13.3 三角形的内角与外角 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

13.3 三角形的内角与外角 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　三角形内角和定理的直接应用 7 三、题型二　已知两角求第三角与直角三角形两锐角 10 四、题型三　三角形外角的定义与性质 14 五、题型四　外角大小比较与不计算判关系 18 六、A、内角求和与角度计算落实 21 七、B、改一个角看结论怎么变 25 八、C、找全满足条件的角与反例验证 28 九、D、近年真题·三角形角的关系 32 十、E、一条外角链·三问收口 35 十一、课堂检测 37 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　三角形内角和定理：三个内角之和固定为 180° 1．三角形三个内角的和等于 180°，即对△ABC有 ∠A＋∠B＋∠C＝180°；这是本章最基础的结论，外角、直角三角形都靠它。 2．推证思路：过点A作平行于BC的直线，把∠B、∠C搬到顶点A处与∠A拼成平角 180°，从而∠A＋∠B＋∠C＝180°。 3．为什么角和与形状无关：无论三角形被拉成瘦长还是压成扁宽，三个角始终互补到 180°，因为平角定义不随边长改变。 4．反例两则：“三角形的角和会随边长变大”不成立，瘦长三角形的角和仍是 180°；“直角三角形中角和大于 180°”也不成立，它同样只有 180°。 5．换一个条件：把“求∠C”改成“已知∠A、∠B求∠C”，公式由 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 变成 ∠C＝180°−∠A−∠B，只是移项，定理不变。 6．举例：∠A＝50°、∠B＝60° 时∠C＝70°；三角相等时每个角都是 180°÷3＝60°。 图示1 易错提醒：内角和是 180° 不是 360°；求第三角永远用 180° 减去已知两角，别把减号写成加号。 知识点二　已知两角求第三角，直角三角形两锐角互余 1．已知任意两个内角，第三角＝180°减去这两个角，即 ∠C＝180°−∠A−∠B。 2．直角三角形（记作 Rt△）中，直角是 90°，所以另两个锐角互余：∠A＋∠B＝90°，反之有两角互余的三角形是直角三角形。 3．为什么互余成立：直角占掉 90°，剩下 90° 由两个锐角平分，故两锐角和为 90°；这是内角和定理在直角情形下的直接推论。 4．反例两则：“直角三角形的两个锐角和等于 180°”不成立，它们互余而非互补；“有一个角是直角的三角形两锐角和等于 100°”也不成立，只能是 90°。 5．换一个条件：把“已知∠A、∠B求∠C”改成“已知∠A与直角求∠B”，公式由 ∠C＝180°−∠A−∠B 变成 ∠B＝90°−∠A，仍是同一个和关系。 6．举例：Rt△中一个锐角是 35°，另一个就是 90°−35°＝55°；两锐角 30°与60° 的直角三角形，第三角（直角）为 90°。 图示2 易错提醒：直角三角形两锐角互余，用 90° 去减而不是 180°；判定直角三角形则看两角是否互余。 知识点三　三角形外角：一边与另一边的延长线组成的角 1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角；如延长BC到D，∠ACD就是△ABC的一个外角。 2．每个顶点处有两个外角（互为对顶角），通常每个顶点只取一个，所以常说三角形有三个外角。 3．为什么外角与相邻内角互补：外角与它相邻的内角拼成平角 180°，故 ∠ACD＋∠ACB＝180°。 4．反例两则：“把∠ACB本身当作外角”不成立，外角必须在边的延长线那一侧；“外角等于相邻内角”也不成立，二者互补而非相等。 5．换一个条件：把“延长BC到D”改成“延长AC到E”，得到的外角变成∠BCE，顶点仍是C但延长边不同，外角随之改变。 6．举例：在△ABC中，∠A＝50°、∠B＝60°，则相邻内角∠ACB＝70°，其外角∠ACD＝110°。 图示3 易错提醒：认外角先看“是不是在一条边的延长线那一侧”；外角与相邻内角互补，不是相等。 知识点四　外角性质：外角等于不相邻两内角和，且大于任一不相邻内角 1．三角形内角和定理的推论①：一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即 ∠ACD＝∠A＋∠B。 2．推论②：一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，即 ∠ACD＞∠A 且 ∠ACD＞∠B。 3．为什么成立：由 ∠ACD＋∠ACB＝180° 与 ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，两式消去∠ACB 得 ∠ACD＝∠A＋∠B，自然大于单独的∠A或∠B。 4．反例两则：“外角等于相邻内角∠ACB”不成立，它等于的是不相邻的∠A＋∠B；“外角小于某个不相邻内角”不成立，推论②保证它更大。 5．换一个条件：把“求∠ACD”改成“已知外角求其中一个不相邻内角”，由 ∠B＝∠ACD−∠A 反推，仍是同一个等式变形。 6．举例：∠A＝46°、∠B＝57° 时外角 ∠ACD＝46°＋57°＝103°，且 103° 同时大于 46° 与 57°。 图示4 易错提醒：外角性质的两句都靠“不相邻”三个字；写等式时把相邻内角排除在外，别张冠李戴。 知识点五　外角的大小关系与外角和 1．三角形的三个外角（每顶点取一个）之和固定为 360°，与三角形的形状无关。 2．任一外角都大于每一个与它不相邻的内角；这是判定“哪个角更大”的常用依据。 3．为什么外角和是 360°：三个外角分别等于（另两内角和），相加得 2×(∠A＋∠B＋∠C)＝2×180°＝360°。 4．反例两则：“外角和会随三角形变扁而变小”不成立，恒为 360°；“某个外角可能大于 180°”不成立，外角必小于 180°。 5．换一个条件：把“求一个外角”改成“已知一个外角求对应不相邻两内角和”，直接有 ∠A＋∠B＝∠ACD，不必再走一遍内角和。 6．举例：三个不相邻内角组分别是 (∠B,∠C)、(∠A,∠C)、(∠A,∠B)，三组外角和＝2×180°＝360°。 图示5 易错提醒：外角和恒为 360°；比较角大小时，外角永远压过它的任一不相邻内角。 知识点六　阅读与思考：为什么要证明 1．观察、度量、折叠能帮助我们发现规律，但有限次检验不能代替一般性证明。 2．证明要从已知条件出发，依据定义、基本事实和已经成立的定理，一步步推出结论。 3．为什么需要证明：看起来“显然”的图形关系（如两条线平行、两个角相等）可能在特殊画法下欺骗眼睛，只有证明才普遍成立。 4．反例两则：“量了三个三角形角和都是 180° 就认定所有三角形如此”不成立，样本有限；“看着两条线平行就当平行”也不成立，须由已知推得。 5．换一个条件：把“证明角和”换成“证明外角性质”，思路仍是把未知角转化到平角或已知角上，方法可迁移。 6．举例：用平行线把∠B、∠C搬到∠A旁拼成平角，就是一次完整的证明，而非仅凭目测。 图示6 易错提醒：本章每一条结论都要能说出“从哪条已知推到这”，不能只靠画得准、量得巧。 知识点七　不计算判角的关系：只靠定理结构 1．判外角与内角大小、判第三角类型，只靠内角和与外角性质即可，不必代入具体度数。 2．不计算也能判：若两已知角和为 90°，第三角必为直角；若两已知角和小于 90°，第三角必为钝角。 3．为什么不计算也行：角和、外角大小都是由定理锁死的“结构关系”，在代值前结论就定了，先算反而绕远。 4．反例两则：“必须先算出每个角的度数才能比大小”不成立，结构判断更快；“外角一定比相邻内角大”不成立，它比的是不相邻内角。 5．换一个条件：把“判∠ACD与∠A＋∠B大小”改成“判∠ACD与∠A大小”，结论由相等变成大于，只因比较对象换了。 6．举例：不计算可判 ∠ACD＝∠A＋∠B，也可判当∠A＋∠B＝120° 时第三角是 60°（锐角）。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是内角和与外角性质这两条结构规则，不是把数字代进去算完再回头看。 二、题型一　三角形内角和定理的直接应用 例1 在△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的度数是（　　）。 A．50°　B．60°　C．70°　D．80° 图1 【答案】C 【解析】由内角和180°，∠C＝180°−50°−60°＝70°，选C。另一做法错在把50°与60°直接相加得110°就选，忘了还要用180°去减；本题∠C是第三角不是两角和。图1 把∠A、∠B、∠C三格标出，第三格填70°。 变式1-1 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠C＝______°，它是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图1-1 【答案】70；锐 【解析】∠C＝180°−40°−70°＝70°，70°小于90°是锐角。另一做法错在算成180°−40°＝140°后漏减70°，会误判成钝角；本题要先减两个已知角再判类型。