13.2 与三角形有关的线段 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
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内容正文：
13.2 与三角形有关的线段
专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
（教师版）
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一、边线·知识与方法 2
二、题型一 边线关系第三边范围 7
三、题型二 边线判定能否成三角形 10
四、题型三 边线三线定义与位置 13
五、题型四 边线中线等分面积与不计算 16
六、A、边线落实三边关系 19
七、B、边线改一边看结论 22
八、C、边线找全与反例 26
九、D、近年真题·边线与三线 29
十、E、边线一条链三问收口 32
十一、课堂检测 34
姓名：____________ 班级：____________ 得分：__________
一、边线·知识与方法
图0
知识点一 三边关系定理：两边之和大于第三边
1．三角形任意两边之和都大于第三边，即对△ABC有 AB＋AC＞BC、AB＋BC＞AC、AC＋BC＞AB。
2．这条关系是三角形能“围拢”的保证：若两边之和不大于第三边，两条短边接不到一起。
3．为什么是任意两边：任取两边都要满足，任一条边都不能长过另两条边之和。
4．反例两则：“1、2、3能成三角形”不成立，因为1＋2＝3等于第三边接不上；“两边之和等于第三边也行”也不成立。
5．换一个条件：把“两边之和大于第三边”改成“较短两边之和大于最长边”，结论等价，判定更快。
6．举例：边长3、4、5满足3＋4＞5等三边关系，能成三角形。
图示1
易错提醒：任意两边之和都要大于第三边；任一边都不能长过另两边之和，等于也不行。
知识点二 两边之差小于第三边与取值范围
1．三角形任意两边之差都小于第三边；结合定理可得第三边落在“两边差”与“两边和”之间。
2．设两边为a、b（a＜b），第三边c满足 b−a＜c＜a＋b，这是第三边长度的完整范围。
3．为什么是开区间：等于差或和时三点共线，围不出三角形，故严格大于差、小于和。
4．反例两则：“c可以等于b−a”不成立，那会共线；“c可以等于a＋b”也不成立，同样共线。
5．换一个条件：把“已知两边求第三边范围”换成“已知一边和范围求另一边”，仍用同一条不等式。
6．举例：两边7和3，第三边范围 7−3＜c＜7＋3，即 4＜c＜10。
图示2
易错提醒：第三边范围：b−a＜c＜a＋b（a＜b）。等于差或和都共线，不能取等号。
知识点三 能否成三角形的判定：只看较短两边之和大于最长边
1．三条线段能否成三角形，不必列三个不等式，只需较短两边之和大于最长边即可。
2．理由：若最短两边之和大于最长边，则任两边之和自然大于第三边，三边关系全满足。
3．为什么不列全：三个不等式里最短两边之和大于最长边是最苛刻的一条，它过了其余自动过。
4．反例两则：“2、3、6能成”不成立，2＋3＝5小于6；“只要两条边之和大于第三边就行，不管差”也不成立。
5．换一个条件：把“判定三条线段”换成“判断等腰三角形两边能否存在”，仍先验三边关系。
6．举例：4、5、8中4＋5＝9＞8，能成；若改8为10则4＋5＝9＜10，不能成。
图示3
易错提醒：判定捷径：较短两边之和大于最长边。过了这条，其余两边关系自动满足。
知识点四 三角形的高：定义与三条高所在直线交于一点
1．从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2．高都是线段，不是直线也不是射线；每个三角形都有三条高，三条高所在直线交于一点（垂心）。
3．为什么强调“所在直线”：钝角三角形的两条高落在图形外部，但它们所在的直线仍交于垂心。
4．反例两则：“三角形的高是直线”不成立，高是线段；“直角三角形三条高都在内部”也不成立，有两条与直角边重合。
5．换一个条件：把“向对边作垂线”换成“过顶点作对边的垂线”，说法等价，仍是顶点到垂足的线段。
6．举例：在△ABC中，从A向BC作垂线，垂足D，线段AD就是BC边上的高。
图示4
易错提醒：高是顶点到对边的垂线段；三条高所在直线交于垂心。高是线段，不是直线。
知识点五 高的位置：锐角三内、直角两在边、钝角两在外
1．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高就是两条直角边，另一条在内部。
2．钝角三角形有两条高在三角形外部（钝角所对的那条高在内部），三条高所在直线交于形外一点。
3．为什么位置不同：垂足落点取决于角的类型，钝角的垂足落在对边延长线上故高在外部。
4．反例两则：“锐角三角形有高在外部”不成立；“钝角三角形三条高全在外部”也不成立，钝角所对的高在内部。
5．换一个条件：把“锐角三角形”改成“钝角三角形”，外部高条数由0变为2。
6．举例：钝角△中钝角为120°，过锐角顶点作对边的垂线，垂足落延长线，高在形外。
图示5
易错提醒：高位置：锐角三内、直角两高在直角边、钝角两高在外部。看三角形类型决定。
知识点六 三角形的中线：重心与等分面积
1．连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形的中线。
2．三角形三条中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心。
3．为什么中线等分面积：中线把原三角形分成两个底边相等、同高的小三角形，故面积相等。
4．反例两则：“中线平分内角”不成立，平分角的是角平分线；“三条中线交于外部”也不成立，重心总在内部。
5．换一个条件：把“一条中线”换成“连续取中线”，每取一次都把对应小三角形面积再平分。
6．举例：若△ABC面积为24，中线AD分出的△ABD与△ACD面积各为12。
图示6
易错提醒：中线连顶点与对边中点；三条交于重心；中线把面积平分为二。
知识点七 三角形的角平分线：线段，三条交于内心
1．三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2．三角形的角平分线是线段（注意区别于角的平分线是射线）；三条角平分线交于三角形内部一点，叫内心。
