13.2 与三角形有关的线段 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

答案 课省诊查 1.c 2.C 3.A 4.C 5.6:△ABD,△ABE,△ABC:△ACE,△ACD, 互动导学 模块一、三角形的边 题型一：三角形的三边关系 2经典例题 1.B 2.C 2强化训练 1.A 2.7cm. 题型二：三角形的高 足经典例题 1.D 2.B 2强化训练 1.D 2.A △ACB:AE 4+ 44410440 题型三：三角形的中线 足经典例题 1.B 2.A 3.D 4.7cm 2强化训练 1.A 2.A 3.B 4.解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm, 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3. 又，CD为△ABC的AB边上的中线， .AD=BD,即BC-AC=3. 又，BC=8,AC=5. 答：AC的长为5cm. 题型四：三角形的角平分线 足经典例题 1.D 2.解：，∠B=30°，∠C=40°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=110°， ,AE平分∠BAC, :∠BAE=∠CAE=∠BAC=5S 2 ,AF是△ABC的高，即∠AFC=90°， ∴.∠CAF=90°-∠C=50°， ∴.∠EAF=∠CAE-∠CAF=5 卫强化训练 1.B 2.解：：∠CAB=50°，∠C=60° .∴.∠ABC=180°-50°-60°=70°， 又，AD是高， ∴.∠ADC=90°， .∠DAC=180°-90°-∠C=30, ,AE、BF是角平分线， ∴.∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAF=S° ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴.∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+9S°=120°， ∴.∠DAC=30°，∠BOA=120° 故∠DAE=5°，∠BOA=120°. 模块二、三角形三线的综合应用 题型一：三角形周长与边长的综合应用 2经典例题 1.(1)解：由题意有a-b<c<a+b,且a+b=3c-4,a-b=2c-6, ..2c-6<c<3c-4, ∴.2<c<6 又.a>b .∴.a-b=2c-6>0 故c>3 又因为2<c<6 ∴.3<c<6 (2)解：，△ABC周长为12 .a+b+c=12 又.a+b=3c-4 ∴.3c-4+c=12 .c=4, 2.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a-7+(b-2)=0,c为奇数 解：a,b满足a-7+(b-2)}=0, .a-7=0,b-2=0, 解得a=7,b=2, a-b=7-2=5,a+b=7+2=9, .5<c<9, 又c是奇数， .c=7, △ABC的周长为a+b+c=7+2+7=16. 故答案为16 3.(1)由题意得：5-3<x<5+3,即2<x<8. 3是最短边长， .x≥3. ∴x的取值范围是3≤x<8: (2)由(1)可知，2<x<8, x为整数， x的最大值为7. ∴.三角形周长的最大值为3+5+7=15 2强化训练 1.(1)AB=7,BC=2, .7-2<AC<7+2, 即5<AC<9: (2),5<AC<9,设△ABC的周长为x, 求c的值及△ABC的周长. .5+2+7<x<9+2+7,即14<x<18, ,△ABC的周长为偶数， 其周长为16 2.(1)解：b-c≥0，a-b≥0，a-b+b-c=0, ..a-b=0,b-c=0, 解得：a=b=c, ∴.△ABC是等边三角形： (2)解：，a=2,b=5, .5-2<c<5+2,即3<c<7, ,c是奇数， .c=5, ∴.△ABC是等腰三角形： (3)解：由三边关系得， a-b<c,b-c<a,c-a<b, ∴.原式=-a+b+c+(-b)+c+a+(-c)+a+b, =a+b+c. 3.,AB=5,CD=3,BC=11, ∴AD=AB+CD+BC=5+3+11=19, 要求AD的最小值，即将AB绕顺时针方向旋转，使其与BC共线：将CD绕C点逆时针方向旋转，使其 与BC共线，即四点从左到右依次为B、A、D、C. AB=5,CD=3,BC=11, .AD=BC-AB-CD=11-5-3=3. 综上，x的最大值是19，最小值是3. (2)要围成四边形，则x的取值范围为：3<x<19 题型二：与面积有关的综合应用 2经典例题 1.（)解：S4BCE=号BC4D, ·AD=28 (2)解：S.c= AB.CE-BC.AD. ·Lx2xCE=x3xAD, 2 2 ..AD 2 CE-3 2.D解：Sm=号4C-BC=4B-CD. 2 故答案为24BCD, (2)解：由（可：及-4Cc 2AB-CD, 则3x45xcD,解得：CD=号 (3)解：：AH⊥BC,PM⊥AB,PN⊥AC,SAAc=S△ABP+SACP ∴BCAM=4BPM+54C-PW, 2 2 10x12-13.PM13:P13(PN+P). .PM+PN=120 3 2强化训练 1.(1)解：AD是△ABC的高，BC=5, △ABC的面积为： 8c4D=5x4=10 (2)CE是△ABC的高，AB=6,△ABC的面积为10， 8cE=10. 即*6.cE=10. cE=10 3 2.(1)解：在Rt△ABC中，CD⊥AB,∠ACB=90°， Sc-74CBc-分4BcD, 2 BC=3,AC=4,AB=5, CD=4x312 5=5 故答案为：2 S.4c=E BC=AB-CD,AB 2 ∴.2CD=AE, ∴.CD:AE=1上2： 故答案为：1：2： （3)解：：Sm号AP-BC S.o-.DF5am号BP-DE。 