图1-1 把三角和180°分配成三段。 变式1-2 不计算准确得数，判断下列三角形中第三个角与90°的大小关系：①∠A＝30°、∠B＝60°；②∠A＝45°、∠B＝45°。 ①的第三角（　　）90°；②的第三角（　　）90°（填“大于”“等于”或“小于”）。 图1-2 【答案】等于；等于 【解析】①两角和90°，第三角＝180°−90°＝90°；②两角和也是90°，第三角同样90°。另一做法错在看到45°与45°以为第三角更大；本题只比“两已知角和”与90°即可，不必算出具体度数。图1-2 把两组角和标成90°对照。 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则每个角的度数是______°。 图1-3 【答案】60 【解析】三角相等且和为180°，每个角＝180°÷3＝60°。另一做法错在以为相等就会改变总和；三角相等只是把180°三等分。 在△ABC中，已知∠A＝100°，∠B＝30°，则∠C＝______°。 图1-4 【答案】50 【解析】∠C＝180°−100°−30°＝50°。另一做法错在把100°当钝角先加30°得130°再乱减；直接180°连减两已知角最稳。 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝120°，则∠C是（　　）（填“锐”“直”或“钝”）。 图1-5 【答案】锐 【解析】∠C＝180°−120°＝60°，60°小于90°是锐角。只比剩余和与90°即可判类型，不必算出具体度数；另一做法错把120°误当∠C本身去比。 在△ABC中，∠A比∠B大20°，且∠A＋∠B＝100°，则∠C＝______°。 图1-6 【答案】80 【解析】两角和已知为100°，∠C＝180°−100°＝80°。另一做法错在被“∠A比∠B大20°”带偏去先求∠A、∠B；本题抓总和直接求∠C更快。 在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠B＝30°，则∠C＝______°。 图1-7 【答案】90 【解析】∠A＝2×30°＝60°，∠C＝180°−60°−30°＝90°。另一做法错在把∠A算成30°漏乘2，会得到∠C＝120°的错值；先定∠A再代总和。 在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 图1-8 【答案】90；直角 【解析】∠C＝180°−25°−65°＝90°，含直角故是直角三角形。另一做法错在25°＋65°＝90°就直接说∠C＝90°却漏写推理；本题仍要用180°减确认。 在△ABC中，∠A＝∠B，且∠C＝80°，则∠A＝______°。 图1-9 【答案】50 【解析】∠A＋∠B＝180°−80°＝100°，又∠A＝∠B，故∠A＝100°÷2＝50°。另一做法错在把80°也平分进两角；等腰三角形名词仅用，两底角相等才成立。 三、题型二　已知两角求第三角与直角三角形两锐角 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，一个锐角是 35°，则另一个锐角的度数是（　　）。 A．35°　B．45°　C．55°　D．65° 图2 【答案】C 【解析】直角三角形两锐角互余，另一锐角＝90°−35°＝55°，选C。另一做法错在用180°−35°＝145°当答案，忘了直角已占90°应只互余；本题用90°减。图2 把直角与两锐角标成互余关系。 变式2-1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝28°，则∠B＝______°。 图2-1 【答案】62 【解析】∠B＝90°−28°＝62°。另一做法错在180°−28°＝152°后不处理直角；互余只针对两锐角，直角不参与互余减法。图2-1 把∠A、∠B和90°标成互补到90°。 变式2-2 不计算准确得数，在△ABC中，判断外角∠ACD与内角∠A、∠B的大小关系是：∠ACD（　　）∠A＋∠B（填“＞”“＝”或“＜”）。 图2-2 【答案】＝ 【解析】由外角性质，∠ACD等于与它不相邻的∠A与∠B之和，即 ∠ACD＝∠A＋∠B，两者相等，不必代值。另一做法错在以为外角是相邻内角∠ACB的补角就比和小；本题比的是“和”不是“单角”。图2-2 把∠ACD与∠A＋∠B画成等号两侧。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝47°，则∠B＝______°。 图2-3 【答案】43 【解析】∠B＝90°−47°＝43°。另一做法错在180°−47°＝133°当答案；互余减法只用90°。 已知△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，那么∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 图2-4 【答案】90；直角 【解析】∠C＝180°−30°−60°＝90°，含直角故是直角三角形。另一做法错在把两锐角和90°直接当∠C类型却写“锐角”；90°是直角。 有两个角互余的三角形是（　　）（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形。 图2-5 【答案】直角 【解析】两角和为90°，第三角＝180°−90°＝90°，故是直角三角形。另一做法错在两角互余就急着说“锐角”；互余推的是第三角为直角。 在Rt△ABC中，∠A与∠B互余，且∠A比∠B大20°，则∠A＝______°。 图2-6 【答案】55 【解析】∠A＋∠B＝90°，∠A−∠B＝20°，两式相加得2∠A＝110°，∠A＝55°。另一做法错在只取大20°就写70°；先列互余方程再解。 不计算，在△ABC中，若∠A＝20°，∠B＝30°，则∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图2-7 【答案】＞ 【解析】∠A＋∠B＝50°＜90°，故∠C＝180°−50°＝130°＞90°。只比两已知角和与90°即可判；另一做法错在把50°当∠C去比。 在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝70°，则∠C＝______°。 图2-8 【答案】40 【解析】∠C＝180°−70°−70°＝40°。另一做法错在把两相等角直接相加当第三角；两底角相等只说明结构和，仍要180°减。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A是∠B的2倍，则∠A＝______°。 图2-9 【答案】60 【解析】∠A＋∠B＝90°，∠A＝2∠B，故3∠B＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°。另一做法错在把2倍直接乘进90°得180°；先求小角再翻倍。 四、题型三　三角形外角的定义与性质 例3 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°。先定解：∠C＝（　　）°；再找一解：与∠C互补的邻补角（即外角∠ACD）＝（　　）°；接着找全：写出△ABC全部六个外角中度数等于110°的有哪些（　　）；最后改一个条件：只把∠A改成30°，其余不变，此时∠C＝（　　）°，原来的结论中哪些变了（　　）。 图3 【答案】70；110；∠ACD与∠BCE（或其对顶角）；90；外角∠ACD由110°变为90°，∠C由70°变为90° 【解析】定解：∠C＝180°−50°−60°＝70°。找一解：外角∠ACD＝180°−70°＝110°。找全：六个外角指每顶点两个，∠ACD与对顶角∠BCE都等于110°，顶点A、B处的外角分别为130°、120°，没有别的110°；理由（教师版）：外角由对应内角唯一决定，内角只有∠C＝70°产生110°外角，故恰两个。改条件：∠A改30°后∠C＝180°−30°−60°＝90°，外角随之变。图3 把∠A、∠B、∠C与外角110°标出。 变式3-1 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°。只找一解：写出一个度数大于∠C的角的名称（　　）（如某个外角），并说明它比∠C大多少（　　）。 图3-1 【答案】外角∠ACD；40° 【解析】外角∠ACD＝∠A＋∠B＝110°，比∠C＝70°大40°。另一做法错在选∠A或∠B本身去比，它们都小于∠C；本题要找“大于∠C”的角，外角正合适。图3-1 把∠ACD高亮，标注比∠C大40°。 变式3-2 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。找全：写出三个顶点处全部六个外角中度数等于110°的有哪几个（　　）；说明为什么没有别的外角等于110°（　　）。 图3-2 【答案】∠ACD与∠BCE（以及它们各自的对顶角，共四个位置但只两对）；外角由对应内角唯一决定，只有∠C＝70°产生110°外角，其余内角为50°、60°，对应外角为130°、120°，故无别的110° 【解析】顶点C处的两个对顶外角都来自内角∠C＝70°，故都是110°；顶点A、B的外角分别来自50°、60°，是130°、120°，不可能等于110°。另一做法错在误以为每个顶点外角都不同；对顶外角相等，按内角归组即可证无遗漏。图3-2 把六外角按顶点列出，110°两对圈出。 变式3-3 仍以上述△ABC（∠A＝50°，∠B＝60°）为基础。改一个条件：只把∠A改成30°、其余不变，新的∠C＝（　　）°，此时外角∠ACD＝（　　）°；并说明改变一个内角后，三个外角之和的结论是否变化（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-3 【答案】90；90；不变 【解析】新∠C＝180°−30°−60°＝90°，外角∠ACD＝∠A＋∠B＝30°＋60°＝90°。外角和恒为360°与单角无关，故不变。另一做法错在以为改了一个角外角和就变；外角和是整体不变量。图3-3 把改前改后∠C与外角并排，外角和仍标360°。 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，先定解∠C＝______°；再找一解：它的一个外角（在C处）＝______°。 图3-4 【答案】90；90 【解析】∠C＝180°−45°−45°＝90°；C处外角＝180°−90°＝90°。另一做法错在把外角算成45°＋45°＝90°虽对但混淆了顶点；本题外角在C。 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°。找全：六个外角中大于100°的有哪些（　　）。 图3-5 【答案】顶点C处的两个对顶外角（由∠C＝80°产生，为100°？注意需重算）实际为顶点A、B外角 【解析】重算：∠C＝180°−30°−70°＝80°，A处外角＝∠B＋∠C＝150°，B处外角＝∠A＋∠C＝110°，C处外角＝∠A＋∠B＝100°；大于100°的是A处150°与B处110°两组对顶外角。另一做法错在漏算A处外角最大；按顶点逐对列出才找全。 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°。改一个条件：把∠B改成40°，其余不变，新的∠C由______°变为______°。 图3-6 【答案】130；120 【解析】原∠C＝180°−20°−30°＝130°；改后∠C＝180°−20°−40°＝120°。另一做法错在只动∠B却忘了∠C要随总和重算；改一个角须重求第三角。 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°。找全：六个外角中等于120°的共有（　　）个位置（含对顶角）。 图3-7 【答案】6 【解析】每个内角60°，对应外角120°；每顶点两个对顶外角，三顶点共6个位置全是120°。另一做法错在只数三个顶点忽略对顶角；本题问“位置”须含对顶。 五、题型四　外角大小比较与不计算判关系 例4 不计算准确得数，在△ABC中，判断外角∠ACD与∠A＋∠B的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 【答案】＝ 【解析】由外角性质，∠ACD等于与它不相邻的∠A与∠B之和，故 ∠ACD＝∠A＋∠B，两者相等，不必代值。另一做法错在把∠ACD和单个∠A比，得出“大于”就套用到“和”上；本题比的是和。图4 用两张卡 ∠ACD 与 ∠A＋∠B 画等号。 变式4-1 估算决策：在△ABC中，两个锐角分别为30°和40°，不计算准确得数，判断第三个角是否大于直角（　　）；一步理由是（　　）。 图4-1 【答案】大于直角；两锐角和70°小于90°，故第三角大于90° 【解析】两锐角和＝30°＋40°＝70°＜90°，所以第三角＝180°−70°＝110°＞90°，是钝角。一步即可判：只比“两已知角和”与90°的上界，不必算出110°。另一做法错在先求110°再比，绕了一步。图4-1 把70°与90°标在数轴上，直观看出第三角越界。 变式4-2 只把∠A改成30°（其余同例4设定的△ABC，∠B＝60°），新的∠C＝______°，此时外角∠ACD＝______°，并说明外角和是否随单个角改变（　　）（填“变”或“不变”）。 图4-2 【答案】90；90；不变 【解析】新∠C＝180°−30°−60°＝90°；外角∠ACD＝∠A＋∠B＝30°＋60°＝90°；外角和恒为360°不随单角改变。另一做法错在以为改∠A后外角和也变；外角和是整体不变量。图4-2 把改前改后∠C与外角并排，外角和仍标360°。 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝100°，则外角∠ACD（　　）100°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-3 【答案】＝ 【解析】∠ACD＝∠A＋∠B＝100°，故相等。另一做法错在把∠ACD当成与∠C互补去算80°；本题外角直接等于两不相邻内角和。 不计算，在△ABC中，外角∠ACD与内角∠A比较，大小关系是 ∠ACD（　　）∠A（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-4 【答案】＞ 【解析】外角大于任一不相邻内角，故∠ACD＞∠A。另一做法错在拿∠ACD和相邻内角∠ACB比大小；比的对象必须是不相邻的∠A。 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠B＝______°，它的一个外角（在A处）＝______°。 图4-5 【答案】70；140 【解析】∠B＝(180°−40°)÷2＝70°；A处外角＝∠B＋∠C＝70°＋70°＝140°。另一做法错在把A处外角算成40°＋70°＝110°；外角在A处对应不相邻的是∠B、∠C。 估算决策：三个角分别为20°、30°、130°的三角形，不计算准确得数，判断它是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；一步理由是（　　）。 图4-6 【答案】钝角；已有一个角130°大于90° 【解析】只要出现一个角大于90°就是钝角三角形，一步可判，不必再算其余角。另一做法错在把三个角加起来验证；单看130°已足够。 不计算，在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则每个外角（　　）120°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-7 【答案】＝ 【解析】每个内角60°，外角＝180°−60°＝120°，故等于。另一做法错在把外角当成交点和；外角由对应内角唯一决定。 在△ABC中，点D在BC延长线上，∠A＝55°，∠B＝65°，则外角∠ACD＝______°。 图4-8 【答案】120 【解析】∠ACD＝∠A＋∠B＝55°＋65°＝120°。另一做法错在180°−55°−65°＝60°当外角；那算的是∠C不是外角。 不计算，判断下列说法对错：三角形的外角和会随形状变扁而变小（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 【答案】错 【解析】外角和恒为360°，与形状无关。另一做法错在凭直觉以为“扁”就小；外角和是定理锁死的不变量。 六、A、内角求和与角度计算落实 三角形 ABC 里，∠A＝35°，∠B＝55°，则∠C的度数是______°。 图5-1 【答案】90 【解析】∠C＝180°−35°−55°＝90°。另一做法错在35°＋55°＝90°就直接当∠C类型却写度数漏算；本题先求度数。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，所以∠B＝______°。 图5-2 【答案】48 【解析】∠B＝90°−42°＝48°。另一做法错在180°−42°＝138°当答案；互余只用90°。 不用算，在△ABC中，假如∠A＋∠B＝75°，那么∠C是（　　）（填“锐”“直”或“钝”）。 图5-3 【答案】钝 【解析】∠C＝180°−75°＝105°＞90°，是钝角。只比剩余和与90°即可；另一做法错把75°当∠C去比。 在△ABC中，∠A＝∠B＝40°，则∠C＝______°。 图5-4 【答案】100 【解析】∠C＝180°−40°−40°＝100°。另一做法错在两底角相等就平分180°；相等角仍要180°减两倍。 在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝25°，则∠C＝______°，它（　　）90°（填“＞”或“＜”）。 图5-5 【答案】140；＞ 【解析】∠C＝180°−15°−25°＝140°＞90°。另一做法错在15°＋25°＝40°就判∠C小；要看第三角。 直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，∠A是∠B的3倍，则∠A应为______°。 图5-6 【答案】67.5 【解析】∠A＋∠B＝90°，∠A＝3∠B，故4∠B＝90°，∠B＝22.5°，∠A＝67.5°。另一做法错在把3倍直接乘进90°；先求小角。 不计算，在△ABC中，若∠A＝10°，∠B＝20°，那么∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图5-7 【答案】＞ 【解析】∠A＋∠B＝30°＜90°，∠C＝150°＞90°。只比两已知角和与90°；另一做法错把30°当∠C。 在△ABC中，∠A＝88°，∠B＝42°，则∠C等于______°。 图5-8 【答案】50 【解析】∠C＝180°−88°−42°＝50°。另一做法错在88°＋42°＝130°后当∠C；那是两角和不是第三角。 在△ABC中，两个锐角分别是18°和72°，则第三个角是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图5-9 【答案】直 【解析】两锐角和＝90°，第三角＝90°，是直角。另一做法错在72°−18°＝54°去判；要用两角和补到180°。 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形。 图5-10 【答案】90；直角 【解析】∠C＝180°−60°−30°＝90°，含直角故直角三角形。另一做法错在把60°＋30°＝90°说成“锐角”三角形；90°是直角。 七、B、改一个角看结论怎么变 在△ABC中，原∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。只把∠A改成40°，其余不变，∠C变为（　　）°。 图6-1 【答案】80 【解析】改后∠C＝180°−40°−60°＝80°。另一做法错在只动∠A却保留∠C＝70°；改一个角须重求第三角。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°。只把∠A改成45°，其余不变，则∠B变为（　　）°。 图6-2 【答案】45 【解析】改后∠B＝90°−45°＝45°。另一做法错在保留∠B＝60°；直角互余关系随∠A变而变。 在△ABC中，∠A＝∠B＝50°，∠C＝80°。只把∠A改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-3 【答案】70 【解析】改后∠C＝180°−60°−50°＝70°。另一做法错在把两底角相等的关系固化；∠A变了，∠C要重算。 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°。只把∠B改成40°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-4 【答案】120 【解析】改后∠C＝180°−20°−40°＝120°。另一做法错在只动∠B却以为∠C不变；第三角随总和变。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，∠B＝65°。只把∠C改成80°（即不再是直角），其余不变，则∠A＋∠B变为（　　）°。 图6-5 【答案】100 【解析】改后∠A＋∠B＝180°−80°＝100°。另一做法错在沿用90°互余；直角一改，两锐角和也改。 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°。只把∠B改成70°，其余不变，则外角∠ACD由（　　）°变为（　　）°。 图6-6 【答案】100；110 【解析】原∠ACD＝40°＋60°＝100°；改后＝40°＋70°＝110°。另一做法错在只改∠B却用旧∠ACD；外角随不相邻两角和变。 在△ABC中，∠A＝∠B，且∠C＝60°。只把∠C改成90°，其余不变，则∠A变为（　　）°。 图6-7 【答案】45 【解析】改后∠A＋∠B＝180°−90°＝90°，又∠A＝∠B，故∠A＝45°。另一做法错在保留∠A＝60°；∠C一改两底也要重分。 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°。只把∠A改成10°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-8 【答案】120 【解析】改后∠C＝180°−10°−50°＝120°。另一做法错在只动∠A却以为钝角性不变需重算；确实变120°仍钝但度数变。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，∠B＝20°。只把∠A改成50°，其余不变，那么∠B变为（　　）°。 图6-9 【答案】40 【解析】改后∠B＝90°−50°＝40°。另一做法错在保留∠B＝20°；互余随∠A变。 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°。只把∠C改成60°，其余不变，则∠A＋∠B变为（　　）°。 图6-10 【答案】120 【解析】改后∠A＋∠B＝180°−60°＝120°。另一做法错在沿用90°；直角改掉后两角和随之变。 八、C、找全满足条件的角与反例验证 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°。找全：六个外角中等于120°的有（　　）个位置（含对顶角）。 图7-1 【答案】2 【解析】只有顶点C处内角90°产生外角90°？重算：C处外角＝∠A＋∠B＝120°，每顶点两个对顶外角，故2个位置。另一做法错在把A、B处也算进120°；A处外角＝150°、B处＝120°？B处外角＝∠A＋∠C＝120°也对。修正：B处外角＝30°＋90°＝120°，C处＝30°＋60°＝90°；故仅B处两个对顶位置为120°，共2个。 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。说明为什么外角中等于110°的只有顶点C处的两个对顶位置，而没有别的（　　）。 图7-2 【答案】外角由对应内角唯一决定，仅∠C＝70°产生110°，其余内角50°、60°对应外角130°、120° 【解析】外角＝不相邻两内角和，等价于180°−对应内角；内角只∠C＝70°对应外角110°，其余不是。另一做法错在以为随便换个顶点也能得110°；按内角归组即证无遗漏。 判断：在任意△ABC中，外角一定大于每一个与它不相邻的内角（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 【答案】对 【解析】这是外角性质②，外角大于任一不相邻内角。另一做法错在拿外角与相邻内角比；比的对象必须是不相邻的。 反例验证：有人说“外角可能等于相邻内角”，举出错误原因（　　）。 图7-4 【答案】外角与相邻内角互补，和为180°，除非各90°否则不等；一般三角形不成立 【解析】外角∠ACD与∠ACB互补，只有直角三角形直角顶点处才各90°相等，不能推广。另一做法错在用一个特例当普遍；反例说明需证明。 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°。找全：六个外角中大于100°的有哪几个顶点（　　）。 图7-5 【答案】A、B、C 三顶点处的对顶外角均大于100°（分别为160°、150°、50°？需重算）实际A处130°？重算：A处外角＝∠B＋∠C＝160°，B处＝∠A＋∠C＝150°，C处＝∠A＋∠B＝50°；故仅A、B两顶点 【解析】A处外角160°、B处150°均大于100°，C处50°不大于。另一做法错在漏掉A处最大；逐顶点列全才找全。 判断：三角形的外角和恒为360°，与形状无关（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 【答案】对 【解析】三外角和为2×180°＝360°，是定理不变量。另一做法错在以为扁三角形外角和变小；结构和锁死。 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°。找全：六个外角中等于120°的共有（　　）个位置。 图7-7 【答案】6 【解析】每个内角60°，外角120°，三顶点各两个对顶位置共6个。另一做法错在只数三个顶点忽略对顶角；问“位置”须含对顶。 反例验证：有人说“观察三个三角形角和都是180°就无需证明”，错误在于（　　）。 图7-8 【答案】有限次观察不能代替一般性证明，特殊样本不代表全体 【解析】阅读与思考强调证明的必要性，度量只看见个别。另一做法错在把“看着对”当“证毕”；须由已知推得。 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，∠C＝70°。找全：六个外角中等于110°的有（　　）个位置。 图7-9 【答案】4 【解析】顶点B、C内角都是70°，各产生外角110°，每顶点两个对顶位置共4个。另一做法错在只算一个顶点；两底角相等故两组。 判断：若两角互余，则第三个角必为直角，该三角形必为直角三角形（　　）（填“对”或“错”）。 图7-10 【答案】对 【解析】两角和90°，第三角90°，含直角即直角三角形。另一做法错在互余只说两角却忘了推第三角；判定靠第三角。 九、D、近年真题·三角形角的关系 1．（2025年·贵州·期中考试）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C的度数是（　　）。 A．40°　B．50°　C．60°　D．70° 图8-1 【答案】A 【解析】由三角形内角和定理，∠C＝180°−80°−60°＝40°，选A。其余选项分别来自漏减一角或误加；本题只考内角和直接应用。 2．（2025年·山西·期中考试）在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACD是△ABC的一个外角。若∠A＝46°，∠B＝57°，则∠ACD的度数为______。 图8-2 【答案】103° 【解析】由外角性质，∠ACD＝∠A＋∠B＝46°＋57°＝103°。易错：用180°−46°−57°算成∠C再当外角；外角直接等于两不相邻内角和。 3．（2025年·天津·期中考试）在△ABC中，点D在边BC的延长线上。若∠A＝50°，∠B＝70°，则外角∠ACD的度数为______。 图8-3 【答案】120° 【解析】∠ACD＝∠A＋∠B＝50°＋70°＝120°。易错：把∠ACD当成与∠C互补去算60°；本题外角等于两不相邻内角和。 4．（2026年·山东·期中考试）直角三角形的一个锐角是35°，则它的另一个锐角的度数是（　　）。 A．35°　B．45°　C．55°　D．65° 图8-4 【答案】C 【解析】直角三角形两锐角互余，另一锐角＝90°−35°＝55°，选C。易错：用180°−35°得145°；互余只用90°。 5．（2025年·辽宁·期中考试）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是（　　）。 A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 图8-5 【答案】B 【解析】设三角为x、2x、3x，x＋2x＋3x＝180°，x＝30°，三角为30°、60°、90°，最大角90°故为直角三角形，选B。易错：只看比值以为锐角；要看最大角。 6．（2026年·四川·期中考试）一个三角形的三个内角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是（　　）。 A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 图8-6 【答案】A 【解析】设三角为2x、3x、4x，9x＝180°，x＝20°，三角为40°、60°、80°，均小于90°故为锐角三角形，选A。易错：看到4份以为钝角；4×20°＝80°仍锐。 7．（2025年·广东·期末考试）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数是______。 图8-7 【答案】75° 【解析】∠B＋∠C＝180°−55°＝125°，又∠B−∠C＝25°，两式相加得2∠B＝150°，∠B＝75°。易错：直接125°−25°当∠B漏除以2。 8．（2026年·江苏·期末考试）已知△ABC的一个外角为110°，与它不相邻的两个内角之比为2∶3，则这两个内角分别是______和______。 图8-8 【答案】44°；66° 【解析】两不相邻内角和＝外角＝110°，按2∶3分为2x＋3x＝110°，x＝22°，故44°与66°。易错：把110°当单角或比例算反；外角正是不相邻两内角和。 十、E、一条外角链·三问收口 对△ABC（∠A＝50°，∠B＝60°）：(1) 不计算，第三角∠C＝（　　）°；(2) 它的一个外角（在C处）∠ACD＝（　　）°；(3) 只把∠A改成30°，其余不变，则∠ACD变为（　　）°。 图9-1 【答案】70；110；90 【解析】第(1)问∠C＝180°−50°−60°＝70°。第(2)问C处外角＝∠A＋∠B＝110°。第(3)问改∠A为30°后外角＝30°＋60°＝90°；只改一个不相邻内角，外角随之变。 对Rt△ABC（∠C＝90°，∠A＝40°）：(1) 不计算，∠B＝（　　）°；(2) A处外角＝（　　）°；(3) 只把∠A改成50°，其余不变，则A处外角变为（　　）°。 图9-2 【答案】50；140；130 【解析】第(1)问∠B＝90°−40°＝50°。第(2)问A处外角＝∠B＋∠C＝50°＋90°＝140°。第(3)问改∠A后∠B＝40°，A处外角＝40°＋90°＝130°；改∠A经互余传到∠B再传外角。 对△ABC（∠A＝30°，∠B＝30°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 六个外角中等于120°的共（　　）个位置；(3) 只把∠B改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图9-3 【答案】120；6；90 【解析】第(1)问∠C＝180°−30°−30°＝120°。第(2)问每内角60°对应外角120°，三顶点各两对顶位置共6个。第(3)问∠C＝180°−30°−60°＝90°；改一个底脚重求顶。 对△ABC（∠A＝20°，∠B＝30°）：(1) 不计算，∠C（　　）90°（填“＞”或“＜”）；(2) 外角∠ACD＝（　　）°；(3) 只把∠A改成10°，其余不变，则外角和（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-4 【答案】＞；110；不变 【解析】第(1)问∠A＋∠B＝50°＜90°，∠C＝130°＞90°。第(2)问∠ACD＝20°＋30°＝50°？重算：∠ACD＝∠A＋∠B＝50°。修正：第(2)问外角∠ACD＝50°。第(3)问外角和恒360°不变；改单角不影响总和。 对△ABC（∠A＝∠B＝55°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 它的一个外角（在C处）＝（　　）°；(3) 估算决策：这个三角形是否可能为钝角三角形（　　），一步理由是（　　）。 图9-5 【答案】70；110；不可能；最大角∠C＝70°小于90° 【解析】第(1)问∠C＝180°−55°−55°＝70°。第(2)问C处外角＝55°＋55°＝110°。第(3)问三角均≤70°＜90°，一步可判必为锐角三角形，不可能钝。 对△ABC（∠A＝45°，∠B＝45°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 改一个条件：把∠A改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°；(3) 此时外角和（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-6 【答案】90；75；不变 【解析】第(1)问∠C＝180°−45°−45°＝90°。第(2)问改后∠C＝180°−60°−45°＝75°。第(3)问外角和恒360°不变；单角改变不影响整体不变量。 十一、课堂检测 不计算，在△ABC中，若∠A＝15°，∠B＝25°，则∠C是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图10-1 【答案】钝 【解析】∠A＋∠B＝40°＜90°，∠C＝140°＞90°，是钝角。只比两已知角和与90°即可；另一做法错把40°当∠C。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B等于______°。 图10-2 【答案】57 【解析】∠B＝90°−33°＝57°。另一做法错在180°−33°＝147°当答案；互余只用90°。 在△ABC中，∠A＝48°，∠B＝52°，那么∠C＝______°。 图10-3 【答案】80 【解析】∠C＝180°−48°−52°＝80°。另一做法错在48°＋52°＝100°当第三角；那是两角和。 不计算，在△ABC中，外角∠ACD与∠A比较，大小关系是 ∠ACD（　　）∠A（填“＞”“＝”或“＜”）。 图10-4 【答案】＞ 【解析】外角大于任一不相邻内角，故∠ACD＞∠A。另一做法错在和相邻内角比；比的不是∠A的相邻角。 在△ABC中，点D在BC延长线上，∠A＝38°，∠B＝44°，则外角∠ACD等于______°。 图10-5 【答案】82 【解析】∠ACD＝∠A＋∠B＝38°＋44°＝82°。另一做法错在180°−38°−44°＝98°当外角；那算的是∠C。 在△ABC中，∠A＝∠B，并且∠C＝100°，则∠A等于______°。 图10-6 【答案】40 【解析】∠A＋∠B＝180°−100°＝80°，∠A＝40°。另一做法错在把100°平分进两角；两底角相等才成立。 估一估：三个角分别为25°、35°、120°的三角形，不算准确得数，判断它是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；一步理由是（　　）。 图10-7 【答案】钝角；已有一个角120°大于90° 【解析】单看120°＞90°即钝角三角形，一步可判，不必加总其余角。另一做法错在把三角加起来验证；一个钝角足矣。 在△ABC中，∠A＝12°，∠B＝28°，则∠C等于______°，它（　　）90°（填“＞”或“＜”）。 图10-8 【答案】140；＞ 【解析】∠C＝180°−12°−28°＝140°＞90°。另一做法错在12°＋28°＝40°就判小；要看第三角。 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝130°，则∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图10-9 【答案】＜ 【解析】∠C＝180°−130°＝50°＜90°。只比剩余和与90°；另一做法错把130°当∠C去比。 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°。只把∠C改成70°，其余不变，那么∠A＋∠B变为（　　）°。 图10-10 【答案】110 【解析】改后∠A＋∠B＝180°−70°＝110°。另一做法错在沿用90°互余；直角一改两锐角和也改。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 三角形的内角与外角 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、知识与方法 2 二、题型一　三角形内角和定理的直接应用 7 三、题型二　已知两角求第三角与直角三角形两锐角 10 四、题型三　三角形外角的定义与性质 12 五、题型四　外角大小比较与不计算判关系 15 六、A、内角求和与角度计算落实 18 七、B、改一个角看结论怎么变 21 八、C、找全满足条件的角与反例验证 23 九、D、近年真题·三角形角的关系 26 十、E、一条外角链·三问收口 28 十一、课堂检测 30 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法 图0 知识点一　三角形内角和定理：三个内角之和固定为 180° 1．三角形三个内角的和等于 180°，即对△ABC有 ∠A＋∠B＋∠C＝180°；这是本章最基础的结论，外角、直角三角形都靠它。 2．推证思路：过点A作平行于BC的直线，把∠B、∠C搬到顶点A处与∠A拼成平角 180°，从而∠A＋∠B＋∠C＝180°。 3．为什么角和与形状无关：无论三角形被拉成瘦长还是压成扁宽，三个角始终互补到 180°，因为平角定义不随边长改变。 4．反例两则：“三角形的角和会随边长变大”不成立，瘦长三角形的角和仍是 180°；“直角三角形中角和大于 180°”也不成立，它同样只有 180°。 5．换一个条件：把“求∠C”改成“已知∠A、∠B求∠C”，公式由 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 变成 ∠C＝180°−∠A−∠B，只是移项，定理不变。 6．举例：∠A＝50°、∠B＝60° 时∠C＝70°；三角相等时每个角都是 180°÷3＝60°。 图示1 易错提醒：内角和是 180° 不是 360°；求第三角永远用 180° 减去已知两角，别把减号写成加号。 知识点二　已知两角求第三角，直角三角形两锐角互余 1．已知任意两个内角，第三角＝180°减去这两个角，即 ∠C＝180°−∠A−∠B。 2．直角三角形（记作 Rt△）中，直角是 90°，所以另两个锐角互余：∠A＋∠B＝90°，反之有两角互余的三角形是直角三角形。 3．为什么互余成立：直角占掉 90°，剩下 90° 由两个锐角平分，故两锐角和为 90°；这是内角和定理在直角情形下的直接推论。 4．反例两则：“直角三角形的两个锐角和等于 180°”不成立，它们互余而非互补；“有一个角是直角的三角形两锐角和等于 100°”也不成立，只能是 90°。 5．换一个条件：把“已知∠A、∠B求∠C”改成“已知∠A与直角求∠B”，公式由 ∠C＝180°−∠A−∠B 变成 ∠B＝90°−∠A，仍是同一个和关系。 6．举例：Rt△中一个锐角是 35°，另一个就是 90°−35°＝55°；两锐角 30°与60° 的直角三角形，第三角（直角）为 90°。 图示2 易错提醒：直角三角形两锐角互余，用 90° 去减而不是 180°；判定直角三角形则看两角是否互余。 知识点三　三角形外角：一边与另一边的延长线组成的角 1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角；如延长BC到D，∠ACD就是△ABC的一个外角。 2．每个顶点处有两个外角（互为对顶角），通常每个顶点只取一个，所以常说三角形有三个外角。 3．为什么外角与相邻内角互补：外角与它相邻的内角拼成平角 180°，故 ∠ACD＋∠ACB＝180°。 4．反例两则：“把∠ACB本身当作外角”不成立，外角必须在边的延长线那一侧；“外角等于相邻内角”也不成立，二者互补而非相等。 5．换一个条件：把“延长BC到D”改成“延长AC到E”，得到的外角变成∠BCE，顶点仍是C但延长边不同，外角随之改变。 6．举例：在△ABC中，∠A＝50°、∠B＝60°，则相邻内角∠ACB＝70°，其外角∠ACD＝110°。 图示3 易错提醒：认外角先看“是不是在一条边的延长线那一侧”；外角与相邻内角互补，不是相等。 知识点四　外角性质：外角等于不相邻两内角和，且大于任一不相邻内角 1．三角形内角和定理的推论①：一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即 ∠ACD＝∠A＋∠B。 2．推论②：一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，即 ∠ACD＞∠A 且 ∠ACD＞∠B。 3．为什么成立：由 ∠ACD＋∠ACB＝180° 与 ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，两式消去∠ACB 得 ∠ACD＝∠A＋∠B，自然大于单独的∠A或∠B。 4．反例两则：“外角等于相邻内角∠ACB”不成立，它等于的是不相邻的∠A＋∠B；“外角小于某个不相邻内角”不成立，推论②保证它更大。 5．换一个条件：把“求∠ACD”改成“已知外角求其中一个不相邻内角”，由 ∠B＝∠ACD−∠A 反推，仍是同一个等式变形。 6．举例：∠A＝46°、∠B＝57° 时外角 ∠ACD＝46°＋57°＝103°，且 103° 同时大于 46° 与 57°。 图示4 易错提醒：外角性质的两句都靠“不相邻”三个字；写等式时把相邻内角排除在外，别张冠李戴。 知识点五　外角的大小关系与外角和 1．三角形的三个外角（每顶点取一个）之和固定为 360°，与三角形的形状无关。 2．任一外角都大于每一个与它不相邻的内角；这是判定“哪个角更大”的常用依据。 3．为什么外角和是 360°：三个外角分别等于（另两内角和），相加得 2×(∠A＋∠B＋∠C)＝2×180°＝360°。 4．反例两则：“外角和会随三角形变扁而变小”不成立，恒为 360°；“某个外角可能大于 180°”不成立，外角必小于 180°。 5．换一个条件：把“求一个外角”改成“已知一个外角求对应不相邻两内角和”，直接有 ∠A＋∠B＝∠ACD，不必再走一遍内角和。 6．举例：三个不相邻内角组分别是 (∠B,∠C)、(∠A,∠C)、(∠A,∠B)，三组外角和＝2×180°＝360°。 图示5 易错提醒：外角和恒为 360°；比较角大小时，外角永远压过它的任一不相邻内角。 知识点六　阅读与思考：为什么要证明 1．观察、度量、折叠能帮助我们发现规律，但有限次检验不能代替一般性证明。 2．证明要从已知条件出发，依据定义、基本事实和已经成立的定理，一步步推出结论。 3．为什么需要证明：看起来“显然”的图形关系（如两条线平行、两个角相等）可能在特殊画法下欺骗眼睛，只有证明才普遍成立。 4．反例两则：“量了三个三角形角和都是 180° 就认定所有三角形如此”不成立，样本有限；“看着两条线平行就当平行”也不成立，须由已知推得。 5．换一个条件：把“证明角和”换成“证明外角性质”，思路仍是把未知角转化到平角或已知角上，方法可迁移。 6．举例：用平行线把∠B、∠C搬到∠A旁拼成平角，就是一次完整的证明，而非仅凭目测。 图示6 易错提醒：本章每一条结论都要能说出“从哪条已知推到这”，不能只靠画得准、量得巧。 知识点七　不计算判角的关系：只靠定理结构 1．判外角与内角大小、判第三角类型，只靠内角和与外角性质即可，不必代入具体度数。 2．不计算也能判：若两已知角和为 90°，第三角必为直角；若两已知角和小于 90°，第三角必为钝角。 3．为什么不计算也行：角和、外角大小都是由定理锁死的“结构关系”，在代值前结论就定了，先算反而绕远。 4．反例两则：“必须先算出每个角的度数才能比大小”不成立，结构判断更快；“外角一定比相邻内角大”不成立，它比的是不相邻内角。 5．换一个条件：把“判∠ACD与∠A＋∠B大小”改成“判∠ACD与∠A大小”，结论由相等变成大于，只因比较对象换了。 6．举例：不计算可判 ∠ACD＝∠A＋∠B，也可判当∠A＋∠B＝120° 时第三角是 60°（锐角）。 图示7 易错提醒：“不计算”靠的是内角和与外角性质这两条结构规则，不是把数字代进去算完再回头看。 二、题型一　三角形内角和定理的直接应用 例1 在△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的度数是（　　）。 A．50°　B．60°　C．70°　D．80° 图1 变式1-1 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠C＝______°，它是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图1-1 变式1-2 不计算准确得数，判断下列三角形中第三个角与90°的大小关系：①∠A＝30°、∠B＝60°；②∠A＝45°、∠B＝45°。 ①的第三角（　　）90°；②的第三角（　　）90°（填“大于”“等于”或“小于”）。 图1-2 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则每个角的度数是______°。 图1-3 在△ABC中，已知∠A＝100°，∠B＝30°，则∠C＝______°。 图1-4 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝120°，则∠C是（　　）（填“锐”“直”或“钝”）。 图1-5 在△ABC中，∠A比∠B大20°，且∠A＋∠B＝100°，则∠C＝______°。 图1-6 在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠B＝30°，则∠C＝______°。 图1-7 在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 图1-8 在△ABC中，∠A＝∠B，且∠C＝80°，则∠A＝______°。 图1-9 三、题型二　已知两角求第三角与直角三角形两锐角 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，一个锐角是 35°，则另一个锐角的度数是（　　）。 A．35°　B．45°　C．55°　D．65° 图2 变式2-1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝28°，则∠B＝______°。 图2-1 变式2-2 不计算准确得数，在△ABC中，判断外角∠ACD与内角∠A、∠B的大小关系是：∠ACD（　　）∠A＋∠B（填“＞”“＝”或“＜”）。 图2-2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝47°，则∠B＝______°。 图2-3 已知△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，那么∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 图2-4 有两个角互余的三角形是（　　）（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形。 图2-5 在Rt△ABC中，∠A与∠B互余，且∠A比∠B大20°，则∠A＝______°。 图2-6 不计算，在△ABC中，若∠A＝20°，∠B＝30°，则∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图2-7 在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝70°，则∠C＝______°。 图2-8 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A是∠B的2倍，则∠A＝______°。 图2-9 四、题型三　三角形外角的定义与性质 例3 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°。先定解：∠C＝（　　）°；再找一解：与∠C互补的邻补角（即外角∠ACD）＝（　　）°；接着找全：写出△ABC全部六个外角中度数等于110°的有哪些（　　）；最后改一个条件：只把∠A改成30°，其余不变，此时∠C＝（　　）°，原来的结论中哪些变了（　　）。 图3 变式3-1 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°。只找一解：写出一个度数大于∠C的角的名称（　　）（如某个外角），并说明它比∠C大多少（　　）。 图3-1 变式3-2 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。找全：写出三个顶点处全部六个外角中度数等于110°的有哪几个（　　）；说明为什么没有别的外角等于110°（　　）。 图3-2 解答： 变式3-3 仍以上述△ABC（∠A＝50°，∠B＝60°）为基础。改一个条件：只把∠A改成30°、其余不变，新的∠C＝（　　）°，此时外角∠ACD＝（　　）°；并说明改变一个内角后，三个外角之和的结论是否变化（　　）（填“变”或“不变”）。 图3-3 解答： 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，先定解∠C＝______°；再找一解：它的一个外角（在C处）＝______°。 图3-4 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°。找全：六个外角中大于100°的有哪些（　　）。 图3-5 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°。改一个条件：把∠B改成40°，其余不变，新的∠C由______°变为______°。 图3-6 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°。找全：六个外角中等于120°的共有（　　）个位置（含对顶角）。 图3-7 五、题型四　外角大小比较与不计算判关系 例4 不计算准确得数，在△ABC中，判断外角∠ACD与∠A＋∠B的大小关系是（　　）（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4 变式4-1 估算决策：在△ABC中，两个锐角分别为30°和40°，不计算准确得数，判断第三个角是否大于直角（　　）；一步理由是（　　）。 图4-1 变式4-2 只把∠A改成30°（其余同例4设定的△ABC，∠B＝60°），新的∠C＝______°，此时外角∠ACD＝______°，并说明外角和是否随单个角改变（　　）（填“变”或“不变”）。 图4-2 解答： 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝100°，则外角∠ACD（　　）100°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-3 不计算，在△ABC中，外角∠ACD与内角∠A比较，大小关系是 ∠ACD（　　）∠A（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-4 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠B＝______°，它的一个外角（在A处）＝______°。 图4-5 估算决策：三个角分别为20°、30°、130°的三角形，不计算准确得数，判断它是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；一步理由是（　　）。 图4-6 不计算，在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则每个外角（　　）120°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图4-7 在△ABC中，点D在BC延长线上，∠A＝55°，∠B＝65°，则外角∠ACD＝______°。 图4-8 不计算，判断下列说法对错：三角形的外角和会随形状变扁而变小（　　）（填“对”或“错”）。 图4-9 六、A、内角求和与角度计算落实 三角形 ABC 里，∠A＝35°，∠B＝55°，则∠C的度数是______°。 图5-1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，所以∠B＝______°。 图5-2 不用算，在△ABC中，假如∠A＋∠B＝75°，那么∠C是（　　）（填“锐”“直”或“钝”）。 图5-3 在△ABC中，∠A＝∠B＝40°，则∠C＝______°。 图5-4 在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝25°，则∠C＝______°，它（　　）90°（填“＞”或“＜”）。 图5-5 直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，∠A是∠B的3倍，则∠A应为______°。 图5-6 不计算，在△ABC中，若∠A＝10°，∠B＝20°，那么∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图5-7 在△ABC中，∠A＝88°，∠B＝42°，则∠C等于______°。 图5-8 在△ABC中，两个锐角分别是18°和72°，则第三个角是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图5-9 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝30°，则∠C＝______°，这个三角形是（　　）三角形。 图5-10 七、B、改一个角看结论怎么变 在△ABC中，原∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。只把∠A改成40°，其余不变，∠C变为（　　）°。 图6-1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°。只把∠A改成45°，其余不变，则∠B变为（　　）°。 图6-2 在△ABC中，∠A＝∠B＝50°，∠C＝80°。只把∠A改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-3 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°。只把∠B改成40°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，∠B＝65°。只把∠C改成80°（即不再是直角），其余不变，则∠A＋∠B变为（　　）°。 图6-5 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°。只把∠B改成70°，其余不变，则外角∠ACD由（　　）°变为（　　）°。 图6-6 在△ABC中，∠A＝∠B，且∠C＝60°。只把∠C改成90°，其余不变，则∠A变为（　　）°。 图6-7 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°。只把∠A改成10°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图6-8 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，∠B＝20°。只把∠A改成50°，其余不变，那么∠B变为（　　）°。 图6-9 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°。只把∠C改成60°，其余不变，则∠A＋∠B变为（　　）°。 图6-10 八、C、找全满足条件的角与反例验证 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°。找全：六个外角中等于120°的有（　　）个位置（含对顶角）。 图7-1 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°。说明为什么外角中等于110°的只有顶点C处的两个对顶位置，而没有别的（　　）。 图7-2 判断：在任意△ABC中，外角一定大于每一个与它不相邻的内角（　　）（填“对”或“错”）。 图7-3 反例验证：有人说“外角可能等于相邻内角”，举出错误原因（　　）。 图7-4 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°。找全：六个外角中大于100°的有哪几个顶点（　　）。 图7-5 判断：三角形的外角和恒为360°，与形状无关（　　）（填“对”或“错”）。 图7-6 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°。找全：六个外角中等于120°的共有（　　）个位置。 图7-7 反例验证：有人说“观察三个三角形角和都是180°就无需证明”，错误在于（　　）。 图7-8 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，∠C＝70°。找全：六个外角中等于110°的有（　　）个位置。 图7-9 判断：若两角互余，则第三个角必为直角，该三角形必为直角三角形（　　）（填“对”或“错”）。 图7-10 九、D、近年真题·三角形角的关系 1．（2025年·贵州·期中考试）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C的度数是（　　）。 A．40°　B．50°　C．60°　D．70° 图8-1 2．（2025年·山西·期中考试）在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACD是△ABC的一个外角。若∠A＝46°，∠B＝57°，则∠ACD的度数为______。 图8-2 3．（2025年·天津·期中考试）在△ABC中，点D在边BC的延长线上。若∠A＝50°，∠B＝70°，则外角∠ACD的度数为______。 图8-3 4．（2026年·山东·期中考试）直角三角形的一个锐角是35°，则它的另一个锐角的度数是（　　）。 A．35°　B．45°　C．55°　D．65° 图8-4 5．（2025年·辽宁·期中考试）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是（　　）。 A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 图8-5 6．（2026年·四川·期中考试）一个三角形的三个内角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是（　　）。 A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 图8-6 7．（2025年·广东·期末考试）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数是______。 图8-7 8．（2026年·江苏·期末考试）已知△ABC的一个外角为110°，与它不相邻的两个内角之比为2∶3，则这两个内角分别是______和______。 图8-8 十、E、一条外角链·三问收口 对△ABC（∠A＝50°，∠B＝60°）：(1) 不计算，第三角∠C＝（　　）°；(2) 它的一个外角（在C处）∠ACD＝（　　）°；(3) 只把∠A改成30°，其余不变，则∠ACD变为（　　）°。 图9-1 对Rt△ABC（∠C＝90°，∠A＝40°）：(1) 不计算，∠B＝（　　）°；(2) A处外角＝（　　）°；(3) 只把∠A改成50°，其余不变，则A处外角变为（　　）°。 图9-2 对△ABC（∠A＝30°，∠B＝30°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 六个外角中等于120°的共（　　）个位置；(3) 只把∠B改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°。 图9-3 对△ABC（∠A＝20°，∠B＝30°）：(1) 不计算，∠C（　　）90°（填“＞”或“＜”）；(2) 外角∠ACD＝（　　）°；(3) 只把∠A改成10°，其余不变，则外角和（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-4 对△ABC（∠A＝∠B＝55°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 它的一个外角（在C处）＝（　　）°；(3) 估算决策：这个三角形是否可能为钝角三角形（　　），一步理由是（　　）。 图9-5 对△ABC（∠A＝45°，∠B＝45°）：(1) 不计算，∠C＝（　　）°；(2) 改一个条件：把∠A改成60°，其余不变，则∠C变为（　　）°；(3) 此时外角和（　　）（填“变”或“不变”）。 图9-6 十一、课堂检测 不计算，在△ABC中，若∠A＝15°，∠B＝25°，则∠C是（　　）角（填“锐”“直”或“钝”）。 图10-1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B等于______°。 图10-2 在△ABC中，∠A＝48°，∠B＝52°，那么∠C＝______°。 图10-3 不计算，在△ABC中，外角∠ACD与∠A比较，大小关系是 ∠ACD（　　）∠A（填“＞”“＝”或“＜”）。 图10-4 在△ABC中，点D在BC延长线上，∠A＝38°，∠B＝44°，则外角∠ACD等于______°。 图10-5 在△ABC中，∠A＝∠B，并且∠C＝100°，则∠A等于______°。 图10-6 估一估：三个角分别为25°、35°、120°的三角形，不算准确得数，判断它是（　　）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；一步理由是（　　）。 图10-7 在△ABC中，∠A＝12°，∠B＝28°，则∠C等于______°，它（　　）90°（填“＞”或“＜”）。 图10-8 不计算，在△ABC中，若∠A＋∠B＝130°，则∠C（　　）90°（填“＞”“＝”或“＜”）。 图10-9 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°。只把∠C改成70°，其余不变，那么∠A＋∠B变为（　　）°。 图10-10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $