ① 画轴对称图形的三步：确定关键点（顶点、端点、转折点）→ 逐点作关于对称轴的对称点 → 按原图顺序连线。 ② 作一个点的对称点：过该点作对称轴的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OA′＝OA，A′ 就是 A 的对称点。 ③ 只作一条线段、一个三角形的对称图形时，先作两个（或三个）顶点的对称点，再连线，不必逐点作。 ④ 对称轴是斜线时，同样"垂直＋等距"：用三角板过点作斜线的垂线，再用圆规截取等长。 ⑤ 对称轴穿过图形内部时，图形与它的对称图形分居两侧但共享一部分，画完要检查整体是否自洽。 ⑥ 作图要求：一般"不写作法、保留作图痕迹"；痕迹要留全，弧线不能擦，否则判为未作图。 ⑦ 判断四位同学谁作得对：看对应点连线是否被对称轴垂直平分、图形形状大小是否完全相同、方向是否镜像。 ⑧ 方格纸中作对称图形：确定对称轴是横格线、竖格线还是 对角格线，再数出每个顶点到轴的格数，在另一侧取相同格数。 ⑨ 网格中的对称变换：两个格点三角形若能沿某条格线对折重合，就说它们成轴对称；判断时数格数比对，比目测可靠。 ⑩ 面积计算：网格中求图形面积常用割补法——矩形面积减去四周的直角三角形，或把它拆成几个三角形（同底等高）。 ⑪ 格点三角形计数：按对称轴分类逐一列举，同一三角形不重复计数，最后核对总数。 ⑫ 作图后求面积：对称不改变面积，可以先算原图面积再直接沿用。 注意　无刻度直尺只能连线，不能量长度；要截取等长必须用圆规，这是作图题的基本规范。 易错　把对应点连成平行线却不垂直对称轴——只要不垂直，就不是对称点。 注意　题目要求"顶点在格点上"时，所有顶点都必须落在格点，不能落在格线中间。 易错　对称轴取错方向（把斜线当成横线）导致整幅图偏离，作完务必用两组对应点验证。 题型 1 作图的步骤与正误辨析 　　例 1　　　作已知点关于某直线的对称点的第一步是 A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 　　变式 1　　　下面是四位同学所作的关于直线对称的图形，其中正确的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 题型 2 方格纸中作对称图形 　　例 2　　　图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形（只画一种即可）； (2)在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使面积为3（只画一种即可）． 　 　 　 　 　　变式 2　　　如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上． (1)求的面积； (2)请在如图所示的网格中，以直线为对称轴，作出关于直线对称的图形． 　 　 　 　 　　变式 3　　　如图，根据对称轴（虚线）补全下面的轴对称图形． 　 　 　 　 　　变式 4　　　已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 　 　 　 　 　　变式 5　　　如图，已知四边形ABCD和直线l，在图中作四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称(不要求写作法，只保留作图痕迹)． 　 　 　 　 　　变式 6　　　下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． 　 　 　 　 　　变式 7　　　请在网格中完成下列画图． (1)在图①中画出关于直线成轴对称的． (2)在图②中画出与的对称轴． 　 　 　 　 　　变式 8　　　如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 　 　 　 　 　　变式 9　　　如图，已知直线m、n， (1)作出关于直线m对称的； (2)作出关于直线n对称的． 　 　 　 　 题型 3 网格中的对称变换与面积 　　例 3　　　如图，已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD以直线l为对称轴的对称图形A1B1C1D1． 　 　 　 　 　　变式 10　　　如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 　 　 　 　 　　变式 11　　　如图1,已知的三个顶点均在单位,长度为1的正方形网格中的格点上,请你按照要求完成以下问题: （1）请直接写出图中的面积为＿＿＿＿＿＿; （2）动手操作与画图:请你根据所学全等与轴对称知识,在图2,图3,图4,图5的网格内完成以下设计轴对称图形的任务,要求如下:画出的三角形要与全等,且它们的顶点都在格点上;画出的三角形与关于某条直线成轴对称图形． 　 　 　　变式 12　　　如图都是的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图： (1)在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点． (2)在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有　　　　个． 　 　 　 　 　　变式 13　　　如图，在中，，是三条角平分线的交点，交于点． (1)将右侧的图形沿向左折叠，设点的对称点为，画出折叠后的图形（保留原图形，不写画法）． (2)若，求的度数． 　 　 　 　 　　变式 14　　　实践与探究：活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． (1)勤学小组在图的网格中构造出，使，且这两个三角形沿直线翻折能够完全重合，请画出符合条件的． (2)善思小组在图的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合，请画出符合条件的． (3)笃行小组在图的网格中构造出，使，与相交于点，且平分．