LAP.BC, 又BP=AP, =1 AP.BC, 课堂训练 (评分规则：第1-4题每题3分，第5题8分， 1.D 2.C 3.31cm 4.21 且S。BP=SADP+S.DP, 第6题5分，共25分) 5.(1)解：AD是BC边上的中线， .BD=CD, AB>AC, '△ABD和△ADC的周长之差为2， ..AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB-AC AB与AC的和为14，即AB+AC=14②， ①+②得：2AB=16, 解得：AB=8, ∴.AC=14-AB=6. (2)∠BAC=90°，AB=8,AC=6, 8c-404C-×8x6=24, AD是BC边上的中线，E为AD的中点， 1 .ScpE4八c=×24=6 4 =2①， 2026年八年级数学上学期与三角形有关的线段 课首诊查 1.一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是( ) 2.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( ) 3.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A.2cm,3cm,4cm B.1cm,4cm,7cm C.1cm,2cm,3cm D.8cm,2cm,3cm 4.已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为-1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是( ) A.1<x<7 B.2<x<6 C.3<x<5 D.3<x<4 5.如图，图中三角形的个数为 ；以AB为边的三角形是 ，以∠C为一个内角的三角形是 ;在△ADE中, ∠ADE的对边是 . 互动导学 模块一、三角形的边 知识点睛 基础知识 实例剖析 三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边 如图, AC+BC>AB,AB-AC<BC同样的, AB+AC>BC,AC-BC<AB 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D， 所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的高. 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 如图，画∠BAC的平分线AD交∠BAC所对的边BC于点D,所得线段AD 叫做△ABC的角平分线. 常用思路 (1)得到线段垂直； (2)得到角相等. (1)得到线段相等； (2)得到面积相等. 得到角相等. 线段 (或其所在直线)的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内. 三条中线交于三角形内一点，这一点称为三角形的重心 三条角平分线交点在三角形内，这一点称为三角形的内心 直角三角形 交点在直角顶点处. 钝角三角形 交点在三角形外. 共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们(或所在的直线)都分别交于一个点，它们都是线段. 题型一：三角形的三边关系 经典例题 1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2cm, 3cm, 5cm B. 5cm, 6cm, 10cm C. 1cm, 1cm, 3cm D. 3cm, 4cm, 9cm 2.三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 强化训练 1.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( ) A. 3<x<11 B. 4<x<7 C. - 3<x<11 D. x>3 2.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为2cm和7cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数那么第三根的长度是 . 题型二：三角形的高 经典例题 1.画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( ) 2.下列说法中正确的是( ) A.直角三角形的高只有一条 B.锐角三角形的三条高交于三角形内部 C.直角三角形的高没有交点 D.钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 强化训练 1.下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是( ) 2.如图, BM=MC, AH⊥BC,则以AH为高的三角形的个数是( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 题型三：三角形的中线 经典例题 1.三角形三条中线( ) A.交点在三角形外 B.交点在三角形内 C.交点在三角形顶点 D.交点在三角形边上 2.如图, AD是△ABC的中线, △ABC的面积为6cm²,则△ABD面积为( ) A. 3cm² B. 4cm² C. 6cm² D. 12cm² 3.如图, △ABC的面积是3, AD是△ABC的中线, FD=2AF, EF=2CE,则△DEF的面积是( ) A. B. C. D. 4.在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的中线,若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm,则BA= . 强化训练 1.在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是( ) A.中线 B.高线 C.角平分线 D.某一边的垂直平分线 2.如图, AD是△ABC的中线, △ABC的面积为6cm²,则△ABD面积为( ) A. 3cm² B. C. D. 3.如图所示,在△ABC中, D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且, (阴影部分)，则△ABC的面积等于( ) A. A.4cm² B. C. D. 4.如图所示, CD为△ABC的AB边上的中线, △BCD 的周长比△ACD的周长大3cm, BC=8cm,求边AC的长. 题型四：三角形的角平分线 经典例题 1.如图∠1=∠2, ∠3=∠4,下列结论中错误的是( ) A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠ACB=2∠3 D. CE是△ABC的角平分线 2.如图, AD, AE, AF分别是 的中线，角平分线，高，且 求 的度数. 强化训练 1.如图,在△ABC中, CE是△ABC的角平分线,则∠ACE= ( ) A. 50° B. 45° C. 60° D. 65° 2.如图, 中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点 O， 求∠DAE 和∠BOA 的度数. 模块二、三角形三线的综合应用 题型一：三角形周长与边长的综合应用 经典例题 1.已知△ABC的三边a, b, c满足a+b=3c-4, a-b=2c-6,且a>b. (1)求c的取值范围； (2)若△ABC的周长为12,求c的值. 2. 已知a, b, c是△ABC的三边长,满足 c为奇数，求c的值及△ABC的周长. 3.已知三角形的三条边长为3、5和x. (1)若3是该三角形的最短边长，求x的取值范围； (2)若x为整数，求三角形周长的最大值. 强化训练 1.在△ABC中, AB=7, BC=2. (1)求AC的取值范围； (2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长为多少? 2.已知a, b, c是△ABC的三边长,且a, b, c都是整数. (1)若a, b, c满足| 试判断△ABC的形状； (2)若a=2, b=5,且c是奇数,试判断△ABC的形状; (3)化简: 3.探究：如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x. (1)若AB=5,CD=3,BC=11,试求x的最大值和最小值； (2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 题型二：与面积有关的综合应用 经典例题 1.如图,在△ABC中, AD与CE是△ABC的高. (1)若AB=7cm,BC=10cm,CE=8cm,求AD; (2)若AB=2,BC=3,△ABC 的高AD与CE的比是多少? 2.我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法. (1)如图1，BC是AC边上的高，CD是AB边上的高，我们知道 底×高，则 (2)如图1,若∠ACB=90°, AC=3, BC=4, AB=5, CD是斜边AB上的高线,用等面积法求CD的长. (3)如图2,在等腰三角形ABC中, AB=AC=13, BC=10,过A作AH⊥BC于点H,且AH=12,P为底边BC上的任意一点,过点P作PM⊥AB ,PN⊥AC,垂足分别为M,N,连接AP,利用 求PM+PN的值. 强化训练 1. 如图, AD, CE是△ABC的两条高, 已知AD=4, BC=5, AB=6. (1) 求△ABC的面积; (2) 求CE的长. 2.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. (1) 如图1, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB, 则CD长为 ; (2)如图2,在△ABC中, AB=4,BC=2,则△ABC的高CD与AE的比是 ; (3) 如图3, 在△ABC中, ∠C=90°(∠A<∠ABC), 点D, P分别在边AB,AC上, 且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F. 若BC=5, 求DE+DF的值. 学科网（北京）股份有限公司 课堂训练 (评分规则：第1-4题每题3分，第5题8分，第6题5分，共25分) 1.下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是( ) 2.如图,在△ABC中, AB=3, BC=4,点D是BC中点,点P是线段BC上一个动点,若 则AP的最小值是( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 3.如图, AD为△ABC的中线, AB=13cm, AC=10cm.若△ACD的周长28cm,则△ABD的周长为 . 4.如图,已知△ABC三条中线相交于点O,则△ABO与△DBO的面积之比为 . 5.如图,在△ABC中, AB>AC, AD是BC边上的中线, △ABD和△ADC的周长之差为2,且AB与AC的和为14. (1)求AB、AC的长; (2)若∠BAC=90°, E是AD的中点,求△CDE的面积 学科网（北京）股份有限公司 $