3．为什么是线段：端点一端是顶点、一端在对边上，故是线段而非无限延伸的射线。
4．反例两则：“三角形的角平分线是射线”不成立；“三条角平分线交于外部”也不成立，内心总在内部。
5．换一个条件：把“平分∠BAC”换成“已知∠BAC求一半”，角平分线直接给出半角。
6．举例：若∠BAC＝80°，角平分线AE分得∠BAE＝∠CAE＝40°。
图示7
易错提醒：三角形的角平分线是线段；三条交于内心。它平分内角，但不平分边长或面积。
二、题型一 边线关系第三边范围
例1
在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则第三边BC的取值范围是（ ）。
图1
【答案】2＜BC＜12
【解析】由两边差小于第三边、和大于第三边，7−5＜BC＜7＋5，即2＜BC＜12。另一做法错在写成2≤BC≤12；共线不能取等号。图1 把两边5、7与范围2到12标出。
变式1-1
在△ABC中，AB＝8，BC＝10，则AC的取值范围是（ ）。
图1-1
【答案】2＜AC＜18
【解析】10−8＜AC＜10＋8，即2＜AC＜18。另一做法错在把差算成18−10；差应是两已知边相减。图1-1 把8、10与范围标出。
变式1-2
不计算准确得数，判断：若△ABC两边长为3和5，则第三边可能是9吗（ ）（填“可能”或“不可能”）。
图1-2
【答案】不可能
【解析】第三边须小于3＋5＝8，9＞8，故不可能，不必算出具体范围。另一做法错在只看差忽略和的上界；上界也卡住9。图1-2 把3、5与上限8对照。
在△ABC中，两边分别为4和9，第三边c的范围是（ ）。
图1-3
【答案】5＜c＜13
【解析】9−4＜c＜9＋4，即5＜c＜13。另一做法错在把差算成4−9；差取正数。
不计算，△ABC两边为2和7，第三边能否为4（ ）（填“能”或“不能”）。
图1-4
【答案】不能
【解析】2＋4＝6小于7，不满足和大于第三边，故不能。另一做法错在只看差；和也要验。
在△ABC中，两边均为6，第三边范围是（ ）。
图1-5
【答案】0＜c＜12
【解析】6−6＜c＜6＋6，即0＜c＜12（边长本为正）。另一做法错在写成0≤c；边长不能等于0。
已知△ABC两边3和10，第三边最大整数值是（ ）。
图1-6
【答案】12
【解析】第三边须小于13，正整数最大为12。另一做法错在答13；等于和共线不行。
不计算，△ABC两边5和5，第三边为11能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图1-7
【答案】不能
【解析】5＋5＝10小于11，接不拢。另一做法错在以为等腰就稳成；还要验三边关系。
在△ABC中，a＝7，b＝11，则第三边c需满足（ ）。
图1-8
【答案】4＜c＜18
【解析】11−7＜c＜11＋7，即4＜c＜18。另一做法错在把a、b顺序搞反影响差的正负号。
三、题型二 边线判定能否成三角形
例2
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）。
A．1,2,3 B．2,3,5 C．3,4,5 D．1,3,5
图2
【答案】C
【解析】较短两边3＋4＝7＞5，能成。A中1＋2＝3等于第三边不行；B中2＋3＝5等于不行；D中1＋3＝4＜5不行。图2 把3、4、5摆成能接拢。
变式2-1
不计算，判断：边长4、5、10能否组成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-1
【答案】不能
【解析】较短两边4＋5＝9＜10，接不拢，一步可判。另一做法错在去算周长；和的上界直接否定。图2-1 把4、5、10摆成开口。
变式2-2
已知三角形两边3和7，第三边为整数且能成三角形，第三边最小是（ ）。
图2-2
【答案】5
【解析】第三边须大于7−3＝4且小于10，整数最小为5。另一做法错在答4；等于差共线不行。图2-2 把范围4到10与最小整数5标出。
下列能组成三角形的是（ ）：A．2,2,4 B．3,3,3 C．1,2,4 D．5,1,3
图2-3
【答案】B
【解析】B三边3、3、3满足关系；A中2＋2＝4等于不行；C中1＋2＝3＜4不行；D中1＋3＝4＜5不行。
不计算，边长6、8、15能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-4
【答案】不能
【解析】6＋8＝14小于15，不能。另一做法错在只看差；和的上界先卡住。
等腰三角形两边长为5和10，则周长是（ ）。
图2-5
【答案】25
【解析】若腰5底10则5＋5＝10等于底边不行；只能腰10底5，周长10＋10＋5＝25。另一做法错在答20或20或25；须先验三边关系。
不计算，三边2、3、4能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-6
【答案】能
【解析】2＋3＝5＞4，能。另一做法错在看到小数就犹豫；和大于最长边即可。
已知两边4和9，第三边为整数，最大值是（ ）。
图2-7
【答案】12
【解析】第三边须小于13，整数最大12。另一做法错在答13；等于和共线。
不计算，边长1、1、3能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-8
【答案】不能
【解析】1＋1＝2小于3，不能。另一做法错在以为两条1能托住3；和太短。
三角形两边为a、b（a＜b），第三边c应满足（ ）。
图2-9
【答案】b−a＜c＜b＋a
【解析】由三边关系得b−a＜c＜b＋a。另一做法错在写成c＜b−a；差应做下界而非上界。
四、题型三 边线三线定义与位置
例3
在锐角△ABC中。先定解：三条高都在（ ）；再找一解：直角三角形中两条直角边互为（ ）；接着找全：钝角三角形有（ ）条高在外部，并说明为什么（ ）；最后改一个条件：把锐角△ABC改成钝角三角形，则高在外部的条数变为（ ）。
图3
【答案】内部；高；2；钝角所对的高在内部、另两条在对边延长线上故在外部；2
【解析】定解：锐角三高皆在内部。找一解：直角的两条直角边就是两条高。找全：钝角三角形仅钝角所对的高在内部，另两条在外部，理由（教师版）：垂足落在对边延长线上所以高伸到形外，按三角形类型逐条核对即证无遗漏。改条件：锐角变钝角后外部高由0变2。图3 把三类三角形的高位置画出。
变式3-1
只找一解：直角三角形中，两条高与（ ）重合，另一条高在（ ）。
图3-1
【答案】直角边；内部
【解析】直角边就是两条直角边上的高，第三条高在内部。另一做法错在说三条高都在边；只有两条在直角边。图3-1 把直角三角的两高标在直角边。
变式3-2
找全：任意三角形三条高所在直线交于（ ）点；说明锐角、直角、钝角三角形高在内部的条数分别是（ ）。
图3-2
【答案】一；3、1、1
【解析】三条高所在直线总交于一点（垂心）；锐角3条在内部，直角仅1条在内部（另两在直角边），钝角仅1条在内部。另一做法错在把直角写成3条在内部；直角边上的高算在边上。图3-2 用三幅小图对照内部条数。
变式3-3
改一个条件：在锐角△ABC中只把角A改成钝角，则高在外部条数由0变为（ ）。
图3-3
【答案】2
【解析】锐角变钝角后，钝角所对的高留在内部，另两条落到延长线变外部，故外部高由0变2。另一做法错在以为只变1条；两条锐角顶点处的高都外移。图3-3 把改前改后高位置并排。
在△ABC中，先定解：锐角三角形的三条高在（ ）；再找一解：钝角三角形在内部的高有（ ）条。
图3-4
【答案】内部；1
【解析】锐角三高皆内；钝角仅钝角所对的高在内部。另一做法错在答钝角内部有0条；还有一条在内部。
找全：三角形三条中线交于（ ）点，三条角平分线交于（ ）点。
图3-5
【答案】重；内
【解析】中线交点叫重心，角平分线交点叫内心。另一做法错在把两者混淆；中线管面积、角平分线管角。
改一个条件：把“锐角三角形”改成“钝角三角形”，高在外部条数由（ ）变为（ ）。
图3-6
【答案】0；2
【解析】锐角外部高0条，钝角2条。另一做法错在答1；两条都外移。
找全：三角形的高、中线、角平分线从图形性质上说都是（ ）（填“线段”“射线”或“直线”）。
图3-7
【答案】线段
【解析】三者都是线段，不是直线或射线。另一做法错在把高想成直线；高是顶点到垂足的有限段。
五、题型四 边线中线等分面积与不计算
例4
在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC面积为24，则△ABD面积为（ ）。
图4
【答案】12
【解析】中线把三角形分成面积相等的两部分，故△ABD面积为24÷2＝12。另一做法错在把面积按边长比乱分；中线保证两底相等同高。图4 把△ABC沿AD分成两等份。
变式4-1
估算决策：用长3、5、9的三根木条能否钉成稳固三角架（ ），一步理由是（ ）。
图4-1
【答案】不能；3加5小于9
【解析】较短两边3＋5＝8小于最长边9，接不拢，一步可判不必精算。另一做法错在去量角度；边关系直接否定能否成架。图4-1 把3、5、9摆成开口。
变式4-2
不计算，判断：三角形的三条中线一定交于三角形内部一点（ ）（填“对”或“错”）。
图4-2
【答案】对
【解析】三条中线总交于内部重心，不必计算。另一做法错在把中线想成可能外移；重心恒在内部。图4-2 把三条中线与重心标出。
在△ABC中，AD是中线，BC＝10，则BD＝（ ）。
图4-3
【答案】5
【解析】中线平分对边，BD＝BC÷2＝5。另一做法错在把10当BD；中线分的是BC。
不计算，判断：三角形的角平分线是线段而非射线（ ）（填“对”或“错”）。
图4-4
【答案】对
【解析】三角形角平分线端点一端在顶点一端在对边，是线段。另一做法错在和角的平分线（射线）混淆。
在△ABC中，中线AD把原三角形面积分成（ ）的两部分。
图4-5
【答案】相等
【解析】中线等分面积，两部分相等。另一做法错在以为按边长比例分；同高底等所以等积。
估算决策：边长4、4、9能否围成三角形（ ），一步理由是（ ）。
图4-6
【答案】不能；4加4小于9
【解析】两腰4＋4＝8小于底边9，接不拢一步可判。另一做法错在先假设等腰就稳成；还要验三边关系。
不计算，在△ABC中，三条高所在直线交于一点，这点叫（ ）。
图4-7
【答案】垂心
【解析】三条高所在直线交点叫垂心。另一做法错在答重心；重心是中线的交点。
在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°，则∠BAE＝（ ）°。
图4-8
【答案】40
【解析】角平分线平分内角，∠BAE＝80°÷2＝40°。另一做法错在把80°直接当∠BAE；那是全角不是半角。
不计算，判断：钝角三角形有两条高在图形外部（ ）（填“对”或“错”）。
图4-9
【答案】对
【解析】钝角所对的高在内部，另两条在外部。另一做法错在说三条都在外；还有一条在内。
六、A、边线落实三边关系
在△ABC中，两边分别为3和4，第三边范围是（ ）。
图5-1
【答案】1＜c＜7
【解析】4−3＜c＜4＋3，即1＜c＜7。另一做法错在把差算成3−4；差取正数。
不计算，△ABC两边5和8，第三边能否为2（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-2
【答案】不能
【解析】2＋5＝7小于8，不满足和大于第三边。另一做法错在只看差；和也须验。
在△ABC中，两边均为7，第三边范围是（ ）。
图5-3
【答案】0＜c＜14
【解析】7−7＜c＜7＋7，即0＜c＜14。另一做法错在写成0≤c；边长不能为0。
不计算，边长3、3、6能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-4
【答案】不能
【解析】3＋3＝6等于第三边，共线接不拢。另一做法错在以为相等就行；等于也不行。
已知两边2和9，第三边为整数，最小值是（ ）。
图5-5
【答案】8
【解析】第三边须大于7且小于11，整数最小8。另一做法错在答7；等于差共线。
在△ABC中，两边10和4，第三边最大整数是（ ）。
图5-6
【答案】13
【解析】第三边须小于14，最大整数13。另一做法错在答14；等于和共线。
不计算，边长5、12、13能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-7
【答案】能
【解析】5＋12＝17＞13，能。另一做法错在看到13就犹豫；和大于最长边即可。
在△ABC中，a＝6，b＝8，第三边c需满足（ ）。
图5-8
【答案】2＜c＜14
【解析】8−6＜c＜8＋6，即2＜c＜14。另一做法错在把a、b顺序影响差的正负号。
不计算，两边6和6，第三边为13能否成（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-9
【答案】不能
【解析】6＋6＝12小于13，接不拢。另一做法错在以为等腰就稳成；还要验关系。
在△ABC中，两边9和3，第三边范围是（ ）。
图5-10
【答案】6＜c＜12
【解析】9−3＜c＜9＋3，即6＜c＜12。另一做法错在把差算成3−9；差取正数。
七、B、边线改一边看结论
在△ABC中，两边为5和5，第三边原为9（能成）；只把9改成11，则现在（ ）组成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-1
【答案】不能
【解析】改后5＋5＝10小于11，接不拢。另一做法错在以为只是边长变大仍成；和没跟上最长边。
在△ABC中，两边3和7，第三边原范围是4到10；只把7改成4，则第三边新范围变为（ ）。
图6-2
【答案】1＜c＜7
【解析】新两边3、4，第三边须4−3＜c＜4＋3，即1＜c＜7。另一做法错在沿用旧范围4到10；两边变了范围要重算。
在△ABC中，两边4和9，原第三边范围5到13；只把4改成6，则新范围是（ ）。
图6-3
【答案】3＜c＜15
【解析】新两边6、9，9−6＜c＜9＋6，即3＜c＜15。另一做法错在保留旧下界5；下界随小边变。
在△ABC中，两边2和10，原范围8到12；只把2改成5，则第三边范围变为（ ）。
图6-4
【答案】5＜c＜15
【解析】新两边5、10，10−5＜c＜10＋5，即5＜c＜15。另一做法错在保留旧范围；两边都影响差与和。
在△ABC中，两边8和8，原范围0到16；只把一条8改成3，则新范围是（ ）。
图6-5
【答案】5＜c＜11
【解析】新两边3、8，8−3＜c＜8＋3，即5＜c＜11。另一做法错在沿用0到16；小边骤降收紧范围。
在△ABC中，两边6和11，原范围5到17；只把11改成5，则新范围是（ ）。
图6-6
【答案】1＜c＜11
【解析】新两边5、6，6−5＜c＜6＋5，即1＜c＜11。另一做法错在保留旧上界17；上界随大边降。
在△ABC中，两边3和3，第三边原5（能成）；只把5改成7，则（ ）成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-7
【答案】不能
【解析】改后3＋3＝6小于7，接不拢。另一做法错在以为只动底边仍成；两腰和不够托底边。
在△ABC中，两边7和10，原第三边最大为16；只把10改成3，则新最大值是（ ）。
图6-8
【答案】9
【解析】新两边3、7，第三边须小于10，整数最大9。另一做法错在沿用16；大边变小上界跟着降。
在△ABC中，两边5和9，原第三边可取到4到14；只把9改成4，则新可取到（ ）。
图6-9
【答案】1＜c＜9
【解析】新两边4、5，5−4＜c＜5＋4，即1＜c＜9。另一做法错在保留旧区间；两边都变范围重算。
在△ABC中，两边4和4，第三边原7（能成）；只把其中一条4改成9，则（ ）成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-10
【答案】能
【解析】改后三边9、4、7，较短两边4＋7＝11＞9，三边关系满足能成。另一做法错在沿用旧“不能”印象；要按新三边重验。
八、C、边线找全与反例
找全：检验三条线段能否成三角形，只需判断（ ）两边之和大于（ ）。
图7-1
【答案】较短两边；最长边
【解析】捷径是较短两边之和大于最长边。另一做法错在列三个不等式；一条最苛刻的过了其余自动过。
反例验证：有人说“求第三边只要用两边之和大于第三边、不用管两边之差”，错误在于（ ）。
图7-2
【答案】会漏掉第三边的下界，取到过短的边仍不成三角形
【解析】只记 c＜a＋b 会得到过长范围，但还要 c＞b−a；例如两边5、9若忽略下界取c＝2，则2＋5＝7＜9仍不成。另一做法错在以为一个方向就够。
找全：三角形三边关系有两条，分别是（ ）和（ ）。
图7-3
【答案】两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
【解析】两条定理互为补充。另一做法错在只写一条；范围由两个方向共同夹出。
判断：三角形中任意两边之差小于第三边（ ）（填“对”或“错”）。
图7-4
【答案】对
【解析】由和大于第三边推出差小于第三边。另一做法错在写成“大于”；方向反了。
反例验证：有人说“边长1、2、4能成三角形”，错误在于（ ）。
图7-5
【答案】1加2等于3小于4，不满足和大于第三边
【解析】最短两边和小于最长边必不能成。另一做法错在只看单条边；要验和的上界。
找全：下列能成三角形的是（ ）：A．2,3,6 B．4,5,9 C．5,5,8 D．1,1,3
图7-6
【答案】C
【解析】C中5＋5＝10＞8能成；A2＋3＜6、B4＋5＝9等于、D1＋1＜3都不行。另一做法错在选B；等于也不行。
反例验证：有人说“等边三角形三边相等，所以不满足两边之和大于第三边”，错误在于（ ）。
图7-7
【答案】等边任两边和等于第三边的两倍，仍大于第三边
【解析】等边两短边和远大于第三边，关系照满足。另一做法错在把“相等”误当成“和不够”。
判断：已知两边a、b（a＜b），第三边c的范围是b−a＜c＜a＋b（ ）（填“对”或“错”）。
图7-8
【答案】对
【解析】这正是第三边取值范围公式。另一做法错在把不等号写反。
找全：钝角三角形的高在外部的条数是（ ），在内部的条数是（ ）。
图7-9
【答案】2；1
【解析】钝角所对的高在内部，另两条在外部。另一做法错在答3外或0内；还有一条在内。
反例验证：有人说“三角形的高都在三角形内部”，错误在于（ ）。
图7-10
【答案】钝角三角形有两条高在图形外部
【解析】反例就是钝角三角形，两条高落在对边延长线上。另一做法错在以锐角三角形当全体。
九、D、近年真题·边线与三线
1．（2025年·温州·期中考试）等腰三角形的两边长分别为5和10，则此三角形的周长为（ ）。
A．20 B．25 C．26 D．20或25
图8-1
【答案】B
【解析】若腰5底10则5＋5＝10等于底边不行；只能腰10底5，周长10＋10＋5＝25。易错：选D忽略三边关系剔掉一种。
2．（2025年·杭州·期中考试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）。
A．1,2,3 B．2,3,4 C．2,2,4 D．1,3,5
图8-2
【答案】B
【解析】B中2＋3＝5＞4能成；A、C和等于第三边、D和小于第三边都不行。易错：选C以为“2,2,4”能成；等于也不行。
3．（2026年·江苏·期末考试）在△ABC中，两边长为4和9，则第三边长c的取值范围是（ ）。
A．c＞5 B．5＜c＜13 C．c＜13 D．4＜c＜9
图8-3
【答案】B
【解析】9−4＜c＜9＋4，即5＜c＜13，选B。易错：选A或C只给单边；范围要两端夹。
4．（2025年·广东·期中考试）已知三角形两边为3和7，第三边为整数，则第三边的最小值是（ ）。
A．3 B．4 C．5 D．6
图8-4
【答案】C
【解析】第三边须大于4且小于10，整数最小5，选C。易错：选B把4当最小；等于差共线不行。
5．（2026年·山东·期末考试）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为24，则△ABD的面积为（ ）。
A．6 B．12 C．18 D．24
图8-5
【答案】B
【解析】中线等分面积，△ABD为24÷2＝12，选B。易错：选A以为按边长比例分；中线保证等积。
6．（2025年·北京·期中考试）下列说法中错误的是（ ）。
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．锐角三角形的三条高都在内部 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．钝角三角形的三条高都在外部
图8-6
【答案】D
【解析】钝角三角形只有两条高在外部、一条在内部，D错，故选D。易错：把D当对；那是反例本身。
7．（2026年·四川·期中考试）在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠BAE的度数为（ ）。
A．20° B．40° C．60° D．80°
图8-7
【答案】B
【解析】角平分线平分内角，∠BAE＝80°÷2＝40°，选B。易错：选D把全角当半角。
8．（2025年·湖北·期末考试）用长度分别为3、5、9的三根木棒（ ）围成一个三角形。
A．能 B．不能 C．有时能 D．无法确定
图8-8
【答案】B
【解析】3＋5＝8小于9，接不拢，不能，选B。易错：选C以为摆法不同就行；边长度固定就围不成。
十、E、边线一条链三问收口
对△ABC（两边5、7）：(1) 第三边范围是（ ）；(2) 若把7改成3，范围变为（ ）；(3) 说明判定只需比较（ ）与最长边。
图9-1
【答案】2＜c＜12；2＜c＜8；较短两边之和
【解析】第(1)问7−5＜c＜7＋5。第(2)问新两边3、5，5−3＜c＜5＋3。第(3)问捷径是较短两边之和大于最长边。
对△ABC（三边3、4、5）：(1) 不计算能否成三角形（ ）；(2) 把5改成8则（ ）；(3) 改后满足什么关系才成（ ）。
图9-2
【答案】能；不能；较短两边和大于第三边
【解析】第(1)问3＋4＞5能成。第(2)问3＋4＝7＜8不能。第(3)问要较短两边之和大于最长边。
对△ABC（AD为中线，面积24）：(1) △ABD面积为（ ）；(2) 若再取△ABD中AD边上的中线BE，则△ABE面积为（ ）；(3) 中线分面积规律是（ ）。
图9-3
【答案】12；6；中线平分面积
【解析】第(1)问中线等分面积得12。第(2)问再取中线又平分得6。第(3)问每取一次中线面积再半。
对△ABC（锐角）：(1) 三条高在（ ）；(2) 改成钝角后外部高有（ ）条；(3) 三线所在直线交点叫（ ）。
图9-4
【答案】内部；2；垂心
【解析】第(1)问锐角三高在内部。第(2)问钝角两高在外部。第(3)问高所在直线交于垂心。
对△ABC（AE平分∠BAC＝80°）：(1) ∠BAE＝（ ）°；(2) 若∠BAC改为100°则∠BAE＝（ ）°；(3) 角平分线是（ ）（填线段或射线）。
图9-5
【答案】40；50；线段
【解析】第(1)问80°÷2＝40°。第(2)问100°÷2＝50°。第(3)问三角形角平分线是线段。
对△ABC（等腰边5、10）：(1) 周长（ ）；(2) 若腰改为4、底10则（ ）成三角形；(3) 改为4、4、10时原因（ ）。
图9-6
【答案】25；不能；4加4小于10
【解析】第(1)问只能腰10底5，周长25。第(2)问4＋4＝8＜10不能。第(3)问两腰和小于底边接不拢。
十一、课堂检测
不计算，△ABC两边长6与8，第三边落在（ ）。
图10-1
【答案】2＜c＜14
【解析】8−6＜c＜8＋6，即2＜c＜14。另一做法错在把差算成6−8；差取正数。
不计算，边长2、3、5能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图10-2
【答案】不能
【解析】2＋3＝5等于第三边，共线接不拢。另一做法错在以为和大于就行；等于也不行。
在△ABC中，中线AD分BC为两段，若BC长14则BD＝（ ）。
图10-3
【答案】7
【解析】中线平分对边，BD＝14÷2＝7。另一做法错在把14当BD；分的是BC。
不计算，判断：三角形三条中线交于一点叫重心（ ）（填“对”或“错”）。
图10-4
【答案】对
【解析】中线交点即重心。另一做法错在答垂心；垂心是高的交点。
在△ABC中，AE平分∠A＝60°，则∠BAE＝（ ）°。
图10-5
【答案】30
【解析】角平分线平分内角，60°÷2＝30°。另一做法错在把60°直接当半角结果；要先除2。
估算决策：用长4、6、11的三根木条能否拼成三角形（ ），一步理由是（ ）。
图10-6
【答案】不能；4加6小于11
【解析】较短两边和10小于11，接不拢一步可判。另一做法错在去量角；边关系直接否定。
不计算，钝角三角形高在内部的有（ ）条。
图10-7
【答案】1
【解析】钝角仅钝角所对的高在内部。另一做法错在答0；还有一条在内。
不计算，△ABC两边长都是9，第三边落在（ ）。
图10-8
【答案】0＜c＜18
【解析】9−9＜c＜9＋9，即0＜c＜18。另一做法错在写成0≤c；边长不能为0。
不计算，边长5、5、10能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图10-9
【答案】不能
【解析】5＋5＝10等于底边，共线不行。另一做法错在以为等腰就稳成；等于也不行。
在△ABC中，三条角平分线交于一点，这个点叫（ ）。
图10-10
【答案】内心
【解析】角平分线交点叫内心。另一做法错在答重心；重心是中线的交点。
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13.2 与三角形有关的线段
专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册
（学生版）
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一、边线·知识与方法 2
二、题型一 边线关系第三边范围 7
三、题型二 边线判定能否成三角形 9
四、题型三 边线三线定义与位置 12
五、题型四 边线中线等分面积与不计算 14
六、A、边线落实三边关系 17
七、B、边线改一边看结论 19
八、C、边线找全与反例 22
九、D、近年真题·边线与三线 24
十、E、边线一条链三问收口 27
十一、课堂检测 28
姓名：____________ 班级：____________ 得分：__________
一、边线·知识与方法
图0
知识点一 三边关系定理：两边之和大于第三边
1．三角形任意两边之和都大于第三边，即对△ABC有 AB＋AC＞BC、AB＋BC＞AC、AC＋BC＞AB。
2．这条关系是三角形能“围拢”的保证：若两边之和不大于第三边，两条短边接不到一起。
3．为什么是任意两边：任取两边都要满足，任一条边都不能长过另两条边之和。
4．反例两则：“1、2、3能成三角形”不成立，因为1＋2＝3等于第三边接不上；“两边之和等于第三边也行”也不成立。
5．换一个条件：把“两边之和大于第三边”改成“较短两边之和大于最长边”，结论等价，判定更快。
6．举例：边长3、4、5满足3＋4＞5等三边关系，能成三角形。
图示1
易错提醒：任意两边之和都要大于第三边；任一边都不能长过另两边之和，等于也不行。
知识点二 两边之差小于第三边与取值范围
1．三角形任意两边之差都小于第三边；结合定理可得第三边落在“两边差”与“两边和”之间。
2．设两边为a、b（a＜b），第三边c满足 b−a＜c＜a＋b，这是第三边长度的完整范围。
3．为什么是开区间：等于差或和时三点共线，围不出三角形，故严格大于差、小于和。
4．反例两则：“c可以等于b−a”不成立，那会共线；“c可以等于a＋b”也不成立，同样共线。
5．换一个条件：把“已知两边求第三边范围”换成“已知一边和范围求另一边”，仍用同一条不等式。
6．举例：两边7和3，第三边范围 7−3＜c＜7＋3，即 4＜c＜10。
图示2
易错提醒：第三边范围：b−a＜c＜a＋b（a＜b）。等于差或和都共线，不能取等号。
知识点三 能否成三角形的判定：只看较短两边之和大于最长边
1．三条线段能否成三角形，不必列三个不等式，只需较短两边之和大于最长边即可。
2．理由：若最短两边之和大于最长边，则任两边之和自然大于第三边，三边关系全满足。
3．为什么不列全：三个不等式里最短两边之和大于最长边是最苛刻的一条，它过了其余自动过。
4．反例两则：“2、3、6能成”不成立，2＋3＝5小于6；“只要两条边之和大于第三边就行，不管差”也不成立。
5．换一个条件：把“判定三条线段”换成“判断等腰三角形两边能否存在”，仍先验三边关系。
6．举例：4、5、8中4＋5＝9＞8，能成；若改8为10则4＋5＝9＜10，不能成。
图示3
易错提醒：判定捷径：较短两边之和大于最长边。过了这条，其余两边关系自动满足。
知识点四 三角形的高：定义与三条高所在直线交于一点
1．从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2．高都是线段，不是直线也不是射线；每个三角形都有三条高，三条高所在直线交于一点（垂心）。
3．为什么强调“所在直线”：钝角三角形的两条高落在图形外部，但它们所在的直线仍交于垂心。
4．反例两则：“三角形的高是直线”不成立，高是线段；“直角三角形三条高都在内部”也不成立，有两条与直角边重合。
5．换一个条件：把“向对边作垂线”换成“过顶点作对边的垂线”，说法等价，仍是顶点到垂足的线段。
6．举例：在△ABC中，从A向BC作垂线，垂足D，线段AD就是BC边上的高。
图示4
易错提醒：高是顶点到对边的垂线段；三条高所在直线交于垂心。高是线段，不是直线。
知识点五 高的位置：锐角三内、直角两在边、钝角两在外
1．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高就是两条直角边，另一条在内部。
2．钝角三角形有两条高在三角形外部（钝角所对的那条高在内部），三条高所在直线交于形外一点。
3．为什么位置不同：垂足落点取决于角的类型，钝角的垂足落在对边延长线上故高在外部。
4．反例两则：“锐角三角形有高在外部”不成立；“钝角三角形三条高全在外部”也不成立，钝角所对的高在内部。
5．换一个条件：把“锐角三角形”改成“钝角三角形”，外部高条数由0变为2。
6．举例：钝角△中钝角为120°，过锐角顶点作对边的垂线，垂足落延长线，高在形外。
图示5
易错提醒：高位置：锐角三内、直角两高在直角边、钝角两高在外部。看三角形类型决定。
知识点六 三角形的中线：重心与等分面积
1．连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形的中线。
2．三角形三条中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心。
3．为什么中线等分面积：中线把原三角形分成两个底边相等、同高的小三角形，故面积相等。
4．反例两则：“中线平分内角”不成立，平分角的是角平分线；“三条中线交于外部”也不成立，重心总在内部。
5．换一个条件：把“一条中线”换成“连续取中线”，每取一次都把对应小三角形面积再平分。
6．举例：若△ABC面积为24，中线AD分出的△ABD与△ACD面积各为12。
图示6
易错提醒：中线连顶点与对边中点；三条交于重心；中线把面积平分为二。
知识点七 三角形的角平分线：线段，三条交于内心
1．三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2．三角形的角平分线是线段（注意区别于角的平分线是射线）；三条角平分线交于三角形内部一点，叫内心。
3．为什么是线段：端点一端是顶点、一端在对边上，故是线段而非无限延伸的射线。
4．反例两则：“三角形的角平分线是射线”不成立；“三条角平分线交于外部”也不成立，内心总在内部。
5．换一个条件：把“平分∠BAC”换成“已知∠BAC求一半”，角平分线直接给出半角。
6．举例：若∠BAC＝80°，角平分线AE分得∠BAE＝∠CAE＝40°。
图示7
易错提醒：三角形的角平分线是线段；三条交于内心。它平分内角，但不平分边长或面积。
二、题型一 边线关系第三边范围
例1
在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则第三边BC的取值范围是（ ）。
图1
变式1-1
在△ABC中，AB＝8，BC＝10，则AC的取值范围是（ ）。
图1-1
变式1-2
不计算准确得数，判断：若△ABC两边长为3和5，则第三边可能是9吗（ ）（填“可能”或“不可能”）。
图1-2
在△ABC中，两边分别为4和9，第三边c的范围是（ ）。
图1-3
不计算，△ABC两边为2和7，第三边能否为4（ ）（填“能”或“不能”）。
图1-4
在△ABC中，两边均为6，第三边范围是（ ）。
图1-5
已知△ABC两边3和10，第三边最大整数值是（ ）。
图1-6
不计算，△ABC两边5和5，第三边为11能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图1-7
在△ABC中，a＝7，b＝11，则第三边c需满足（ ）。
图1-8
三、题型二 边线判定能否成三角形
例2
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）。
A．1,2,3 B．2,3,5 C．3,4,5 D．1,3,5
图2
变式2-1
不计算，判断：边长4、5、10能否组成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-1
变式2-2
已知三角形两边3和7，第三边为整数且能成三角形，第三边最小是（ ）。
图2-2
下列能组成三角形的是（ ）：A．2,2,4 B．3,3,3 C．1,2,4 D．5,1,3
图2-3
不计算，边长6、8、15能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-4
等腰三角形两边长为5和10，则周长是（ ）。
图2-5
不计算，三边2、3、4能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-6
已知两边4和9，第三边为整数，最大值是（ ）。
图2-7
不计算，边长1、1、3能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图2-8
三角形两边为a、b（a＜b），第三边c应满足（ ）。
图2-9
四、题型三 边线三线定义与位置
例3
在锐角△ABC中。先定解：三条高都在（ ）；再找一解：直角三角形中两条直角边互为（ ）；接着找全：钝角三角形有（ ）条高在外部，并说明为什么（ ）；最后改一个条件：把锐角△ABC改成钝角三角形，则高在外部的条数变为（ ）。
图3
变式3-1
只找一解：直角三角形中，两条高与（ ）重合，另一条高在（ ）。
图3-1
变式3-2
找全：任意三角形三条高所在直线交于（ ）点；说明锐角、直角、钝角三角形高在内部的条数分别是（ ）。
图3-2
解答：
变式3-3
改一个条件：在锐角△ABC中只把角A改成钝角，则高在外部条数由0变为（ ）。
图3-3
解答：
在△ABC中，先定解：锐角三角形的三条高在（ ）；再找一解：钝角三角形在内部的高有（ ）条。
图3-4
找全：三角形三条中线交于（ ）点，三条角平分线交于（ ）点。
图3-5
改一个条件：把“锐角三角形”改成“钝角三角形”，高在外部条数由（ ）变为（ ）。
图3-6
找全：三角形的高、中线、角平分线从图形性质上说都是（ ）（填“线段”“射线”或“直线”）。
图3-7
五、题型四 边线中线等分面积与不计算
例4
在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC面积为24，则△ABD面积为（ ）。
图4
变式4-1
估算决策：用长3、5、9的三根木条能否钉成稳固三角架（ ），一步理由是（ ）。
图4-1
变式4-2
不计算，判断：三角形的三条中线一定交于三角形内部一点（ ）（填“对”或“错”）。
图4-2
在△ABC中，AD是中线，BC＝10，则BD＝（ ）。
图4-3
不计算，判断：三角形的角平分线是线段而非射线（ ）（填“对”或“错”）。
图4-4
在△ABC中，中线AD把原三角形面积分成（ ）的两部分。
图4-5
估算决策：边长4、4、9能否围成三角形（ ），一步理由是（ ）。
图4-6
不计算，在△ABC中，三条高所在直线交于一点，这点叫（ ）。
图4-7
在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°，则∠BAE＝（ ）°。
图4-8
不计算，判断：钝角三角形有两条高在图形外部（ ）（填“对”或“错”）。
图4-9
六、A、边线落实三边关系
在△ABC中，两边分别为3和4，第三边范围是（ ）。
图5-1
不计算，△ABC两边5和8，第三边能否为2（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-2
在△ABC中，两边均为7，第三边范围是（ ）。
图5-3
不计算，边长3、3、6能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-4
已知两边2和9，第三边为整数，最小值是（ ）。
图5-5
在△ABC中，两边10和4，第三边最大整数是（ ）。
图5-6
不计算，边长5、12、13能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-7
在△ABC中，a＝6，b＝8，第三边c需满足（ ）。
图5-8
不计算，两边6和6，第三边为13能否成（ ）（填“能”或“不能”）。
图5-9
在△ABC中，两边9和3，第三边范围是（ ）。
图5-10
七、B、边线改一边看结论
在△ABC中，两边为5和5，第三边原为9（能成）；只把9改成11，则现在（ ）组成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-1
在△ABC中，两边3和7，第三边原范围是4到10；只把7改成4，则第三边新范围变为（ ）。
图6-2
在△ABC中，两边4和9，原第三边范围5到13；只把4改成6，则新范围是（ ）。
图6-3
在△ABC中，两边2和10，原范围8到12；只把2改成5，则第三边范围变为（ ）。
图6-4
在△ABC中，两边8和8，原范围0到16；只把一条8改成3，则新范围是（ ）。
图6-5
在△ABC中，两边6和11，原范围5到17；只把11改成5，则新范围是（ ）。
图6-6
在△ABC中，两边3和3，第三边原5（能成）；只把5改成7，则（ ）成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-7
在△ABC中，两边7和10，原第三边最大为16；只把10改成3，则新最大值是（ ）。
图6-8
在△ABC中，两边5和9，原第三边可取到4到14；只把9改成4，则新可取到（ ）。
图6-9
在△ABC中，两边4和4，第三边原7（能成）；只把其中一条4改成9，则（ ）成三角形（填“能”或“不能”）。
图6-10
八、C、边线找全与反例
找全：检验三条线段能否成三角形，只需判断（ ）两边之和大于（ ）。
图7-1
反例验证：有人说“求第三边只要用两边之和大于第三边、不用管两边之差”，错误在于（ ）。
图7-2
找全：三角形三边关系有两条，分别是（ ）和（ ）。
图7-3
判断：三角形中任意两边之差小于第三边（ ）（填“对”或“错”）。
图7-4
反例验证：有人说“边长1、2、4能成三角形”，错误在于（ ）。
图7-5
找全：下列能成三角形的是（ ）：A．2,3,6 B．4,5,9 C．5,5,8 D．1,1,3
图7-6
反例验证：有人说“等边三角形三边相等，所以不满足两边之和大于第三边”，错误在于（ ）。
图7-7
判断：已知两边a、b（a＜b），第三边c的范围是b−a＜c＜a＋b（ ）（填“对”或“错”）。
图7-8
找全：钝角三角形的高在外部的条数是（ ），在内部的条数是（ ）。
图7-9
反例验证：有人说“三角形的高都在三角形内部”，错误在于（ ）。
图7-10
九、D、近年真题·边线与三线
1．（2025年·温州·期中考试）等腰三角形的两边长分别为5和10，则此三角形的周长为（ ）。
A．20 B．25 C．26 D．20或25
图8-1
2．（2025年·杭州·期中考试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）。
A．1,2,3 B．2,3,4 C．2,2,4 D．1,3,5
图8-2
3．（2026年·江苏·期末考试）在△ABC中，两边长为4和9，则第三边长c的取值范围是（ ）。
A．c＞5 B．5＜c＜13 C．c＜13 D．4＜c＜9
图8-3
4．（2025年·广东·期中考试）已知三角形两边为3和7，第三边为整数，则第三边的最小值是（ ）。
A．3 B．4 C．5 D．6
图8-4
5．（2026年·山东·期末考试）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为24，则△ABD的面积为（ ）。
A．6 B．12 C．18 D．24
图8-5
6．（2025年·北京·期中考试）下列说法中错误的是（ ）。
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．锐角三角形的三条高都在内部 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．钝角三角形的三条高都在外部
图8-6
7．（2026年·四川·期中考试）在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠BAE的度数为（ ）。
A．20° B．40° C．60° D．80°
图8-7
8．（2025年·湖北·期末考试）用长度分别为3、5、9的三根木棒（ ）围成一个三角形。
A．能 B．不能 C．有时能 D．无法确定
图8-8
十、E、边线一条链三问收口
对△ABC（两边5、7）：(1) 第三边范围是（ ）；(2) 若把7改成3，范围变为（ ）；(3) 说明判定只需比较（ ）与最长边。
图9-1
对△ABC（三边3、4、5）：(1) 不计算能否成三角形（ ）；(2) 把5改成8则（ ）；(3) 改后满足什么关系才成（ ）。
图9-2
对△ABC（AD为中线，面积24）：(1) △ABD面积为（ ）；(2) 若再取△ABD中AD边上的中线BE，则△ABE面积为（ ）；(3) 中线分面积规律是（ ）。
图9-3
对△ABC（锐角）：(1) 三条高在（ ）；(2) 改成钝角后外部高有（ ）条；(3) 三线所在直线交点叫（ ）。
图9-4
对△ABC（AE平分∠BAC＝80°）：(1) ∠BAE＝（ ）°；(2) 若∠BAC改为100°则∠BAE＝（ ）°；(3) 角平分线是（ ）（填线段或射线）。
图9-5
对△ABC（等腰边5、10）：(1) 周长（ ）；(2) 若腰改为4、底10则（ ）成三角形；(3) 改为4、4、10时原因（ ）。
图9-6
十一、课堂检测
不计算，△ABC两边长6与8，第三边落在（ ）。
图10-1
不计算，边长2、3、5能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图10-2
在△ABC中，中线AD分BC为两段，若BC长14则BD＝（ ）。
图10-3
不计算，判断：三角形三条中线交于一点叫重心（ ）（填“对”或“错”）。
图10-4
在△ABC中，AE平分∠A＝60°，则∠BAE＝（ ）°。
图10-5
估算决策：用长4、6、11的三根木条能否拼成三角形（ ），一步理由是（ ）。
图10-6
不计算，钝角三角形高在内部的有（ ）条。
图10-7
不计算，△ABC两边长都是9，第三边落在（ ）。
图10-8
不计算，边长5、5、10能否成三角形（ ）（填“能”或“不能”）。
图10-9
在△ABC中，三条角平分线交于一点，这个点叫（ ）。
图10-10
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