请画出符合条件的． 　 　 　 　 　　变式 15　　　如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线m的轴对称图形； (2)在直线m上作一点P，使得． 　 　 　 　 微专题 3　镜面对称与实际读数 模块导学 镜面对称与实际读数 镜中成像左右翻转、上下不变，水面倒影则是上下翻转；时钟读数用"12 时减去镜中时刻"最快，剪纸展开图一定关于折痕对称。 知识梳理 知识点 3　镜面、倒影与时钟读数（重点） ① 平面镜成像的本质是轴对称：镜面是对称轴，像与原物关于镜面成轴对称。 ② 站在镜前看身后的钟表、电子屏：左右发生翻转，上下不变，所以读数要左右对调后再读。 ③ 时钟读数最快算法：实际时刻＝12 时－镜中时刻（12 小时制）；如镜中 3:25，实际是 8:35。 ④ 时针与分针的位置关系也要一起翻转，不能只看数字：镜中时针指向某处，实际应指向关于 12—6 连线对称的位置。 ⑤ 水面倒影是上下翻转（关于水平轴对称），与镜子的左右翻转不同，读倒影时上下对调。 ⑥ 电子钟数字：只有 0、1、8 等少数数字左右翻转后仍是有效数字，判断"像与原示数相同"要逐个数字检验。 ⑦ 剪纸与折纸：纸张沿虚线折叠后剪裁，展开图一定关于折痕成轴对称，剪去一个缺口，展开后成对出现。 ⑧ 连续对折两次再剪，展开后图案同时关于两条折痕对称，缺口个数是剪口数的 4 倍（对折两次）。 注意　钟面读数题要先确认是"照镜子看到"还是"看倒影"，两者的翻转方向相反。 易错　把镜中时刻直接当成实际时刻，或只翻转数字不翻转指针位置。 题型 1 镜中读数与倒影 小冬站在镜子前，在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是“”请问，此时时间应该是（　　） 　　例 1　　　 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 2　　　李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是 A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 3　　　 在镜子中看到时钟显示的是，则实际时间是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是＿＿＿＿＿时＿＿＿＿＿分．（按12小时制填写） 　　 　 　 　　变式 5　　　李明在镜子里看到的时钟如图所示，则此时的准确时间（12小时制）是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 剪纸与折纸展开 　　例 2　　　剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　　 培优微专题 4　坐标与多次对称的综合 模块导学 坐标与多次对称的综合 关于 x 轴、y 轴、原点对称时坐标的符号变化要背准；连续多次对称找规律，先看几次回到原状，再对次数取余。 知识梳理 知识点 4　坐标平面内的对称（重点） ① 点 (a，b) 关于 x 轴对称的点是 (a，－b)：横坐标不变，纵坐标变号。 ② 点 (a，b) 关于 y 轴对称的点是 (－a，b)：纵坐标不变，横坐标变号。 ③ 点 (a，b) 关于原点对称的点是 (－a，－b)：两个坐标都变号。 ④ 判断口诀：关于哪条轴对称，哪条轴的坐标不变、另一条变号；关于原点对称，两个都变号。 ⑤ 坐标系中求图形面积：用"外接矩形减去三个直角三角形"或"分割成几个三角形"，与网格法一致。 ⑥ 连续关于同一条直线作两次对称，图形回到原位；关于两条平行直线连续对称，结果相当于平移，平移距离是两直线间距的 2 倍。 ⑦ 循环对称的规律题：先写出前几次变换后的坐标，找出周期（常是 4 次或 2 次），再用次数除以周期取余。 ⑧ 对称点落在指定象限的问题：先写出对称点坐标，再由象限制出不等式组求字母范围。 注意　写坐标时先横后纵，符号不能丢；关于 y 轴对称变的是横坐标，容易记反。 易错　把"关于原点对称"与"关于 y 轴对称"混淆——前者两个坐标都变号，后者只变横坐标。 培优题型 1 坐标平面内的对称与面积 　　例 1　　　已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（　　） A．　　　　B．　　　 C．　　　　D．　　　 　　变式 1　　　如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 2　　　如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，以及与关于y轴对称的； (2)的面积是＿＿＿＿＿＿； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为3，求点P的坐标 　 　 培优题型 2 多次对称与规律探究 　　例 2　　　在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后所得的点的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 3　　　我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”． (1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状； (2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状； (3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹． 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $